机械工程控制基础3-4

tg(dt )
1 2
因为
1 2 tg
dtp 0, , 2 , 根据峰值时间定义，应取 dtp
一定时，n （闭环极点离负实轴的距离越远） tp
（3）超调量 M p
超调量是描述系统相对稳定性的一个动态指标。它用下式定义：
Mp
xo (t p ) xo () xo ()
100%
得
Mp
1
2 1
2 1
A3 2
1
2 1
2 1
xho (t) 1
2
1
2 1(
e ( 2 1)nt
1
2 1)
2 2 1(
e( 2 1)nt
2 1)
t0
响应曲线： ＞ ＞ 1时的近似处理，此时
可近似地等效为具有时间常数 为 的一阶系统。 时域响应式为：
xo (t)
调节时间为：
阻尼比 不同，其特征根和相应的瞬态响应也有很大的差异。 0 有两个正实部的特征
根 ,系统发散
1 ，有一对相等的负实根
临界阻尼状态
1，有两个不相等的负实根
过阻尼状态
0 ，有一对纯虚根，瞬态
响应变为等幅振荡。零阻尼状态
下面讨论在不同 值时二阶系统的瞬态响应！
一、二阶系统的单位脉冲响应
(2)零阻尼( =0 )二阶系统的单位阶跃响应
单位阶跃响应拉氏变换式： X o (s)
时域响应式：
系统处于无阻尼 振荡状态，暂态响应 为恒定振幅的周期函 数，频率为n。
二阶系统单位阶跃响应（ =0 ）
(3)临界阻尼( 1 )二阶系统的单位阶跃响应
xi (t) 1(t)
Xi
(s)
1 s
XCo ((ss)
X i (s)
25 s(s 6)
X o (s)
解 求出系统的闭环传递函数为：
25
X i (s)
G(s)
s2 6s 25
由于
故
25
X o (s)
s(s 6)
Mp
例题2
如图所示的单位反馈随动系统，K=16s-1,T=0.25s,试求：
（1）特征参数和n；（2）计算M%p 和ts;（3)若要求M%p=16%， 当T不变时K应当取何值？
G(s)
Xo (s) Xi (s)
s2
wn2
2wns wn2
wn2
s(s 2wn )
X o (s)
式中， 为系统的阻尼比；n 为系统的无阻尼固有频率。
相应的方块图如右图所示。 n
二阶系统的动态特性，可以用 和n 加以描述。
特征方程式： S 2 2nS n2 0
特征根：
S1,2 n n 2 1
取不同值时二阶系统的位阶跃响应的曲线
几个特征
➢ =0时，等幅振荡； ➢ 0< <1时， 越小，振荡越严重，超调越大（最大超 调量100%），衰减越慢； ➢ =1时，处于衰减振荡与单调变化的临界状态； ➢ >1时， 越大，曲线单调上升过程越缓慢；
不同时典型二阶系统特征方程根、特征根在S平面上的位置及单位阶跃响应曲线。
三、二阶系统响应的性能指标
Mp 1
tr
允许误差
еss
（1）上升时间 tr
响应曲线首次由零值上升到稳态值所需的时间，称为
上升时间，并用 tr 表示。上升时间越短，响应速度越快。
xoh((tt)) 1
1
1 2
ent
sin( d t
)
,t 0
xoh((ttrr ) 1 ，求得
1
1 2
ent sin(dtr ) 0 ，即
S2
n2 2n S
n2
1 S
1
1 2
图3-17
ห้องสมุดไป่ตู้
1
S n
n
S (S n )2 d 2 (S n )2 d 2
对上式取拉氏反变换，得单位阶跃响应为
xho ((tt) 1 ent [cosdt
1 2
sin dt]
1
稳态分量
1
1 2
ent
sin(d t
)
瞬态分量
t0
arctg 1 2 arccos
1
1 2
ewnt p
sin(wdt p
)
1 e / 1 2 sin( ) 1 2
上式表明超调量M p 仅与阻尼比 有关。
1
2
ln M p
1
（4）调整时间 ts
（4）调整时间 ts
例题1
设控制系统的方框图如3-26图所示，当有单位阶跃 信号作用于系统时，试求系统的暂态性能指标tr、tp、 ts和Mp。
第三章 时间响应分析
第一节 时间响应及其组成 第二节 典型输入信号 第三节 一阶系统 第四节 二阶系统 第五节 高阶系统 第六节 系统误差分析与计算
第七节 δ函数在时间响应中的作用
第八节 利用MATLAB分析时间响应 第九节 设计示例
第四节 二阶系统
一、典型二阶系统的数学模型
二阶系统的标准形式：
Xi (s)
xo (t)
xo (t) wn
二阶系统的单位脉冲响应
当0 1 时
xo (t)
wn
1 2
ewnt
sin wdt
当 0 时
xo (t) wn sin wnt
当 1 时 当 1 时
xo (t) wn2tewnt
xo (t) 2
wn (es1t es2t )
2 1
结论：如果 脉冲响应不 改变符号， 则系统的
xi (t) (t)
Xi (s) 1 Xo(s) G(s)Xi (s) G(s)
xo (t)
xo (t)
xo (t) wn
二阶系统单位脉冲响应（ 0 1 ）
xo (t)
xo (t) wn
二阶系统单位脉冲响应（ 0 ）
xo (t)
xo (t) wn
二阶系统单位脉冲响应（ 1）
二阶系统单位阶跃响应（ =1 ）
(4)过阻尼( 1)二阶系统的单位阶跃响应
s1,2 n n 2 1
CX o((ss)
(S
n2
S1)(S
S2 )
1 S
[S
n (
n2 2 1)][S n (
2 1)]S
A1
A2
A3
S S n ( 2 1) n ( 2 1)
A1 1
A2 2
dtr
tr d
一定，即 一定， n tr ,响应速度越快
（2）峰值时间 t p 响应曲线第一次出现峰值的时间称为峰值时间，用 t p 表示之。
对式（3.4.9）求导，并令其为零，求得
xo (ht()t) 1
1
1 2
ent
sin( d t
)
,t 0
nent sin(dt ) dent cos(dt ) 0
解 （1）求出系统闭环传递函数为：
X i (s)
K
X o (s)
s(Ts 1)
因此有：
(2)则 Mp
（3）为使M p%=16%，由式 Mp
得=0.5,
当T=0.25不变时，因
则有
解：
X i (s)
wn2
s(s 2wn )
X o (s)
解：
解：
n2 (S n)2
1 S
1 S
(S
n n )2
S
1
n
临界阻尼情况下的二阶系统的单位阶跃响应称为临界阻尼响应
xho((tt)) 1 entnt ent 1 ent (1 nt) t 0
当 1 时，二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的无超调
单调上升过程.
响应曲线 如右图：
响应过程单调上升，与过阻尼 一样，无超调，但它是这一类响应 中最快的。
〉=1， 即为临界阻 尼或过阻尼；
二、二阶系统的单位阶跃响应
xi (t) 1(t)
X
i
(s)
1 s
Xo(s) G(s)Xi (s)
(1)欠阻尼( 0 1 )二阶系统的单位阶跃响应
S1,2 n jn 1 2 n jd
式中， d n 1 2 称为系统的阻尼自然频率。
X o (sC) (s)G(s)(Xs)iR(s()s)