陕西省宝鸡市渭滨区2018_2019学年高二数学上学期期末考试试题文(含解析)

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陕西省宝鸡市渭滨区2018-2019学年高二数学上学期期末考试试题
文（含解析）
一、选择题（每小题5分，共50分）
1.已知抛物线的准线方程为2y =-，则其标准方程为（ ） A. 28x y = B. 2
8x y =- C. 2
8y x = D. 2
8y x =-
【答案】A 【解析】 【分析】
由准线方程，可直接得出抛物线方程. 【详解】因为抛物线的准线方程为2y =-， 所以抛物线的焦点在y 轴正半轴上，且22
p
=，即4p =， 所以抛物线的方程为2
8x y =. 故选A
【点睛】本题主要考查抛物线的方程，熟记抛物线的准线即可，属于基础题型.
2.双曲线2
221y
x -=的渐近线方程为( )
A. 2y x =±
B. y =
C. 12
y x =±
D. 2
y x =±
【答案】B 【解析】 【分析】
由双曲线的方程，可直接得出渐近线方程. 【详解】因为双曲线方程为2
221y
x -=，
由2
220-=y
x 得y =即为所求渐近线方程.
故选B
【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程，熟记双曲线的简单性质即可，属于基础题型.
3.若,a b 为正实数，且12a b +=，则
12
2a b
+的最小值为（ ） A. 10 B. 8
C. 9
D. 6
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意得到12122()5422⎛⎫
+=++=++ ⎪⎝⎭
a b b b b a a a a b ，再由基本不等式，即可求出结果. 【详解】因为,a b 为正实数，且1
2
a b +=
，
所以
44121212()()145922⎛⎫⎛⎫
+=++=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
a b a b a b a b a b b a a b ， 当且仅当4b a a b
=，即11
,63==a b 时，等号成立.
故选C
【点睛】本题主要考查由基本不等式求最值的问题，熟记基本不等式即可，属于常考题型.
4.已知在ABC ∆中，a x =，2b =，030B =，若三角形有两解，则x 的取值范围是( )
A. 2x >
B. 02x <<
C. 2x <<
D.
24x <<
【答案】D 【解析】 【分析】
根据三角形有两解，得到sin sin 1<<B A ，即sin <<b
b a B
，结合题中数据，即可求出结果.
【详解】因为在ABC ∆中，a x =，2b =，030B =，若三角形有两解，
则有sin sin 1<<B A ，即sin sin 1<<a B B b ，即sin <<b
b a B
， 所以24x <<. 故选D
【点睛】本题主要考查三角形解的个数的判断，熟记正弦定理即可，属于常考题型.
5.若等差数列{}n a 的首项为1，公差为1，等比数列{}n b 的首项为-1，公比为-2，则数列
{}n n a b +的前8项和为（ ）
A. -49
B. -219
C. 121
D. 291
【答案】C 【解析】 【分析】
先记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，根据等差数列与等比数列的求和公式，结合题中条件，即可求出结果.
【详解】因为等差数列{}n a 的首项为1，公差为1，等比数列{}n b 的首项为-1，公比为-2， 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，
则数列{}n n a b +的前8项和为8
88
11(2)8(81)811121212
⎡⎤---⨯-⎣⎦+=⨯+⨯+=+S T . 故选C
【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的综合，熟记分组求和的方法，以及等差数列与等比数列的求和公式即可，属于常考题型.
6.设,x y 满足不等式组320
60210x y x y x y --≥⎧⎪
+-≤⎨⎪--≤⎩
，若z ax y =+的最大值为24a +，最小值为1a +，
则实数a 的取值范围为（ ） A. []1,2- B. []3,2-- C. []2,1- D. []3,1-
【答案】C 【解析】
先由z ax y
=+得y ax z
=-+，y ax z
=-+表示斜率为a
-，在y轴截距为z的直线；再由约束条件作出可行域，求出边界线的交点坐标，根据题中条件，结合图像，即可求出结果. 【详解】由z ax y
=+得y ax z
=-+，y ax z
=-+表示斜率为a
-，在y轴截距为z的直线；
由约束条件
320
60
210
x y
x y
x y
--≥
⎧
⎪
+-≤
⎨
⎪--≤
⎩
作出可行域如下，
由
320
210
x y
x y
--=
⎧
⎨
--=
⎩
解得(1,1)
A；由
320
60
x y
x y
--=
⎧
⎨
+-=
⎩
解得(2,4)
B，
因为z ax y
=+的最大值为24
a+，最小值为1
a+，
所以显然当直线y ax z
=-+过点B时，z取得最大值；过点A时，z取得最小值；
因此只需≤-≤
BC AC
k a k，即12
-≤-≤
a，
解得21
a
-≤≤
故选C
【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，由目标函数的最值求参数，一般需要由约束条件作出可行域，根据目标函数的几何意义，结合图像即可求解，属于常考题型.
7.“260
x x
--<”的一个充分但不必要的条件是( )
A. 23
x
-<< B. 03
x
<<
C. 32
x
-<< D. 33
x
-<<
【答案】B
【分析】
先解不等式260x x --<，再由充分不必要条件的概念可知，只需找不等式解集的真子集即可.
【详解】由260x x --<解得23x -<<，
要找“260x x --<”的一个充分但不必要的条件， 即是找{}
23x x -<<的一个子集即可， 易得，B 选项满足题意. 故选B
【点睛】本题主要考查命题的充分不必要条件，熟记充分条件与必要条件的定义即可，属于常考题型.
8.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n ，12n n a S +=，则下列关于{}n a 的论断中正确的是（） A. 一定是等差数列
B. 一定是等比数列
C. 可能是等差数列，但不会是等比数列
D. 可能是等比数列，但不会是等差数
列 【答案】C 【解析】 【分析】
由12n n a S +=得12n n a S -=，又因为1n n n S S a --=，所以得13n n a a +=，注意此时验证1n =时，
21122a S a ==，不满足13n n a a +=，可得解.
【详解】因为当2n ≥时，11,22n n n n a S a S +-==，所以()1122n n n n n a a S S a +--=-=，即13n n a a +=（2n ≥），
而1n =时，21122a S a ==，不满足13n n a a +=，所以该数列{}n a 不是等比数列。

当0n a =时，数列{}n a 为等差数列。

【点睛】本题主要考查数列中含有n a 和n S 的式子的转化关系，以及等差数列和等比数列的定义，此类问题注意验证1n =时是否满足递推式，属于基础题。

9.函数2(21)y x =+的导数为（） A. 21y x '=+
B. 2(21)y x ='+
C. 3(21)y x ='+
D.
4(21)y x ='+
【答案】D 【解析】 【分析】
先根据完全平方公式对2
(21)y x =+展开，再运用常见初等函数的求导公式和求导运算法则可求解.
【详解】因为22
(21)441y x x x =+=++,
则函数的导函数()
()'
244184421y x x x x '=++=+=+, 故选：D .
【点睛】本题主要考查导数的计算,要求熟练掌握常见初等函数的求导公式,属于基础题.
10.定义在R 上的函数()f x 满足：()()1f x f x '+>，(0)3f =，则不等式()2
x x
e f x e >+的解集为（） A. (0,)+∞
B. (,0)(3,)-∞⋃+∞
C. (,0)(0,)-∞+∞U
D.
(3,)+∞
【答案】A 【解析】 【分析】
构造函数()()()x
x
g x e f x e x R =-∈,由()()1f x f x '
+>得()g x 的单调性,再将不等式
()2x x e f x e >+转化为()2x x e f x e ->, 又由(0)3f =，得(0)2g =，所以()(0)g x g >，
由构造函数()g x 的单调性,即可求解。

【
详
解
】
设
()()()
x x g x e f x e x R =-∈，则
()()()()()1x x x x g x e f x e f x e e f x f x '''
⎡⎤=+-=+-⎣⎦,
()()1f x f x '+>Q , ()()10f x f x '∴+->, 又0x e >，
所以()0g x '>, ()y g x ∴=在定义域上单调递增, 对于不等式()2x
x
e f x e >+可转化成()2x
x
e f x e ->，
()2g x ∴>, 又(0)3f =，(0)g ∴=00(0)312e f e -=-=, ()(0)g x g ∴>, 而()y g x =在定义域上单调递增, 0x ∴>，
故选：A .
【点睛】本题考查构造函数，利用其导函数取得正负的范围得出构造函数的单调性区间，从而求解不等式的问题，此类问题的关键是根据已知条件构造出合适的新函数，并且分析其单调性和特殊点的函数值，属于中档题。

二、填空题（每小题5分，共20分）
11.已知ABC ∆的一个内角为120o ，并且三边长成公差为2的等差数列，则ABC ∆的周长为________. 【答案】15 【解析】 【分析】
先由题意设三角形三边长依次为2,,2-+a a a ，其中2a >，再由最大内角为120o ，结合余弦定理，即可求出a ，从而可得出结果.
【详解】因为ABC ∆三边长成公差为2的等差数列， 所以可设三角形三边长依次为2,,2-+a a a ，其中2a >， 又ABC ∆的一个内角为120o ，即2a +所对的角为120o ，
由余弦定理可得：222(2)(2)1
cos1202(2)2
o
a a a a a -+-+==--，
解得5a =.
所以周长为315a =. 故答案为15
【点睛】本题主要考查解三角形，熟记余弦定理即可，属于常考题型.
12.焦距为2，短轴长为4，且焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为________.
【答案】22
154
x y +=
【解析】 【分析】
由题意得到1c =，2b =，再由222a b c =+求出2a ，根据焦点x 轴上，即可得出结果.
【详解】因为椭圆的焦距为2，短轴长为4， 所以1c =，2b =， 因此2225a b c =+=， 又该椭圆的焦点在x 轴上，
所以该椭圆的标准方程为22
154x y +=.
故答案为22
154
x y +=
【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，根据,,a b c 求出椭圆的标准方程，熟记椭圆标准方程即可，属于基础题型.
13.函数3
()12f x x x =-的极小值点为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】
对()f x 求导，令'
()0f x =后，分析()'
f
x 取得正负时x 的范围，从而得出()f x 在相应
区间的单调性，得出极值点.
【详解】因
3()12f x x x =-，所以()()2
'()312322f x x x x =-=+-，令'()0f x =，
得122,2x x ==-， 所以当(),2x ∈-∞-时，()'
0f x >，()f x 在(),2-∞-上单调递增；
当()2,2x ∈-时，()'
0f x <，()f x 在()2,2-上单调递减；
当()2,x ∈+∞时，()'
0f
x >，()f x 在()2,+∞上单调递增；
所以()f x 在2x =时取得极小值， 故填：2.
【点睛】本题考查函数的导函数与函数的单调性和极值的关系，属于基础题.
14.设数列{}n a 是公差不为0的等差数列，n S 为数列{}n a 前n 项和，若2
2221
234a a a a +=+，
55S =，则n a 的值为______．
【答案】25n a n =- 【解析】 【分析】
先设等差数列{}n a 的公差为d ，根据2
222
1
234a a a a +=+，55S =，求出公差，即可得出结果.
【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为5355==S a ，所以31a =，
又2
222
1
234a a a a +=+，
所以2
22(12)
(1)1(1)-+-=++d d d ，整理得220d d -=，
解得2d =或0d =，
因为数列{}n a 是公差不为0，所以2d =， 因此3(3)25=+-=-n
a a n d n .
故答案为25n a n =-
【点睛】本题主要考查等差数列基本量的运算，熟记等差数列的通项公式与求和公式即可，
属于常考题型.
三、解答题（每小题10分，共50分）
15.设数列{}n a 满足*
4(1)()=+∈n S n n n N .
(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若数列1
(1)n n a ⎧
⎫⎨
⎬+⎩⎭
的前n 项和为n T ，求n T .
【答案】(1) 2n n
a =. (2) 21
n n T n =+ 【解析】 【分析】 （1）由1444-=-n n n a S S ，求出2n ≥时的通项，再检验1n =时，是否满足所求通项公式
即可；
（2）由（1）得到12
=(1)(1)
++n n a n n ，用裂项相消法，即可求出结果.
【详解】（1）因为4(1)n S n n =+，所以当2n ≥时，14(1) n S n n -=-， 所以1444(1) (1)2n n n a S S n n n n n -=-=+--=，即2
n n
a =， 当1n =时，112
a =满足2n n a =，所以2n n a =.
（2）由（1）知
1211=2()(1)(1)1
n n a n n n n =-+++，
所以1111111122[(1)()()()]2(1)22334111
n n T n n n n =-+-+-++-
=-=+++L . 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，以及裂项相消法求数列的和，熟记递推关系式
11,2
,1
n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩，以及裂项的常见形式即可，属于常考题型.
16.已知ABC ∆的内角,,A B C 满足sin sin sin sin sin sin sin sin A B C B
C B C A
++=+-.
(1)求角A ；
(2)若ABC ∆的外接圆半径为1，求ABC ∆的面积S 的最大值.
【答案】(1) 23A π=【解析】 【分析】
（1）先设内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，由题意中条件，根据正弦定理得到
222b c a bc +-=-，再由余弦定理，即可求出角A ；
（2）先由ABC ∆的外接圆半径为1，结合正弦定理得到2sin a A ==，再由余弦定理，结合基本不等式，可得1bc ≤，从而可得三角形面积的最大值. 【详解】（1）设内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ， 由
sin sin sin sin sin sin sin sin A B C B C B C A ++=+-可得
222a b c b b c a bc c b c a
++=⇒+-=-+-， 所以2221
cos 222
b c a bc A bc bc +--===-，
又因为0A π<<，所以23
A π
=
. （2）因为ABC ∆的外接圆半径为1，
所以有
22sin a R A
==，即22sin 2sin 3π
===a A 由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+- 即22323b c bc bc bc bc =++≥+=，
即1bc ≤，所以11sin 12224
S bc A =
⋅≤⨯⨯=
（当且仅当b c =时取等号）. 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理，以及基本不等式即可，属于常考题型.
17.某种设备购置费为10万元，每年的设备管理费共计1万元，这种设备的维修费各年为：第一年1千元，第二年3千元，第三年5千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增．问这种设备最多使用多少年报废最合算（即使用多少年的年平均费用最少）? 【答案】使用10年报废最合算，年平均费用为3万元． 【解析】
【分析】
先设使用x 年的年平均费用为y 万元，根据题意得到
(1)
10(0.10.2)
2
-+++⨯=
x x x x y x
，化简整理，根据基本不等式求最值即可，属于常考题型. 【详解】解：设这种设备使用x 年的年平均费用为y 万元， 由已知得：
*(1)
10(0.10.2)
102 1 ()
10
x x x x x y x N x x -+++⨯=
=++∈
由基本不等式知：1=3y ≥ ， 当且仅当
1010
x
x =即10x =时取“等号”， 因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元．
【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可，属于常考题型.
18.已知函数3
2
()f x x ax bx =++在1x =与2
3
x =-处都取得极值． (1)求函数()f x 的解析式及单调区间；
(2)求函数()f x 在区间[1,2]-的最大值与最小值． 【答案】（1）32
1()22f x x x x =-
-，单调增区间是2(,),(1,)3
-∞-+∞，减区间是2(,1)3-（2）
max ()2f x =，min
3()2
f x =-
【解析】 【分析】
（1）对()f x 求导，根据()f x 在1x =与23
x =-
处都取得极值，得()'
10f =和'203f ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
，建立方程组求得a ,b 的值，得到()f x 的解析式，再分析()'f x 取得正负时x 的范围，从而得出()f x 相应的单调区间，得解；
（2）根据（1）可得出()f x 的极值点，再求出边界点(1)f -和(2)f 的值，与极值点的函数值比较大小可得解.
【详解】（1）因为3
2
()f x x ax bx =++，所以2
()32f x x ax b '=++, 因为()f x 在1x =与2
3
x =-
处都取得极值， 所以()10? 203f f ⎧=⎪⎨⎛⎫-= ⎪⎪⎝
''⎭⎩，即320124093a b a b ++=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得1,22a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩
即3
2
1()22
f x x x x =-
-，所以()()2()32321f x x x x x '=--=+-， 令()01f x x '
>⇒>或23x <-，令2()013
f x x '<⇒-<<，
所以()f x 的单调增区间是2(,),(1,)3
-∞-+∞，减区间是2
(,1)3-.
（2）由（1）可知，
()f x 的极小值3(1)2f =-，()f x 的极大值222()327f -=，而1
(1)2
f -=，(2)2f =，
可得[1,2]x ∈-时，max ()2f x =，min 3
()2
f x =-
故得解.
【点睛】本题考查通过导函数研究函数的单调性，极值，最值的问题，属于基础题。

19.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线22
=1
2x y -的焦点重合，过点(4,0)P 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点. (1)求椭圆C 的方程；
(2)若以AB 为直径的圆过坐标原点O ，求k 的值.
【答案】(1) 22143x y +=；
(2) 5
k =±
【解析】 【分析】
（1）由离心率得到2
243
a b =，由椭圆的短轴端点与双曲线22
=12x y -
的焦点重合，得到
b
（2）先由题意，得直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(4)y k x =-，联立直线与椭圆方程，设1122(,),(,)A x y B x y ，根据韦达定理，得到12x x ，12y y ，再由以AB 为直径的圆过
坐标原点O ，得到1212=+0⋅=u u u r u u u r
OA OB x x y y ，进而可求出结果.
【详解】(1)由题意知12
c e a =
=， ∴2222
22
14
c a b e a a -===，即2
243a b = ，
又双曲线的焦点坐标为(0,±，椭圆的短轴端点与双曲线2
2=12
x
y -的焦点重合，
所以b 2
2=3,4=b
a ，
故椭圆的方程为22
143
x y +=.
(2)解：由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(4)y k x =-
由22(4)
14
3y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得： 2222(43)3264120k x k x k +-+-=
由22
22(32)4(43)(6412)0k
k k ∆=--+->得：21
4
k <
设1122(,),(,)A x y B x y ，则21223243k x x k +=+，2122
6412
43
k x x k -=+， ∴ 222
12121212(4)(4)4()16y y k x k x k x x k x x k =--=-++
因为以AB 为直径的圆过坐标原点O ， 所以OA OB ⊥，
2222222
121222
64123210012=+=(1+)41604+34+34+3
--∴⋅⋅-⋅+==u u u r u u u r k k k OA OB x x y y k k k k k k
5
k ∴=±
满足条件2
14k <
故5
k =±
. 【点睛】本题主要考查椭圆的方程，以及椭圆的应用，熟记椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质即可，解决此类问题时，通常需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、判别式等求解，属于常考题型.。