高考数学普通高等学校招生全国统一考试123.doc

高考数学普通高等学校招生全国统一考试123
第I 卷（本卷共10小题，每小题5分，共50分）
一. 选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. i 是虚数单位，
=+i
i
1（ ） A. i 2121+ B. i 2121+- C. i 2121- D. i 2
121--
2. 如果双曲线的两个焦点分别为)0,3(1-F 、)0,3(2F ，一条渐近线方程为x y 2=，那么
它的两条准线间的距离是（ ） A. 36 B. 4 C. 2 D. 1
3. 设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧-≥≥+≤632x y y x x y ，则目标函数y x Z +=2的最小值为（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 9
4. 设集合}20|{},30|{≤<=≤<=x x N x x M ，那么“M a ∈”是“N a ∈”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 将4个颜色互不相同的球全部放入编与为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ） A. 10种 B. 20种 C. 36种 D. 52种
6. 设n m 、是两条不同的直线，βα、是两个不同的平面，考查下列命题，其中正确的命题是（ ）
A. βαβα⊥⇒⊥⊂⊥n m n m ,,
B. n m n m ⊥⇒⊥βαβα//,,//
C. n m n m ⊥⇒⊥⊥βαβα//,,
D. ββαβα⊥⇒⊥=⋂⊥n m n m ,, 7. 已知数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ，
*11N b a ∈、，设n b n a c =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于（ ）
A. 55
B. 70
C. 85
D. 100
8. 已知函数x b x a x f cos sin )(-=（b a 、为常数，R x a ∈≠,0）在4
π
=x 处取得最小
值，则函数)4
3(
x f y -=π
是（ ） A. 偶函数且它的图象关于点（0,π）对称 B. 偶函数且它的图象关于点（0,2
3π
）对称
C. 奇函数且它的图象关于点（
0,2
3π
）对称 D. 奇函数且它的图象关于点（0,π）对称
9. 函数)(x f 的定义域为开区间（b a ,），导函数
)(x f '在（b a ,）
内的图像如图所示，则函数)(x f 在开区间（b a ,）内有极小值点（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
10. 已知函数)(x f y =的图像与函数x
a y =（0>a 且1≠a ）的图像关于直线x y =对称，
记]1)2()()[()(-+=f x f x f x g 。

若)(x g y =在区间]2,2
1[上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A. ),2[+∞
B. )2,1()1,0(⋃
C. )1,21[
D. ]2
1,0(
第II 卷（本卷共12小题，共100分）
二. 填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。

把答案填在题中横线上。

11. 7)12(x
x +
的二项展开式中x 的系数是 （用数字作答）。

12. 设向量与的夹角为θ，且=（3，3），)1,1(2-=-，则
=θc os 。

13. 如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，AB=1。

若二面角1C AB C --的大小为︒60，则点C 到平面ABC 1的距离为 。

14. 设直线03=+-y ax 与圆4)2()1(2
2
=-+-y x 相交于A 、B 两点，
且弦AB 的长为32，则=a 。

15. 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为x 4万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x = 吨。

16. 设函数1
1
)(+=
x x f ，点0A 表示坐标原点，点)))(
(,(*N n n f n A n ∈。

若向量n n n A A A A A A a 12110-+++= ，n θ是n a 与i 的夹角（其中i )0,1(=），设+=1tan θn S n θθtan tan 2++ ，则=∞
→n n S lim 。

三. 解答题：本大题共6小题，共76分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）
如图，在ABC ∆中，AC=2，BC=1，4
3cos =C 。

（1）求AB 的值；
（2）求)2sin(C A +的值。

18.（本小题满分12分）
某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为
5
3
，且各次射击的结果互不影响。

（1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）； （2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）；
（3）设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列。

19.（本小题满分12分）
如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点，面CDE 是等边三角形，棱BC EF 2
1
//
=。

（1）证明FO//平面CDE ； （2）设CD BC 3=
，证明EO ⊥平面CDF 。

20.（本小题满分12分）
已知函数θθcos 16
3
cos 34)(2
3
+
-=x x x f ，其中R x ∈，θ为参数，且πθ20<≤。

（1）当0cos =θ时，判断函数)(x f 是否有极值；
（2）要使函数)(x f 的极小值大于零，求参数θ的取值范围；
（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数θ，函数)(x f 在区间（a a ,12-）内都是增函数，求实数a 的取值范围。

21.（本小题满分14分）
已知数列}{}{n n y x 、
满足121==x x ，221==y y ，并且 11-+=n n n n x x x x λ，1
1-+≥n n n n y y
y y λ（λ为非零参数，=n 2，3，4，…） （1）若531x x x 、、成等比数列，求参数λ的值；
（2）当0>λ时，证明n
n n n y x y x ≤++11（*
N n ∈） （3）当1>λ时，证明
1
1133222211-<--++--+--++λλn n n n y x y x y x y x y x y x （*
N n ∈）。

22.（本小题满分14分）
如图，以椭圆122
22=+b
y a x （0>>b a ）的中心O 为圆心，分别以a 和b 为半径作大圆和
小圆。

过椭圆右焦点F （0,c ）（b c >）作垂直于x 轴的直线交大圆于第一象限内的点A 。

连结OA 交小圆于点B 。

设直线BF 是小圆的切线。

（1）证明ab c =2
，并求直线BF 与y 轴的交点M 的坐标； （2）设直线BF 交椭圆于P 、Q 两点，证明2
2
1b OQ OP =
⋅。

普通高等学校招生全国统一考试
数学（理工类）
参考答案
一. 选择题：1. A 2. C 3. B 4. B 5. A 6. B 7. C 8. D 9. A 10. D
二. 填空题： 11. 280 12. 10103 13. 4
3
14. 0 15. 20 16. 1 三. 解答题：
17. （1）解：由余弦定理，C BC AC BC AC AB cos 22
2
2
⋅-+=24
3
12214=⨯⨯⨯-+= 那么，2=
AB
（2）解：由4
3cos =
C 且π<<C 0，得47cos 1sin 2
=-=C C ，由正弦定理，
A
BC
C AB sin sin =
，解得814sin sin ==AB C BC A 。

所以825cos =A 。

由倍角公式16
7
5cos sin 22sin =⋅=A A A ，
且16
9sin 212cos 2
=-=A A ，
故8
7
3sin 2cos cos 2sin )2sin(=+=+C A C A C A
18. （1）解：记“射手射击1次，击中目标”为事件A ，则在3次射击中至少有两次连续击中目标的概率。

)()()(1A A A P A A A P A A A P P ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=125
63
535353535352525353=
⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
（2）解：射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率625
1625352)53(22
32=⨯⨯⨯=C P
（3）解：由题设，“k =ξ”的概率为
33213221)53
()52(53)52()53()(⨯⨯=⨯⨯⨯==----k k k k C C k P ξ（*N k ∈且3≥k ）
所以，ξ的分布列为：
19.（1）证明：取CD 中点M ，连结OM ，在矩形ABCD 中
BC OM 21//=，又BC EF 2
1//=，则OM EF =//。

连结EM ，
于是四边形EFOM 为平行四边形
∴ FO//EM
又 ∵ FO ⊄平面CDE ，且EM ⊂平面CDE ， ∴ FO//平面CDE （2）证明：连结FM ，由（1）和已知条件，在等边CDE
∆
中，CM=DM ，EM ⊥CD 且EF BC CD EM ===
2
1
23。

因此平行四边形EFOM 为菱形，从而EO ⊥FM
∵ CD ⊥OM ，CD ⊥EM ∴ CD ⊥平面EOM ，从而CD ⊥EO 而FM ⋂CD=M ，所以⊥EO 平面CDF
20. （1）解：当0cos =θ时，3
4)(x x f =，则)(x f 在（+∞∞-,）内是增函数，故无极值。

（2）解：θcos 612)(2
x x x f -='，令0)(='x f ，得2
cos ,021θ
=
=x x 由（1），只需分下面两种情况讨论
① 当0cos >θ时，随x 的变化，)(x f '的符号及)(x f 的变化情况如下表：
因此，函数)(x f 在2=
x 处取得极小值)2(f 且θθcos 16
cos 4)2(3+-=f 要使0)2cos (>θf ，必有0)4
3
(cos cos 412>--θθ，可得23cos 0<
<θ 由于πθ20≤≤，故26πθπ<<或6
1123π
θπ<
< ② 当0cos <θ时，随x 的变化，)(x f '的符号及)(x f 的变化情况如下表：
因此，函数)(x f 在0=x 处取得极小值)0(f ，且θcos 16
)0(=f
若0)0(>f ，则0cos >θ，矛盾，所以当0cos <θ时，)(x f 的极小值不会大于零
综上，要使函数)(x f 在),(+∞-∞内的极小值大于零，参数θ的取值范围为)6
11,23()2,6(ππππ⋃ （3）解：由（2）知，函数)(x f 在区间)0,(-∞与),2
cos (+∞θ
内都是增函数 由题设，函数)(x f 在),12(a a -内是增函数，则a 须满足不等式组
⎩⎨⎧≤<-012a a a 或⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-<-θcos 21
1212a a
a 由（2），参数)6
11,23()2,6(π
πππθ⋃∈时，23cos 0<<θ，要使不等式
θcos 2
1
12≥-a 关于参数θ恒成立，必有4312≥
-a ，即a ≤+834
综上，解得0≤a 或1834<≤+a ，所以a 的取值范围是)1,8
3
4[]0,(+⋃-∞ 21.
（1）解：由已知121==x x ，且
λλ=⇒=31223x x x x x ，342
334λλ=⇒=x x x x x
，653
445λλ=⇒=x x x
x x 若1x 、3x 、5x 成等比数列，则5123x x x =，即6
2λλ=，而0≠λ，解得1±=λ
（2）证明：由已知，0>λ，121==x x 及221==y y ，可得0>n x ，0>n y 。

由不等式的性质，有11
2121211-----+=≥≥≥≥n n n n n n n n y y
y y y y y y λλλλ 另一方面，
11
2121211-----+=====n n n n n n n n x x
x x x x x x λλλλ 因此，11-+≥n n n y y λn n x x 1+=)(*N n ∈，故n
n n n y x y x ≤++11)(*
N n ∈
（3）证明：当1>λ时，由（2）可知1≥>n n x y )(*
N n ∈ 又由（2）
n n n n y x y x ≤++11)(*N n ∈，则n
n
n n n n x x y x x y -≥-+++111从而1111-+++=≥--n n
n n n n n x x x y x y λ)(*N n ∈
因此，
1133222211++--++--+--n n n n y x y x y x y x y x y x 1
1
1)1
(1)1
(111-<
-
-=
+++≤-λλλ
λ
λ
λn
n
22. （1）证明：由题设条件知，OFA Rt ∆～OBF Rt ∆，故OF OB OA OF =
，即c
b a
c =因此ab c =2
①
解：在OFA Rt ∆中，b c a OF OA FA =-=-=2222
于是，直线OA 的斜率c
b
k OA =，设直线BF 的斜率为k ， 则b
c k k OA -=-
=1 这时，直线BF 的方程为)(c x b
c
y --
=，令0=x ， 则a b
ab b c y ===2 所以直线BF 与y 轴的交点为),0(a M
（2）证明：由（1），得直线BF 的方程为a kx y +=，且b a
b
ab b c k ===2222
②
由已知，设),(11y x P 、),(22y x Q ，则它们的坐标满足方程组⎪⎩
⎪⎨⎧+==+
a kx y
b y a x 122
22 ③
由方程组③消去y ，并整理得02)(2
24
3
2
2
2
2
=-+++b a a kx a x k a b ④
由式①、②和④，3
32
32222222222421)(b
a b a b
a a
b b a a k a b b a a x x +=⋅
+-=+-= 由方程组③消去x ，并整理得02)(2
222222222=-+-+k b a b a y ab y k a b ⑤
由式②和⑤，3
322222
222222221)()
1()1(b
a a
b b a b
a a
b b a b a k a b k b a y y +-=⋅
+-=+-= 综上，得到3
33
2332233232121)(b a b a b a a b b a b a b a y y x x +=+-++=+=⋅
注意到2
222222b b c a b ab a =+-=+-，得
)(22)(22
323332b a b a b
b a b a b a b a +=⋅+=+=⋅)(21)(2)()(22222ab a b a b a a b a a
c -=+-=+= 2222
1
)(21b c a =-=。