新北师大版高中数学选修1-1第四章《导数应用》检测(含答案解析)

一、选择题
1．已知1a e =，ln3
3b =，ln 44
c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）
A ．b c a <<
B ．c b a <<
C ．c a b <<
D ．a c b <<
2．定义在[0,)+∞的函数()f x ，对任意0x ≥，恒有()()f x f x '>，(1)
f a e
=
，2
(2)
f b e =
，则a 与b 的大小关系为（ ） A ．a b >
B ．a b <
C ．a b =
D ．无法确定
3．已知函数()2
ln (0,)f x ax bx x a b R =+->∈，若对任意0x >，有()()1f x f ≥， 则（ ） A ．ln 2a b <-
B ．ln 2a b >-
C ．ln 2a b =-
D ．ln 2a b ≥-
4．已知函数2
1()ln 2
f x x x a =--，若0x ∃>，()0f x ≥，则a 的取值范围是（ ） A ．1,2
⎛⎤-∞- ⎥⎝
⎦
B ．1,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
C ．(],1-∞
D ．(]
,e -∞ 5．已知函数(
)2
()x x
f x x e e x
-=⋅-+，若()()()f x f y f x y <<+，则（ ）
A ．0xy >
B ．0xy <
C ．0x y +>
D ．0x y +<
6．函数2()2ln 1f x ax x =--有两个不同零点，则a 的取值范围为（ ） A ．(,e)-∞ B ．(0,e)
C ．(0,1)
D ．(,1)-∞
7．已知函数21ln 22y x a x x =--在1,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．34
a ≤-
B ．1a ≤-
C ．1a ≤
D ．01a ≤≤
8．已知函数42
13(),42
f x x x mx n =-++其中m ，n 为正整数，若函数()f x 有极大值，则m 的值为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9．已知函数,0
(),0
x e x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩（其中e 为自然对数的底数），若函数2()y f x ax =-恰
有三个零点，则（ ）
A ．2
4
e a >
B ．2
4e a
C ．2
2
e a >
D ．2
e a >
10．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()()1y x f x '=-的图象如图
所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A ．()f x 有极大值()2f -
B ．()f x 有极小值()2f -
C ．()f x 有极大值()1f
D ．()f x 有极小值()1f
11．若函数32()21f x ax x x =+++在(1,2)上有最大值无最小值，则实数a 的取值范围为（ ） A ．34
a >-
B ．53
a <-
C ．5334
a -
<<- D ．53
34
a -
≤≤- 12．若函数()()11x
f x e a x =--+在(0，1)上不单调，则a 的取值范围是（ ） A ．()2,1e +
B ．[]
2,1e +
C ．(][
),21,e -∞⋃++∞
D ．()(),21,e -∞⋃++∞
二、填空题
13．已知函数()3
2133
f x x x =
++在区间(),3+m m 上存在极大值与极小值，则实数m 的取值范围是_________．
14．已知1a >，若对于任意的1[,)3
x ∈+∞，不等式()4ln 3e ln x
x x a a -≤-恒成立，则a 的最小值为______.
15．请写出一个使得函数()
2()2x
f x x ax e =++既有极大值又有极小值的实数a 的值
___________．
16．已知函数()()()x f x e x b b R =-∈．若存在1,22
x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦
，使得
()()0f x xf x '+>，则实数
b 的取值范围是____．
17．若a 是区间[]0,3e 上任意选取的一个实数，则x e
a x
>对()0,x ∈+∞恒成立的概率为
______.
18．已知函数()()()3
ln 06
x f x a x x x a =-->，当0x >时，()0f x '≥（()f x '为函数
()f x 的导函数），则实数a 的取值范围为______.
19．设定义在R 上的连续函数()f x 的导函数为()f x '，已知函数()y x f x =⋅'的图象
（如图）与x 轴的交点分别为()2,0-，()0,0，()2,0.给出下列四个命题：
①函数()f x 的单调递增区间是()2,0-，(2,)+∞； ②函数()f x 的单调递增区间是(–,2)∞-，(2,)+∞； ③2x =-是函数()f x 的极小值点； ④2x =是函数()f x 的极小值点. 其中，正确命题的序号是__________. 20．函数3
1()3
f x x ax =
-的极大值为23a =__________． 三、解答题
21．已知函数1()ln
1x
f x x
+=-. （1）求证：当(0,1)x ∈时，3
()2()3
x f x x >+；
（2）设实数k 使得3
()()3
x f x k x >+对(0,1)x ∈恒成立，求k 的最大值.
22．函数()x
g x xe =，()2
2
a h x x ax =
+，()()()f x g x h x =- （1）求函数()g x 在0x =处切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性． 23．函数()cos x f x e x =. （1）求()f x 的单调区间；
（2）当0x ≥时，不等式22()(2)x x f x e e ax ≤'-恒成立，求实数a 的取值范围. 24．已知函数32()392f x x x x =-++-.
（1）求函数()y f x =的图象在点()()
1,1f 处的切线方程； （2）求()f x 的单调区间.
25．已知函数32()691f x x x x =-++． （1）求曲线()y f x =在点()0,1处的切线方程．
（2）证明：()()1ln 2cos x x f x x +->对1()2
,x ∈+∞恒成立． 26．已知函数321()23f x x x ax =-
++，21
()42
g x x =-. （1）若函数()f x 在()0,∞+上存在单调递增区间，求实数a 的取值范围； （2）设()()()G x f x g x =-.若02a <<，()G x 在[]1,3上的最小值为1
3
-
，求()G x 在[]1,3上取得最大值时，对应的x 值.
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】 构造函数()ln x
f x x
=
，利用导数分析函数()f x 在区间[),e +∞上的单调性，由此可得出a 、b 、c 的大小关系.
【详解】 构造函数()ln x f x x =
，则()2
1ln x
f x x -'=， 当x e ≥时，()0f x '≤，所以，函数()f x 在区间[),e +∞上为减函数，
34e <<，则()()()34>>f e f f ，即a b c >>.
故选：B. 【点睛】
思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个： （1）判断各个数值所在的区间； （2）利用函数的单调性直接解答.
数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用.
2．A
解析：A 【分析】
构造函数()()x f x g x e =，对其求导得''
()()()x
f x f x
g x e
-=，由()()f x f x '>，可得'()0g x <，从而可得()g x 在[0,)+∞上单调递减，进而可比较出a 与b 的大小
解：令()()x f x g x e =，则''
()()()x
f x f x
g x e
-=， 因为()()f x f x '>，所以'()0g x <， 所以()g x 在[0,)+∞上单调递减， 因为12<，所以(1)(2)g g >，即2(1)(2)
f f e e
>，所以a b >， 故选：A 【点睛】
关键点点睛：此题考查导数的应用，考查数学转化思想，解题的关键是构造函数
()
()x
f x
g x e =
，然后求导后可判断出()g x 在[0,)+∞上单调递减，从而可比较出a 与b 的大小，属于中档题
3．A
解析：A 【分析】
根据()()1f x f ≥，可得x =1是()f x 的极小值点，即()01f '=，可得a ，b 的关系，对
ln a 与2b -的作差，可得ln (2)ln 24a b a a --=+-，构造
()ln 42,(0)g x x x x =-+>，即可求得()g x 的极大值1
()1ln 404
g =-<，化简整理，即
可得答案. 【详解】
由题意得1()2f x ax b x
'=+-
， 因为()()1f x f ≥，所以()f x 在x =1处取得最小值，即为x =1是()f x 的极小值点， 所以(1)210f a b '=+-=，即12b a =-， 所以ln (2)ln 2ln 24a b a b a a --=+=+-， 令()ln 42,(0)g x x x x =-+>，则114()4x g x x x
-'=-=， 令()0g x '=，解得1
4
x =
， 当1
(0,)4x ∈时，()0g x '>，所以()g x 为增函数，
当1
(,)4
x ∈+∞时，()0g x '<，所以()g x 为减函数，
所以11
()()ln
121ln 4044
g x g ≤=-+=-<， 所以()ln 42ln (2)0g a a a a b =-+=--<，即ln 2a b <-.
【点睛】
解题的关键是熟练掌握利用导函数求解函数极值，判断单调性的方法，并灵活应用，比较两式大小，常用作差法或作商法，难点在于构造()g x 并求极大值，属中档题.
4．A
解析：A 【分析】 由()f x 得21ln 2a x x ≤-，设21
()ln 2
g x x x =-，利用导数求()g x 的最大值可得答案. 【详解】 由21()ln 2f x x x a =-
-，得21ln 2a x x ≤-．设21
()ln 2
g x x x =-，则2
11()x g x x x x
-'=-=
．令()0g x '>，得01x <<；令()0g x '<，得1x >， 则()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，从而1
()(1)2
g x g ≤=-， 故12
a ≤-
． 故选：A. 【点睛】
本题考查了能成立求参数的问题，关键点是构造函数利用导数求最值，考查了分析问题、解决问题的能力.
5．A
解析：A 【分析】
先判断函数的奇偶性和单调性，再分析得解. 【详解】
由题得函数的定义域为R.
()22())()(x x x x f x x e e x e e x x f x --=-+=-=-⋅-+,
所以函数是偶函数.
当0x >时，1()()2x
x x x f x e xe xe x e
-'=-
+++， 因为0x >，所以()0f x '>，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，
因为函数是偶函数，所以函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增. 如果0,0x y >>，则0x y +>，
因为()()()f x f y f x y <<+，所以x y x y <<+，与已知相符； 如果0,0x y <<，则0x y +<，所以x y x y >>+,与已知相符；
如果0,0x y ><，因为()()f x f y <，所以0y x y <+<， 所以()()f y f x y >+，与已知矛盾；
如果0,0x y <>，因为()()f x f y <，所以0y x y >+>， 所以()()f y f x y >+，与已知矛盾；
当,x y 之中有一个为零时，不妨设0y =，()()f x y f x += ，
()()()f x f y f x <<，显然不成立.
故选：A 【点睛】
方法点睛：对于函数的问题，要灵活利用函数的奇偶性和单调性分析函数的问题，利用函数的图象和性质分析函数的问题.
6．C
解析：C 【分析】
先令()0f x =，分离参数得到22ln 1x a x +=，令()2
2ln 1
x g x x
+=根据函数有两个不同零点，可得y a =与()2
2ln 1
x g x x
+=
的图象有两个不同交点，对()g x 求导，判定其单调性，得出最值，画出大致图象，结合图象，即可得出结果. 【详解】
因为函数2()2ln 1f x ax x =--有两个不同零点， 所以方程22ln 10ax x --=有两不同实根，即2
2ln 1
x a x
+=有两个不同的零点， 令()22ln 1x g x x +=
，0x >，则得y a =与()2
2ln 1x g x x +=的图象有两个不同交点， 因为()()2
43
22ln 124ln x x x
x x g x x x ⋅-+⋅-'==
，由()0g x '=可得1x =， 当()0,1x ∈时，()0g x '>，则()g x 单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，则()g x 单调递减； 所以()()max 11g x g ==， 又由()22ln 10x g x x +=>
可得x >()
22ln 1
0x g x x +=<
可得0x <<， 画出()2
2ln 1
x g x x +=
的大致图象如下：
由图像可得，当01a <<时，y a =与()2
2ln 1
x g x x +=的图象有两个不同交点， 即原函数有两个不同零点. 故选：C. 【点睛】 思路点睛：
利用导数的方法研究函数零点个数（方程根的个数）求参数问题时，一般需要先分离参数，根据分离后的结果，构造新的函数，利用导数的方法研究函数单调性，确定函数最值，利用数形结合的方法求解.
7．B
解析：B 【分析】 由函数21ln 22y x a x x =
--在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，知'0y ≥在1,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
上恒成立，分离参数，求最值得答案. 【详解】 因为函数21ln 22y x a x x =
--在1,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
上单调递增， 所以22'20a x x a
y x x x --=--=≥在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
上恒成立，
所以222(1)1a x x x ≤-=--在1
,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
上恒成立， 所以1a ≤-， 故选：B. 【点睛】
方法点睛：该题考查的是有关根据函数在给定区间上单调增求你参数的取值范围的问题，解题方法如下：
（1）利用函数在给定区间上单调递增，得到其导数大于等于零在给定区间上恒成立； （2）求导；
（3）分离参数，求最小值，得结果.
8．A
解析：A
【分析】
对()f x 进行求导得3()3f x x x m '=-+，构造新函数3()3,h x x x m x R =-+∈，利用导
数研究函数()h x 的单调性，结合题意，可知函数()f x 有极大值，则()()10
10h h ⎧->⎪⎨<⎪⎩
，求解
不等式且结合m ，n 为正整数，即可得出结果. 【详解】 由题可知，42
13()42
f x x x mx n =
-++()x R ∈， 则3()3f x x x m '=-+，
设3()3,h x x x m x R =-+∈，则2()33h x x '=-， 令2()330h x x '=-=，解得：121,1x x =-=，
则当1x <-或1x >时，()0h x '>；当11x -<<时，()0h x '<，
所以()h x 在区间()(),1,1,-∞-+∞上单调递增；在区间()1,1-上单调递减， 又因为函数()f x 有极大值，
则()()1010h h ⎧->⎪⎨<⎪⎩，即()()
120
120h m h m ⎧-=+>⎪⎨=-<⎪⎩，解得：22m -<<，
而m ，n 为正整数，所以m 的值为1. 故选：A. 【点睛】
关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，从而求参数值，构造新函数且利用导数求出单调区间是解题的关键，考查转化思想和运用能力.
9．A
解析：A 【分析】
由(0)1f =，故0不是函数()2
y f x ax =-的零点，则由2()0f x ax -=，得
2()(0)f x a x x =≠，令2()()f x g x x =2
,0
1,0
x
e x x x x
⎧>⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，则题目转化为y a =与()y g x =有三
个零点，利用导数研究函数()y g x =的性质并作出示意图可求得答案. 【详解】
由(0)1f =，故0不是函数()2
y f x ax =-的零点，
则由2()0f x ax -=，得2()
(0)f x a x x
=
≠，
令2
()()f
x g x x =2
,0
1,0
x
e x x x x
⎧>⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，则题目转化为y a =与()y g x =有三个零点， 当0x >时，2()x e g x x =，则4
(2)
()x xe x g x x
-'=， 则()g x 在(0,2)上递减，在(2,)+∞上递增，当2x =时，()g x 有最小值为2
(2)4
e
g =，
当0x →时，()g x →+∞，作出()y g x =的示意图如图所示：
由图知，若函数()2
y f x ax =-恰有三个零点，则2
4
e a >. 故选：A. 【点睛】
方法点睛：求函数()f x 的零点个数的方法如下： 直接解方程()0f x =，求出零点可得零点个数.； 数形结合法：转化为两个函数的交点；
参变分离法：将参数分离出来，再作函数的图像进而转化为y a =与()y g x =（分离后的函数）的交点问题.
10．A
解析：A 【分析】
由函数()()1y x f x '=-的图象，可得1x >时，()0f x '<；21x -<<时，()0f x '<；
2x <-时，()0f x '>.由此可得函数()f x 的单调性，则答案可求.
【详解】
解：函数()()1y x f x '=-的图象如图所示，
∴1x >时，()0f x '<；21x -<<时，()0f x '<；2x <-时，()0f x '>. ∴函数()f x 在(),2-∞-上单调递增，在()2,1-上单调递减，在()1,+∞上单调递减. ∴()f x 有极大值()2f -.
故选：A . 【点睛】
本题考查根据导函数的相关图象求函数的单调区间，考查数形结合思想，是中档题.
11．C
解析：C 【详解】
分析：函数()3
2
21f x ax x x =+++在()1,2上有最大值无最小值，则极大值在()1,2之
间，一阶导函数有根在()1,2，且左侧函数值小于0，右侧函数值大于0，列不等式求解 详解：f ′（x ）＝3ax 2+4x +1，x ∈（1，2）．
a ＝0时，f ′（x ）＝4x +1＞0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去． a ≠0时，△＝16﹣12a ． 由△≤0，解得4
3
a ≥，此时f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．
由△＞0，解得a 43＜
（a ≠0），由f ′（x ）＝0，解得x 1=，
x 2=
．
当403
a ＜＜时，x 1＜0，x 2＜0，因此f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．
当a ＜0时，x 1＞0，x 2＜0，∵函数f （x ）＝ax 3+2x 2+x +1在（1，2）上有最大值无最小值，
∴必然有f ′（x 1）＝0，∴12，a ＜0．
解得：53-＜a 34
-
＜． 综上可得：53
-＜a 34
-＜． 故选：C ．
点睛：极值转化为最值的性质：
1、若()[]
f x x a,b ∈在上有唯一的极小值，且无极大值，那么极小值为()f x 的最小值；
2、若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极大值，且无极小值，那么极大值为()f x 的最大值；
12．A
解析：A 【分析】
求导得()1x f x e a '=-+，原问题可转化为()'f x 在(0,1)上有变号零点，由于()'f x 单调递增，只需满足()()010f f ''<，解之即可． 【详解】
解：
()(1)1x f x e a x =--+，()1x f x e a '∴=-+，
若()f x 在(0,1)上不单调，则()'f x 在(0,1)上有变号零点， 又
()f x '单调递增，()()010f f ''∴<，即(11)(1)0a e a -+-+<，解得21a e <<+．
a ∴的取值范围是(2,e +1)．
故选：A ． 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性、零点存在定理，理解原函数的单调性与导函数的正负性之间的联系是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
二、填空题
13．【分析】利用导数求出函数的极大值点和极小值点由题意可得出关于实数的不等式组由此可解得实数的取值范围【详解】则令可得列表如下： 极大值 极小值 所以函数的极大值点为 解析：()3,2--
【分析】
利用导数求出函数()f x 的极大值点和极小值点，由题意可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】
()3
2133
f x x x =
++，则()()222f x x x x x '=+=+， 令()0f x '=，可得12x =-，20x =，列表如下：
所以，函数f x 的极大值点为2x =-，极小值点为0x =， 由于函数()3
2133
f x x x =++在区间(),3+m m 上存在极大值与极小值， 所以，2
30
m m <-⎧⎨
+>⎩，解得32m -<<-.
因此，实数m 的取值范围是()3,2--. 故答案为：()3,2--. 【点睛】
易错点点睛：已知极值点求参数的值，先计算()0f x '=，求得x 的值，再验证极值点．由于导数为0的点不一定是极值点，因此解题时要防止遗漏验证导致错误．
14．【分析】不等式等价变形利用同构函数的单调性得解【详解】令∴在上单调递增∵∴∴恒成立令只需∴单调递增∴单调递减时的最大值为∴∴的最小值为故答案为：【点睛】不等式等价变形同构函数是解题关键
解析：3
e
【分析】
不等式等价变形()()()
4ln 3ln 3ln 3ln x x x
e x x a a x x a a e e -≤-⇔-≤-，利用同构函数
()ln f x x x =-的单调性得解
【详解】
()()4ln 3ln 3ln 3ln x x e x x a a x x ae a x -≤-⇔-≤--
()()3ln 3ln x x x x ae ae ⇔-≤-
令()ln f x x x =-，()111x f x x x
-'=-
=， ∴()f x 在[)1,+∞上单调递增.∵1a >，1
[,)3x ∈+∞，
∴[)3,1,x e x a ∈+∞，∴33x
x e
ae x x a ⇔≤⇔≤恒成立，
令()3x x g x e =，只需max ()a g x ≥，()33x
x
g x e -'=， ∴1
[,1),()0,()3
x g x g x ∈'>单调递增，
∴(1,),()0,()x g x g x ∈+∞'<单调递减，
1x ∴=时，()g x 的最大值为3
e
，
∴3a e ≥
，∴a 的最小值为3e
. 故答案为：3
e
【点睛】
不等式等价变形，同构函数()ln f x x x =-是解题关键.
15．【分析】由题意可得：有2个不相等的实根也即有2个不相等的实根利用即可求解【详解】由题意可得：有2个不相等的实根也即有2个不相等的实根所以即解得：或故答案为：【点睛】本题主要考查了极值和导数的关系属于
解析：()
(),22,-∞-+∞
【分析】
由题意可得：()2
0()22x f x x a x a e '⎡⎤=++++⎣=⎦
有2个不相等的实根，也即 ()2220x a x a ++++=有2个不相等的实根，利用0∆>即可求解.
【详解】
由题意可得：()20()22x f x x a x a e '⎡⎤=++++⎣=⎦有2个不相等的实根，
也即()2
220x a x a ++++=有2个不相等的实根，
所以()()2
2420a a ∆=+-+>， 即()()2240a a ++->， 解得：2a >或2a <-， 故答案为：()(),22,-∞-+∞
【点睛】
本题主要考查了极值和导数的关系，属于中档题.
16．【详解】解答：∵f(x)=ex(x−b)∴f′(x)=ex(x−b+1)若存在x ∈2使得f(x)+xf′(x)>0则若存在x ∈2使得ex(x−b)+xex(x−b+1)>0即存在x ∈2使得b<成立令
解析：8
3
b <
【详解】 解答： ∵f(x)=e x (x−b)， ∴f′(x)=e x (x−b+1)， 若存在x ∈[
1
2
,2],使得f(x)+xf′(x)>0， 则若存在x ∈[1
2
,2],使得e x (x−b)+xe x (x−b+1)>0， 即存在x ∈[
1
2,2],使得b<221
x x x ++ 成立， 令()221,,212x x g x x x +⎡⎤
=
∈⎢⎥+⎣⎦
， 则()()
22
22
01x x g x x ++'=
>+ ，
g(x)在1,22⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
递增，
∴g(x)最大值=g(2)=
83
，
则实数b 的取值范围是83
b <
17．【分析】由对恒成立可知只要小于的最小值所以构造函数利用导数求出从而得然后利用区间长度比求出概率即可【详解】设则当时；当时在递减在递增∴∴当时对恒成立故所求概率为故答案为：【点睛】此题考查的是几何概型
解析：1
3
【分析】
由x e a x >对()0,x ∈+∞恒成立，可知只要a 小于x
e x
的最小值，所以构造函数
()x
e f x x
=，利用导数求出()()min 1f x f e ==，从而得()0,a e ∈，然后利用区间长度比
求出概率即可. 【详解】
设()x e f x x =，则()()'
2
1x e x f x x -=，
0x >.当01x <<时，()'0f x <；当1x >时，()'0f x >，()f x 在()0,1递减，在()1,+∞递增∴()()min 1f x f e ==，∴当a e <时，
x
e a x
>对()0,x ∈+∞恒成立.故所求概率为
1303e e =-. 故答案为：1
3
【点睛】
此题考查的是几何概型，不等式恒成立问题，属于基础题.
18．【分析】转化条件得设求导后求出函数的最小值令即可得解【详解】由题意得由于时故设则由于所以当时单调递减；当时单调递增于是所以即故实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查了利用导数解决不等式恒成立问题 解析：(]0,e
【分析】
转化条件得()min 0f x '≥，设()()g x f x '=，求导后求出函数()g x 的最小值()min g x ，令()min 0g x ≥即可得解. 【详解】
由题意得()2
ln 2
x f x a x '=-.
由于0x >时，()0f x '≥，故()min 0f x '≥.
设()()g x f x '=，则(
)(
2x x x a g x x
x
+-'==
.
由于0x >
，所以当(x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；
当)
x ∈
+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增.
于是()(
)
()min min ln 1ln 022
a a
f x
g x g
a a '===
-=-≥， 所以ln 1a ≤即0a e <≤，故实数a 的取值范围是(]0,e . 故答案为：(]0,e 【点睛】
本题考查了利用导数解决不等式恒成立问题，考查了推理能力，属于中档题.
19．②④【分析】根据函数和图象可得的单调区间和单调性从而得到答案【详解】由函数和图象可得当时得所以函数单调递增当时得所以函数单调递减当时得所以函数单调递减当时得所以函数单调递增所以①错误；②正确；③是函
解析：②④ 【分析】
根据函数()y x f x =⋅'和图象可得()f x 的单调区间和单调性，从而得到答案. 【详解】
由函数()y x f x =⋅'和图象可得，
当2()–,x ∞-∈时，0y <，得()0f x '>，所以函数()f x 单调递增， 当()2,0x ∈-时，0y >，得()0f x '<，所以函数()f x 单调递减， 当(0,2)x ∈时，0y <，得()0f x '<，所以函数()f x 单调递减， 当(2,)x ∈+∞时，0y >，得()0f x '>，所以函数()f x 单调递增， 所以①错误；②正确；③2x =-是函数()f x 的极大值点，错误；④正确. 故答案为：②④. 【点睛】
本题结合图象考查函数的单调性和判断极值，属于基础题.
20．3【分析】求导数取导数为0计算代入原函数计算极大值得到答案【详解】函数的极大值为由题意知：当时有极大值所以故答案为3【点睛】本题考查了函数的极大值意在考查学生的计算能力
解析：3 【分析】
求导数，取导数为0
，计算x =.
【详解】
函数3
1()3
f x x ax =
-的极大值为
2()f x x a '=- 由题意知：0,a x >⇒=
当x =(f =所以3a = 故答案为3 【点睛】
本题考查了函数的极大值，意在考查学生的计算能力.
三、解答题
21．（1）证明见详解；（2）2 【分析】
（1）构造新函数利用函数的单调性证明命题成立.
（2）对k 进行讨论，利用新函数的单调性求参数k 的取值范围. 【详解】
（1）证明：()()1()ln
ln 1ln 11x
f x x x x
+==+---， ()2112111f x x x x
'=
+=+-- 令()3
()2()3x g x f x x =-+，
则()()()4
2
2
2211x g x f x x x
''=-+=-， 因为()()001g x x '><<，所以()g x 在()0,1上单调递增， 所以()()00g x g >=，()0,1x ∈，
即当()0,1x ∈时，3
()2()3
x f x x >+.
（2）由（1）可知，当k 2≤时，3
()()3x f x k x >+对(0,1)x ∈恒成立，
当2k >时，令()3
()()3
x h x f x k x =-+，
则()()22
2
2()(1)1kx k h x f x k x x
--''=-+=
-，
所以当0x <<
()0h x '<，
因此()h x 在区间⎛ ⎝上单调递减，
当0x <<
()()00h x h <=， 即3
()()3
x f x k x <+，
所以当2k >时，3
()()3
x f x k x >+并非对(0,1)x ∈恒成立，
综上可知，k 的最大值为2. 【点睛】
关键点点睛：本题考查了构造新函数，利用导数判断函数的单调性，证明不等式，利用导
数研究不等式恒成立，解题的关键是由（1）确定当k 2≤时，3
()()3
x f x k x >+对
(0,1)x ∈恒成立，考查了运算求解能力. 22．（1）y x =；（2）答案见解析.
【分析】
（1）求出()g x '、()0k g '=，再求出切点坐标可得答案；
（2）求出()f x '，讨论0a ≤、0a >的范围，利用导数可得函数的单调性，注意0a >时，再分ln 1a =-、ln 1a <-、ln 1a >-讨论函数()f x 的单调性. 【详解】
（1）()()1x
x
x
g x e xe x e '=+=+，()00g =．
()01k g '==，直线方程为y x =．
（2）()()()()
11x x x
f x e xe a x x e a '=+-+=+-，
当0a ≤时，0x e a ->，由()0f x '>得1x >-，由()0f x '<得1x <-， 即函数()f x 在()1,-+∞上递增，函数()f x 在(),1-∞-上递减； 当0a >时，令()0f x '=得1x =-或ln x a =．
①当ln 1a =-，即1a e -=时，在R 上()0f x '>，从而函数()f x 在R 上递增； ②当ln 1a <-，即10
a
e 时，
由()0f x '>得1x >-或ln x a <，由()0f x '<得ln 1a x <<-，
函数()f x 在()1,-+∞和(),ln a -∞上递增；函数()f x 在()ln ,1a -上递减； ③当ln 1a >-，即1a e ->时，
由()0f x '>得ln x a >或1x <-时，由()0f x '<得1ln x a -<<，
函数()f x 在()1,ln a -上递减，函数()f x 在()ln ,a +∞和(),1-∞-上递增；
综上，当0a ≤时，()f x 递增区间是()1,-+∞上，递减区间是(),1-∞-上； 当10
a
e 时，()
f x 递增区间是(),ln a -∞，()1,-+∞，递减区间是()ln ,1a -；
当1a e -=时，()f x 递增区间为(,)-∞+∞；
当1a e ->时，()f x 递增区间是(),1-∞-，()ln ,a +∞，递减区间是()1,ln a -． 【点睛】
本题考查了导数的几何意义、函数的单调性，对参数进行分类讨论是解题的关键，考查学生分类讨论思想、分析问题解决问题的能力.
23．（1）()f x 的单调递增区间为：32,2()44k k k ππππ⎡
⎤
-+∈⎢⎥⎣
⎦Z ，()f x 的单调递减区间为52,2()44k k k ππ⎡
⎤
π+π+∈⎢⎥⎣⎦
Z ；（2）(,2]-∞. 【分析】
（1）求导函数，计算()0f x '≥和()0f x '≤即可得单调区间；
（2）将
()()cos sin x f x e x x '=-代入不等式化简得2sin cos ()20x
x
x x h x e ax e
-=
+-≥恒成立，通过求导数讨论单调性并求得最值，从而求的实数a 的取值范围.
【详解】
（1）由题可得()cos sin (cos sin )cos 4x
x
x
x f x e x e x e x x x π⎛
⎫'=-=-=
+ ⎪⎝
⎭
令()cos 04x
f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭'，
得22()24
2
k x k k π
π
π
ππ-+
+
∈Z ，
∴322()4
4
k x k k Z π
π
ππ-
+
∈，
∴()f x 的单调递增区间为32,2()44k k k ππππ⎡⎤
-
+∈⎢⎥⎣
⎦
Z . 同理，令()0f x '≤，得()f x 的单调递减区间为52,2()44k k k ππ⎡
⎤
π+
π+∈⎢⎥⎣
⎦
Z 综上所述：()f x 的单调递增区间为：32,2()44k k k ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ， ()f x 的单调递减区间为52,2()44k k k ππ⎡
⎤π+π+∈⎢⎥⎣
⎦Z .
（2）由
()()cos sin x f x e x x '=-，得2cos sin 2x x
x x
e ax e --≥
，
即
2sin cos 20x
x
x x e ax e
-+-. 设2sin cos ()2x x x x h x e ax e -=
+-，则()22cos 22x x
x
h x e a e
'=+-. 设()()x h x ϕ='
，则344()x x
e x x e πϕ⎛
⎫-+ ⎪
⎝⎭=
'. 当[0,)x ∈+∞时，344x e ≥
，4x π⎛⎫
+≤ ⎪⎝
⎭
()0x ϕ'≥. 所以()x ϕ即()h x '在[0,)+∞上单调递增， 则()()042h x h a ''≥=-.
若2a ≤，则()()0420h x h a ''≥=-≥， 所以()h x 在[0,)+∞上单调递增. 所以()()00h x h ≥=恒成立，符合题意.
若2a >，则()0420h a '=-<，必存在正实数0x ， 满足：当()00,x x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减， 此时()()00h x h <=，不符合题意. 综上所述，a 的取值范围是(,2]-∞. 【点晴】
方法点晴：将不等式恒成立问题转化为最值问题来求解，通过求导讨论单调性求得最值，从而解决相关问题.
24．（1）1230x y --=；（2）单调递减区间为(,1)-∞-和(3,)+∞，单调递增区间为
()1,3-.
【分析】
（1）求出导函数()'f x ，然后计算导数得斜率，从而得切线方程； （2）由()0f x '>得增区间，()0f x '<得减区间． 【详解】
解：（1）∵32()392f x x x x =-++-， ∴2()369f x x x '=-++， ∴()112f '=. 又∵()19f =，
∴函数()y f x =的图象在点()()
1,1f 处的切线方程为912(1)y x -=-， 即1230x y --=.
（2）由（1），得2
()3693(1)(3)f x x x x x '=-++=-+-，
令()0f x '=，解得1x =-或3x =；
当()0f x '<时，1x <-或3x >；
当()0f x '>时，13x .
∴()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-和(3,)+∞，单调递增区间为()1,3-.
【点睛】
关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查求函数的单调区间．解题方法是求出导函数()'f x ，计算0()f x '得切线斜率，由点斜式写出切线方程并整理成一般式．而求单调区间只要解不等式()0f x '>即得增区间，解不等式()0f x '<即得减区间．
25．（1）91y x =+；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求出函数在0x =处的导数后可得切线方程.
（2）设函数()1ln g x x x =+-，利用导数可证明在1(,)2
+∞上有()()1,1f x g x ≥≥，但等号不同时成立，结合余弦函数的性质可证明()()1ln 2cos x x f x x +->在1()2
,x ∈+∞恒成立. 【详解】
（1）解：2()3129f x x x -'=+，则()09f =，
故曲线()y f x =在点()0,1处的切线方程为91y x =+．
（2）证明：当1(,1)(3,)2x ∈⋃+∞时，()0f x '>，
则()f x 在1(,1),(3,)2+∞上单调递增；
当()1,3x ∈时，()0f x '<，则()f x 在()1,3上单调递减． 因为1
33()(3)128
f f =>=， 所以()f x 在1(,)2+∞上的最小值为()31f =．
设函数()1ln g x x x =+-．则1()(0)x g x x x
-'=>． 当1(,1)2
x ∈时，()0g x '<，则()g x 在1
(,1)2上单调递减；
当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，则()g x 在(1,)+∞上单调递增．
故()()12g x g ≥=．
从而()()1ln 2x x f x +-≥，但由于()1f x ≥与()2g x ≥的取等条件不同，
所以()()1ln 2x x f x +->．
因为2cos 2x ≤，
所以()()1ln 2cos x x f x x +->对1()2,x ∈+∞恒成立．
【点睛】
方法点睛：对于不等式的恒成立的问题，如果该不等式中含有三角函数，那么可以利用三角函数的有界性把前者转化为与三角函数无关的不等式，这样便于问题的讨论与处理.
26．（1）12a >-
；（2）最大值点为36.36
x =. 【分析】
（1）根据()f x 在()0,∞+上存在单调递增区间，由()2220f x x x a =-++>'在()0,∞+上有解求解.
（2）由()0G x '=得1x =2x =，根据02a <<，易得10x <，213x <<，则()G x 在[]
1,3上的最大值点为2x ，最小值为()1G 或()3G ，然后由()()143143G G a -=-
+，分14403a -+<，14403
a -+≥确定最小值进而求得a 即可 【详解】 （1）∵()f x 在()0,∞+上存在单调递增区间，
∴()2
220f x x x a =-++>'在()0,∞+上有解， 即()max 0f x '>在()0,∞+上成立，
而()f x '的最大值为()112f a '=+，
∴120a +>， 解得：12
a >-. （2）3211()()()2432G x f x g x x x ax =-=-
+++， ∴()2
2G x x x a '=-++，
由()0G x '=得：1x =2x =， 则()G x 在()1,x -∞，()2,x +∞上单调递减，在()12,x x 上单调递增，
又∵当02a <<时，10x <，213x <<，
∴()G x 在[]1,3上的最大值点为2x ，最小值为()1G 或()3G ，
而()()143143
G G a -=-+，
1︒ 当14403a -+<，即706a <<时，()113623G a =-=-，得136
a =，
此时，最大值点236
x += 2︒ 当14403a -+≥，即726a ≤<时，()2511263G a =+=-，得94
a =-（舍）.
综上()G x 在[]1,3 【点睛】 方法点睛：(1)求解函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在[a ，b ]内所有使f ′(x )＝0的点，再计算函数y ＝f (x )在区间内所有使f ′(x )＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得；
(2)已知函数的最值求参数，一般先用参数表示最值，列方程求解参数．。