2022年湖北省黄冈市初中数学竞赛试题(有答案)

2001年湖北省黄冈市初中数学竞赛试题
一、填空题(总分值30分,每题5分)
1.ｍ、ｎ互为相反数,ａ、ｂ互为负倒数,ｘ的绝对值等于3.那么ｘ3-(1+ｍ+ｎ+ａｂ)ｘ2+(ｍ+ｎ)·ｘ2001+(-ａｂ)2022的值等于______.
2.正数ａ、ｂ,有以下命题:
(1)假设ａ=1,ｂ=1,那么ａｂ ≤1;
(2)假设ａ= 12 ,ｂ= 52 ,那么ａｂ ≤3
2 ;
(3)假设ａ=2,ｂ=3,那么ａｂ ≤5
2
;
(4)假设ａ=1,ｂ=5,那么ａｂ ≤3.
根据以上几个命题所提供的信息,请猜测:假设ａ=6,ｂ=7,那么ａｂ≤________. 3.ｋ=
ａ+ｂ-ｃｃ =ａ-ｂ+ｃｂ = -ａ+ｂ+ｃ
ａ
,且ｍ-5 +ｎ2+9=6ｎ,那么关于自变量ｘ的一次函数ｙ=ｋｘ+ｍ+ｎ的图像一定经过第________象限.
4.如图1,∠ＡＯＢ=45°,角内有一点Ｐ,ＰＯ=10,在角的两边上有两点Ｑ、Ｒ(均不同于点Ｏ).那么△ＰＱＲ的周长的最小值为_________.
5.某公司规定一个退休职工每年可获得一份退休金,金额与他 r 工作的年数的算术平方根成正比例.如果他多工作ａ年,他的
退休金比原有的多ｐ元;如果他多工作ｂ年(ｂ≠ａ),他的退休
金比原有的多ｑ元.那么,他每年的退休金是(以ａ、ｂ、ｐ、ｑ表示)_________元.
6.在△ＡＢＣ中,∠Ａ、∠Ｂ是锐角,且ｓｉｎＡ=
5
13
,ｔg Ｂ=2,ＡＢ=29ｃｍ.那么△ＡＢＣ的面积等于___________ｃｍ2. 二、解做题(总分值70分)
7.(10分)观察:1×2×3×4+1=52,
2×3×4×5+1=112, 3×4×5×6+1=192,
……
(1)请写出一个具有普遍性的结论,并给出证实;
(2)根据(1),计算2000×2001×2022×2022+1的结果(用一个最简式子表示).
8.(10分)如图2,Ｒｔ△ＡＢＣ中,∠Ｃ=90°,沿过点Ｂ的一条直线ＢＥ折叠这个三角形,使点
图1
Q
P B
R O A
Ｃ落在ＡＢ边上的点为Ｄ.要使点Ｄ恰为ＡＢ的中点,问在图中还需添加什么条件?
(1)写出两个满足边的条件; (2)写出两个满足角的条件;
(3)写出一个满足除边、角以外的其他条件.
9.(10分)在一次数学竞赛中,组委会决定用ＮＳ公司赞助的款购置一批奖品.假设以1台ＮＳ计算器和3本?数学竞赛讲座?书为一份奖品,那么可买100份奖品;假设以1台ＮＳ计算器和5本?数学竞赛讲座?书为一份奖品,那么可买80份奖品.问这笔钱全部用来购置计算器或?数学竞赛讲座?书,可各买多少?
10.(15分)如图3,ＯＢ是以(0,ａ)为圆心、ａ为半径的⊙Ｏ1的弦,过点Ｂ作⊙Ｏ1的切线,Ｐ为劣弧OB 上的任一点,且过Ｐ作ＯＢ、ＡＢ、ＯＡ的垂线,垂足分别是Ｄ、Ｅ、Ｆ.
(1)求证:ＰＤ2=ＰＥ·ＰＦ;
(2)当∠ＢＯＣ=30°,点Ｐ为OB 的中点时,求Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｐ四个点的坐标及Ｓ△ＤＥＦ.
11.(10分)假设ａ、ｂ、ｃ、ｄ>0,证实:在方程
E D C
图2B A y x
O 1
O F E
D C
图3
P B
A
1
2ｘ
2+2ａ+ｂｘ+ｃｄ=0;①
1
2ｘ
2+2ｂ+ｃｘ+ａｄ=0;②
1
2ｘ
2+2ｃ+ｄｘ+ａｂ=0;③
1
2ｘ
2+2ｄ+ａｘ+ｂｃ=0④
中,至少有两个方程有两个不相等的实数根.
12.(15分)有麦田5块Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ,它们的产量(单位:吨)、交通状况和每相邻两块麦田的距离如图4所示,要建一座永久性打麦场,这5块麦田生产的麦子都在此打场.问建在哪块麦田上(不允许建在除麦田以外的其他地方)才能使总运输量最小?图中圆圈内的数字为产量,直线段上的字母ａ、ｂ、ｄ表示距离,且ｂ<ａ<ｄ.
参考答案⑦
⑥
⑤
④③
d
b
a
a
a
a
E D
C
图4
B
A
一、1.28或-26 2.()
2132 3.三、四 4.10 2 5.ａｑ2-ｂｐ
2
2(ｂｐ-ａｑ) 6.145.过点Ｃ作ＡＢ的
垂线,垂足为Ｄ.∵ｓｉｎＡ=
513 =ＣＤ
ＡＣ ,设ｍ>0,∴ＣＤ=5ｍ,ＡＣ=13ｍ.∵ｔg Ｂ= ＣＤＢＤ
=2,可设ｎ>0,ＣＤ=2ｎ,ＢＤ=ｎ,∴ＢＤ=ｎ=
CD 2 = 5
2
ｍ.∴ＡＤ=(13ｍ)2-(5ｍ)2 =12ｍ.从而得ＡＢ=ＡＤ+ＢＤ=12ｍ+52ｍ=292ｍ.由29=292ｍ,得ｍ=2.那么ＣＤ=5ｍ=10.故Ｓ△ＡＢＣ=12 ＡＢ·ＣＤ=1
2
×29×10=145 (ｃｍ2).
二、7.(1)对于自然数ｎ,有ｎ(ｎ+1)(ｎ+2)(ｎ+3)+1=(ｎ2+3ｎ)(ｎ2+3ｎ+2)+1=(ｎ2+3ｎ)2+2(ｎ2+3ｎ)+1=(ｎ2+3ｎ+1)2.
(2)由(1)得2000×2001×2022×2022+1=40060012. 8.要使Ｄ为ＡＢ的中点,可添加以下条件之一:
角的关系:(1)∠Ａ=∠ＤＢＥ; (2)∠Ａ=∠ＣＢＥ;(3)∠ＤＥＡ=∠ＤＥＢ;(4)∠ＤＥＡ=∠ＢＥＣ;(5)∠Ａ=30°;(6)∠ＣＢＤ=60°;(7)∠ＣＥＤ=120°;(8)∠ＡＥＤ=60°. 边的关系:(1)ＡＢ=2ＢＣ;(2)ＡＣ= 3 ＢＣ;(3)2ＡＣ= 3 ＡＢ;(4)ＢＥ=ＡＥ.三角形的关系:△ＢＥＣ≌△ＡＥＤ.
9.设每台计算器ｘ元,每本?数学竞赛讲座?书ｙ元,这笔钱为ｓ元.那么有100(ｘ+3ｙ)=ｓ=80(ｘ+5ｙ).化简得ｘ=5ｙ.解得ｓ=800ｙ.那么这笔款可买?数学竞赛讲座?800本.又∵ｙ=5
x ,∴ｓ=160ｘ.那么这笔款可买计算器160台.
10.(1)提示:连结ＥＤ、ＤＦ,证△ＦＤＰ∽△ＤＥＰ;(2)Ｄ(－ 3 4 ａ, 34 ａ),Ｅ(－ 3 3
4
ａ, 34 ａ,Ｆ(－ 3 2 ａ,0),Ｐ(－ 3 2 ａ, ａ2 ),Ｓ△ＤＥＦ= 3 3 16
ａ2
.
11.写出这四个方程的判别式Δ1、Δ2、Δ3、Δ4.注意到Δ1+Δ3>0,Δ2+Δ4>0,故Δ1、Δ
2、Δ
3、Δ4中至少有两个大于零,即所得四个方程中至少有两个方程有不相等的实数根.
12.设在ｘ处的最少运输量为Ｓ(ｘ).据三角形三边长度关系,有ａ+ｂ>ｄ.于是,Ｓ(Ａ)=3ａ+5(ａ+ｂ)+4(ａ+ｄ)+6ａ=18ａ+5ｂ+4ｄ;Ｓ(Ｂ)=10ａ+3ｂ+4ｄ;Ｓ(Ｃ)=18ａ+13ｄ;Ｓ(Ｄ)=14ａ+13ｂ;Ｓ(Ｅ)=26ａ+6ｂ;经比拟,知ｍｉｎ{Ｓ(Ａ),Ｓ(Ｂ),Ｓ(Ｃ),Ｓ(Ｄ),Ｓ(Ｅ)}=Ｓ(Ｂ).故Ｂ处为最正确选择.。