2021届高考数学一轮复习第九章解析几何9.6双曲线教学案新人教B版

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2021届高考数学一轮复习：第09章平面解析几何检测B卷单元检测(人教版A)(解析版)

平面解析几何章节验收测试卷B 卷姓名班级准考证号1．如图，AB 是平面α的斜线段，A 为斜足，点C 满足sin sin (0)CAB CBA λλ∠=∠>，且在平面α内运动，则（）A ．当1λ=时，点C 的轨迹是抛物线B ．当1λ=时，点C 的轨迹是一条直线 C ．当2λ=时，点C 的轨迹是椭圆D ．当2λ=时，点C 的轨迹是双曲线抛物线【答案】B 【解析】在ABC ∆中，∵sin sin (0)CAB CBA λλ∠=∠>，由正弦定理可得：BCACλ=，当1λ=时，BC AC =，过AB 的中点作线段AB 的垂面β，则点C 在α与β的交线上，即点C 的轨迹是一条直线，当2λ=时，2BC AC =，设B 在平面α内的射影为D ，连接BD ，CD ，设BD h =，2AD a =，则22BC CD h =+，在平面α内，以AD 所在直线为x 轴，以AD 的中点为y 轴建立平面直角坐标系，设(,)C x y ，则22()CA x a y =++，22()CD x a y =-+，222()CB x a y h =-++，∴22222()2()x a y h x a y -++=++，化简可得2222516393a h x a y ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭.∴C 的轨迹是圆．故选：B ．2．已知椭圆C ：2214x y +=上的三点A ，B ，C ，斜率为负数的直线BC 与y 轴交于M ，若原点O 是ABC ∆的重心，且BMA ∆与CMO ∆的面积之比为32，则直线BC 的斜率为（）A ．24-B ．14-C ．36-D ．33-【答案】C 【解析】设11(,)B x y ，22(,)C x y ．(0,)M m ．33(,)A x y ，直线BC 的方程为y kx m =+. ∵原点O 是ABC ∆的重心，∴BMA ∆与CMO ∆的高之比为3，又BMA ∆与CMO ∆的面积之比为32，则2BM MC =.即2BM MC =u u u u r u u u u r ，1220x x ⇒+=…①联立2244y kx m x y =+⎧⇒⎨+=⎩()222418440k x mkx m +++-=. 122814km x x k -+=+，21224414m x x k-=+…②，由①②整理可得：22223614m k m k =-+…③ ∵原点O 是ABC ∆的重心，∴()3122814kmx x x k=-+=+，3211222()[()2]14my y y k x x m k=-+=-++=-+. ∵223344x y +=，∴22222282()4()41441414km m k m k k -+=⇒+=++…④．由③④可得2112k =，∵k 0<．∴3k =. 故选：C ．3．设12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，若1290F PF ︒∠=，c=2,213PF F S ∆=，则双曲线的两条渐近线的夹角为（） A ．5π B ．4π C ．6π D ．3π 【答案】D 【解析】由题意可得22121216132PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，可得212)4PF PF -=（，可得1222PF PF a -==，可得a=1，22213b =-可得渐近线方程为：3y x =，可得双曲线的渐近线的夹角为3π，故选D.4．已知,A B 为椭圆22143x y +=上的两个动点，()M 1,0-,且满足MA MB ^,则MA BA ⋅u u u r u u u r 的取值范围为（） A ．[]3,4 B ．9,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]1,9D ．9,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】,A B 为椭圆22143x y +=上的两个动点，()M 1,0-为其左焦点.MA MB ^，则有0MA MB ⋅=u u u r u u u r.2()MA BA MA MA MB MA ⋅=⋅-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .设(,)M x y ，则223(1)4x y =-.222222211(1)(1)3(1)24(4)444x MA x y x x x x =++=++-=++=+u u u r .由[2,2]x ∈-，得221(4)[1,9]4MA x =+∈u u u r .故选C.5．长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==， 12BB =，设点A 关于直线1BD 的对称点为P ，则P 与1C 两点之间的距离为（）A ．2B ．3C ．1D ．12【答案】C 【解析】将长方体中含有1ABD 的平面取出，过点A 作1AM BD ⊥，垂足为M ，延长AM 到AP ，使MP AM =，则P 是A 关于1BD 的对称点，如图所示，过P 作1PE BC ⊥，垂足为E ，连接PB ，1PC ，依题意1AB =，13AD =，12BD =，160ABD ∠=︒，30BAM ∠=︒，30PBE ∠=︒，12PE =，3BE =，所以11PC =. 故选C .6．下列命题中：①若命题0:p x R ∃∈，2000x x -≤，则:p x R ⌝∀∈，20x x ->；②将sin 2y x =的图象沿x 轴向右平移6π个单位，得到的图象对应函数为sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭； ③“0x >”是“12x x+≥”的充分必要条件； ④已知()0,0M x y 为圆222x y R +=内异于圆心的一点，则直线200x x y y R +=与该圆相交.其中正确的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C 【解析】对于①，若命题0:p x R ∃∈，2000x x -≤，则:p x R ⌝∀∈，20x x ->；故①正确；对于②，将sin 2y x =的图象沿x 轴向右平移6π个单位，得到的图象对应函数为sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故②错误；对于③，“0x >”是“12x x+≥”的充分必要条件，故③正确；对于④，因为()0,0M x y 为圆222x y R +=内异于圆心的一点，则20022x y R +<，所以圆心()0,0到直线200x x y y R +=的距离d R =>，所以该直线与该圆相离，故④错误，故选C.7．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线为l ，圆()22:4C x y b +-=与l 交于第一象限A 、B 两点，若3ACB π∠=，且3OB OA =，其中O 为坐标原点，则双曲线的离心率为（）A．3 B．3 C．5D．3【答案】D 【解析】双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线为：b y x a =圆()22:4C x y b +-=的圆心坐标为()0,b ，半径为23ACB π∠=Q ABC ∆∴是边长为2的等边三角形∴2AB =，圆心到直线by x a=又2AB OB OA OA =-= 1OA ∴=，3OB = 在OBC ∆，OAC ∆中，由余弦定理得：2223414cos cos 62b b BOC AOC b b+-+-∠=∠==，解得：b =圆心到直线b y x a =c ab ==3c e a ∴===本题正确选项：D8．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0,0a b >>）的焦距为2c ，直线l 与双曲线C 的一条斜率为负值的渐近线垂直且在y 轴上的截距为2cb-；以双曲线C 的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆Ω与直线l 交于,M N两点，若MN =，则双曲线C 的离心率为（） A ．35 B ．53C ．3D ．13【答案】C 【解析】双曲线的渐近线的方程为b y x a=±， ∵直线l 与双曲线C 的一条斜率为负值的渐近线垂直且在y 轴上的截距为2cb-，∴直线l 的方程为2a c y x b b=-，即20ax by c --=，∵双曲线的右焦点为(),0c ，其到l的距离d c a ==-，又∵半径为c 的圆Ω与直线l 交于,M N两点且MN =， ∴()22259c a c c -+=，化简得2251890c ac a -+=，即()()3530c a c a --=，得3c a =或35c a =，即3ce a==或35（舍去），故选C.9．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，以OF 为直径的圆与双曲线C 的渐近线交于不同原点O 的A B ，两点，若四边形AOBF 的面积为()2212a b +，则双曲线C 的渐近线方程为（）A ．y x =±B ．y =C ．y x =±D ．2y x =±【答案】C 【解析】根据题意，OA AF ⊥，双曲线C 的焦点F 到C 的一条渐近线b y xa =±b =，则||AF b =，所以||OA a =，所以()2212ab a b =+，所以1ba=，所以双曲线C 的渐近线方程为y x =±. 10．已知,A B 为抛物线22(0)x py p =>上的两个动点，以AB 为直径的圆C 经过抛物线的焦点F ，且面积为2π，若过圆心C 作该抛物线准线l 的垂线CD ，垂足为D ，则||CD 的最大值为（）A ．2 BC D ．12【答案】A 【解析】根据题意，222AB ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴AB =设||||AF a BF b ==，，过点A 作AQ l ⊥于Q ，过点B 作BP l ⊥于P ，由抛物线定义，得AF AQ BF BP ==，，在梯形ABPQ 中， ∴2CD AQ BP a b =+=+，由勾股定理得，228a b =+，∵2222282244a b a b ab CD ab ++++⎛⎫==== ⎪⎝⎭2222424ab a b +++=…，所以2CD ≤（当且仅当a b =时，等号成立）.11．在平面直角坐标系中，设点(),P x y ，定义[]OP x y =+，其中O 为坐标原点，对于下列结论：()1符合[]2OP =的点P 的轨迹围成的图形面积为8； ()2设点P 是直线：3220x y +-=上任意一点，则[]1min OP =；()3设点P 是直线：()1y kx k R =+∈上任意一点，则使得“[]OP 最小的点有无数个”的充要条件是1k =；()4设点P 是椭圆2219x y +=上任意一点，则[]10max OP =．其中正确的结论序号为( ) A ．()()()123 B ．()()()134C ．()()()234D ．()()()124【答案】D 【解析】()1由[]2OP =，根据新定义得：2x y +=，由方程表示的图形关于,x y 轴对称和原点对称，且()202,02x y x y +=≤≤≤≤，画出图象如图所示：四边形ABCD 为边长是228，故()1正确；()()2,P x y 3220x y +-=上任一点，可得31y x =，可得312x y x x +=+-，当0x ≤时，[]31112OP x ⎛=-+≥ ⎝⎭；当03x <<时，[]31123OP x ⎛⎛=+-∈ ⎝⎝⎭；当3x ≥[]3113OP x ⎛=-++≥ ⎝⎭[]OP 的最小值为1，故()2正确； ()()311x y x y k x +≥+=++Q ，当1k =-时，11x y +≥=，满足题意；而()11x y x y k x +≥-=--，当1k =时，11x y +≥-=，满足题意，即1k =±都能 “使[]OP 最小的点P 有无数个”，()3不正确；()4Q 点P 是椭圆2219x y +=上任意一点，因为求最大值，所以可设3cos x θ=，sin y θ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，[]()3cos sin OP x y θθθϕ=+=+=+，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，[]max OP ∴=()4正确．则正确的结论有：()1、()2、()4，故选D ．12．已知点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>右支上一点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，M 为12PF F V 的内心，若121212MPF MPF MF F S S S =+V V V 成立，则双曲线的离心率为( )A ．4B ．52C ．2D ．53【答案】C 【解析】如图，设圆M 与12PF F V 的三边12F F 、1PF 、2PF 分别相切于点E 、F 、G ，连接ME 、MF 、MG ，则12ME F F ⊥，1MF PF ⊥，2MG PF ⊥，它们分别是12MF F V ，1MPF V ，2MPF V 的高， 111122MPF rS PF MF PF ∴=⨯⨯=V ，222122MPF rS PF MG PF V =⨯⨯=121212122MF F rS F F ME F F =⨯⨯=V ，其中r 是12PF F V 的内切圆的半径．121212MPF MPF MF F S S S =+V V V Q1212224r r rPF PF F F ∴=+ 两边约去2r得：121212PF PF F F =+121212PF PF F F ∴-=根据双曲线定义，得122PF PF a -=，122F F c =2a c ∴=⇒离心率为2ce a== 故选：C ．13．已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 作圆222x y a +=的切线交双曲线右支于点M ，若12F MF ∠4π=，则双曲线的离心率为______.【答案】3 【解析】设切点为N ，连接ON ，过2F 作2F A MN ⊥，垂足为A ，如下图：由圆的切线性质可知：1ON F M ⊥,ON a =，由三角形中位线定理可知：22AF a =，21AF F M ⊥，在12Rt AF F ∆中，2211222AF F F AF b =-=，在2Rt AF M ∆中，12F MF ∠4π=，所以2MA a =，222F M a =，由双曲线定义可知：122F M F M a -=，即222b a a +-=，所以b =，而c =所以c ，因此ce a==即双曲线的离心率为.14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，F 分别为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点、右焦点，过坐标原点O 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，线段AP 的中点为M ，若Q ，F ，M 三点共线，则椭圆C 的离心率为______. 【答案】13【解析】由题意知：P ，Q 关于原点对称，可设(),Q m n ，(),P m n -- 又(),0A a ，(),0F c ，则,22a m n M -⎛⎫-⎪⎝⎭ (),FQ m c n ∴=-u u u r ，,22a m n FM c -⎛⎫=--⎪⎝⎭u u u u r Q Q ，F ，M 三点共线 //FQ FM ∴u u u r u u u u r()22n a m m c n c -⎛⎫∴--=- ⎪⎝⎭，整理可得：13c a = 即椭圆C 的离心率：13e =本题正确结果：1315．已知椭圆2243x y +=1的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线1l 与过2F 的直线2l 交于点M ，设M 的坐标为()00,x y ，若12l l ⊥，则下列结论序号正确的有______．①204x +203y ＜1②204x +203y ＞1③04x +03y ＜1 ④2200431x y +>【答案】①③④ 【解析】()()121,0,1,0F F -，因为12l l ⊥，120MF MF =u u u u r u u u u rg ，所以()()()()0000110x x y y --⨯-+-⨯-=即22001x y +=，M 在圆221x y +=上，它在椭圆的内部，故2200143x y +<，故①正确，②错误； O 到直线143x y +=的距离为3412155⨯=>，O 在直线143x y+=的下方，故圆221x y +=在其下方即00143x y +<，故③正确；22220000431x y x y +≥+=，但222200004,3x x y y ==不同时成立，故22220000431x y x y +>+=，故④成立，综上，填①③④．16．已知F 是抛物线24y x =的焦点，A ，B 在抛物线上，且ABF ∆的重心坐标为11(,)23，则FA FB AB-=__________．【答案】17【解析】设点A (),A A x y ,B (),B B x y ,焦点F(1,0),ABF ∆的重心坐标为11,23⎛⎫ ⎪⎝⎭,由重心坐标公式可得1132A B x x ++=,0133A B y y ++=，即1=2A B x x +，=1A B y y + ，由抛物线的定义可得()22=114A BA B A B y y FA FB x x x x --+-+=-=, 由点在抛物线上可得22=4=4A A B By x y x ⎧⎨⎩，作差2244A B A B y y x x -=-，化简得4=4+A B AB A B A By y k x x y y -==-，代入弦长公式得=--A B A B y y y y ，则17FA FB AB-=，17．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，()2,0A 是长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，点C 在第一象限，且0AC BC ⋅=u u u r u u u r，||2||OC OB AB BC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r ．（1）求椭圆的标准方程；（2）设P 、Q 为椭圆上不重合的两点且异于A 、B ，若PCQ ∠的平分线总是垂直于x 轴，问是否存在实数λ，使得PQ AB =λu u u r u u u r？若不存在，请说明理由；若存在，求λ取得最大值时的PQ 的长．【答案】(1) 223144x y += (2)【解析】（1）∵0AC BC ⋅=u u u r u u u r，∴90ACB ∠=︒，∵||2||OC OB AB BC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r．即||2||BC AC =u u u r u u u r ，∴AOC △是等腰直角三角形， ∵()2,0A ，∴()1,1C ，而点C 在椭圆上，∴22111a b +=，2a =，∴243b =， ∴所求椭圆方程为223144x y +=．（2）对于椭圆上两点P ，Q ， ∵PCQ ∠的平分线总是垂直于x 轴， ∴PC 与CQ 所在直线关于1x =对称，PC k k =，则CQ k k =-，∵()1,1C ，∴PC 的直线方程为()11y k x =-+，①QC 的直线方程为()11y k x =--+，②将①代入223144x y +=，得()()22213613610k x k k x k k +--+--=，③∵()1,1C 在椭圆上，∴1x =是方程③的一个根，∴2236113P k k x k--=+，以k-替换k ，得到2236131Q k k x k +-=+． ∴()213P Q PQ P Qk x x kk x x +-==-， ∵90ACB ∠=o ，()2,0A ，()1,1C ，弦BC 过椭圆的中心O ， ∴()2,0A ，()1,1B --，∴13AB k =， ∴PQ AB k k =，∴PQ AB ∥，∴存在实数λ，使得PQ AB =λu u u r u u u r，2222124||1313k k PQ k k --⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭u u u r 221602301396k k =≤++，当2219k k =时，即33k =±时取等号， max 230||PQ =u u u r ，又||10AB =u u u r，max23023310λ==，∴λ取得最大值时的PQ 的长为230． 18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为C 椭圆上一点，且2PF 垂直于x 轴，连结1PF 并延长交椭圆于另一点Q ，设1PQ FQ λ=.（1）若点P 的坐标为()2,3，求椭圆C 的方程及λ的值；（2）若45λ≤≤，求椭圆C 的离心率的取值范围.【答案】（1）2211612x y +=；103λ=（2）37⎢⎣⎦【解析】（1）因为2PF 垂直于x 轴，且点P 的坐标为()2,3，所以2224a b c -==，22491a b +=，解得216a =，212b =，所以椭圆的方程为2211612x y +=.所以()12,0F -，直线1PF 的方程为()324y x =+，将()324y x =+代入椭圆C 的方程，解得267Q x =-，所以126210726327P Q F Q x x PQ FQ x x λ+-====--+. （2）因为2PF x ⊥轴，不妨设P 在x 轴上方，()0,P c y ，00y >.设()11,Q x y ，因为P 在椭圆上，所以220221y c a b +=，解得20b y a =，即2,b P c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （方法一）因为()1,0F c -，由1PQ FQ λ=得，()11c x c x λ-=--，211by y aλ-=-，解得111x c λλ+=--，()211b y a λ=--，所以()21,11b Q c a λλλ⎛⎫+-- ⎪ ⎪--⎝⎭. 因为点Q 在椭圆上，所以()222221111b e aλλλ+⎛⎫+= ⎪-⎝⎭-，即()()()2222111e e λλ++-=-，所以2(2)2e λλ+=-，从而222e λλ-=+. 因为45λ≤≤，所以21337e ≤≤.7e ≤≤，所以椭圆C的离心率的取值范围⎣⎦.19．已知椭圆C ：()222211x y a b a b +=>>1x =（1）求椭圆方程；（2）设直线y kx m =+交椭圆C 于A ，B 两点，且线段AB 的中点M 在直线1x =上，求证：线段AB 的中垂线恒过定点.【答案】（1）2214x y +=（2）见解析【解析】（1）由直线1x =，得椭圆过点⎛ ⎝⎭，即221314a b +=，又2c e a ===，得224a b =，所以24a =，21b =，即椭圆方程为2214x y +=.（2）由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222148440k x kmx m +++-=，由222222644(14)(44)1664160k m k m m k ∆=-+-=-++>，得2214m k <+. 由122814kmx x k +=-+，设AB 的中点M 为()00,x y ，得024114kmx k=-=+，即2144k km +=-， ∴0021144m y kx m k k=+==-+. ∴AB 的中垂线方程为()1114y x k k+=--. 即134y x k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故AB 的中垂线恒过点3,04N ⎛⎫⎪⎝⎭. 20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22x C y 13+=：，如图所示，斜率为k （k ＞0）且不过原点的直线l 交椭圆C 于两点A ，B ，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线x ＝﹣3于点D （﹣3，m ）．（1）求m 2+k 2的最小值；（2）若|OG|2＝|OD|•|OE|，求证：直线l 过定点．【答案】（1）2；（2）见解析【解析】（1）设直线l 的方程为y ＝kx+t （k ＞0），由题意，t ＞0，由方程组22y kx tx y 13=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得（3k 2+1）x 2+6ktx+3t 2﹣3＝0，由题意△＞0，所以3k 2+1＞t 2，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由根与系数的关系得1226kt x x 3k 1+=-+，所以1222ty y 3k 1+=+，由于E 为线段AB 的中点，因此E E223kt tx y 3k 13k 1，=-=++，此时E OE E y 1k x 3k ==-，所以OE 所在直线的方程为1y x 3k=-，又由题意知D （﹣3，m ），令x ＝﹣3，得1m k=，即mk ＝1，所以m 2+k 2≥2mk ＝2，当且仅当m ＝k ＝1时上式等号成立，此时由△＞0得0＜t ＜2，因此当m ＝k ＝1且0＜t ＜2时，m 2+k 2取最小值2．（2）证明：由（1）知D 所在直线的方程为1y x 3k=-，将其代入椭圆C 的方程，并由k ＞0，解得22G 3k 13k 1⎛⎫ ++⎝，，又221E D 3k 3k 13k 1，，，⎛⎫⎛⎫- ⎪⎝⎭++⎝，由距离公式及t ＞0得22222229k 1|OG |((3k 13k 13k 1+=+=+++，()22219k 1OD 3k +⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，2222223kt t 9k 1OE 3k 13k 13k 1⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，由|OG|2＝|OD|•|OE|，得t ＝k ，因此直线l 的方程为y ＝k （x+1），所以直线l 恒过定点（﹣1，0）．21．已知点()1,0F ，动点P 到直线2x =的距离与动点P 到点F（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点F 作任一直线交曲线C 于A ，B 两点，过点F 作AB 的垂线交直线2x =于点N ，求证：ON 平分线段AB .【答案】（1）2212x y +=（2）见证明【解析】（1）设(),P x y ，由动点P 到直线2x =的距离与动点P 到点F=2212x y +=.（2）设AB 的直线方程为1x my =+，则NF 的直线方程为()1y m x =--，联立()12y m x x ⎧=--⎨=⎩，解得()2,N m -，∴直线ON 的方程为2m y x =-，联立22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210m y my ++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则12222my y m +=-+，设AB 的中点为()00,M x y ，则120222y y my m +==-+， ∴002212x my m =+=+，∴222,22m M m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，将点M 坐标代入直线ON 的方程222222m my m m =-⋅=-++， ∴点M 在直线ON 上，∴ON 平分线段AB .22．已知椭圆M ：22221(0)x y a b a b +=>>P的坐标为2⎭. （1）求椭圆M 的方程；（2）设直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求ABC ∆面积的最大值.【答案】（1）2214x y +=；（2）1624 【解析】（1）由已知2c e a ==，又222a b c =+，则2a b =. 椭圆方程为222214x y b b +=，将)2代入方程得1b =，2a =，故椭圆的方程为2214x y +=；（2）不妨设直线AB 的方程x ky m =+，联立2214x y x ky m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x 得()2224240k y kmy m +++-=.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有12224km y y k -+=+，212244m y y k -⋅=+①又以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，∴0CA CB ⋅=u u u r u u u r，由11(2,)CA x y =-u u u r ，22(2,)CB x y =-u u u r得()()1212220x x y y --+=，将11x ky m =+，22x ky m =+代入上式得()()2212121(2)(2)0ky y k m y y m ++-++-=，将①代入上式求得65m =或2m =（舍），则直线l 恒过点6(,0)5.∴1211||22ABCS DC y y ∆=-== 设211(0)44t t k =<≤+，则ABC S ∆=在1(0,]4t ∈上单调递增，当14t =时，ABC S ∆取得最大值1624.。

高考数学一轮复习第九章解析几何9.6双曲线课件理

2.等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上， C 与抛物线 y2 ＝ 16x的准
线交于A，B两点，|AB|＝4 3，则C的实轴长为
A. 2 B.2 2 C.4 D.8
x2 y2 设 C：a2－a2＝1.
答案
解析
∵抛物线y2＝16x的准线为x＝－4，
x2 y2 联立a2－a2＝1 和 x＝－4，得 A(－4， 16－a2)， B(－4，－ 16－a2)，
∴|AB|＝2 16－a2＝4 3，
∴a＝2，∴2a＝4.∴C的实轴长为4.
3.(2015· 安徽)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是
答案
2 y A.x2－ 4 ＝1
解析
x2 2 B. 4 －y ＝1
y2 2 C. 4 －x ＝1
2 x D.y2－ 4 ＝1
由双曲线性质知A、B项双曲线焦点在x轴上，不合题意； C、D项双曲线焦点均在y轴上，但D项渐近线为y＝±1 x，只有C符合， 2 故选C.
c>0.
(1)当时，P点的轨迹是双曲线；
(2)当 2a<|F1F2| 时，P点的轨迹是两条射线；
(3)当 2a＝|F1F2| 时，P点不存在. 2a>|F1F2|
2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程
x2 y2 2－ 2＝1 (a>0，b>0) a b
x2 y2 (a>0，b>0) 2－ 2＝1 a b
图形 x≥a或x≤－a，y∈R 坐标轴对称轴：
性
质
范围对称性
x∈R，y≤－a或y≥a
原点对称中心：
性
质
顶点渐近线离心率
A1(－a,0)，A2(a,0) b y＝± ax (1，＋ e＝， e∈ ∞)

2021高考数学一轮复习第九章平面解析几何 9.6 双曲线教学案理

§9.6双曲线最新考纲考情考向分析1。

了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2。

知道双曲线的简单几何性质。

主要侧重双曲线的方程以及以双曲线方程为载体，研究参数a，b，c及与渐近线有关的问题，其中离心率和渐近线是重点。

以选择、填空题为主，难度为中低档.一般不再考查与双曲线相关的解答题，解题时应熟练掌握基础内容及双曲线方程的求法，能灵活应用双曲线的几何性质.1。

双曲线的概念平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做双曲线。

这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.集合P＝{M|｜|MF1|－｜MF2｜｜＝2a｝，｜F1F2|＝2c〉2a,其中a，c为常数且a〉0，c〉0。

2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程错误!－错误!＝1（a>0，b〉0）y2a2－错误!＝1(a>0，b〉0）图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴:坐标轴对称中心：原点顶点A1（－a,0），A2(a，0)A1(0，－a），A2（0，a)渐近线y＝±错误!x y＝±错误!x离心率e＝错误!，e∈（1，＋∞），其中c＝错误!实虚线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长轴 |A 1A 2|＝2a ，线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长｜B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a ，b ,c 的关系c 2＝a 2＋b 2 （c 〉a >0，c >b >0）概念方法微思考 1。

平面内与两定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数2a 的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？提示不一定.当2a ＝|F 1F 2|时，动点的轨迹是两条射线；当2a >｜F 1F 2｜时，动点的轨迹不存在；当2a ＝0时,动点的轨迹是线段F 1F 2的中垂线。

2.与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，a ，b 只限制a >0，b >0，二者没有大小要求，若a 〉b >0，a ＝b >0,0<a 〈b ，双曲线哪些性质受影响?提示离心率受到影响.∵e ＝c a＝错误!，故当a >b 〉0时，1〈e 〈错误!；当a ＝b >0时，e ＝2(亦称等轴双曲线);当0<a 〈b 时,e 〉2。

数学一轮复习第九章解析几何9.6双曲线学案理

9。

6双曲线必备知识预案自诊知识梳理1.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的等于非零常数(小于|F1F2｜）的点的轨迹叫作双曲线。

这两个定点叫作,两焦点间的距离叫作.集合P=｛M|||MF1｜-｜MF2||=2a},|F1F2｜=2c，其中a〉0,c>0,且a,c为常数.（1）若a c，则点M的轨迹是双曲线；(2）若a c，则点M的轨迹是两条射线;（3）若a c，则点M不存在.2.标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2 x2−x2x2=1（a>0,b〉0);(2）中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为x2 x2−x2x2=1(a>0，b>0）。

3。

双曲线的性质标准方程x2a2−y2b2=1（a〉0，b〉0)y2a2−x2b2=1(a〉0,b〉0）图形续表标准方程x2a2−y2b2=1（a>0，b〉0)y2a2−x2b2=1（a>0，b〉0)性质范围x≥a或x≤-a，y∈Ry≤—a或y≥a,x∈R 对称性对称轴：,对称中心:顶点A1，A2A1,A2渐近线y=±xxx y=±xxx离心率e=xx,e∈(1，+∞）a,b，c的关系c2=实虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴,它的长|A1A2|=;线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2｜=；a叫作双曲线的实半轴长,b叫作双曲线的虚半轴长1.过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0，b〉0）上一点M(x0，y0）的切线方程为x0xa2−y0yb2=1.2.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b〉0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P（x0，y0）为双曲线上任意一点,且不与点F1，F2共线,∠F1PF2=θ，则△F1PF2的面积为b2xxxθ2。

3。

若点P（x0,y0）在双曲线x2a2−y2b2=1(a〉0,b〉0)内，则被点P所平分的中点弦的方程为x0xa2−y0yb2=x02a2−y02b2。

2021高考数学一轮复习第9章平面解析几何第6讲双曲线课件新人教B版

解析 ∵方程λ＋x22－λ＋y21＝1 表示双曲线， ∴(λ＋2)(λ＋1)>0，解得 λ<－2 或 λ>－1.
解析
2
PART TWO
核心考向突破
考向一双曲线的定义
例 1 (1)(2019·山西太原模拟)已知双曲线 C：ax22－y42＝1(a>0)的一条渐
近线方程为 2x＋3y＝0，F1，F2 分别是双曲线 C 的左、右焦点，点 P 在双曲
则动点 M 的轨迹是( )
A．射线
B．直线
C．椭圆
D．双曲线的一支
解析设 F1(－2,0)，F2(2,0)，由题意知动点 M 满足|MF1|－|MF2|＝4＝ |F1F2|，故动点 M 的轨迹是射线，故选 A．
解析答案
2．已知 F 是双曲线x42－1y22 ＝1 的左焦点，A(1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为____9____.
第九章平面解析几何第6讲双曲线
1
PART ONE
基础知识整合
1．双曲线的概念平面内与两个定点 F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做 01 __双__曲__线____.这两个定点叫做双曲线的 02 __焦__点____，两焦点间的距离叫做双曲线的 03 __焦__距____.
解析
4．已知圆 C：(x－3)2＋y2＝4，定点 A(－3,0)，则过定点 A 且和圆 C 外切的动圆圆心 M 的轨迹方程为__x_2_－__y8_2＝__1_(_x_≤__－__1_)__.
解析设动圆 M 的半径为 R，则|MC|＝2＋R，|MA|＝R，所以|MC|－|MA| ＝2，由双曲线的定义知，M 点的轨迹是以 A，C 为焦点的双曲线的左支，且 a＝1，c＝3，所以 b2＝8，则动圆圆心 M 的轨迹方程为 x2－y82＝1(x≤－ 1)．

高考数学一轮复习第9章平面解析几何 6 第6讲双曲线教案理-人教版高三全册数学教案

第6讲双曲线1．双曲线的定义条件结论1结论2 平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2M点的轨迹为双曲线F1、F2为双曲线的焦点|F1F2|为双曲线的焦距||MF1|－|MF2||＝2a2a<|F1F2|标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形性质X围x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线y＝±bax y＝±abx离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫作等轴双曲线，其标准方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)．(2)等轴双曲线⇔离心率e＝2⇔两条渐近线y＝±x相互垂直．4．双曲线中一些常用的结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.(2)假设P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，那么|PF1|max＝a＋c，|PF2|min＝c－a.(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.(4)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，那么直线PA与PB的斜率之积为b2a2.(5)P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，那么S △PF1F2＝b2·1tanθ2，其中θ为∠F1PF2.判断正误(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )(2)椭圆的离心率e∈(0，1)，双曲线的离心率e∈(1，＋∞)．( )(3)方程x2m－y2n＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( )答案：(1)×(2)√(3)×(4)√(2017·高考全国卷Ⅲ)双曲线C：x2a2－y2b2＝1 (a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝52x，且与椭圆x212＋y23＝1有公共焦点，那么C的方程为( )A.x28－y210＝1 B.x24－y25＝1C.x25－y24＝1 D.x24－y23＝1解析：选B.根据双曲线C 的渐近线方程为y ＝52x ，可知b a ＝52 ①，又椭圆x 212＋y23＝1的焦点坐标为(3，0)和(－3，0)，所以a 2＋b 2＝9 ②，根据①②可知a 2＝4，b 2＝5，所以选B.(教材习题改编)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为53，那么其渐近线方程为________．解析：法一：由题意，得e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝53，解得b a ＝43，所以双曲线的渐近线方程为y＝±b a x ＝±43x ，即4x ±3y ＝0.法二：由题意，得e ＝c a ＝53，即c ＝53a ，所以b 2＝c 2－a 2＝169a 2，所以b a ＝43，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±43x ，即4x ±3y ＝0.答案：4x ±3y ＝0(2016·高考卷)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，那么a ＝________；b ＝________．解析：由题意知，渐近线方程为y ＝－2x ，由双曲线的标准方程以及性质可知b a＝2，由c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，可得b ＝2，a ＝1. 答案：1 2双曲线的定义[典例引领](1)设双曲线x 2－y 28＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 是双曲线上的一点，且|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，那么△PF 1F 2的面积等于( ) A ．10 3 B ．8 3 C ．8 5D ．16 5(2)(2018·某某质检)△ABC 的顶点A (－5，0)，B (5，0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，那么顶点C的轨迹方程是________．【解析】(1)依题意|F1F2|＝6，|PF2|－|PF1|＝2，因为|PF1|∶|PF2|＝3∶4，所以|PF1|＝6，|PF2|＝8，所以等腰三角形PF1F2的面积S＝12×8×62－⎝⎛⎭⎪⎫822＝8 5.(2)如图，△ABC与内切圆的切点分别为G，E，F.|AG|＝|AE|＝8，|BF|＝|BG|＝2，|CE|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x29－y216＝1(x>3)．【答案】(1)C (2)x29－y216＝1(x>3)假设本例(1)中“|PF1|∶|PF2|＝3∶4〞变为“PF1⊥PF2〞，其他条件不变，如何求解．解：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，那么⎩⎪⎨⎪⎧m2＋n2＝36，m2＋n2－2mn＝4，解得mn＝16，所以S△PF1F2＝12mn＝8.双曲线定义的应用规律类型解读求方程由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a，2b或2c的值，从而求出a2，b2的值，写出双曲线方程解焦点三角形利用双曲线上点M与两焦点的距离的差||MF1|－|MF2||＝2a(其中2a<|F1F2|)与正弦定理、余弦定理，解决焦点三角形问题“常数〞小于|F1F2|，否那么轨迹是线段或不存在．[通关练习]1．双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点．假设|PF 1|＝43|PF 2|，那么△F 1PF 2的面积为( ) A ．48 B ．24 C ．12D ．6解析：选 B.由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝13|PF 2|＝2a ＝2，解得|PF 2|＝6，故|PF 1|＝8，又|F 1F 2|＝10，故三角形PF 1F 2为直角三角形，因此S △PF 1F 2＝12|PF 1|×|PF 2|＝24.2．(2018·某某某某调研)假设双曲线x 24－y 212＝1的左焦点为F ，点P 是双曲线右支上的动点，A (1，4)，那么|PF |＋|PA |的最小值是( ) A ．8 B ．9 C ．10D ．12解析：选B.由题意知，双曲线x 24－y 212＝1的左焦点F 的坐标为(－4，0)，设双曲线的右焦点为B ，那么B (4，0)，由双曲线的定义知|PF |＋|PA |＝4＋|PB |＋|PA |≥4＋|AB |＝4＋〔4－1〕2＋〔0－4〕2＝4＋5＝9，当且仅当A ，P ，B 三点共线且P 在A ，B 之间时取等号．所以|PF |＋|PA |的最小值为9.双曲线的标准方程[典例引领](1)(2017·高考某某卷)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，那么双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1(2)假设双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点(4，3)，那么双曲线的方程为________．【解析】 (1)由△OAF 是边长为2的等边三角形可知，c ＝2，b a＝tan 60°＝3，又c 2＝a 2＋b 2，联立可得a ＝1，b ＝3，所以双曲线的方程为x 2－y 23＝1.(2)法一：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，所以可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点(4，3)，所以λ＝16－4×(3)2＝4，所以双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.法二：因为渐近线y ＝12x 过点(4，2)，而3<2，所以点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)．所以双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，所以双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.【答案】 (1)D (2)x 24－y 2＝1(1)求双曲线标准方程的答题模板(2)利用待定系数法求双曲线方程的常用方法①与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)；②假设双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，那么双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；③假设双曲线过两个点，那么双曲线的方程可设为x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)或mx 2＋ny 2＝1(mn <0)．[通关练习]1．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，那么双曲线的方程为( ) A.x 25－y 220＝1 B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y2100＝1 D.3x 2100－3y225＝1 解析：选A.由题意知，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为y ＝2x ，所以ba ＝2，即b 2＝4a 2.又双曲线的一个焦点是直线l 与x 轴的交点，所以该焦点的坐标为(－5，0)，所以c ＝5，即a 2＋b 2＝25，联立得⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝4a 2，a 2＋b 2＝25，解得a 2＝5，b 2＝20，故双曲线的方程为x 25－y 220＝1.2．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2，1)的双曲线方程是( )A.x 24－y 2＝1 B.x 22－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝1解析：选 B.法一：椭圆x 24＋y 2＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，所以4a 2－1b 2＝1，a 2＋b 2＝3，解得a 2＝2，b 2＝1，所以所求双曲线方程是x 22－y 2＝1.法二：设所求双曲线方程为x 24－λ＋y 21－λ＝1(1<λ<4)，将点P (2，1)的坐标代入可得44－λ＋11－λ＝1，解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求双曲线方程为x 22－y 2＝1.双曲线的几何性质 (高频考点)双曲线的几何性质及应用，是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题多为容易题或中档题．高考对双曲线的几何性质的考查主要有以下三个命题角度： (1)求双曲线的焦点(距)、实、虚轴长； (2)求双曲线的渐近线方程； (3)求双曲线的离心率(或X 围)．[典例引领]角度一求双曲线的焦点(距)、实、虚轴长(2018·某某某某模拟)离心率为52的双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，假设S △OMF 2＝16，那么双曲线的实轴长是( ) A ．32 B ．16 C ．84D ．4【解析】由题意知F 2(c ，0)，不妨令点M 在渐近线y ＝bax 上，由题意可知|F 2M |＝bc a 2＋b 2＝b ，所以|OM |＝c 2－b 2＝a .由S △OMF 2＝16，可得12ab ＝16，即ab ＝32，又a 2＋b 2＝c 2，c a ＝52，所以a ＝8，b ＝4，c ＝45，所以双曲线C B. 【答案】 B角度二求双曲线的渐近线方程过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 作圆O ：x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点为A ，B ，双曲线左顶点为C ，假设∠ACB ＝120°，那么双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±33x C ．y ＝±2xD ．y ＝±22x 【解析】如下图，连接OA ，OB ，设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c (c >0)，那么C (－a ，0)，F (－c ，0)．由双曲线和圆的对称性知，点A 与点B 关于x 轴对称，那么∠ACO ＝∠BCO ＝12∠ACB ＝12×120°＝60°.因为|OA |＝|OC |＝a ，所以△ACO 为等边三角形，所以∠AOC ＝60°. 因为FA 与圆O 切于点A ，所以OA ⊥FA ，在Rt △AOF 中，∠AFO ＝90°－∠AOF ＝90°－60°＝30°，所以|OF |＝2|OA |，即c ＝2a ，所以b ＝c 2－a 2＝〔2a 〕2－a 2＝3a ，故双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax ，即y ＝±3x .【答案】 A角度三求双曲线的离心率(或X 围)(1)(2017·高考全国卷Ⅱ)假设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，那么C 的离心率为( ) A ．2 B. 3 C. 2D.233(2)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，假设双曲线上存在一点P 使sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝ac，那么该双曲线的离心率的取值X 围是________．【解析】 (1)依题意，双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为bx －aybx －ay＝0被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，所以|2b |b 2＋a2＝4－1，所以3a 2＋3b 2＝4b 2，所以3a 2＝b 2，所以e ＝1＋b 2a2＝1＋3＝2，选择A. (2)在△PF 1F 2中，由正弦定理知|PF 2|sin ∠PF 1F 2＝|PF 1|sin ∠PF 2F 1，又sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝a c ，所以|PF 2||PF 1|＝ac ，所以P 在双曲线右支上，设P (x 0，y 0)，如图，又因为|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝2a2c －a .由双曲线几何性质知|PF 2|>c －a ，那么2a 2c －a >c －a ，即e 2－2e －1<0，所以1<e <1＋ 2.【答案】 (1)A (2)(1，1＋2)与双曲线几何性质有关问题的解题策略(1)求双曲线的离心率(或X 围)．依据题设条件，将问题转化为关于a ，c 的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得．(2)求双曲线的渐近线方程．依据题设条件，求双曲线中a ，b 的值或a 与b 的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．(3)求双曲线方程．依据题设条件，求出a ，b 的值或依据双曲线的定义，求双曲线的方程．(4)求双曲线焦点(焦距)、实虚轴的长．依题设条件及a ，b ，c 之间的关系求解．[通关练习]1．(2018·某某市第三次调研考试)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝132，那么它的渐近线方程为( ) A ．y ＝±32xB ．y ＝±23xC ．y ＝±94xD ．y ＝±49x解析：选A.由双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝132，可得c 2a 2＝134，所以b 2a2＋1＝134，可得b a ＝32，故双曲线的渐近线方程为y ＝±32x .选A. 2．(2018·某某市第二次质量预测)双曲线C 2与椭圆C 1：x 24＋y 23＝1具有相同的焦点，那么两条曲线相交的四个交点形成的四边形面积最大时双曲线C 2的离心率为________．解析：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知a 2＋b 2＝4－3＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1x 2a 2－y 2b 2＝1，解得交点的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4a2y 2＝3〔1－a 2〕，由椭圆和双曲线关于坐标轴对称知，以它们的交点为顶点的四边形是长方形，其面积S ＝4|xy |＝44a 2·3〔1－a 2〕＝83·a 2·1－a 2≤83·a 2＋1－a 22＝43，当且仅当a 2＝1－a 2，即a 2＝12时，取等号，此时双曲线的方程为x212－y212＝1，离心率e＝ 2.答案： 2直线与双曲线的位置关系[典例引领]中心在原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，实轴长为2 3.(1)求双曲线C的方程；(2)假设直线l：y＝kx＋2与双曲线C左支交于A，B两点，求k的取值X围．【解】(1)设双曲线C的方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)．由得，a＝3，c＝2，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，所以双曲线C的方程为x23－y2＝1.(2)设A(x A，y A)，B(x B，y B)，将y＝kx＋2代入x23－y2＝1，得(1－3k2)x2－62kx－9＝0.由题意知⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧1－3k2≠0，Δ＝36〔1－k2〕>0，x A＋x B＝62k1－3k2<0，解得33<k<1.x A x B＝－91－3k2>0，所以k的取值X围为⎝⎛⎭⎪⎫33，1.在本例(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，m)，求m的取值X围．解：由(2)得：x A＋x B＝62k1－3k2，所以y A＋y B＝(kx A＋2)＋(kx B＋2)＝k(x A＋x B)＋22＝221－3k2.所以AB 的中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32k1－3k 2，21－3k 2.设直线l 0的方程为：y ＝－1kx ＋m ，将P 点坐标代入直线l 0的方程，得m ＝421－3k 2.因为33<k <1，所以－2<1－3k 2<0.所以m <－2 2. 所以m 的取值X 围为(－∞，－22)．研究直线与双曲线位置关系问题的方法(1)直线与双曲线的位置关系的判断和直线与椭圆的位置关系的判断方法类似，利用方程解的个数确定；(2)假设直线与双曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，直线的斜率为k ，那么|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|.[提醒] 由方程法判断直线与双曲线位置关系时，应注意当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点．(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F 2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求AB 的长．解：(1)因为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点，所以⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝3，a ＝3，解得c ＝3，b ＝6，所以双曲线的方程为x 23－y 26＝1.(2)双曲线x 23－y 26＝1的右焦点为F 2(3，0)，所以经过双曲线右焦点F 2且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33(x －3)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 23－y 26＝1，y ＝33〔x －3〕，得5x 2＋6x －27＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－275.所以|AB |＝1＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－652－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－275＝1635.双曲线几何性质的三个关注点(1)“六点〞：两焦点、两顶点、两虚轴端点； (2)“四线〞：两对称轴(实、虚轴)、两渐近线；(3)“两形〞：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形；双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点构成的三角形．双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1〞为“0〞就得到两渐近线方程，即方程x 2a 2－y 2b 2＝0就是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0.b >0)的两条渐近线方程．易错防X(1)双曲线的定义中易忽视2a ＜|F 1F 2|这一条件．假设2a ＝|F 1F 2|，那么轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，假设2a ＞|F 1F 2|，那么轨迹不存在．(2)区分双曲线中a ，b ，c 的关系与椭圆中a ，b ，c 的关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.(3)双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e ∈(0，1)．1．(2018·某某模拟)双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，那么双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 210－y 26＝1 D.x 26－y 210＝1 解析：选A.双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，那么c ＝4，a ＝2，b 2＝12，双曲线方程为x 24－y 212＝1，应选A.2．(2018·某某某某模拟)当双曲线M ：x 2m 2－y 22m ＋6＝1(－2≤m <0)的焦距取得最小值时，双曲线M 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±2x B ．y ＝±22x C ．y ＝±2xD ．y ＝±12x解析：选C.由题意可得c 2＝m 2＋2m ＋6＝(m ＋1)2＋5，当m ＝－1时，c 2取得最小值，即焦距2c 取得最小值，此时双曲线M 的方程为x 2－y 24＝1，所以渐近线方程为y ＝±2x .应选C.3．(2017·高考全国卷Ⅰ)F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，那么△APF 的面积为( ) A.13 B.12 C.23D.32解析：选D.法一：由题可知，双曲线的右焦点为F (2，0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 23＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2，3)，因为点A (1，3)，所以AP ∥x 轴，又PF ⊥x 轴，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝12|PF |·|AP |＝12×3×1＝32.应选D.法二：由题可知，双曲线的右焦点为F (2，0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 23＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2，3)，因为点A (1，3)，所以AP →＝(1，0)，PF →＝(0，－3)，所以AP →·PF →＝0，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝12|PF |·|AP |＝12×3×1＝32.应选D.4．(2018·某某市武昌区调研考试)F 1，F 2是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且|PF 1|>|PF 2|，线段PF 1的垂直平分线过F 2，假设椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，那么2e 1＋e 22的最小值为( )A ．6B ．3 C. 6D. 3解析：选 A.设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的半实轴长为a ′，半焦距为c ，依题意知⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a |PF 1|－|PF 2|＝2a ′，2a ＝2a ′＋4c ，所以2e 1＋e 22＝2a c ＋c 2a ′＝2a ′＋4c c ＋c 2a ′＝2a ′c ＋c2a ′＋4≥2＋4＝6，当且仅当c ＝2a ′时取“＝〞，应选A. 5．(2018·某某某某模拟)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点B 是虚轴的一个端点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，假设BA →＝2AF →，且|BF →|＝4，那么双曲线C 的方程为( ) A.x 26－y 25＝1 B.x 28－y 212＝1 C.x 28－y 24＝1 D.x 24－y 26＝1 解析：选D.不妨设B (0，b )，由BA →＝2AF →，F (c ，0)，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2c 3，b 3，代入双曲线C 的方程可得49×c 2a 2－19＝1，即49·a 2＋b 2a 2＝109，所以b 2a 2＝32，①又|BF →|＝b 2＋c 2＝4，c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＋2b 2＝16，② 由①②可得，a 2＝4，b 2＝6，所以双曲线C 的方程为x 24－y 26＝1，应选D.6．双曲线x 2m －y 23m ＝1的一个焦点是(0，2)，椭圆y 2n －x 2m＝1的焦距等于4，那么n ＝________．解析：因为双曲线的焦点是(0，2)，所以焦点在y 轴上，所以双曲线的方程为y 2－3m －x 2－m ＝1，即a 2＝－3m ，b 2＝－m ，所以c 2＝－3m －m ＝－4m ＝4，解得m y 2n＋x 2＝1，且n >0，椭圆的焦距为4，所以c 2＝n －1＝4或1－n ＝4，解得n ＝5或－3(舍去)．答案：57．(2018·某某某某模拟)设F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，M ，N 是双曲线C 的一条渐近线上的两点，四边形MF 1NF 2为矩形，A 为双曲线的一个顶点，假设△AMN 的面积为12c 2，那么该双曲线的离心率为________．解析：设M ⎝⎛⎭⎪⎫x ，b a x ，根据矩形的性质，得|MO |＝|OF 1|＝|OF 2|＝c ，即x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a x 2＝c 2，那么x ＝a ，所以M (a ，b )．因为△AMN 的面积为12c 2，所以2×12·a ·b ＝12c 2，所以4a 2(c 2－a 2)＝c 4，所以e 4－4e 2＋4＝0，所以e ＝ 2. 答案： 28．设P 为双曲线x 2－y 212＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的左、右焦点，假设△PF 1F 2的面积为12，那么∠F 1PF 2＝________．解析：由题意可知，F 1(－13，0)，F 2(13，0)，|F 1F 2|＝213.设P (x 0，y 0)，那么△PF 1F 2的面积为12×213|y 0|y 20＝12213，将P 点坐标代入双曲线方程得x 20＝2513，不妨设点P ⎝⎛⎭⎪⎫51313，121313，那么PF 1→＝(－181313，－121313)，PF 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫81313，－121313，可得PF 1→·PF 2→＝0，即PF 1⊥PF 2，故∠F 1PF 2＝π2.答案：π29．椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆D 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．解：椭圆D 的两个焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5.设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，所以渐近线方程为bx ±ay ＝0且a 2＋b 2＝25，又圆心M (0，5)到两条渐近线的距离为r ＝3. 所以|5a |b 2＋a 2＝3，得a ＝3，b ＝4，所以双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1.10．双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为2x ＋y ＝0，且顶点到渐近线的距离为255. (1)求此双曲线的方程；(2)设P 为双曲线上一点，A ，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，假设AP →＝PB →，求△AOB 的面积．解：(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a b ＝2，|2×0＋a |5＝255，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故双曲线的方程为y 24－x 2＝1.(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，设A (m ，2m )，B (－n ，2n )，其中m >0，n >0，由AP →＝PB →得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m －n 2，m ＋n .将点P 的坐标代入y 24－x 2＝1，整理得mn ＝1. 设∠AOB ＝2θ，因为tan ⎝⎛⎭⎪⎫π2－θ＝2，那么tan θ＝12，从而sin 2θ＝45.又|OA |＝5m ，|OB |＝5n ，所以S △AOB ＝12|OA ||OB |sin 2θ＝2mn ＝2.1．(2018·某某市质量检测(二))过双曲线x 2－y 215＝1的右支上一点P ，分别向圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4和圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1作切线，切点分别为M ，N ，那么|PM |2－|PN |2的最小值为( )A ．10B ．13C ．16D ．19解析：选 B.由题可知，|PM |2－|PN |2＝(|PC 1|2－4)－(|PC 2|2－1)，因此|PM |2－|PN |2＝|PC 1|2－|PC 2|2－3＝(|PC 1|－|PC 2|)(|PC 1|＋|PC 2|)－3＝2(|PC 1|＋|PC 2|)－3≥2|C 1C 2|B. 2．(2018·某某模拟)以椭圆x 29＋y 25＝1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C ，其左、右焦点分别是F 1，F 2.点M 的坐标为(2，1)，双曲线C 上的点P (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)满足PF 1→·MF 1→|PF 1→|＝F 2F 1→·MF 1→|F 2F 1→|，那么S △PMF 1－S △PMF 2＝( )A ．2B ．4C ．1D ．－1解析：选A.由题意，知双曲线方程为x 24－y 25＝1，|PF 1|－|PF 2|＝4，由PF 1→·MF 1→|PF 1→|＝F 2F 1→·MF 1→|F 2F 1→|，可得F 1P →·F 1M→|MF 1→||F 1P →|＝F 1F 2→·F 1M→|MF 1→||F 1F 2→|，即F 1M 平分∠PF 1F 2.又结合平面几何知识可得，△F 1PF 2的内心在直线x ＝2上，所以点M (2，1)就是△F 1PF 2的内心．故S △PMF 1－S △PMF 2＝12×(|PF 1|－|PF 2|)×1＝12×4×1＝2.3．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于3，过右焦点F 2的直线l 交双曲线于A ，B 两点，F 1为左焦点． (1)求双曲线的方程；(2)假设△F 1AB 的面积等于62，求直线l 的方程．解：(1)依题意，b ＝3，c a ＝2⇒a ＝1，c ＝2，所以双曲线的方程为x 2－y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由(1)知F 2(2，0)．易验证当直线l 斜率不存在时不满足题意，故可设直线l ：y ＝k (x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 〔x －2〕，x 2－y23＝1，消元得(k 2－3)x 2－4k 2x ＋4k 2＋3＝0，k ≠±3，x 1＋x 2＝4k 2k 2－3，x 1x 2＝4k 2＋3k 2－3，y 1－y 2＝k (x 1－x 2)，△F 1AB 的面积S ＝c |y 1－y 2|＝2|k |·|x 1－x 2|＝2|k |·16k 4－4〔k 2－3〕〔4k 2＋3〕|k 2－3|＝12|k |·k 2＋1|k 2－3|＝6 2.得k 4＋8k 2－9＝0，那么kl 的方程为y ＝x －2或y ＝－x ＋2.4．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的方程为y ＝3x ，右焦点F 到直线x ＝a 2c的距离为32.(1)求双曲线C 的方程；(2)斜率为1且在y 轴上的截距大于0的直线l 与双曲线C 相交于B 、D 两点，A (1，0)，假设DF →·BF →＝1，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．解：(1)依题意有b a ＝3，c －a 2c ＝32，因为a 2＋b 2＝c 2，所以c ＝2a ，所以a ＝1，c ＝2，所以b 2＝3，所以双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.(2)证明：设直线l 的方程为y ＝x ＋m (m >0)，B (x 1，x 1＋m )，D (x 2，x 2＋m )，BD 的中点为M ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2－y 23＝1得2x 2－2mx －m 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝－m 2＋32，又因为DF →·BF →＝1，即(2－x 1)(2－x 2)＋(x 1＋m )(x 2＋m )＝1，所以m ＝0(舍)或m ＝2，所以x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－72，M 点的横坐标为x 1＋x 22＝1，因为DA →·BA →＝(1－x 1)(1－x 2)＋(x 1＋2)(x 2＋2)＝5＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＝5－7＋2＝0，所以AD ⊥AB ，所以过A 、B 、D 三点的圆以点M 为圆心，BD 为直径，因为点M 的横坐标为1，所以MA ⊥x 轴，所以过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．。

高考数学一轮复习第九章解析几何第六节双曲线教案理苏教版

第六节双曲线1．双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于F1F2)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M||MF1－MF2|＝2a}，F1F2＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0.(1)当2a＜F1F2时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝F1F2时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a＞F1F2时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质[小题体验]1．双曲线x2－5y2＝10的焦距为________．解析：∵双曲线的标准方程为x 210－y 22＝1，∴a 2＝10，b 2＝2，∴c 2＝a 2＋b 2＝12，c ＝23，故焦距为4 3.答案：4 32．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长为________．解析：双曲线2x 2－y 2＝8的标准方程为x 24－y 28＝1，实轴长为2a ＝4.答案：43．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于________．解析：∵右焦点为(3,0)，∴c ＝3.∴a 2＝c 2－b 2＝9－5＝4，∴a ＝2，∴e ＝c a ＝32.答案：321．双曲线的定义中易忽视2a ＜F 1F 2这一条件．若2a ＝F 1F 2，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ＞F 1F 2，则轨迹不存在．2．双曲线的标准方程中对a ，b 的要求只是a ＞0，b ＞0，易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a ＞b ＞0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)；若a ＝b ＞0，则双曲线的离心率e ＝2；若0＜a ＜b ，则双曲线的离心率e ∈(2，＋∞)．3．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中的a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x 轴上，渐近线斜率为±b a，当焦点在y 轴上，渐近线斜率为±a b.[小题纠偏]1．设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左、右两个焦点，若PF 1＝9，则PF 2等于________．解析：由题意知PF 1＝9＜a ＋c ＝10，所以P 点在双曲线的左支，则有PF 2－PF 1＝2a ＝8，故PF 2＝PF 1＋8＝17.答案：172．若a ＞1，则双曲线x 2a 2－y 2＝1的离心率的取值范围是________．解析：由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a .即e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2.因为a ＞1，所以0＜1a2＜1，所以1＜1＋1a2＜2，所以1＜e ＜ 2.答案：(1，2)3．离心率为3，且经过(－3，2)的双曲线的标准方程为________．解析：当双曲线的焦点在x 轴上时，设方程为x 2a 2－y 2b2＝1.则有⎩⎪⎨⎪⎧ ca＝3，3a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝c 2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝2.所以所求双曲线的标准方程为x 2－y 22＝1. 当双曲线焦点在y 轴上时，设方程为y 2a 2－x 2b2＝1.则有⎩⎪⎨⎪⎧ca＝3，4a 2－3b 2＝1，a 2＋b 2＝c 2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝52，b 2＝5.所以所求双曲线的标准方程为y 252－x 25＝1. 答案：x 2－y 22＝1或y 252－x 25＝ 1考点一双曲线的标准方程基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．若方程x 2k －3＋y 2k ＋3＝1(k ∈R)表示双曲线，则k 的取值范围是________．解析：依题意可知(k －3)(k ＋3)＜0，解得－3＜k ＜3. 答案：(－3,3)2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的标准方程为________．解析：因为所求双曲线的右焦点为F 2(5,0)且离心率为e ＝c a ＝54，所以c ＝5，a ＝4，b2＝c 2－a 2＝9，所以所求双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.答案：x 216－y 29＝13．若以F 1(－3，0)，F 2(3，0)为焦点的双曲线过点(2,1)，则该双曲线的标准方程为________．解析：依题意，设题中的双曲线方程是x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－1b 2＝1，a 2＋b 2＝3，解得a 2＝2，b 2＝1.因此该双曲线的标准方程是x 22－y 2＝1.答案：x 22－y 2＝14．(2019·苏锡常镇调研)已知双曲线Γ过点(2，3)，且与双曲线x 24－y 2＝1有相同的渐近线，则双曲线Γ的标准方程为________．解析：依题意，设所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝λ，将点(2，3)的坐标代入，得1－3＝λ，∴λ＝－2，∴所求双曲线的方程为x 24－y 2＝－2，其标准方程为y 22－x 28＝1.答案：y 22－x 28＝1[谨记通法]求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值．考点二双曲线的定义重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2＝90°且AF 1＝3AF 2，则双曲线的离心率为________．解析：因为∠F 1AF 2＝90°，故AF 21＋AF 22＝F 1F 22＝4c 2，又AF 1＝3AF 2，且AF 1－AF 2＝2a ，故10a 2＝4c 2，故c 2a 2＝52，故e ＝c a ＝102. 答案：1022．(2018·海门中学检测)已知双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点．若PF 1＝43PF 2，则△F 1PF 2的面积为________．解析：由双曲线的定义可得PF 1－PF 2＝13PF 2＝2a ＝2，解得PF 2＝6，故PF 1＝8，又F 1F 2＝10，由勾股定理可知三角形PF 1F 2为直角三角形，因此S △PF 1F 2＝12PF 1·PF 2＝24.答案：24[由题悟法]应用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．[即时应用]1．设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得PF 1＋PF 2＝3b ，PF 1·PF 2＝94ab ，则该双曲线的离心率为________．解析：由题设条件得PF 1＋PF 2＝3b ，由双曲线的定义得|PF 1－PF 2|＝2a ，两个式子平方相减得PF 1·PF 2＝9b 2－4a 24，则9b 2－4a 24＝94ab ，整理得(3b －4a )·(3b ＋a )＝0，即b a ＝43，所以e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝53. 答案：532．设双曲线x 24－y 22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交双曲线左支于A ，B两点，则BF 2＋AF 2的最小值为________．解析：由双曲线的标准方程为x 24－y 22＝1，得a ＝2，由双曲线的定义可得AF 2－AF 1＝4，BF 2－BF 1＝4，所以AF 2－AF 1＋BF 2－BF 1＝8. 因为AF 1＋BF 1＝AB ，当AB 是双曲线的通径时，AB 最小，所以(AF 2＋BF 2)min ＝AB min ＋8＝2b2a＋8＝10.答案：10考点三双曲线的几何性质题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]双曲线的几何性质是高考命题的热点．常见的命题角度有：(1)求双曲线的离心率或范围； (2)求双曲线的渐近线方程； (3)双曲线性质的应用．[题点全练]角度一：求双曲线的离心率或范围1．(2018·海安高三质量测试)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的离心率为________．解析：由题意知b a＝3，即b 2＝3a 2，所以c 2＝a 2＋b 2＝4a 2，所以e ＝c a＝2. 答案：22．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．解析：双曲线的右顶点为A (a,0)，设点M ，N 在渐近线y ＝bax ，即bx －ay ＝0上，则圆心A 到此渐近线的距离d ＝|ba －a ×0|b 2＋a 2＝abc .又因为∠MAN ＝60°，圆的半径为b ，所以b ·sin60°＝ab c，即3b 2＝ab c ，所以e ＝23＝233. 答案：233角度二：求双曲线的渐近线方程3．(2019·徐州调研)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为10，则双曲线C的渐近线方程为________．解析：∵双曲线C 的离心率为10，∴e ＝c a＝10，则c 2＝10a 2＝a 2＋b 2，得b 2＝9a 2，即b ＝3a ，则双曲线C 的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±3x .答案：y ＝±3x角度三：双曲线性质的应用4．已知点F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任意一点，若PF 21PF 2的最小值为9a ，则双曲线的离心率为________．解析：在双曲线中，P 为右支上一点，则PF 1＝PF 2＋2a ，则PF 21PF 2＝PF 2＋2a2PF 2＝PF 2＋4a2PF 2＋4a ≥24a 2＋4a ＝8a (当且仅当PF 2＝2a 时取等号)，因为已知⎝ ⎛⎭⎪⎫PF 21PF 2min ＝9a ，故PF 2≠2a ，在双曲线右支上点P 满足(PF 2)min ＝c －a ，则c －a ＞2a ，即c ＞3a ，故e ＞3，又由PF 21PF 2≥9a ，即c ＋a 2c －a≥9a 可得e ≤2或e ≥5，综上可得，e ≥5，故当PF 21PF 2取最小值9a 时，e ＝5.答案：5[通法在握]与双曲线几何性质有关问题的解题策略(1)求双曲线的离心率(或范围)．依据题设条件，将问题转化为关于a ，c 的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得．(2)求双曲线的渐近线方程．依据题设条件，求双曲线中a ，b 的值或a 与b 的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．(3)求双曲线的方程．依据题设条件，求出a ，b 的值或依据双曲线的定义，求双曲线的方程．(4)求双曲线焦点(焦距)、实虚轴的长．依题设条件及a ，b ，c 之间的关系求解．[演练冲关]1．(2019·通州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的四个顶点都在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上，若双曲线的焦点在正方形的外部，则该双曲线的离心率的取值范围是________．解析：由题意，可设正方形与双曲线的某个交点为A (m ，m )，则双曲线m 2a 2－m 2b 2＝1，可得m 2＝a 2b 2b 2－a2＜c 2，即c 2b 2－c 2a 2＞a 2b 2，又c 2＝b 2＋a 2，化简可得c 4－3c 2a 2＋a 4＞0，即e 4－3e 2＋1＞0，又e ＞1，解得e ＞1＋52，故该双曲线的离心率的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，＋∞.答案：⎝⎛⎭⎪⎫1＋52，＋∞2．(2018·无锡调研)双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为54，焦点到渐近线的距离为3，则C 的实轴长等于________．解析：因为e ＝c a ＝54，所以c ＝54a ，设双曲线的一条渐近线方程为y ＝abx ，即ax －by ＝0，焦点为(0，c )，所以bc a 2＋b2＝b ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2516a 2－9，所以a 2＝16，即a ＝4，故2a ＝8.答案：83．(2018·盐城二模)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，直线y ＝43x 与双曲线相交于A ，B 两点．若AF ⊥BF ，则双曲线的渐近线方程为________．解析：由题意可知，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F (c,0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43x ，x 2a 2－y2b 2＝1，整理得(9b 2－16a 2)x 2＝9a 2b 2，即x 2＝9a 2b29b 2－16a2，∴A 与B 关于原点对称，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，43x ，B ⎝⎛⎭⎪⎫－x ，－43x ，则FA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －c ，43x ，FB ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －c ，－43x ，∵AF ⊥BF ，∴FA ―→·FB ―→＝0，即(x －c )(－x －c )＋43x ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43x ＝0，整理得c 2＝259x 2，∴a 2＋b 2＝259×9a 2b29b 2－16a2，即9b 4－32a 2b 2－16a 4＝0， ∴(b 2－4a 2)(9b 2＋4a 2)＝0，∵a ＞0，b ＞0，∴9b 2＋4a 2≠0，∴b 2－4a 2＝0，故b ＝2a ， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±2x . 答案：y ＝±2x4．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1―→·PF 2―→的最小值为________．解析：由题可知A 1(－1,0)，F 2(2,0)．设P (x ，y )(x ≥1)，则PA 1―→＝(－1－x ，－y )，PF 2―→＝(2－x ，－y )，PA 1―→·PF 2―→＝(－1－x )(2－x )＋y 2＝x 2－x －2＋y 2＝x 2－x －2＋3(x 2－1)＝4x 2－x －5.因为x ≥1，函数f (x )＝4x 2－x －5的图象的对称轴为x ＝18，所以当x ＝1时，PA 1―→·PF 2―→取得最小值－2.答案：－2一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·滨湖月考)已知双曲线的渐近线方程为y ＝±23x ，实轴长为12，则该双曲线的标准方程为________________．解析：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±23x ，实轴长为12，∴当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，a ＞0，b ＞0，此时⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝23，2a ＝12，解得a ＝6，b ＝4，∴双曲线方程为x 236－y 216＝1.当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1，a ＞0，b ＞0，此时⎩⎪⎨⎪⎧a b ＝23，2a ＝12，解得a ＝6，b ＝9，∴双曲线方程为y 236－x 281＝1.答案：x 236－y 216＝1或y 236－x 281＝12．已知双曲线x 2＋my 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m 的值是________．解析：依题意得m ＜0，双曲线方程是x 2－y 2－1m＝1，于是有－1m ＝2×1，m ＝－14. 答案：－143．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为________．解析：由条件e ＝3，即c a ＝3，得c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝3，所以ba＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x . 答案：y ＝±2x4．(2018·苏州高三暑假测试)双曲线x 2m－y 2＝1(m ＞0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，则m ＝________.解析：因为双曲线的右焦点为(m ＋1，0)，抛物线的焦点为(2,0)，所以m ＋1＝2，解得m ＝3.答案：35．(2019·常州一中检测)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m2－y 2＝1(m ＞0)的一条渐近线方程为x －3y ＝0，则实数m 的值为________．解析：∵双曲线x 2m2－y 2＝1(m ＞0)的渐近线方程为x ±my ＝0，已知其中一条渐近线方程为x －3y ＝0，∴m ＝ 3. 答案： 36．(2018·苏北四市摸底)已知双曲线x 2－y 2m2＝1(m ＞0)的一条渐近线方程为x ＋3y ＝0，则实数m ＝________.解析：双曲线x 2－y 2m2＝1(m ＞0)的渐近线为y ＝±mx ，又因为该双曲线的一条渐近线方程为x ＋3y ＝0，所以m ＝33. 答案：33二保高考，全练题型做到高考达标1．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为________．解析：由渐近线互相垂直可知⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ·b a＝－1，即a 2＝b 2，即c 2＝2a 2，即c ＝2a ，所以e ＝ 2.答案： 22．(2018·常州期末) 双曲线x 24－y 212＝1的右焦点与左准线之间的距离是________．解析：因为a 2＝4，b 2＝12，所以c 2＝16，即右焦点为(4,0)，又左准线为x ＝－a 2c＝－1，故右焦点到左准线的距离为5.答案：53．(2018·南京学情调研)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 2a 2－y 24＝1(a ＞0)的一条渐近线与直线y ＝2x ＋1平行，则实数a ＝________.解析：由双曲线的方程可知其渐近线方程为y ＝±2ax .因为一条渐近线与直线y ＝2x ＋1平行，所以2a＝2，解得a ＝1.答案：14．已知直线l 与双曲线C ：x 2－y 2＝2的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若AB 的中点在该双曲线上，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为________．解析：由题意得，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±x ，设A (x 1，x 1)，B (x 2，－x 2)，所以AB 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，x 1－x 22，所以⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－x 222＝2，即x 1x 2＝2，所以S △AOB ＝12OA ·OB ＝12|2x 1|·|2x 2|＝x 1x 2＝2.答案：25．(2018·镇江期末)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点到相应准线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为________．解析：由题意c －a 2c ＝2a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－2·c a －1＝0，e 2－2e －1＝0，解得e ＝1± 2.又因为双曲线的离心率大于1，故双曲线的离心率为1＋ 2. 答案：1＋ 26．(2019·连云港调研)渐近线方程为y ＝±2x ，一个焦点的坐标为(10，0)的双曲线的标准方程为________．解析：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，∴设双曲线方程为x 2－y 24＝λ(λ≠0)，∵一个焦点的坐标为(10，0)，∴(10)2＝λ＋4λ，解得λ＝2，∴双曲线的标准方程为x 22－y 28＝1.答案：x 22－y 28＝17．(2019·淮安模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一个焦点与圆x 2＋y 2－10x ＝0的圆心重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的标准方程为________．解析：将圆x 2＋y 2－10x ＝0化成标准方程，得(x －5)2＋y 2＝25，则圆x 2＋y 2－10x ＝0的圆心为(5,0)．∴双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点为F (5,0)，又该双曲线的离心率等于5，∴c ＝5，且ca＝5，∴a 2＝5，b 2＝c 2－a 2＝20，故该双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1.答案：x 25－y 220＝18．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且PF 1＝4PF 2，则双曲线的离心率e 的最大值为________．解析：由双曲线定义知PF 1－PF 2＝2a ，又已知PF 1＝4PF 2，所以PF 1＝83a ，PF 2＝23a ，在△PF 1F 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a ＝178－98e 2，要求e 的最大值，即求cos ∠F 1PF 2的最小值，因为cos ∠F 1PF 2≥－1，所以cos ∠F 1PF 2＝178－98e 2≥－1，解得e ≤53，即e 的最大值为53.答案：539．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)，点M (3，m )在双曲线上．(1)求双曲线的方程； (2)求证：MF 1―→·MF 2―→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积．解：(1)因为e ＝2，则双曲线的实轴、虚轴相等．所以可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. 因为双曲线过点(4，－10)，所以16－10＝λ，即λ＝6. 所以双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：设MF 1―→＝(－23－3，－m )， MF 2―→＝(23－3，－m )．所以MF 1―→·MF 2―→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2，因为M 点在双曲线上，所以9－m 2＝6，即m 2－3＝0，所以MF 1―→·MF 2―→＝0.(3)因为△F 1MF 2的底边长F 1F 2＝4 3. 由(2)知m ＝± 3.所以△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，所以S △F 1MF 2＝12×43×3＝6.10．(2018·启东中学检测)已知双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，一条渐近线方程为2x ＋y ＝0，且焦点到这条渐近线的距离为1.(1)求此双曲线的方程； (2)若点M ⎝⎛⎭⎪⎫55，m 在双曲线上，求证：点M 在以F 1F 2为直径的圆上．解：(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ab＝2，2×0＋c5＝1，a 2＋b 2＝c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故双曲线的方程为y 24－x 2＝1.(2)证明：因为点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫55，m 在双曲线上，所以m 24－15＝1.所以m 2＝245，又双曲线y 24－x 2＝1的焦点为F 1(0，－5)，F 2(0，5)，所以MF 1―→·MF 2―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－55，－5－m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－55，5－m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫552－(5)2＋m 2＝15－5＋245＝0，所以MF 1⊥MF 2，所以点M 在以F 1F 2为直径的圆上．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 29－y 2m＝1的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为________．解析：∵双曲线的两条渐近线的夹角为60°，且渐近线关于x ，y 轴对称，若夹角在x 轴上，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为30°，150°，斜率为±33，故b a ＝33. ∵c 2＝a 2＋b 2，∴c 2－a 2a 2＝13，即e 2－1＝13，解得e ＝233.若夹角在y 轴上，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为60°，120°，斜率为±3，故b a＝ 3.同理可求得e ＝2.综上，e ＝233或2.答案：233或22．(2018·南通中学高三数学练习)已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是________．解析：由题意得F (－c,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2a ，E (a ，0)．因为△ABE 是锐角三角形，所以EA ―→·EB ―→＞0，即EA ―→·EB ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－c －a ，b 2a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－c －a ，－b 2a ＞0.整理，得3e2＋2e ＞e 4.所以e 3－e －2e －2＝e (e ＋1)(e －1)－2(e ＋1)＝(e ＋1)2(e －2)＜0，解得0＜e ＜2.又e ＞1，所以e ∈(1,2)．答案：(1,2)3．已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点，O 为坐标原点．(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA ―→·OB ―→＞2，求k 的取值范围．解：(1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则a 2＝4－1＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1，故双曲线C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝－62k2＋－3k2＝－k2＞0，所以k 2＜1且k 2≠13.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k2.所以x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1. 又因为OA ―→·OB ―→＞2，即x 1x 2＋y 1y 2＞2，所以3k 2＋73k 2－1＞2，即－3k 2＋93k 2－1＞0，解得13＜k 2＜3.②由①②得13＜k 2＜1，故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1.。

2021届高考数学一轮复习第九章解析几何9.3圆的方程教学案新人教B版

9.3 圆的方程考纲要求掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与圆的一般方程．1．圆的定义在平面内，到____的距离等于____的点的____叫做圆．确定一个圆最基本的要素是____和____． 2．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，其中______为圆心，____为半径长．特别地，当圆心在原点时，圆的方程为________． 3．圆的一般方程对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.(1)当____________时，表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，半径长为12D 2＋E 2－4F 的圆；(2)当____________时，表示一个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2； (3)当____________时，它不表示任何图形；(4)二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧① ，② ，③ .4．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，点M (x 0，y 0)， (1)点在圆上：____________________； (2)点在圆外：____________________； (3)点在圆内：____________________.1．方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是( )． A.14＜m ＜1 B ．m ＞1 C ．m ＜14 D ．m ＜14或m ＞1 2．圆心在y 轴上，半径为1且过点(－1,2)的圆的方程为( )．A ．x 2＋(y －3)2＝1B ．x 2＋(y －2)2＝1C ．(x －2)2＋y 2＝1D ．(x ＋2)2＋y 2＝13．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( )． A ．－1＜a ＜1 B ．0＜a ＜1 C ．a ＞1或a ＜－1 D ．a ＝±14．圆心在原点且与直线x ＋y －2＝0相切的圆的方程为__________．5．圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0的圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝__________.一、求圆的方程【例1－1】圆心在y 轴上且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( )．A ．x 2＋y 2＋10y ＝0B ．x 2＋y 2－10y ＝0C ．x 2＋y 2＋10x ＝0D ．x 2＋y 2－10x ＝0【例1－2】已知A (0,1)，B (2,1)，C (3,4)，D (－1,2)，问这四点能否在同一个圆上？为什么？方法提炼常见的求圆的方程的方法有两种：一是利用圆的几何特征，求出圆心坐标和半径长，写出圆的标准方程；二是利用待定系数法，它的应用关键是根据已知条件选择标准方程还是一般方程．如果给定的条件易求圆心坐标和半径长，则选用标准方程求解；如果所给条件与圆心、半径关系不密切或涉及圆上多点，常选用一般方程求解．请做演练巩固提升1二、与圆有关的最值问题【例2】若实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，则yx ＋1的最大值为__________，最小值为__________．方法提炼处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：(1)形如μ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．请做演练巩固提升3三、与圆有关的轨迹问题【例3】如下图所示，圆O 1和圆O 2的半径长都等于1，|O 1O 2|＝4.过动点P 分别作圆O 1，圆O 2的切线PM ，PN (M ，N 为切点)，使得|PM |＝2|PN |.试建立平面直角坐标系，并求动点P 的轨迹方程．方法提炼1．解答与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：直接法——直接根据题目提供的条件列出方程；定义法——根据圆、直线等定义列方程；几何法——利用圆的几何性质列方程；代入法——找到所求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．2．求与圆有关的轨迹问题时，题目的设问有两种常见形式，作答也应有不同：若求轨迹方程，把方程求出化简即可；若求轨迹，则必须根据轨迹方程，指出轨迹是什么样的曲线．请做演练巩固提升4易忽视斜率不存在的直线而致误【典例】 (12分)从圆(x －1)2＋(y －1)2＝1外一点P (2,3)向该圆引切线，求切线方程．规范解答：当切线斜率存在时，设切线方程为y －3＝k (x －2)，即kx －y ＋3－2k ＝0.(2分)∵圆心为(1,1)，半径长r ＝1， ∴|k －1＋3－2k |k 2＋－12＝1，∴k ＝34.(6分) ∴所求切线方程为y －3＝34(x －2)，即3x －4y ＋6＝0.(8分)当切线斜率不存在时，因为切线过点P (2,3)，且与x 轴垂直，此时切线的方程为x ＝2. 综上，所求切线方程为x ＝2或3x －4y ＋6＝0.(12分)答题指导：求圆的切线方程，一般设为点斜式方程．首先判断点是否在圆上，如果过圆上一点，则有且只有一条切线，如果过圆外一点，则有且只有两条切线．若利用点斜式方程求得过圆外一点的切线只有一条，则需结合图形把斜率不存在的那条切线补上．1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )．A．(2,3) B．(－2,3)C．(－2，－3) D．(2，－3)2．(2012安徽高考)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )．A．[－3，－1] B．[－1,3]C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)3．平移直线x－y＋1＝0使其与圆(x－2)2＋(y－1)2＝1相切，则平移的最短距离为( )．A.2－1 B．2－ 2C. 2D.2－1与2＋14．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( )．A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝15．如果实数x，y满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求x＋y的最大值与最小值．参考答案基础梳理自测知识梳理1．定点定长集合圆心半径2．(a ，b ) r x 2＋y 2＝r 23．(1)D 2＋E 2－4F ＞0 (2)D 2＋E 2－4F ＝0 (3)D 2＋E 2－4F ＜0 (4)①A ＝C ≠0②B ＝0 ③D 2＋E 2－4AF ＞04．(1)(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2(2)(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2(3)(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2基础自测1．D 解析：方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是(4m )2＋(－2)2－4×5m＞0，即m ＜14或m ＞1.2．B 解析：设圆心(0，b )，半径为r ，则r ＝1.∴x 2＋(y －b )2＝1.又圆过点(－1,2)，代入得b ＝2，∴圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.3．A 解析：∵点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，∴(1－a )2＋(1＋a )2＜4，即－1＜a ＜1.4．x 2＋y 2＝2 解析：设圆的方程为x 2＋y 2＝a 2(a ＞0)，由|－2|1＋1＝a ，∴a ＝ 2.∴x 2＋y 2＝2.5．3 解析：圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0的圆心为C (1,2)，所以圆心C 到直线的距离为 |3×1＋4×2＋4|32＋42＝155＝3. 考点探究突破【例1－1】 B 解析：设圆心为(0，b )，半径为R ，则R ＝|b |，∴圆的方程为x 2＋(y －b )2＝b 2. ∵点(3,1)在圆上，∴9＋(1－b )2＝b 2，解得b ＝5.∴圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.【例1－2】解：设经过A ，B ，C 三点的圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋(1－b )2＝r 2，(2－a )2＋(1－b )2＝r 2，(3－a )2＋(4－b )2＝r 2，解此方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，r 2＝5.所以，经过A ，B ，C 三点的圆的标准方程是(x －1)2＋(y －3)2＝5.把点D 的坐标(－1,2)代入上面方程的左边，得(－1－1)2＋(2－3)2＝5.所以，点D 在经过A ，B ，C 三点的圆上，故A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上，圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝5.【例2】 22 －22 解析：∵y x ＋1＝y －0x －(－1)，∴yx ＋1表示过点P (－1,0)与圆(x －2)2＋y 2＝3上的点(x ，y )的直线的斜率．由图象知yx ＋1的最大值和最小值分别是过P 与圆相切的直线PA ，PB 的斜率．又∵k PA ＝|CA ||PA |＝36＝22，k PB ＝－|CB ||PB |＝－36＝－22，即yx ＋1的最大值为22，最小值为－22. 【例3】解：以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则O 1(－2,0)，O 2(2,0)．由已知|PM |＝2|PN |，得|PM |2＝2|PN |2. 因为两圆的半径长均为1，所以|PO 1|2－1＝2(|PO 2|2－1)．设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2－1＝2[(x －2)2＋y 2－1]，化简，得(x －6)2＋y 2＝33，所以所求轨迹方程为(x －6)2＋y 2＝33. 演练巩固提升1．D 解析：∵D ＝－4，E ＝6， ∴圆心坐标为(2，－3)．2．C 解析：由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2， ∴|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.3．A 解析：如图，圆心(2,1)到直线l 0：x －y ＋1＝0的距离d ＝|2－1＋1|2＝2，圆的半径为1，则直线l 0与l 1的距离为2－1，所以平移的最短距离为2－1.4．A 解析：设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，则x 02＋y 02＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.代入x 02＋y 02＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.5．解：设x ＋y ＝b ，则y ＝－x ＋b ，由图知，当直线与圆C 相切时，截距b 取最值．而圆心C 到直线y ＝－x ＋b 的距离为d ＝|6－b |2.因为当|6－b |2＝6，即b ＝6±23时，直线y ＝－x ＋b 与圆C 相切，所以x ＋y 的最大值与最小值分别为6＋23与6－2 3.。

高考数学一轮复习第九章解析几何9.6双曲线教学案理新人教A版

9.6 双曲线考纲要求1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单几何性质． 2．理解数形结合的思想．3．了解双曲线的简单应用，了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．1．双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做______．这两个定点叫做双曲线的____，两焦点间的距离叫做双曲线的____．≥a 或x ≤－a ，y ∈∈R ，y ≤－a 或y ≥对称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标：A 1____，A 2顶点坐标：A 1____，A 2y ＝____1．双曲线x216－y29＝1的焦距为( )．A ．10B.7C ．27D ．52．设F 1，F 2是双曲线x 2－y224＝1的两焦点，P 是双曲线上一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )．A ．4 2B ．8 3C ．24D ．483．设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )．A ．4B ．3C ．2D ．14．若双曲线x 2a2－y 2b2＝1的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )．A. 5B ．5C. 2D ．25．(2013届广东深圳南头中学高三12月月考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于3，则该双曲线的标准方程为( )．A.x 23－y 26＝1B.x 212－y 224＝1C.x 227－y 218＝1D.y 218－x 227＝1 6．已知双曲线x 2a －y 22＝1的一个焦点坐标为(－3，0)，则其渐近线方程为__________．一、双曲线的定义及应用【例1－1】已知定点A (0,7)，B (0，－7)，C (12,2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，求另一焦点F 的轨迹方程．【例1－2】 △PF 1F 2的顶点P 在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上，F 1，F 2是双曲线的焦点，且∠F 1PF 2＝θ.求△PF 1F 2的面积S .方法提炼1．求点的轨迹方程时，首先要根据给定条件，探求轨迹的曲线类型．若能确定是哪种曲线，则用待定系数法求得相应方程，这种做法可以减少运算量，提高解题速度与质量．在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支．若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．2．在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义是经常使用的知识点．另外，还经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立它与|PF 1||PF 2|的联系．请做演练巩固提升4二、求双曲线的标准方程【例2】根据下列条件，求双曲线方程：(1)与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，且过点(－3,23)；(2)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．方法提炼求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可．请做演练巩固提升2 三、双曲线的几何性质【例3】 (2012重庆高考)设P 为直线y ＝b 3a x 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)左支的交点，F 1是左焦点，PF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝__________.方法提炼根据双曲线的特点，考查较多的几何性质就是双曲线的离心率和渐近线．求离心率或离心率的取值范围的方法通常是根据条件列出关于a ，c 的齐次方程或不等式，然后再转化成关于e 的方程或不等式求解．求渐近线方程的关键是分清两种位置下的双曲线所对应的渐近线方程．请做演练巩固提升1莫忽略对轨迹中x 范围的界定【典例】 (12分)(2012四川高考)如图，动点M 与两定点A (－1,0)，B (1,0)构成△MAB ，且直线MA ，MB 的斜率之积为4.设动点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程；(2)设直线y ＝x ＋m (m ＞0)与y 轴相交于点P ，与轨迹C 相交于点Q ，R ，且|PQ |＜|PR |，求|PR ||PQ |的取值范围．规范解答：(1)设M 的坐标为(x ，y )，当x ＝－1时，直线MA 的斜率不存在；当x ＝1时，直线MB 的斜率不存在．于是x ≠1且x ≠－1.此时，MA 的斜率为y x ＋1，MB 的斜率为yx －1. 由题意，有y x ＋1·yx －1＝4，(3分)化简可得4x 2－y 2－4＝0.故动点M 的轨迹C 的方程为4x 2－y 2－4＝0(x ≠1且x ≠－1)．(4分)(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，4x 2－y 2－4＝0消去y ，可得3x 2－2mx －m 2－4＝0.(*) 对于方程(*)，其判别式Δ＝(－2m )2－4×3(－m 2－4)＝16m 2＋48＞0，而当1或－1为方程(*)的根时，m 的值为－1或1.(6分)结合题设(m ＞0)可知，m ＞0，且m ≠1. 设Q ，R 的坐标分别为(x Q ，y Q )，(x R ，y R )，则x Q ，x R 为方程(*)的两根．因为|PQ |＜|PR |，所以|x Q |＜|x R |，x Q ＝m －2m 2＋33，x R ＝m ＋2m 2＋33.所以|PR ||PQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x R x Q ＝21＋3m2＋121＋3m2－1＝1＋221＋3m2－1.(9分)此时1＋3m2＞1，且1＋3m2≠2，所以1＜1＋221＋3m 2－1＜3，且1＋221＋3m2－1≠53，所以1＜|PR ||PQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x R x Q ＜3，且|PR ||PQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x R x Q ≠53.(11分)综上所述，|PR ||PQ |的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53∪⎝ ⎛⎭⎪⎫53，3.(12分)答题指导：(1)区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中的a ，b ，c 大小关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.(2)双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e ∈(0,1)．(3)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程是y ＝±abx .(4)若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况．(5)直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．1．(2012浙江高考)如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点．若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )．A ．3B ．2C. 3D. 22．已知双曲线x 2a2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )．A.x 25－y 24＝1B.x 24－y 25＝1 C.x 23－y 26＝1 D.x 26－y 23＝1 3．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1||PF 2|＝( )．A ．2B ．4C ．6D ．84．(2012天津高考)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与双曲线C 2：x 24－y 216＝1有相同的渐近线，且C 1的右焦点为F (5，0)，则a ＝__________， b ＝__________.5．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞1，b ＞0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线的离心率e 的取值范围．参考答案基础梳理自测知识梳理1．双曲线焦点焦距2．(－a,0) (a,0) (0，－a ) (0，a ) ±b a x ±a bx 实轴 2a 虚轴 2b a b 基础自测1．A 解析：∵c 2＝16＋9＝25， ∴c ＝5,2c ＝10.2．C 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧3|PF 1|＝4|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6. 又|F 1F 2|＝10，∴△PF 1F 2是直角三角形．∴S ＝12×6×8＝24.3．C 解析：由渐近线方程可知b a ＝32，所以a ＝23b ＝23×3＝2.4．A 解析：焦点(c,0)到渐近线y ＝b ax 的距离为bca 2＋b 2＝2a ，则b ＝2a . 又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2.∴离心率e ＝c a＝ 5.5．y ＝±2x 解析：∵焦点坐标为(－3，0)， ∴a ＞0且a ＋2＝3，∴a ＝1.∴双曲线方程为x 2－y 22＝1，渐近线方程为y ＝±2x .考点探究突破【例1－1】解：设F (x ，y )为轨迹上的任意一点，因为A ，B 两点在以C ，F 为焦点的椭圆上，所以|FA |＋|CA |＝2a ，|FB |＋|CB |＝2a (其中a 表示椭圆的长半轴长)．所以|FA |＋|CA |＝|FB |＋|CB |. 所以|FA |－|FB |＝|CB |－|CA |＝122＋92－122＋(－5)2＝2，即|FA |－|FB |＝2.由双曲线的定义知，F 点在以A ，B 为焦点，2为实轴长的双曲线的下半支上．所以点F 的轨迹方程是y 2－x 248＝1(y ≤－1)．【例1－2】解：设双曲线的左焦点为F 1，右焦点为F 2，如图所示．由双曲线的定义知||PF 1|－|PF 2||＝2a . 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos θ＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2－|F 1F 2|2＋2|PF 1||PF 2|2|PF 1||PF 2|＝4a 2－4c 22|PF 1||PF 2|＋1 ＝－2b 2|PF 1||PF 2|＋1， ∴|PF 1||PF 2|＝2b21－cos θ.在△F 1PF 2中，由正弦定理，得S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin θ＝sin θ1－cos θ·b 2. 【例2】解：(1)设所求双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)，将点(－3,23)代入得λ＝14，∴所求双曲线方程为x 29－y 216＝14，即x 294－y 24＝1. (2)设双曲线方程为x 216－k －y 24＋k ＝1，将点(32，2)代入得k ＝4(k ＝－14舍去)． ∴所求双曲线方程为x 212－y 28＝1.【例3】 324 解析：因为F 1为左焦点，PF 1垂直于x 轴，所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－c ，－bc 3a .又因为P 点为直线与双曲线的交点，所以c 2a 2－b 2c 29a 2b 2＝1，即89e 2＝1，所以e ＝324.演练巩固提升1．B 解析：由题意可知椭圆的长轴长2a 1是双曲线实轴长2a 2的2倍，即a 1＝2a 2，而椭圆与双曲线有相同的焦点．故离心率之比为c a 2c a 1＝a 1a 2＝2.2．A 解析：由题意得，x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线方程为y ＝±bax ，即bx ±ay＝0.又圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，半径长为2，圆心坐标为(3,0)．∴a 2＋b 2＝32＝9，且|3b |a 2＋b2＝2，解得a 2＝5，b 2＝4.∴该双曲线的方程为x 25－y 24＝1.3．B 解析：不妨设点P 在双曲线C 的右支上，由双曲线的定义得： |PF 1|－|PF 2|＝2.两边平方得|PF 1|2－2|PF 1||PF 2|＋|PF 2|2＝4.① 在△PF 1F 2中，cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|，即|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1||PF 2|＝8，② 由①②可解得|PF 1||PF 2|＝4.4．1 2 解析：∵C 1与C 2的渐近线相同，∴b a＝2.又C 1的右焦点为F (5，0)，∴c ＝5，即a 2＋b 2＝5. ∴a 2＝1，b 2＝4，∴a ＝1，b ＝2.5．解：直线l 的方程为x a ＋yb＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点(1,0)到直线l 的距离d 1＝b (a －1)a 2＋b 2. 同理得到点(－1,0)到直线l 的距离d 2＝b (a ＋1)a 2＋b2.∴s ＝d 1＋d 2＝2ab a 2＋b2＝2abc . 由s ≥45c ，得2ab c ≥45c ，即5a c 2－a 2≥2c 2.于是得5e 2－1≥2e 2，即4e 4－25e 2＋25≤0.解不等式，得54≤e 2≤5.由于e ＞1，∴离心率e 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，5.。

高考数学一轮总复习第九章平面解析几何第六节双曲线课件

cm,则|AD|=(
A.12 10 cm
B.6 38 cm
C.38 cm
D.6 37 cm
)
答案 (1)B
(2)D
解析(1)由题可知 a2=3-m,b2=m,所以 c= 3.
1
因为|OP|=2|F1F2|,所以
PF1⊥PF2.
又∠PF1F2=30°,所以|PF1|=3,|PF2|= 3,
所以由双曲线的定义可知|PF1|-|PF2|=3- 3=2 3-,解得
3 3
m= 2 .故选
B.
(2)以双曲线的对称中心为坐标原点,建立平面直角坐标系xOy,如图所示.
因为双曲线的离心率为2,
2
所以可设双曲线的方程为 2

依题意可得 2a=30,则
−
2
=1(a>0).
2
3
2
a=15,即双曲线的方程为152
因为|AB|=36 cm,所以 A 的纵坐标为 18.
1 2
)
2.(多选)已知双曲线
2
C:12
−
A.实轴长是虚轴长的 2 倍
B.焦距为 8
C.离心率为 3
D.渐近线方程为 x± 3y=0
2
=1,下列对双曲线
4
C 的判断正确的是(
)
答案 BD
解析由双曲线
2
C:12
−
2
=1,可得
4
a2=12,b2=4,则 c2=a2+b2=16,
所以 a=2 3,b=2,c=4.所以选项 A 不正确,选项 B 正确;
当2a>|F1F2|时,动点的轨迹不存在;
当2a=0时,动点的轨迹是线段F1F2的中垂线.

新教材高考数学一轮复习第九章解析几何第六节双曲线课件新人教B版

)
A．2
B．
6 2
C．
5 2
D．1
【解析】选D.由题意得e＝
a2＋3 a
＝2，
所以 a2＋3 ＝2a，
所以a2＋3＝4a2，所以a2＝1，所以a＝1.
4．设P是双曲线1x62 －2y02 ＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________．
【解析】由题意知|PF1|＝9＜a＋c＝10，所以P点在双曲线的左支，则有|PF2|－|PF1|＝2a＝8，故|PF2|＝|PF1|＋8＝17. 答案：17
A．
22，0
C．
26，0
B．
25，012 －y12 ＝1， 2
所以a2＝1，b2＝12 ，所以c2＝a2＋b2＝32 ，
所以右焦点坐标为
26，0
.
2．以椭圆x42 ＋y32 ＝1 的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为(
)
A．x2－y32 ＝1
C．焦点在 x 轴上的双曲线
D．焦点在 y 轴上的双曲线
(2)已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，
则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A．x22 －1y42 ＝1(x≥ 2 ) C．x22 ＋1y42 ＝1(x≥ 2 )
B．x22 －1y42 ＝1(x≤－ 2 ) D．x22 ＋1y42 ＝1(x≤－ 2 )
2 ).
(3)选C.由题意可知C3，C2的圆心分别是双曲线C1：1x62 －y92 ＝1的左、右焦点，点P在双曲线的左支上，则|PC2|－|PC3|＝8. |PQ|max＝|PC2|＋1，|PR|min＝|PC3|－1，所以|PQ|－|PR|的最大值为(|PC2|＋1)－(|PC3|－1)＝|PC2|－|PC3|＋2＝8＋2＝10.

2021解析几何—双曲线教学案高三数学一轮复习

双曲线 [基本知识]1．双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a ＞0，c ＞0.(1)当2a ＜|F1F2|时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当2a ＝|F1F2|时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当2a ＞|F1F2|时，P 点不存在． 2．标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b ＞0)；(2)中心在坐标原点，焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b ＞0)．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．( )(2)在双曲线标准方程x2a2－y2b2＝1中，a ＞0，b ＞0且a ≠b.( ) (3)双曲线标准方程中，a ，b 的大小关系是a ＞b.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× 二、填空题1．已知F 为双曲线C ：x29－y216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．答案：44 2．经过点P(－3,27)和Q(－62，－7)，且焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是________．答案：y225－x275＝13．已知定点A ，B 且|AB|＝4，动点P 满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为________．答案：72[全析考法]考法一双曲线的定义及应用(1)在解决与双曲线的焦点有关的问题时，通常考虑利用双曲线的定义解题；(2)在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的“差的绝对值”，弄清是整个双曲线还是双曲线的某一支．[例1] (1)(2019·宁夏育才中学月考)设P是双曲线x216－y220＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于( ) A．1 B．17C．1或17 D．以上均不对(2)已知点P在曲线C1：x216－y29＝1上，点Q在曲线C2：(x－5)2＋y2＝1上，点R在曲线C3：(x＋5)2＋y2＝1上，则|PQ|－|PR|的最大值是( )A ．6B ．8C ．10D ．12[解析] (1)根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8⇒PF2＝1或17. 又|PF2|≥c －a ＝2，故|PF2|＝17，故选B.(2)由题意可知C3，C2的圆心分别是双曲线C1：x216－y29＝1的左、右焦点，点P 在双曲线的左支上，则|PC2|－|PC3|＝8.|PQ|max ＝|PC2|＋1，|PR|min ＝|PC3|－1，所以|PQ|－|PR|的最大值为(|PC2|＋1)－(|PC3|－1)＝|PC2|－|PC3|＋2＝8＋2＝10.故选C.[答案] (1)B (2)C [方法技巧]双曲线定义的主要应用方面(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．考法二双曲线的标准方程待定系数法求双曲线方程的5种类型[例2] (2018·天津高考)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为( )A.x24－y212＝1B.x212－y24＝1C.x23－y29＝1D.x29－y23＝1 [解析]法一：如图，不妨设A 在B 的上方，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b2a ，B ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b2a .又双曲线的一条渐近线为bx －ay ＝0，则d1＋d2＝bc －b2＋bc ＋b2a2＋b2＝2bc c ＝2b＝6，所以b ＝3.又由e ＝ca ＝2，知a2＋b2＝4a2，所以a ＝3.所以双曲线的方程为x23－y29＝1.法二：由d1＋d2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b ＝3.因为双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，所以ca＝2，所以a2＋b2a2＝4，所以a2＋9a2＝4，解得a2＝3，所以双曲线的方程为x23－y29＝1，故选C.[答案] C [方法技巧]求双曲线方程的思路(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x 轴上或y 轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a2，b2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)．(2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是设双曲线的一般方程为mx2＋ny2＝1(mn ＜0)求解．[集训冲关]1.[考法一]虚轴长为2，离心率e ＝3的双曲线的两焦点为F1，F2，过F1作直线交双曲线的一支于A ，B 两点，且|AB|＝8，则△ABF2的周长为( )A ．3B ．16＋2C．12＋ 2 D．24解析：选B∵2b＝2，e＝ca＝3，∴b＝1，c＝3a，∴9a2＝a2＋1，∴a＝2 4 .由双曲线的定义知：|AF2|－|AF1|＝2a＝22，①|BF2|－|BF1|＝22，②①＋②得|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝2，又|AF1|＋|BF1|＝|AB|＝8，∴|AF2|＋|BF2|＝8＋2，则△ABF2的周长为16＋2，故选B.2.[考法二]设k＞1，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是()A．长轴在x轴上的椭圆B．长轴在y轴上的椭圆C．实轴在x轴上的双曲线D．实轴在y轴上的双曲线解析：选D ∵k＞1，∴1－k＜0，k2－1＞0，∴方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是实轴在y轴上的双曲线，故选D.3.[考法二]已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y＝±3x，则该双曲线的标准方程是( )A.7x216－y212＝1B.y23－x22＝1 C ．x2－y23＝1 D.3y223－x223＝1解析：选C 法一：当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线的标准方程是x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a2－9b2＝1，ba ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以该双曲线的标准方程为x2－y23＝1；当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程是y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧9a2－4b2＝1，ab ＝3，无解．故该双曲线的标准方程为x2－y23＝1，选C.法二：当其中的一条渐近线方程y ＝3x 中的x ＝2时，y ＝23＞3，又点(2,3)在第一象限，所以双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线的标准方程是x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a2－9b2＝1，ba ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以该双曲线的标准方程为x2－y23＝1，故选C.法三：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，即y 3＝±x ，所以可设双曲线的方程是x2－y23＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x2－y23＝1，故选C.突破点二双曲线的几何性质[基本知识] 标准方程x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)0) 图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线y＝±bax y＝±abx离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)a，b，c的关系c2＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)双曲线方程x2m2－y2n2＝λ(m ＞0，n ＞0，λ≠0)的渐近线方程是x2m2－y2n2＝0，即x m ±yn＝0.( ) (2)等轴双曲线的离心率等于2，且渐近线互相垂直．( )答案：(1)√ (2)√ 二、填空题1．双曲线x216－y29＝1的渐近线方程为________．答案：3x ±4y ＝02．若双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点坐标是(3,0)，则k ＝________. 答案：13．双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则离心率为________．答案：54或53[全析考法]考法一渐近线问题[例1] (1)(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( ) A ．y ＝±2x B ．y ＝±3xC ．y ＝±22xD ．y ＝±32x(2)(2019·郑州一中入学测试)已知抛物线x2＝8y 与双曲线y2a2－x2＝1(a ＞0)的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若|MF|＝5，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．5x ±3y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝0 [解析] (1)∵e ＝ca＝a2＋b2a＝3，∴a2＋b2＝3a2，∴b ＝2a.∴渐近线方程为y ＝±2x.(2)设点M(x0，y0)，则有|MF|＝y0＋2＝5，所以y0＝3，x20＝24，由点M(x0，y0)在双曲线y2a2－x2＝1上，得y20a2－x20＝1，即9a2－24＝1，解得a2＝925，所以双曲线y2a2－x2＝1的渐近线方程为y2a2－x2＝0，即3x ±5y ＝0，选B.[答案] (1)A (2)B [方法技巧] 求双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)或y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x2a2－y2b2＝0，得y ＝±ba x ；或令y2a2－x2b2＝0，得y ＝±ab x.反之，已知渐近线方程为y ＝±ba x ，可设双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ(a ＞0，b ＞0)．考法二离心率问题[例2] (1)(2018·全国卷Ⅲ)设F1，F2是双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF1|＝6|OP|，则C 的离心率为( )A.5B ．2C.3D.2(2)(2018·长春二测)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P 在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤53，2B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53 C ．(1,2] D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，＋∞[解析] (1)不妨设一条渐近线的方程为y ＝ba x ，则F2到y ＝b a x 的距离d ＝|bc|a2＋b2＝b.在Rt △F2PO 中，|F2O|＝c ，所以|PO|＝a ，所以|PF1|＝6a ，又|F1O|＝c ，所以在△F1PO 与Rt △F2PO 中，根据余弦定理得cos ∠POF1＝a2＋c2－6a22ac ＝－cos ∠POF2＝－ac，即3a2＋c2－(6a)2＝0，得3a2＝c2，所以e ＝ca＝3.(2)由双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a ，又|PF1|＝4|PF2|，所以|PF2|＝2a 3，由双曲线上的点到焦点的最短距离为c －a ，可得2a 3≥c －a ，解得c a ≤53，即e ≤53，又双曲线的离心率e ＞1，故该双曲线离心率的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53，故选B. [答案] (1)C (2)B [方法技巧]求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a ，b ，c 的值，由c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2直接求e.(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．[集训冲关]1.[考法一]已知双曲线y2m －x29＝1(m ＞0)的一个焦点在直线x ＋y ＝5上，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±34xB ．y ＝±43xC ．y ＝±223xD ．y ＝±324x解析：选B 由于双曲线y2m －x29＝1(m ＞0)的焦点在y 轴上，且在直线x ＋y ＝5上，直线x ＋y ＝5与y 轴的交点为(0,5)，所以c ＝5，m ＋9＝25，则m ＝16，则双曲线的方程为y216－x29＝1，则双曲线的渐近线方程为y ＝±43x.故选B. 2.[考法二]若a ＞1，则双曲线x2a2－y2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2)解析：选C 由题意得双曲线的离心率e ＝a2＋1a .即e2＝a2＋1a2＝1＋1a2.∵a ＞1，∴0＜1a2＜1，∴1＜1＋1a2＜2，∴1＜e ＜2. 3.[考法一、二](2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b＞0)的离心率为2，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为( )A. 2 B ．2 C.322D ．2 2解析：选D ∵e ＝ca ＝1＋b2a2＝2，∴ba＝1.∴双曲线的渐近线方程为x ±y ＝0.∴点(4,0)到C 的渐近线的距离d ＝42＝2 2. 4.[考法一、二]已知F1，F2是双曲线y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F1，F2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(2，＋∞)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)解析：选A 如图，不妨设F1(0，c)，F2(0，－c)，则过点F1与渐近线y ＝ab x 平行的直线为y ＝abx ＋c ，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a b x ＋c ，y ＝－ab x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－bc 2a ， y ＝c 2，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－bc 2a ，c 2.因为点M 在以线段F1F2为直径的圆x2＋y2＝c2内，故⎝ ⎛⎭⎪⎫－bc 2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＜c2，化简得b2＜3a2，即c2－a2＜3a2，解得ca ＜2，又双曲线的离心率e ＝ca ＞1，所以双曲线离心率的取值范围是(1,2)．故选A .。

2021版新高考数学一轮复习第九章9.6双曲线课件新人教B版

互相垂直.
(5)√.由已知 e12
c12 a2
a
2
a2
b
2
，e
2 2
c
2 2
b2
a2 b2 ，所以 1
b2
e12
1
e
2 2
a2 a2 b2
b2 a2 b2
1.
【易错点索引】
序号 1
2 3
易错警示
典题索引
不能熟练应用平面几何知识进行条件转化
考点一、T1
条件考虑不全,不能正确求解范围(例如本题容易漏掉Δ>0 考点二、T2 对k的限定)
题中|F1F2|=8,故本题中点的轨迹为两条射线.
(2)√.渐近线方程的求法即为令等式右边常数等于0,然后开方即得.
(3)√.易知双曲线 x2 －y2 =1与 x2 －y2 =λ(λ≠0)渐近线相同,且 x2 －y2
mn
mn
mn
=λ(λ≠0)可表示渐近线为y=± n x的任意双曲线.
m
(4)√.因为是等轴双曲线,所以a=b,c= 2 a,离心率等于 2 ,渐近线方程为y=±x,
2.双曲线的标准方程与几何性质
【常用结论】 1.双曲线中的几个常用结论 (1)焦点到渐近线的距离为b. (2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线. (3)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e= 2 ⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系).
(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为 2b2 .
(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与双曲线C相交； Δ=0⇔直线与双曲线C相切；Δ<0⇔直线与双曲线C相离. (2)当a=0，b≠0时，即得到的是一次方程，则直线l与双曲线C相交，且只有一个交点，此时，直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行.

2021届高三新高考数学复习教学案：第九章第6节双曲线

第6节双曲线考试要求了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)。

知识梳理1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0）的距离差的绝对值等于常数（小于｜F1F2｜且大于零）的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点间的距离叫焦距。

其数学表达式:集合P＝{M｜｜｜MF1｜－｜MF2||＝2a｝，|F1F2|＝2c,其中a，c为常数且a〉0,c〉0：（1）若a<c,则集合P为双曲线；（2）若a＝c，则集合P为两条射线；(3）若a〉c，则集合P为空集。

2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a〉0，b〉0）错误!－错误!＝1(a>0,b〉0）图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R,y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心:原点顶点A1(－a,0)，A2(a，0）A1（0,－a)，A2(0，a）渐近线y＝±错误!x y＝±错误!x离心率e＝ca，e∈（1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度｜A1A2｜＝2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度｜B1B2|＝2b;a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b2[常用结论与微点提醒］1。

过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为错误!。

2。

离心率e＝错误!＝错误!＝错误!。

3。

等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于错误!.4.若渐近线方程为y＝±错误!x，则双曲线方程可设为错误!－错误!＝λ（λ≠0）。

5.双曲线的焦点到渐近线的距离为b.6.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则｜PF1|min＝c＋a,|PF2｜min＝c－a.7.焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为错误!。

高三数学一轮复习资料第九编解析几何双曲线(教案) 理

芯衣州星海市涌泉学校高三数学〔理〕一轮复习教案第九编解析几何总第49期§双曲线根底自测1.双曲线的离心率为2，焦点是〔-4，0〕，〔4，0〕，那么双曲线方程为.答案12422y x -=1 2.过双曲线x2-y2=8的左焦点F1有一条弦PQ 在左支上，假设|PQ|=7，F2是双曲线的右焦点，那么△PF2Q 的周长是. 答案14+82 3.椭圆2222b y a x +=1〔a ＞b ＞0〕与双曲线2222n y m x -=1〔m ＞0,n ＞0〕有一样的焦点〔-c ，0〕和〔c ，0〕.假设c 是a 与m 的等比中项，n2是m2与c2的等差中项，那么椭圆的离心率等于.答案334.设F1、F2分别是双曲线2222b y a x -=1的左、右焦点.假设双曲线上存在点A ，使∠F1AF2=90°且|AF1|=3|AF2|,那么双曲线的离心率为.答案210 5.〔2021·春招〕P 是双曲线9222y a x -=1右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x-y=0,设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点.假设|PF2|=3，那么|PF1|=. 答案5 例题精讲例1动圆M 与圆C1：〔x+4〕2+y2=2外切，与圆C2：〔x-4〕2+y2=2内切，求动圆圆心M 的轨迹方程.解设动圆M 的半径为r ，那么由|MC1|=r+2， |MC2|=r-2，∴|MC1|-|MC2|=22.又C1〔-4，0〕，C2〔4，0〕，∴|C1C2|=8，∴22＜|C1C2|. 根据双曲线定义知，点M 的轨迹是以C1〔-4，0〕、C2〔4，0〕为焦点的双曲线的右支.∵a=2，c=4，∴b2=c2-a2=14，∴点M 的轨迹方程是14222y x -=1〔x≥2〕. 例2根据以下条件，求双曲线的标准方程.〔1〕与双曲线16922y x -=1有一一共同的渐近线，且过点〔-3，23〕；〔2〕与双曲线41622y x -=1有公一一共焦点，且过点〔32，2〕. 解〔1〕设所求双曲线方程为4922y x -=λ(λ≠0),将点〔-3,23〕代入得λ=41, 所以双曲线方程为16922y x -=41，即49422y x -=1. (2)设双曲线方程为2222b y a x -=1.由题意易求c=25.又双曲线过点〔32，2〕，∴()2223a -24b =1.又∵a 2+b2=〔25〕2，∴a2=12，b2=8.故所求双曲线的方程为81222y x -=1. 例3双曲线C ：2222b y a x -=1(a ＞0,b ＞0)的右顶点为A ，x 轴上有一点Q 〔2a ，0〕，假设C 上存在一点P ，使AP ·PQ =0，求此双曲线离心率的取值范围.解设P 点坐标为〔x,y 〕，那么由AP ·PQ =0，得AP⊥PQ，那么P 点在以AQ 为直径的圆上，即223⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x +y2=22⎪⎭⎫⎝⎛a①又P 点在双曲线上，得2222b y a x -=1②由①，②消去y,得(a2+b2)x2-3a3x+2a4-a2b2=0.即［〔a2+b2〕x2-〔2a3-ab2〕］〔x-a 〕=0. 当x=a 时，P 与A 重合，不符合题意，舍去. 当x=22232b a ab a +-时，满足题意的P 点存在，需x=22232b a ab a +-＞a,化简得a2＞2b2,即3a2＞2c2,a c ＜26.∴离心率e=a c ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛26,1. 例4双曲线C ：λ-12x -λ2y =1〔0＜λ＜1〕的右焦点为B ，过点B 作直线交双曲线C 的右支于M 、N 两点，试确定λ的范围，使OM ·ON =0，其中点O 为坐标原点. 解设M 〔x1，y1〕，N 〔x2，y2〕，由易求B 〔1，0〕， ①当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为x=1，设M 〔1，y0〕，N 〔1，-y0〕〔y0＞0〕，由OM ·ON =0，得y0=1， ∴M〔1，1〕，N 〔1，-1〕.又M 〔1，1〕，N 〔1，-1〕在双曲线上，∴λ-11-λ1=1⇒λ2+λ-1=0⇒λ=251±-，因为0＜λ＜1,所以λ=215-. ②当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为y=k(x-1).由⎪⎩⎪⎨⎧-==--)1(1122x k y y x λλ,得［λ-(1-λ)k2］x2+2(1-λ)k2x-(1-λ)(k2+λ)=0, 由题意知：λ-(1-λ)k2≠0,所以x1+x2=22)1()1(2k k λλλ----,x1x2=22)1())(1(k k λλλλ--+--,于是y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=222)1(k k λλλ--,因为OM ·ON =0,且M 、N 在双曲线右支上，所以⎪⎩⎪⎨⎧>>+=+0021212121x x x x y y x x ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->-+-=λλλλλλ11)1(222k k ⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-+->-+-0111)1(22λλλλλλλλ⇒215-＜λ＜32.由①②，知215-≤λ＜32.稳固练习 1.由双曲线4922y x -=1上的一点P 与左、右两焦点F1、F2构成△PF1F2，求△PF1F2的内切圆与边F1F2的切点坐标.解由双曲线方程知a=3,b=2,c=13.如右图，根据从圆外一点引圆的两条切线长相等及双曲线定义可得 |PF1|-|PF2|=2a.由于|NF1|-|NF2|=|PF1|-|PF2|=2a. ①|NF1|+|NF2|=2c.②由①②得|NF1|=222ca +=a+c.∴|ON|=|NF1|-|OF1|=a+c-c=a=3. 故切点N 的坐标为〔3，0〕.根据对称性，当P 在双曲线左支上时，切点N 的坐标为〔-3，0〕. 2.双曲线的渐近线的方程为2x±3y=0,〔1〕假设双曲线经过P 〔6，2〕，求双曲线方程；〔2〕假设双曲线的焦距是213，求双曲线方程；〔3〕假设双曲线顶点间的间隔是6，求双曲线方程. 解方法一〔1〕由双曲线的渐近线方程y=±32x 及点P 〔6，2〕的位置可判断出其焦点在y 轴上，〔a ＞0,b ＞0〕故可设双曲线方程为12222=-b x a y .依题意可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=1643222b a b a ⇒⎪⎩⎪⎨⎧==.3.3422b a 故所求双曲线方程为1314322=-x y . (2)假设焦点在x 轴上，可设双曲线方程为12222=-by ax .依题意⎪⎩⎪⎨⎧=+=133222b a a b ⇒⎪⎩⎪⎨⎧==.4,922b a 此时所求双曲线方程为4922y x -=1. 假设焦点在y 轴上，可设双曲线方程为12222=-bx ay .依题意⎪⎩⎪⎨⎧=+=133222b a b a ⇒⎪⎩⎪⎨⎧==.9,422b a 此时所求双曲线方程为19422=-x y .故所求双曲线方程为4922y x -=1或者者19422=-x y .〔3〕假设焦点在x 轴上，那么a=3,且a b =32.∴a=3,b=2,双曲线方程为4922y x -=1. 假设焦点在y 轴上，那么a=3,且b a =32.∴a=3,b=29,双曲线方程为1814922=-x y . 故所求双曲线方程为4922y x -=1或者者1814922=-x y .方法二由双曲线的渐近线方程23y x ±=0,可设双曲线方程为λ=-4922y x (λ≠0).(1)∵双曲线经过点P 〔6，2〕，∴4496-=λ,即λ=-31,故所求双曲线方程为223143x y -=1. (2)假设λ＞0，那么a2=9λ,b2=4λ,c2=a2+b2=13λ.由题设2c=213,那么13λ=13,即λ=1.此时，所求双曲线方程为4922y x -=1. 假设λ＜0，那么a2=-4λ,b2=-9λ,c2=a2+b2=-13λ.由题设2c=213,得λ=-1. 此时，所求双曲线方程为4922y x -=-1. 故所求双曲线方程为4922y x -=1或者者9422x y -=1. 〔3〕假设λ＞0，那么a2=9λ,由题设知2a=6.∴λ=1，此时所求双曲线方程为4922y x -=1. 假设λ＜0，那么a2=-4λ,由题设知2a=6,知λ=-49.此时所求双曲线方程为1814922=-x y . 故所求双曲线方程为4922y x -=1或者者1814922=-x y .3.双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为2,且过点P 〔4，-10〕. 〔1〕求双曲线方程；〔2〕假设点M 〔3，m 〕在双曲线上，求证：1MF ·2MF =0；〔3〕求△F1MF2的面积.〔1〕解∵e=2，∴可设双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0).∵过点〔4，-10〕，∴16-10=λ，即λ=6.∴双曲线方程为x2-y2=6.〔2〕证明方法一由〔1〕可知，双曲线中a=b=6,∴c=23,∴F1(-23,0),F2(23,0),∴1MF k =323+m ,2MF k =323-m ,1MF k ·2MF k =1292-m =-32m . ∵点〔3，m)在双曲线上，∴9-m2=6,m2=3,故1MF k ·2MF k =-1,∴MF1⊥MF2，∴1MF ·2MF =0. 方法二∵1MF =〔-3-23，-m 〕，2MF =〔23-3，-m 〕， ∴1MF ·2MF =〔3+23〕×〔3-23〕+m2=-3+m2. ∵M 点在双曲线上，∴9-m2=6，即m2-3=0,∴1MF ·2MF =0.〔3〕解△F1MF2的底|F1F2|=43,△F1MF2的高h=|m|=3,∴21MF F S ∆=6.4.〔2021·理，21〕中心在原点的双曲线C 的一个焦点是F1(-3,0),一条渐近线的方程是5x-2y=0. (1)求双曲线C 的方程;(2)假设以k(k≠0)为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M,N 且线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为281,求k 的取值范围. 解〔1〕设双曲线C 的方程为2222b y a x -=1〔a ＞0,b ＞0〕.由题设得⎪⎩⎪⎨⎧==+,25,922a b b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧==.5,422b a 所以双曲线C 的方程为5422y x -=1. 〔2〕设直线l 的方程为y=kx+m(k≠0). 点M 〔x1，y1〕，N 〔x2，y2〕的坐标满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=15422y x mkx y 将①式代入②式，得42x -5)(2m kx +=1,整理得(5-4k2)x2-8kmx-4m2-20=0.此方程有两个不等实根，于是5-4k2≠0,且Δ=(-8km)2+4(5-4k2)(4m2+20)＞0, 整理得m2+5-4k2＞0.③由根与系数的关系可知线段MN 的中点坐标〔x0,y0〕满足x0=221x x +=2454k km -,y0=kx0+m=2455km-. ①②从而线段MN 的垂直平分线的方程为y-kk m 14552-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2454k km x . 此直线与x 轴、y 轴的交点坐标分别为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,4592k km ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2459,0k m. 由题设可得212459k km -·2459k m-=281.整理得m2=k k 22)45(-,k≠0.将上式代入③式得kk 22)45(-+5-4k2＞0,整理得(4k2-5)(4k2-|k|-5)＞0,k≠0. 解得0＜|k|＜25或者者|k|＞45.所以k 的取值范围是(-∞,-45)∪(-25,0)∪(0,25)∪(45,+∞).回忆总结知识方法思想课后作业一、填空题1.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，那么m=. 答案-412.双曲线2222b y a x -=1和椭圆2222b y m x +=1(a ＞0,m ＞b ＞0)的离心率互为倒数，那么以a,b,m 为边长的三角形是三角形. 答案直角 3.〔2021·理〕双曲线2222b y a x -=1〔a ＞0,b ＞0〕的一条渐近线为y=kx 〔k ＞0〕,离心率e=5k ，那么双曲线方程为. 答案22224by bx -=14.双曲线41222y x -=1的右焦点为F ，假设过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，那么此直线斜率的取值范围是.答案⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-33,33 5.如图，F1和F2分别是双曲线2222by ax -=1(a ＞0,b ＞0)的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB 是等边三角形，那么双曲线的离心率为. 答案1+36.设F1、F2分别是双曲线x2-92y =1的左、右焦点.假设点P 在双曲线上，且1PF ·2PF =0,那么|1PF +2PF |=. 答案2107.假设双曲线x2-y2=1右支上一点P 〔a ，b 〕到直线y=x 的间隔为2，那么a+b 的值是. 答案21 8.〔2021·文，14〕双曲线n y n x --1222=1的离心率为3,那么n=. 答案4 二、解答题9.求与双曲线91622y x -=1一一共渐近线，且过点A 〔23，-3〕的双曲线方程. 解方法一双曲线91622y x -=1的渐近线方程为y=±43x ，分两种情况讨论： (1)设所求双曲线方程为2222b y a x -=1，∴a b =43， ① ∵A〔23，-3〕在双曲线上，∴22912b a -=1②联立①②，得方程组无解， (2)设双曲线方程为2222b x a y -=1，∴b a =43③∵点A 〔23，-3〕在双曲线上，∴22129b a -=1④由③④联立方程组，解得a2=49，b2=4.∴双曲线方程为：49422x y -=1. 方法二由题意，设双曲线方程为91622y x -=t 〔t≠0〕， ∵点A 〔23，-3〕在双曲线上，∴9)3(16)32(22--=t ，∴t=-41，∴双曲线方程为：49422x y -=1. 10.定点A 〔0，7〕、B 〔0，-7〕、C 〔12，2〕，以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，求另一焦点F 的轨迹方程.解设F 〔x ，y 〕为轨迹上的任意一点，∵A、B 两点在以C 、F 为焦点的椭圆上，∴|FA|+|CA|=2a，|FB|+|CB|=2a 〔其中a 表示椭圆的长半轴长〕，∴|FA|+|CA|=|FB|+|CB|， ∴|FA|-|FB|=|CB|-|CA|=22912+-22512+=2.∴|FA|-|FB|=2. 由双曲线的定义知，F 点在以A 、B 为焦点，2为实轴长的双曲线的下半支上，∴点F 的轨迹方程是y2-482x =1(y≤-1). 11.点N 〔1，2〕，过点N 的直线交双曲线x2-22y =1于A 、B 两点，且ON =21〔OA +OB 〕.〔1〕求直线AB 的方程；〔2〕假设过N 的直线交双曲线于C 、D 两点，且CD ·AB =0，那么A 、B 、C 、D 四点是否一一共圆？为什么？解〔1〕由题意知直线AB 的斜率存在.设直线AB ：y=k 〔x-1〕+2，代入x2-22y =1 得(2-k2)x2-2k(2-k)x-(2-k)2-2=0.(*) 令A 〔x1,y1〕,B(x2,y2),那么x1、x2是方程〔*〕的两根，∴2-k2≠0且x1+x2=22)2(2k k k --.∵ON =21〔OA +OB 〕，∴N 是AB 的中点，∴221x x +=1,∴k〔2-k 〕=-k2+2,k=1, ∴直线AB 的方程为y=x+1.〔2〕将k=1代入方程〔*〕得x2-2x-3=0,解得x=-1或者者x=3,∴不妨设A 〔-1，0〕，B 〔3，4〕.∵CD ·AB =0，∴CD 垂直平分AB ， ∴CD 所在直线方程为y=-(x-1)+2,即y=3-x,代入双曲线方程整理得x2+6x-11=0, 令C 〔x3,y3〕,D(x4,y4)及CD 中点M 〔x0,y0〕那么x3+x4=-6,x3·x4=-11, ∴x0=243x x +=-3，y0=6，即M(-3,6). |CD|=21k +|x3-x4|=21k +432434)(x x x x -+=410；|MC|=|MD|=21|CD|=210，|MA|=|MB|=210，即A 、B 、C 、D 到M 间隔相等，∴A、B 、C 、D 四点一一共圆. 12.直线l:y=kx+1与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不同的两点A 、B. 〔1〕务实数k 的取值范围；〔2〕是否存在实数k,使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？假设存在，求出k 的值；假设不存在，说明理由.解〔1〕将直线l 的方程y=kx+1代入双曲线C 的方程2x2-y2=1后，整理得(k2-2)x2+2kx+2=0① 依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧>->-->--=∆≠-0220220)2(8)2(0222222k k k k k k 解得k 的取值范围为-2＜k ＜-2.(2)设A 、B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),那么由①式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=•-=+2222221221k x x k k x x②假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F 〔c,0〕，那么由FA⊥FB 得〔x1-c 〕(x2-c)+y1y2=0.即(x1-c)(x2-c)+(kx1+1)(kx2+1)=0.整理得：(k2+1)x1x2+(k-c)(x1+x2)+c2+1=0 ③ 把②式及c=26代入③式化简得5k2+26k-6=0. 解得k=-566+或者者k=566-∉(-2,-2)〔舍去〕. 可知k=-566+使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点.。

2021届高考数学一轮复习 第九章解析几何9.6双曲线教学案 新人教B版

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