上海市2020〖人教版〗高一数学下册期末复习试卷平面解析几何初步

上海市2020年〖人教版〗高一数学下册期末复习试卷
平面解析几何初步
【典例1】 (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝ ⎛⎭
⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π
3的倾斜角的取值范围是.
(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为.
【答案】 (1)⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π4，π
3 (2)(－∞，－3]∪1，＋∞)
(2)如图，
，
1＝1－0
2－1＝AP k ∵
，3＝－3－0
0－1
＝BP k
).
∞＋，1∪] 3，－∞－(∈k ∴
.
是的倾斜角的范围0＝2＋y 3＋αcos x 直线)(1 】1迁移训练【
的最大值为；
y
x 时，则3≤x ≤2当，8＝y ＋x 2足满y ，x 已知实数)(2最小值为.
2
3
2(2) ⎣
⎢⎡⎭
⎪⎫5π
6，π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π
6(1) 】答案【
(2)
)
y ，x (点看成过y
x 的图象，把)3≤x ≤2(x 2－8＝y 本题可先作出函数和原点的直线的斜率进行求解.
如图，设点P (x ，y )，因为x ，y 满足2x ＋y ＝8，且2≤x ≤3，所以点P (x ，y )在线段AB 上移动，并且A ，B 两点的坐标分别是(2,4)，y
x
，所以2
3＝OB k ，2＝OA k 的斜率，且OP 的几何意义是直线y
x 因为.(3,2)
.
2
3，最小值为2为的最大值
专题二 求直线的方程
(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为10
10；
(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.
(2)由题设知截距不为0，设直线方程为x
a ＋y 12－a ＝1， 又直线过点(－3,4)， 从而
－3a ＋412－a
＝1，解得a ＝－4或a ＝9.
故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0； 当斜率存在时，设其为k ，
则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0. 由点线距离公式，得
|10－5k|k2＋1
＝5，解得k ＝3
4.
故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.
综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.
【思维升华】在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.
【迁移训练2】 求适合下列条件的直线方程： (1)经过点P (4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；
(2)经过点A (－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍. 【解析】 (1)设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a . 若a ＝0，即l 过点(0,0)及(4,1)， ∴l 的方程为y ＝1
4x ，即x －4y ＝0. 若a ≠0，则设l 的方程为x
a ＋y
a ＝1， ∵l 过点(4,1)， ∴4
a ＋1
a ＝1， ∴a ＝5，
∴l 的方程为x ＋y －5＝0.
综上可知，直线l 的方程为x －4y ＝0或x ＋y －5＝0. 专题三 直线方程的综合应用
【典例3】 (1)(·四川)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则PA ·PB 的最大值是.
(2)(·安徽)在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则a 的值为.
【答案】 (1)5 (2)－1
2
【解析】 (1)∵直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0分别过定点A ，
B ，∴A (0,0)，B (1,3).
当点P 与点A (或B )重合时，PA ·PB 为零； 当点P 与点A ，B 均不重合时，
∵P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点， 且易知此两直线垂直， ∴△APB 为直角三角形， ∴AP 2
＋BP 2
＝AB 2
＝10， ∴PA ·PB ≤
PA2＋PB22
＝10
2＝5，当且仅当PA ＝PB 时，上式等号成立.
(2)∵|x －a |≥0恒成立，∴要使y ＝2a 与y ＝|x －a |－1只有一个交点，必有2a ＝－1，解得a ＝－1
2.
【迁移训练3】 已知直线l 过点P (3,2)，且
与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，如图所示，求△ABO 的
面积的最小值及此时直线l 的方程.
【解析】
【方法二】依题意知，直线l 的斜率k 存在且k <0.
则直线l 的方程为y －2＝k (x －3) (k <0)，
，)k 3－2(0,B ，⎝ ⎛⎭
⎪⎫3－2
k ，0A 且有
⎝ ⎛⎭
⎪
⎫3－2
k )k 3－2(12＝ABO △S ∴
错误!1
2＝
错误!
1
2≥
12.
＝)12＋2×(11
2＝
.
立时，等号成2
3＝－k ，即4－k ＝k 9－当且仅当
即△ABO 的面积的最小值为12.
故所求直线的方程为2x ＋3y －12＝0.
第七章 两条直线的位置关系
专题一 两条直线的平行与垂直 (1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行：
(ⅰ)对于两条不重合的直线l 1、l 2，若其斜率分别为k 1、k 2，则有
l 1∥l 2⇔k 1＝k 2 (k 1，k 2均存在).
(ⅱ)当直线l 1、l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. ②两条直线垂直：
(ⅰ)如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则有
l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1 (k 1，k 2均存在).
(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2. 【典例1】 (1)已知两条直线l 1：(a －1)·x ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋
ay ＋3＝0平行，则a ＝________.
(2)已知两直线方程分别为l 1：x ＋y ＝1，l 2：ax ＋2y ＝0，若
l 1⊥l 2，则a ＝________.
【答案】 (1)－1或2 (2)－2
【思维升华】 (1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x 、y 的系数不能同时为零这一隐含条件.(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.
【迁移训练1】已知两直线l 1：x ＋y sin α－1＝0和l 2：2x ·sin
α＋y ＋1＝0，求α的值，使得：
(1)l 1∥l 2；
(2)l 1⊥l 2. 【解析】
(1)【方法一】当sin α＝0时，直线l 1的斜率不存在，l 2的斜率为0，显然l 1不平行于l 2.
当sin α≠0时，k 1＝－1
sin α，k 2＝－2sin α.
要使l 1∥l 2，需－1
sin α＝－2sin α，即sin α＝±2
2. 所以α＝k π±π
4，k ∈Z ，此时两直线的斜率相等. 故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2. 专题二 两条直线的交点与距离问题 1、两条直线的交点
直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐
标就是方程组⎩⎨
⎧ A1x ＋B1y ＋C1＝0，
A2x ＋B2y ＋C2＝0
的解.
2、几种距离
(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离P 1P 2＝
x2－x1
2＋
y2－y1
2.
(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离
d ＝
|Ax0＋By0＋C|
A2＋B2
.
(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝
|C1－C2|
A2＋B2
.
【典例2】 (1)已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－1
2x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是________.
(2)直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，则直线l __________________________.
【答案】 (1)⎝ ⎛⎭
⎪⎫－16，1
2 (2)x ＋3y －5＝0或x ＝－1
【解析】
(1)【方法一】
由方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋2k ＋1，y ＝－1
2x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2－4k
2k ＋1，
y ＝6k ＋1
2k ＋1.
(若2k ＋1＝0，即k ＝－1
2，则两直线平行)∴交点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫2－4k 2k ＋1，6k ＋1
2k ＋1.
又∵交点位于第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧
2－4k
2k ＋1＞0，
6k ＋1
2k ＋1＞0，
解得－16＜k ＜1
2.
【方法二】
如图，已知直线
(0,2).B ，)(4,0A 轴分别交于点y 轴、x 与2＋x 12
＝－y
而直线方程y ＝kx ＋2k ＋1可变形为y －1＝k (x ＋2)，表示这是一条
过定点P (－2,1)，斜率为k 的动直线.
∵两直线的交点在第一象限，
∴两直线的交点必在线段AB 上(不包括端点)，
.
PB k ＜k ＜PA k 需满足k 动直线的斜率∴
.
1
2＜k ＜16－∴.12＝PB k ，16＝－PA k ∵
，
1
3＝－AB k ＝k 时，有l ∥AB 当 】方法二【
0.
＝5－y 3＋x ，即)1＋x (1
3＝－2－y 的方程为l 直线
当l 过AB 中点时，AB 的中点为(－1,4).∴直线l 的方程为x ＝－1.
故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.
【思维升华】
(1)求过两直线交点的直线方程的方法：
求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，
再结合其他条件写出直线方程.
(2)利用距离公式应注意：
的距离
b ＝y ，到直线|a －0x |＝d 的距离a ＝x 到直线)0y ，0x (P 点①；
|b －0y |＝d
②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数化为相等.
【迁移训练2】
＝1－y 2＋x ：1l ，它被两平行直线)1,1－(点如图，设一直线过)(1上，
0＝1－y －x ：3l 所截的线段的中点在直线0＝3－y 2＋x ：2l ，0求其方程.
(2)正方形的中心为点C (－1,0)，一条边所在的直线方程是x ＋3y －
5＝0，求其他三边所在直线的方程.
【解析】
点C 到直线x ＋3y －5＝0的距离
.
3105＝|－1－5|1＋9
＝d
设与x ＋3y －5＝0平行的一边所在直线的方程是x ＋3y ＋m ＝0(m ≠
－5)，
，310
5
＝
|－1＋m|1＋9
＝
d 的距离0＝m ＋y 3＋x 到直线C 则点
解得m ＝－5(舍去)或m ＝7，
所以与x ＋3y －5＝0平行的边所在直线的方程是x ＋3y ＋7＝0.
设与x ＋3y －5＝0垂直的边所在直线的方程是3x －y ＋n ＝0，
，3105
＝
|－3＋n|1＋9
＝
d 的距离0＝n ＋y －x 3线到直C 则点
解得n ＝－3或n ＝9，
所以与x ＋3y －5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x －y －3＝
0和3x －y ＋9＝0. 专题三 对称问题
＝8－y ＋x 2：1l ，使它被直线l 作直线)(0,1P 过点）1（】3典例【为
的方程l 平分，则直线P 截得的线段被点0＝01＋y 3－x ：2l 和0________________.
（2）已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，则点A 关于直
线l 的对称点A ′的坐标为____________.
（3）已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，求直线m ：3x －2y －6＝0关于直
线l 的对称直线m ′的方程.
（3） 在直线m 上任取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的
对称点M ′必在直线m ′上.
设对称点M ′(a ，b )，则
⎩
⎪⎨⎪
⎧
2×⎝
⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝
⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b
－0a
－2×
23＝－1，.⎝ ⎛⎭
⎪⎫
613，3013′M ∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝6
13
，b ＝30
13，
解得 ⎩⎪⎨⎪⎧
2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，
，则由
N 的交点为l 与直线m 设直线
得N (4,3).又∵m ′经过点N (4,3).
∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.
【思维升华】 解决对称问题的方法
(1)中心对称
①点P (x ，y )关于Q (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足
⎩
⎪⎨
⎪
⎧
x′＝2a －x ，y′＝2b －y.
②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.
(2)轴对称
①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，
⎩⎪⎨⎪⎧
n －b m －a ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n
2
＋C ＝0.则有
②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.
【迁移训练3】
在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 发射后又回到原点P (如图).若
光线QR 经过△ABC 的重心，则AP ＝________.
4
3
】答案【
【解析】
建立如图所示的坐标系：
可得B (4,0)，C (0,4)，故直线BC 的方程为x ＋y ＝4，
△ABC 的重心为
⎝
⎛
⎭⎪⎫0＋0＋43，0＋4＋03，4<a 0<中，其)0a,(P ，设
，
)a ＋x (4－a
4＋a ＝y 的方程为QR 故直线
，
0＝a 4－2
a 3得，代入化简可)4
3，4
3(心的重ABC △过QR 由于直线
.4
3＝AP ，故⎝ ⎛⎭
⎪⎫43，0P ，故)去舍(0＝a ，或43＝a 解得
第八章 圆的方程
专题一 求圆的方程 1.圆的标准方程
(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
(r >0)，其中(a ，b )为圆心，r 为半径. 2.圆的一般方程
x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是D 2＋E 2－4F >0，其中圆心
为⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－D
2，－E 2，半径r ＝
D2＋E2－4F
2
.
【典例1】 根据下列条件，求圆的方程.
(1)经过P (－2,4)、Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6；
(2)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点
P (3，－2).
(2)【方法一】
，
1＝4x0－2
3－x0，依题意得)0x 4－，0x (心如图，设圆 ，
22＝r ，半径)4－，1(为，即圆心坐标1＝0x ∴
8.
＝2
4)＋y (＋21)－x (为故圆的方程
，
2
r ＝2
)0y －y (＋2
)0x －x (为设所求方程 】法二方【
错误!
解得错误!根据已知条件得
8.
＝2
4)＋y (＋2
1)－x (为因此所求圆的方程
【思维升华】 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标
和半径，进而写出方程.
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程依据
已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依
据已知条件列出关于D 、E 、F 的方程组，进而求出D 、E 、F 的值.
【迁移训练1】 (1)(·陕西)若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)
关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为____________.
(2)过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2，1)，则圆
C 的方程为________________.
2
＝2
y ＋2
3)－x (2)( 1＝2
1)－y (＋2
x (1) 】答案【
专题二 与圆有关的最值问题
命题点1 斜率型最值问题
求：
，则0＝1＋x 4－2
y ＋2
x 满足方程y 、x 已知实数 】2典例【
________.
为，最小值________为的最大值y
x ）1（
（2）求y －x 的最小值和最大值.
.
值的最大值和最小2
y ＋2x 求）3（
【解析】
（1）
为半径的
3为圆心，以)(2,0点表示以0＝1＋x 4－2
y ＋2x 如图，方程圆.
，
x k ＝y ，即k ＝y
x 设
则圆心(2,0)到直线y ＝kx 的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得
最大、最小值.
，
3＝2
k ，解得3＝|2k －0|k2＋1由
.
3＝－min k ，3＝max k ∴
OP
，直线°60＝POC ∠，3＝CP ，2＝OC 也可由平面几何知识，得(的倾斜角为60°，直线OP ′的倾斜角为120°)
解（3）
表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原
2y ＋2x 点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图).
，
2＝2－02＋0－02又因为圆心到原点的距离为
，
34＋7＝2
)3＋2(是的最大值2
y ＋2
x 所以
.
34－7＝2)3－2(为的最小值2y ＋2x
【思维升华】 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略
(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离
的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解.
(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法.①形如u 的直线的斜率)y ，x (点和)b ，a (点型的最值问题，可转化为过y －b
x －a ＝的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的型的最值问题，可转化为
2
)b －y (＋2
)a －x (如形③；截距的最值问题
动点到定点(a ，b )的距离平方的最值问题.
【迁移训练2】
上的
3－＝x 是直线Q 上的动点，4＝2
1)＋y (＋23)－x (圆是P 设)(1动点，则PQ 的最小值为 ________.
【答案】 4
【解析】PQ 的最小值为圆心到直线的距离减去半径.因为圆的圆心
为(3，－1)，半径为2，所以PQ 的最小值d ＝3－(－3)－2＝4.
－
(Q 上任意一点，且点0＝54＋y 14－x 4－2
y ＋2
x ：C 为圆M 已知)(22,3).
①求MQ 的最大值和最小值；
.
值的最大值和最小n －3
m ＋2，求)n ，m (M 若②
＋
x (k ＝3－y 的方程为MQ 的斜率，设直线MQ 表示直线n －3
m ＋2可知②2)，
.
k ＝n －3
m ＋2，则0＝3＋k 2＋y －kx 即
2
≤k ≤3－2得，可22≤|2k －7＋2k ＋3|
1＋k2
有交点，所以
C 与圆MQ 由直线，
3＋
.
3－2为，最小值3＋2为的最大值n －3
m ＋2所以
专题三 与圆有关的轨迹问题
上运动，以
4＝2
y ＋2
x 在圆N ，动点)3,4－(M 设定点】3典例【OM 、ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹.
【解析】
，⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2，y
2的中点坐标为OP ，则线段)0y ，0x (N ，)y ，x (P 如图所示，设由于平行四边形的对角线互相平.⎝
⎛⎭
⎪⎫
x0－32，y0＋42标为的中点坐MN 线段分，
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x0＝x ＋3，y0＝y －4.从而.y0＋4
2＝y 2，x0－32＝x 2故 4.
＝2
4)－y (＋23)＋x (故在圆上，)4－y ，3＋x (N 又
，
4＝2
4)－y (＋23)＋x (：因此所求轨迹为圆
).况上的情OM 在直线P 点(⎝ ⎛⎭
⎪⎫－215，28
5和⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，12
5点但应除去两
【思维升华】 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常
采用以下方法：
①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.
②定义法：根据圆、直线等定义列方程.
③几何法：利用圆的几何性质列方程.
④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式
等.
为圆内
)(1,1B ，)(2,0A 上一定点4＝2
y ＋2
x 已知圆 】3迁移训练【一点，P ，Q 为圆上的动点.
(1)求线段AP 中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程.
(2)设PQ 的中点为N (x ，y )，连结BN .
在Rt △PBQ 中，PN ＝BN .
设O 为坐标原点，连结ON ，则ON ⊥PQ ，
，
2
BN ＋2ON ＝2PN ＋2ON ＝2OP 所以 4.
＝2
1)－y (＋2
1)－x (＋2
y ＋2
x 所以
0.
＝1－y －x －2
y ＋2
x 中点的轨迹方程为PQ 故线段
【典例1】(1)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2
＋y 2
＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是______.
(2)若过点(1,2)总可以作两条直线与圆x 2
＋y 2
＋kx ＋2y ＋k 2
－15＝0相切，则实数k 的取值范围是________.
(3)已知方程x 2
＋x tan θ－1
sin θ＝0有两个不等实根a 和b ，那么过点
A (a ，a 2)，
B (b ，b 2)的直线与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是________.
【答案】 (1)相交 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－833，－3∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2，833
(3)相切
(2)把圆的方程化为标准方程得⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋k
22
＋(y ＋1)2
＝16－3k2
4
， 所以16－3k2
4
>0， 解得－
833<k <83
3
. 由题意知点(1,2)应在已知圆的外部，
把点代入圆的方程得1＋4＋k ＋4＋k 2
－15>0， 即(k －2)(k ＋3)>0， 解得k >2或k <－3，
则实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－833，－3∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2，833
.
(3)由题意可知过A ，B 两点的直线方程为(a ＋b )x －y －ab ＝0，圆心到直线AB 的距离为d ＝错误!，而a ＋b ＝－错误!，ab ＝－错误!，因此d ＝
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
1sin θ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1tan θ2＋1，化简后得
d ＝1，故直线与圆相切.
【思维升华】 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d 与r 的关系.
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.
上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.
【迁移训练1】 已知直线l ：y ＝kx ＋1，圆C ：(x －1)2
＋(y ＋1)
2
＝12.
(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；
(2)求直线l被圆C截得的最短弦长.
(2)解设直线与圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，
则直线l被圆C截得的弦长
AB＝1＋k2|x1－x2|
＝28－4k＋11k2
1＋k2＝2 11－4k＋3
1＋k2
，
令t＝4k＋3
1＋k2
，则tk2－4k＋(t－3)＝0，
当t＝0时，k＝－3
4
，当t≠0时，因为k∈R，
所以Δ＝16－4t(t－3)≥0，解得－1≤t≤4，且t≠0，
故t＝4k＋3
1＋k2
的最大值为4，此时AB最小为27.
专题二圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r2(r2>0).
关系为________.
(2)过两圆x2＋y2＋4x＋y＝－1，x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交点的圆中面积最小的圆的方程为____________.
(3)如果圆C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0与圆O：x2＋y2＝4总相
交，那么实数a 的取值范围是__________.
【答案】 (1)相交 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y ＋652
＝4
5 (3)(－22，0)∪(0,22)
∴两圆两个交点为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1
5，－2
5，(－1，－2).
过两交点的圆中，以⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1
5，－2
5，(－1，－2)为端点的线段为直径的圆时，面积最小.
∴该圆圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－6
5，半径为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15＋12＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－25＋22
2
＝
25
5， 圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3
52
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y ＋6
52
＝4
5. (3)C 的标准方程为(x －a )2＋(y －a )2
＝4，圆心坐标为(a ，a )，半径为2.
依题意得：0<
a2＋a2<2＋2，∴0<|a |<22.
∴a ∈(－22，0)∪(0,22)
【思维升华】 判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是
(1)确定两圆的圆心坐标和半径长；
(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，求r 1＋r 2，|r 1－
r 2|；
(3)比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，写出结论.
【迁移训练2】 (1)圆C 1：x 2
＋y 2
－2y ＝0，C 2：x 2
＋y 2
－23x －6＝0的位置关系为________. 【答案】 内切
(2)设M ＝{(x ，y )|y ＝
2a2－x2，a >0}，N ＝{(x ，y )|(x －1)
2
＋(y －
3)
2
＝a 2
，a >0}，且M ∩N
≠∅，求a 的最大值和最小值. 解 M ＝{(x ，y )|y ＝
2a2－x2，a >0}，即{(x ，y )|x
2
＋y 2＝2a 2
，
y ≥0}，表示以原点O 为圆心，半径等于2a 的半圆(位于横轴或横轴
以上的部分).
N ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －3)2＝a 2，a >0}，表示以O ′(1，3)为圆
心，半径等于a 的一个圆.
再由M ∩N ≠∅，可得半圆和圆有交点，故半圆和圆相交或相切. 当半圆和圆相外切时，由OO ′＝2＝2a ＋a ， 求得a ＝22－2；
当半圆和圆相内切时，由OO ′＝2＝2a －a ， 求得a ＝22＋2，
故a 的取值范围是22－2,22＋2]，a 的最大值为22＋2，最小值为22－2.
专题三 直线与圆的综合问题
【典例3】 (·课标全国Ⅰ)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2
＋(y －3)2
＝1交于M ，N 两点. (1)求k 的取值范围；
(2)若OM →·ON →
＝12，其中O 为坐标原点，求MN .
【解析】 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 因为直线l 与圆C 交于两点，所以
|2k －3＋1|
1＋k2
<1.解得
4－73<k <4＋7
3
. 所以k 的取值范围为⎝
⎛⎭
⎪⎫
4－7
3
，4＋73.
(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).
将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2
＋(y －3)2
＝1，
整理得(1＋k 2
)x 2
－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝错误!，x 1x 2＝错误!.
OM →·ON →
＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝错误!＋8.
由题设可得错误!＋8＝12，解得k ＝1，
所以直线l 的方程为y ＝x ＋1.故圆心C 在直线l 上，所以MN ＝2. 【迁移训练3】 (1)过点(3,1)作圆(x －2)2
＋(y －2)2
＝4的弦，其中最短弦的长为________.
(2)已知圆C 的方程为x 2
＋y 2
＋ax ＋2y ＋a 2＝0，一定点为A (1,2)，要使过A 点作圆的切线有两条，则a 的取值范围是____________.
【答案】 (1)22 (2)⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－233，233
【解析】 (1)设P (3,1)，圆心C (2,2)，则PC ＝2，由题意知最短的弦过P (3,1)且与PC 垂直，所以最短弦长为2
22－
2
2＝22.
创作人：百里安娜
创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂王会
创作单位： 明德智语学校。