福建省厦门六中高二数学下学期期中试卷 文

厦门六中2011-2012学年下学期高二期中考试数 学 试 卷（文科）
满分150分 考试时间120分钟
参考公式1
1
2
2
21
1
(
)()ˆ()n
n
i
i
i i
i i n
n
i i i i x x y y x y nx y
b
x x x nx
====---==
--∑∑∑∑ ˆˆa y b x
=- 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的 ）
1．若复数+i
1i
a z =
-（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数．．．,则实数a 等于（ ） A ．
1
2
B ．12
-
C ．1
D ．-1
2．已知f(x)＝x 3
＋ax 2
＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( ) A 、－1<a<2 B 、－3<a<6 C 、a<－1或a>2 D 、a<－3或a>6 3. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是( )
A.假设三内角都不大于60度
B. 假设三内角都大于60度
C. 假设三内角至多有一个大于60度
D. 假设三内角至多有两个大于60度 4. 《论语》云：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是( )
A ．合情推理
B ．归纳推理
C ．类比推理
D ．演绎推理 5. 以下四图都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象，其中一定不．正确的序号是( )
A. ③④
B. ①②
C. ②③
D. ②④
6. 设a ＜b,函数2
()()y x a x b =--的图像可能是( )
7．利用独立性检验来考察两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X 与Y 有关系”的可信程度．如果 5.024k >，那么就有把握认为“X 与Y 有关系”的百分比为（ ）
2()P k k ≥ 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.00
5
0.001
k
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82
8
A ．25%
B ．75%
C ．2.5%
D ．97.5% 8.右图给出的是计算
20
1614121++++ 的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是( )
A.i>11
B.i<10
C.i 10≥
D.i>10
9．已知32()26f x x x m =-+（m 为常数）在[22]-，上有最大值3，那么此函数在[22]-，
上的最小值是（ ） Ａ．37- Ｂ．29- Ｃ．5-
Ｄ．以上都不对
10．.把正整数按下图所示的规律排序，则从2003到2005的箭头方向依次为
( )
11． 已知x x x tan 1tan 14tan -+=
⎪⎭⎫ ⎝
⎛+
π⎪⎭⎫
⎝
⎛
+≠4ππk x ，那么函数x y tan =的周期为π。

类比
可推出：已知R x ∈且()()()
x f x f x f -+=+11π，那么函数()x f y =的周期是( )
A. π
B. π2
C. π4
D. π5
12．凸函数有如下性质：如果()y f x =是区间D 上的凸函数，则对区间D 上任意的
121212()()()
,,,(
)n n n x x x f x f x f x x x x f n n
++++
+≥有，已知sin (0,)y x π=是上的
凸函数，则ΔABC 中，sin sin sin A B C ++的最大值为（ ）
A ．
12
B ．3
2
C
D
二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 72+与63+的大小关系是__________.
14．求曲线3235y x x =+-在点)3,1(--处的切线方程是_______。

15.设复数z 满足条件,1=z 那么i z ++22的最大值是________________. 16.右图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象，
给出下列命题：
①3-是函数()y f x =的极值点； ②1-是函数()y f x =的最小值点； ③()y f x =在0x =处切线的斜率小于零； ④()y f x =在区间(3,1)-上单调递增. 则正确命题的序号是
三、解答题：（本大题共6个小题，满分74分，解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤。

）
17．（本小题12分）设复数z 满足1z =，且(34i)z +⋅是纯虚数，求z -。

18．（本小题满分10分）一家新技术公司计划研制一个名片管理系统，`希望系统能够具备以下功能，
1. 用户管理：能修改密码，显示用户信息，修改用户信息。

2．用户登录。

3．名片管理：能够对名片进行删除、添加、修改、查询。

4．出错信息处理。

根据这些要求画出该系统的结构图。

19．（本小题满分12分）
某兴趣小组为了研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，分别到气象站和医
该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取2组,用剩下的4组数据求线性回归方程,再用被选取的2组数据进行检验.
（1）若选取的是1月与6月的两组数据,请根据2至5月份的数据,求出y 关于x 的线性
回归方程； （2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认
为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性的回归方程是否理想？ 20． (本小题满分12分)已知ABC ∆的三边长为 a 、b 、c ，且其中任意两边长均不相等。

若
c
b a 1
,1,1成等差数列。

（1）比较
a b 与b
c 的大小，并证明你的结论； （2）求证B 不可能是钝角
21．（本小题14分）已知函数32()4f x x ax bx =+++在(,0)-∞上是增函数，在(0,1)上
是减函数．
（1）求b 的值；
（2）当0x ≥时，曲线()y f x =总在直线24y a x =-上方，求a 的取值范围． 22．（本小题14分）已知函数()ln f x ax x =+()a ∈R .
(1)若2a =，求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率； (2)求()f x 的单调区间；
（3）设2
()22g x x x =-+，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得
12()()f x g x <，求a 的取值范围。

厦门六中2011-2012学年第二学期高二数学期中考试卷
（文科）参考答案
一、CDBD ，ACDD ，ABCD 。

二、72+<63+，360x y ++=，4，（1）（4） 三、解答题（本大题共6小题，共74分。

解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）
17．（本小题12分）
解：设i,(,)z a b a b R =+∈,由1z =
1=；………………………………（3分）
(34i)(34i)(i)34(43)i z a b a b a b +⋅=++=-++是纯虚数,则430
340a b a b +≠⎧⎨
-=⎩
（6分）
44155,33340
55a a a b b b ⎧⎧
==-⎪⎪⎪⎪=⇒⎨⎨
-=⎪⎪⎪⎩==-⎪⎪⎩⎩
或,43
43i,i 5555z -=--+或 ……………（12分）
19.
（本小题12分）解：（1）
……………………8分
……………………3分
……………………5分 ……………………10分
∑∑===-=--==41
4
1
214)(,36))((,24,11i i i i i x x y y x x y x ……………4分
7
30
718ˆ,730,718-=-==
x y a b ………………………………………………8分
（2）2|227150|,7150ˆ,10<-==y
x 时 …………………………………………10分 2|127
78|,778ˆ,6<-==y
x 时 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m …………………………………………………11分
所以所得线性回归方程是理想的。

………………………………………………12分 20.解：（本小题12分）（1）大小关系为a b b
c
…………………………………（2分）
证明如下：要证
a b b
c
，只需证b c a b
a 、
b 、
c 0 ，只需证ac b 2， c
b a 1
,1,1成等差数列，
∴
,12112ac
c a b ≥+=∴ac b ≤2 又a 、b 、c ，任意两边长均不相等，∴ac b 2
成立
故所得大小关系正确………………………………………（6分） 3
（2）假设B 是钝角，则cosB<0,
而02222cos 2
2222 ac
b a
c ac b ac ac b c a B --≥-+=
这与cosB<0,矛盾，故假设不成立。

∴B 不可能是钝角………………………………………（12分） 21．（本小题14分）
解：解：（Ⅰ）∵3
2
()4f x x ax bx =+++，
∴2
'()32f x x ax b =++． ……………………2分 ∵()f x 在(,0)-∞上是增函数，在(0,1)上是减函数，
∴ 当0x =时，()f x 有极大值，即'(0)0f =， ……………………4分 ∴ 0b =． ……………………6分 （Ⅱ）2'()32(32)f x x ax x x a =+=+，
∵ ()f x 在(,0)-∞上是增函数，在(0,1)上是减函数， ∴213a -
≥，即3
2
a ≤-． ……………………8分 ∵曲线()y f x =在直线24y a x =-的上方，
设322()(4)(4)g x x ax a x =++--， ……………………9分 ∴在[0,)x ∈+∞时，()0g x >恒成立,∵ 22'()32(3)()g x x ax a x a x a =+-=-+， 令'()0g x =，两个根为a -，
a ，且0a
a <<-， ……………………10分
∴ 当x a =-时，()g x 有最小值()g a -． ……………………12分
令333
()(4)(4)0g a a a a -=-++--->， ∴3
8a >-，由32
a ≤-
， ∴ 3
22
a -<≤-
. ……………………14分 另解：32()4f x x ax =++，2'()32(32)f x x ax x x a =+=+
当a =0时，3()4f x x =+，2'()30f x x =≥，函数()f x 在定义域上为增函数，与已知矛盾，舍；……………………7分
当a >0时，由（Ⅰ）知，'()(32)f x x x a =+， 函数()f x 在2(,)3a -∞-
上为增函数，在2(,0)3
a -上为减函数，与已知矛盾，舍；……………………8分
当a <0时，'()(32)f x x x a =+，由已知可得213a <-
，∴3
2
a ≤- ……………9分 设322()(4)(4)g x x ax a x =++--， ………………10分 ∴ 22'()32(3)()g x x ax a x a x a =+-=-+。

令'()0g x =，两个根为a -，
a ，0a
a <<-，
∴ 当x a =-时，()g x 有最小值()g a -． ……………………12分 令333()(4)(4)0g a a a a -=-++--->， ∴3
8a >-，由32
a ≤-
， ∴ 3
22
a -<≤-
. ……………………14分 22．（本小题14分） 解：(Ⅰ)由已知1
()2(0)f x x x
'=+
>，………………………………………（2分） (1)213f '=+=.故曲线()y f x =在1x =处切线的斜率为3.……………（4分）
(Ⅱ)11
'()(0)ax f x a x x x
+=+
=>.……………………………………………………
（5分） ①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，'()0f x >
所以，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞.………………………………………（6分） ②当0a <时，由'()0f x =，得1x a =-
.在区间1
(0,)a
-上，()0f x '>，在区间1
(,)a
-+∞上()0f x '<， 所以，函数()f x 的单调递增区间为1(0,)a -，单调递减区间为1
(,)a -+∞.…（8分）
（Ⅲ）由已知，转化为max max ()()f x g x <.…………………………………………（9分）
max ()2g x =……………………………………………………………………（10分）
由(Ⅱ)知，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，值域为R ，故不符合题意. (或者举出反例：存在33(e )e 32f a =+>，故不符合题意.)……………（11分）
当0a <时，()f x 在1(0,)a -上单调递增，在1
(,)a -+∞上单调递减，
故()f x 的极大值即为最大值，1
1
()1ln()1ln()f a a a
-=-+=----，……（13分） 所以21ln()a >---解得3
1
e a <-
. ………………………………（14分）。