3.2.1几何概型
几何概型
几何概型1.几何概型向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点M ，若点M 落在子区域G 1G 的概率与G 1的面积成正比，而与G 的形状、位置无关，即P (点M 落在G 1)＝G 1的面积G 的面积，则称这种模型为几何概型.2.几何概型中的G 也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比.3.借助模拟方法可以估计随机事件发生的概率. 概念方法微思考1.古典概型与几何概型有什么区别？提示 古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个.2.几何概型中线段的端点、图形的边框是否包含在内影响概率值吗？ 提示 几何概型中线段的端点，图形的边框是否包含在内不会影响概率值.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零.( √ )(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等.( √ )(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.( √ ) (4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.( √ ) (5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.( × ) (6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P ＝19.( × )题组二 教材改编2.在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( ) A.12 B.13 C.14 D.1 答案 B解析 坐标小于1的区间为[0,1)，长度为1，[0,3]的区间长度为3，故所求概率为13.3.有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )答案 A解析 ∵P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13，∴P (A )>P (C )＝P (D )>P (B ).4.设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( ) A.π4 B.π－22C.π6D.4－π4答案 D解析 如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的平面区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分(不包括AC )表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域.易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是4－π4，故选D.题组三 易错自纠5.在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________.答案 3解析 由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m .当0<m ≤2时，由题意得2m 6＝56，解得m ＝2.5，矛盾，舍去.当2<m <4时，由题意得m －(－2)6＝56，解得m ＝3.故m ＝3.6.在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为________. 答案 23解析 设AC ＝x cm(0<x <12)，则CB ＝(12－x )cm ，则矩形的面积S ＝x (12－x )＝12x －x 2(cm 2).由12x －x 2<32，即(x －8)(x －4)>0，解得0<x <4或8<x <12. 在数轴上表示，如图所示.由几何概型概率计算公式，得所求概率为812＝23.题型一 与长度、角度有关的几何概型例1 在等腰Rt △ABC 中，直角顶点为C . (1)在斜边AB 上任取一点M ，求|AM |<|AC |的概率；(2)在∠ACB 的内部，以C 为端点任作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求|AM |<|AC |的概率.解 (1)如图所示，在AB 上取一点C ′，使|AC ′|＝|AC |，连接CC ′.由题意，知|AB |＝2|AC |.由于点M 是在斜边AB 上任取的，所以点M 等可能分布在线段AB 上，因此基本事件的区域应是线段AB . 所以P (|AM |<|AC |)＝|AC ′||AB |＝|AC |2|AC |＝22. (2)由于在∠ACB 内以C 为端点任作射线CM ，所以CM 等可能分布在∠ACB 内的任一位置(如图所示)，因此基本事件的区域应是∠ACB ，所以P (|AM |<|AC |)＝∠ACC ′∠ACB＝π－π42π2＝34.思维升华 求解与长度、角度有关的几何概型的概率的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解.要特别注意“长度型”与“角度型”的不同，解题的关键是构建事件的区域(长度或角度).跟踪训练1 (1)在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为____________. 答案 23解析 方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根， 则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1＋x 2<0，x 1x 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4p 2－4(3p －2)≥0，－2p <0，3p －2>0，解得p ≥2或23<p ≤1，又p ∈[0,5]，则所求概率为P ＝3＋135＝1035＝23.(2)如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在∠DAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________.答案 13解析 因为在∠DAB 内任作射线AP ，所以它的所有等可能事件所在的区域是∠DAB ，当射线AP 与线段BC 有公共点时，射线AP 落在∠CAB 内，则区域为∠CAB ，所以射线AP 与线段BC 有公共点的概率为∠CAB ∠DAB ＝30°90°＝13.题型二 与面积有关的几何概型命题点1 与面积有关的几何概型的计算例2 (1)(2017·全国Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A.14B.π8C.12D.π4 答案 B解析 不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S 正方形＝4. 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝12S 圆＝π2，所以由几何概型知，所求概率P ＝S 黑S 正方形＝π24＝π8.(2)如图，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数f (x )＝x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为________.答案512解析 由题意知，阴影部分的面积S ＝ʃ21(4－x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫4x －13x 3|21＝53， 所以所求概率P ＝S S 矩形ABCD ＝531×4＝512.命题点2 随机模拟例3 (1)如图所示，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为依据估计椭圆的面积为()A.7.68B.8.68C.16.32D.17.32答案 C解析 由随机模拟的思想方法，可得黄豆落在椭圆内的概率为300－96300＝0.68.由几何概型的概率计算公式，可得S 椭圆S 矩形＝0.68，而S 矩形＝6×4＝24，则S 椭圆＝0.68×24＝16.32.(2)若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率.先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0,1,2,3表示没有击中目标，4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为________. 答案 0.4解析 根据数据得该运动员射击4次至少击中3次的数据分别为7527 9857 8636 6947 4698 8045 9597 7424，共8个，所以该运动员射击4次至少击中3次的概率为820＝0.4.思维升华 求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解.跟踪训练2 (1)(2016·全国Ⅱ)从区间[0,1]内随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A.4n m B.2n m C.4m n D.2m n答案 C解析 由题意得(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知π41＝mn，∴π＝4mn，故选C.(2)如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________.答案2e 2解析 由题意知，所给图中两阴影部分面积相等，故阴影部分面积为S ＝2ʃ10(e －e x )d x ＝2(e x －e x )|10＝2[e －e －(0－1)]＝2.又该正方形的面积为e 2，故由几何概型的概率公式可得所求概率为2e 2.题型三 与体积有关的几何概型例4 已知在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，P A ＝AB ＝2，现在该四棱锥内部或表面任取一点O ，则四棱锥O －ABCD 的体积不小于23的概率为________.答案2764解析 当四棱锥O －ABCD 的体积为23时，设O 到平面ABCD 的距离为h ，则13×22×h ＝23，解得h ＝12.如图所示，在四棱锥P －ABCD 内作平面EFGH 平行于底面ABCD ，且平面EFGH 与底面ABCD 的距离为12.因为P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝2， 所以PE P A ＝34，所以四棱锥O －ABCD 的体积不小于23的概率P ＝V 四棱锥P －EFGH V 四棱锥P －ABCD ＝⎝⎛⎭⎫PE P A 3＝⎝⎛⎭⎫343＝2764.思维升华 求解与体积有关的几何概型的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求.跟踪训练3 在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为( ) A.6π B.32π C.3π D.233π 答案 D解析 由题意可知这是一个几何概型，棱长为1的正方体的体积V 1＝1，球的直径是正方体的体对角线长，故球的半径R ＝32，球的体积V 2＝43π×⎝⎛⎭⎫323＝32π， 则此点落在正方体内部的概率P ＝V 1V 2＝233π.1.已知函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[－3,3]，在定义域内任取一点x 0，使f (x 0)≤0的概率是( ) A.13 B.23 C.12 D.16 答案 C解析 由f (x 0)≤0，可得－1≤x 0≤2，所以D ＝3－(－3)＝6，d ＝2－(－1)＝3，故由几何概型的概率计算公式可得所求概率为P ＝d D ＝12，故选C.2.在区间[－1,3]上随机取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为12，则实数m 为( )A.0B.1C.2D.3 答案 B解析 区间[－1,3]的区间长度为4. 不等式|x |≤m 的解集为[－m ，m ]，当1<m ≤3时，由题意得m ＋14＝12，解得m ＝1(舍)，当0<m ≤1时，由2m 4＝12，则m ＝1.故m ＝1.3.若正方形ABCD 的边长为4，E 为四边上任意一点，则AE 的长度大于5的概率等于( ) A.132 B.78 C.38 D.18 答案 D解析 设M ，N 分别为BC ，CD 靠近点C 的四等分点，则当E 在线段CM ，CN (不包括M ，N )上时，AE 的长度大于5，因为正方形的周长为16，CM ＋CN ＝2，所以AE 的长度大于5的概率为216＝18，故选D.4.在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为π3，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是( )A.2－33πB.4－63πC.－13－32πD.23答案 B解析 设圆的半径为r ，根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S ＝24⎝⎛⎭⎫16πr 2－34r 2＝4πr 2－63r 2，圆的面积S ′＝πr 2，所以此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率为S S ′＝4－63π，故选B.5.如图，矩形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A (0，－1)，B (π，－1)，C (π，1)，D (0，1)，正弦曲线f (x )＝sin x 和余弦曲线g (x )＝cos x 在矩形ABCD 内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是( )A.1＋2πB.1＋22πC.1πD.12π答案 B解析 根据题意，可得曲线y ＝sin x 与y ＝cos x 围成的区域的面积为ππππ44(sin cos )d (cos sin )|x x x x x ⎰－＝－－＝1－⎝⎛⎭⎫－22－22＝1＋ 2.又矩形ABCD 的面积为2π，由几何概型概率计算公式得该点落在阴影区域内的概率是1＋22π.故选B.6.(2018·郑州模拟)我国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中给出了勾股定理的绝妙证明.如图所示是赵爽的弦图.弦图是一个勾股形(即直角三角形)之弦为边的正方形，其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱(红)色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股＋(股－勾)2＝4×朱实＋黄实＝弦实＝弦2，化简得：勾2＋股2＝弦2.设勾股形中勾股比为1∶3，若向弦图内随机抛掷1 000颗图钉(大小忽略不计)，则落在黄色图形内的图钉数大约为()A.866B.500C.300D.134答案 D解析 设勾为a ，则股为3a ，所以弦为2a ，小正方形的边长为3a －a ，所以题图中大正方形的面积为4a 2，小正方形的面积为(3－1)2a 2，所以小正方形与大正方形的面积比为(3－1)24＝1－32，所以落在黄色图形(小正方形)内的图钉数大约为⎝⎛⎭⎫1－32×1 000≈134. 7.记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________. 答案 59解析 设事件“在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D ”为事件A ， 由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3， ∴D ＝[－2,3].如图，区间[－4,5]的长度为9，定义域D 的长度为5，∴P (A )＝59.8.在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，在直角边BC 上任取一点M ，则∠CAM <30°的概率是________. 答案33解析 因为点M 在直角边BC 上是等可能出现的，所以“区域”是长度.设BC ＝a ，则所求概率P ＝33a a ＝33.9.如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A —A 1BD 内的概率为______.答案 16解析 因为11A A BD A ABD V V =－－＝13AA 1×S △ABD＝16×AA 1×S 矩形ABCD ＝16V 长方体， 故所求概率为11.6A A BD V V =－长方体10.正方形的四个顶点A (－1，－1)，B (1，－1)，C (1，1)，D (－1,1)分别在抛物线y ＝－x 2和y ＝x 2上，如图所示.若将一个质点随机投入到正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是______.答案 23解析 正方形内空白部分面积为ʃ1－1[x 2－(－x 2)]d x＝ʃ1－12x 2d x ＝23·x 3|1－1＝23－⎝⎛⎭⎫－23＝43， 阴影部分面积为2×2－43＝83，所以所求概率为834＝23.11.已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y ).(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率； (2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a ·b <0的概率.解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36， 由a ·b ＝－1，得－2x ＋y ＝－1，所以满足a ·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个. 故满足a ·b ＝－1的概率为336＝112.(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为 Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}.满足a ·b <0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且－2x ＋y <0}. 画出图像如图所示，矩形的面积为S 矩形＝25， 阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21，故满足a ·b <0的概率为2125.12.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率.解 设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y ，记事件A 为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x ≤24，0≤y ≤24，要使两船都不需要等待码头空出， 当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早到达2 h 以上， 即y －x ≥1或x －y ≥2.故所求事件构成集合A ＝{(x ，y )|y －x ≥1或x －y ≥2，x ∈[0,24]，y ∈[0,24]}.A 为图中阴影部分，全部结果构成的集合Ω为边长是24的正方形及其内部. 所求概率为P (A )＝A 的面积Ω的面积＝(24－1)2×12＋(24－2)2×12242＝506.5576＝1 0131 152.13.在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于12的概率为________.答案 34解析 设任取两点所表示的数分别为x ，y ，则0≤x ≤1，且0≤y ≤1，如图所示，则总事件所占的面积为 1.记这两点之间的距离小于12为事件A ，则A ＝{(x ，y )||x －y |<12，0≤x ≤1,0≤y ≤1}，如图中阴影部分所示，空白部分所占的面积为2×12×12×12＝14，所以所求两点之间的距离小于12的概率P (A )＝1－141＝34.14.向圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝4内随机投掷一点，则该点落在x 轴下方的概率为________. 答案 16－34π解析 如图所示，连接CA ，CB ，依题意，圆心C 到x 轴的距离为3，所以弦AB 的长为2.又圆的半径为2，所以∠ACB ＝60°，所以S 圆C ＝π×22＝4π，所以S 弓形ADB ＝60°×π×22360°－12×2×3＝2π3－3，所以向圆C 内随机投掷一点，则该点落在x 轴下方的概率P ＝2π3－34π＝16－34π.15.在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥13”的概率，p 2为事件“|x －y |≤13”的概率，p 3为事件“xy ≤13”的概率，则( )A.p 1<p 2<p 3B.p 2<p 3<p 1C.p 3<p 1<p 2D.p 3<p 2<p 1答案 B解析 因为x ，y ∈[0,1]，所以事件“x ＋y ≥13”表示的平面区域如图(1)阴影部分(含边界)S 1，事件“|x －y |≤13”表示的平面区域如图(2)阴影部分(含边界)S 2，事件“xy ≤13”表示的平面区域如图(3)阴影部分(含边界)S 3，由图知，阴影部分的面积满足S 2<S 3<S 1，正方形的面积为1×1＝1，根据几何概型概率计算公式可得p 2<p 3<p 1.16.如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆.在扇形OAB 内随机取一点，求此点取自空白部分的概率.解 设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，OA 的中点为D ，如图，连接OC ，DC .不妨令OA ＝OB ＝2， 则OD ＝DA ＝DC ＝1.在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝π4＋12×1×1－⎝⎛⎭⎫π4－12×1×1＝1， 所以整个图形中空白部分面积S 2＝2. 又因为S 扇形OAB ＝14×π×22＝π，所以P ＝2π.。
高中数学人教A版必修33.3.1 几何概型(29张)课件
方法归纳 在求解与长度有关的几何概型时，首先找到几何区域 D，这时 区域 D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件 A 发生 对应的区域 d，在找 d 的过程中，确定边界点是问题的关键，但边 界点是否取到却不影响事件 A 的概率.
跟踪训练 1 已知函数 f(x)＝log2x，在区间[12，2]上随机取一 x0，则使得 f(x0)≥0 的概率为________．
(2)几何概型与古典概型的区别与联系
名称
古典概型
几何概型
相同点
基本事件发生的可能性相等
①基本事件有限个②P(A)＝0 ①基本事件无限个②P(A)
不同点 ⇔A 为不可能事件③P(B)＝1 ＝0⇐A 为不可能事件
⇔B 为必然事件
③P(B)＝1⇐B 为必然事件
|自我尝试|
1．判断下列各题．(对的打“√”，错的打“×”) (1)从区间[－10,10]中任取出一个数，求取到 1 的概率．( × ) (2)从区间[－10,10]中任取出一个数，求取到绝对值不大于 1 的 数的概率．( √ ) (3)从区间[－10,10]中任取出一个数，求取到大于 1 且小于 2 的 数的概率．( √ ) (4)向一个边长为 4 cm 的正方形 ABCD 内投一点 P，求点 P 离 正方形的中心不超过 1 cm 的概率．( √ )
形 ABCD 内部随机取一个点 Q，则点 Q 取自△ABE 内部的概率等 于( )
1பைடு நூலகம் A.4 B.3
12 C.2 D.3
【解析】
点
Q
取 自 △ABE
内部的概率为
P
＝
S△ABE S矩形ABCD
＝
1 2|A|ABB|·||·A|ADD||＝12，故选 C.
331几何概型(共24张PPT)
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4.已知地铁列车每10min一班，在车站停1min， 则乘客到达站台立即乘上车的概率为______．
解析：由于地铁列车每10min一班， 则两班列车停靠车站之间时间可用长度为 10的线段表示．
而列车在车站停1min，乘客到达站台立即 乘上车的时间可用长度为1的线段表示．
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解：
分析： 试验的基本事件是:
金币的中心投在由若干个小正
方形组成的阶砖面里. 3
S A
设事件A={金币不与小正方形 边相碰}
不妨先考虑金币与一块阶砖的关系.
3
Ａ={金币的中心要投在绿色小正方形内}
由几何概型的定义知：参加者获奖的概率为:
P( A)
n个A的面积 n个S的面积
A的面积 S的面积
则乘客到达站台立即乘上车的概率
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3.在半径为1的半圆内，放置一个边长为1/2的 正方形ABCD，向半圆内任投一点，该点落在 正方形内的概率为___________.
解析：本题只与面积有关
由几何概型的计算公式得
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2．如图所示的矩形，长为5，宽为2.在矩形内 随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄 豆数为138颗．则我们可以估计出阴影部分的 面积约为________．
在哪个房间，甲壳虫停留在黑砖上的概率大？
卧室
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卧室
书房
4
（1）甲壳虫每次飞行,
停留在任何一块方砖上
的概率是否相同?
（2）图中共有10X10=100
块方砖，其中有10X2=20
人教版高中数学必修3讲义 几何概型
3.3几何概型3.3.1几何概型1．理解几何概型的定义及特点．(重点)2．掌握几何概型的计算方法和求解步骤，准确地把实际问题转化为几何概型问题．(难点)3．与长度、角度有关的几何概型问题．(易混点)[基础·初探]教材整理1几何概型阅读教材P135～P136例1以上的部分，完成下列问题．1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．3．几何概型的概率公式P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)几何概型的概率与构成事件的区域形状无关．()(2)在射击中，运动员击中靶心的概率在(0,1)内．()(3)几何概型的基本事件有无数多个．()【答案】(1)√(2)×(3)√2．如图所示，有四个游戏盘，将它们水平放稳后，向上面扔一颗小玻璃球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()【解析】A中奖概率为38，B中奖概率为14，C中奖概率为13，D中奖概率为13，故选A.【答案】 A3．在区间[－1,2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为________．【解析】∵区间[－1,2]的长度为3，由|x|≤1得x∈[－1,1]，而区间[－1,1]的长度为2，x取每个值为随机的，∴在[－1,2]上取一个数x，|x|≤1的概率P＝23.【答案】2 3教材整理2均匀分布阅读教材P136例1及以下的部分，完成下列问题．当X为区间[a，b]上的任意实数，并且是等可能的，我们称X服从[a，b]上的均匀分布，X为[a，b]上的均匀随机数．X服从[3,40]上的均匀分布，则X的值不能等于()A．15B．25C．35 D．45【解析】由于X∈[3,40]，则3≤X≤40，则X≠45.故选D.【答案】 D[小组合作型]与长度有关的几何概型某汽车站每隔15 min有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间超过10 min的概率.【精彩点拨】乘客在上一辆车发车后的5 min之内到达车站，等车时间会超过10 min.【尝试解答】设上一辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T2到达，则线段T1T2的长度为15，设T是线段T1T2上的点，且T1T＝5，T2T＝10，如图所示．记“等车时间超过10 min”为事件A，则当乘客到达车站的时刻t落在线段T1T上(不含端点)时，事件A发生．∴P(A)＝T1T的长度T1T2的长度＝515＝13，即该乘客等车时间超过10 min的概率是13.在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概率.[再练一题]1．一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？(1)红灯亮；(2)黄灯亮；(3)不是红灯亮．【解】在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型．(1)P＝红灯亮的时间全部时间＝3030＋40＋5＝25.(2)P＝黄灯亮的时间全部时间＝575＝115.(3)P＝不是红灯亮的时间全部时间＝黄灯亮或绿灯亮的时间全部时间＝4575＝35，或P＝1－P(红灯亮)＝1－25＝35.与面积有关的几何概型设有一个等边三角形网格，其中每个最小等边三角形的边长都是4 3 cm，现用直径等于2 cm的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率．【精彩点拨】当且仅当硬币中心与格线的距离都大于半径1，硬币落下后与格线没有公共点，在等边三角形内作与正三角形三边距离为1的直线，构成小等边三角形，当硬币中心在小等边三角形内时，硬币与三边都没有公共点，所以硬币与格线没有公共点就转化为硬币中心落在小等边三角形内的问题．【尝试解答】设A＝{硬币落下后与格线没有公共点}，如图所示，在等边三角形内作小等边三角形，使其三边与原等边三角形三边距离都为1，则等边三角形的边长为43－23＝23，由几何概率公式得：P(A)＝34(23)234(43)2＝14.几何概型的特点是基本事件有无限多个，但应用数形结合的方法即可巧妙解决，即要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何量度来求随机事件的概率.[再练一题]2．如图3-3-1，一个等腰直角三角形的直角边长为2，分别以三个顶点为圆心，1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域M(图中白色部分)．若在此三角形内随机取一点P，则点P落在区域M内的概率为________．图3-3-1【解析】 由题意知题图中的阴影部分的面积相当于半径为1的半圆面积，即阴影部分面积为π2，又易知直角三角形的面积为2，所以区域M 的面积为2－π2.故所求概率为2－π22＝1－π4.【答案】 1－π4与体积有关的几何概型一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，求蜜蜂“安全飞行”的概率．【精彩点拨】 利用体积之比求概率．【尝试解答】 依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离均大于1.则满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体．由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为：P ＝1333＝127.与体积有关的几何概型问题的解决：(1)如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，则其概率的计算公式为：P(A)＝构成事件A的体积试验的全部结果构成的体积.(2)解决此类问题一定要注意几何概型的条件，并且要特别注意所求的概率是与体积有关还是与长度有关，不要将二者混淆.[再练一题]3．本例条件不变，求这个蜜蜂飞到正方体某一顶点A的距离小于13的概率．【解】到A点的距离小于13的点，在以A为球心，半径为13的球内部，而点又必须在已知正方体内，则满足题意的A点的区域体积为43π×⎝⎛⎭⎪⎫133×18.所以P＝43π×⎝⎛⎭⎪⎫133×1833＝π2×37.[探究共研型]几何概型与古典概型的异同探究1【提示】相同点：古典概型与几何概型中每一个基本事件发生的可能性都是相等的．不同点：古典概型要求随机试验的基本事件的总数必须是有限多个；几何概型要求随机试验的基本事件的个数是无限的，而且几何概型解决的问题一般都与几何知识有关．探究2P(A)＝0⇔A是不可能事件，P(A)＝1⇔A是必然事件是否成立？【提示】(1)无论是古典概型还是几何概型，若A是不可能事件，则P(A)＝0肯定成立；若A是必然事件，则P(A)＝1肯定成立．(2)在古典概型中，若事件A的概率P(A)＝0，则A为不可能事件；若事件A的概率P(A)＝1，则A为必然事件．(3)在几何概型中，若事件A的概率P(A)＝0，则A不一定是不可能事件，如：事件A对应数轴上的一个点，则其长度为0，该点出现的概率为0，但A并不是不可能事件；同样地，若事件A的概率P(A)＝1，则A也不一定是必然事件．(1)在区间[－2,2]上任取两个整数x，y组成有序数对(x，y)，求满足x2＋y2≤4的概率；(2)在区间[－2,2]上任取两个实数x，y组成有序数对(x，y)，求满足x2＋y2≤4的概率．【精彩点拨】(1)在区间[－2,2]上任取两个整数x，y，组成有序数对(x，y)是有限的，应用古典概型求解；(2)在区间[－2,2]上任取两个实数x，y，组成有序数对(x，y)是无限的，应用几何概型求解．【尝试解答】(1)在区间[－2,2]上任取两个整数x，y组成有序数对(x，y)，共计25个，其中满足x2＋y2≤4的在圆上或圆内共计13个(如图所示)，∴P＝1325.(2)在区间[－2,2]上任取两个实数x，y组成有序数对(x，y)，充满的区域是边长为4的正方形区域，其中满足x2＋y2≤4的是图中阴影区域(如图所示)，S阴＝π×22＝4π，∴P＝4π16＝π4.古典概型与几何概型的不同之处是古典概型的基本事件总数是有限的，而几何概型的基本事件总数是无限的，解题时要仔细审题，注意区分.[再练一题]4．下列概率模型中，几何概型的个数为()①从区间[－10,10]上任取一个数，求取到1的概率；②从区间[－10,10]上任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；③从区间[－10,10]上任取一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率；④向一个边长为4 cm的正方形内投一点，求点离中心不超过1 cm的概率．A．1B．2C．3D．4【解析】①中的概率模型不是几何概型，虽然区间[－10,10]上有无数个数，但取到“1”只是一个数字，不能构成区间长度；②中的概率模型是几何概型，因为区间[－10,10]和区间[－1,1]上都有无数个数，且在这两个区间上的每个数被取到的可能性相等；③中的概率模型不是几何概型，因为区间[－10,10]上的整数只有21个，是有限的；④中的概率模型是几何概型，因为在边长为4 cm的正方形和半径为1 cm的圆内均有无数个点，且这两个区域内的任何一个点被投到的可能性相同．【答案】 B1．转动图中各转盘，指针指向红色区域的概率最大的是()【解析】D中红色区域面积是圆面积的一半，其面积比A、B、C中要大，故指针指到的概率最大．【答案】 D2．一只蚂蚁在如图3-3-2所示的地板砖(除颜色不同外，其余全部相同)上爬来爬去，它最后停留在黑色地板砖(阴影部分)上的概率是()图3-3-2A.13 B.23C.14 D.18【解】从题图中可以得到地板砖总数为12，其中黑色地板砖有4个，由此可知最后停留在黑色地板砖上的概率是412＝1 3.【答案】 A3．在半径为1的圆中随机地投一个点，则点落在圆内接正方形中的概率是()A.1π B.2πC.2π D.3π【解析】点落在圆内的任意位置是等可能的，而落在圆内接正方形中只与面积有关，与位置无关，符合几何概型特征，圆内接正方形的对角线长等于2，则正方形的边长为 2.∵圆面积为π，正方形面积为2，∴P＝2π.【答案】 B4．函数f(x)＝－x2＋2x，x∈[－1,3]，则任取一点x0∈[－1,3]，使得f(x0)≥0的概率为________．【解析】 依题意得，⎩⎪⎨⎪⎧－x 20＋2x 0≥0，－1≤x 0≤3，解得0≤x 0≤2，所以任取一点x 0∈[－1,3]，使得f (x 0)≥0的概率P ＝23－(－1)＝12. 【答案】 12 5．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边长作一个正方形，求作出的正方形面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率．【解】 如图所示，点M 落在线段AB 上的任一点上是等可能的，并且这样的点有无限多个．设事件A 为“所作正方形面积介于36 cm 2与81 cm 2之间”，它等价于“所作正方形边长介于6 cm 与9 cm 之间”．取AC ＝6 cm ，CD ＝3 cm ，则当M 点落在线段CD 上时，事件A 发生．所以P (A )＝|CD ||AB |＝312＝14.学业分层测评(二十) 几何概型(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列关于几何概型的说法中，错误的是( )A ．几何概型是古典概型的一种，基本事件都具有等可能性B ．几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关C ．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个D ．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性【解析】 几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，故选A.【答案】 A2．在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，则使得∠AOC 和∠BOC都不小于30°的概率为()A.13 B.23C.14 D.34【解析】记M＝“射线OC使得∠AOC和∠BOC都不小于30°”．如图所示，作射线OD，OE使∠AOD＝30°，∠AOE＝60°.当OC在∠DOE内时，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°，此时的测度为度数30，所有基本事件的测度为直角的度数90.所以P(M)＝3090＝1 3.【答案】 A3．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为()A．0.008 B．0.004C．0.002 D．0.005【解析】设问题转化为与体积有关的几何概型求解，概率为2400＝0.005.【答案】 D4．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于S4的概率是()A.14 B.12C.34 D.23【解析】如右图所示，在边AB上任取一点P，因为△ABC 与△PBC是等高的，所以事件“△PBC 的面积大于S 4”等价于事件“|BP ||AB |＞14”．即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫△PBC 的面积大于S 4＝|PA ||BA |＝34. 【答案】 C5．如图3-3-3，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )图3-3-3A ．1－2πB.12－1πC.2πD.1π【解析】 设OA ＝OB ＝r ，则两个以r 2为半径的半圆的公共部分面积为2⎣⎢⎡⎦⎥⎤14π·⎝ ⎛⎭⎪⎫r 22－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫r 22＝(π－2)r 28，两个半圆外部的阴影部分面积为14πr 2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12π⎝ ⎛⎭⎪⎫r 22×2－(π－2)r 28＝(π－2)r 28，所以所求概率为2×(π－2)r 2814πr2＝1－2π. 【答案】 A二、填空题6．如图3-3-4，在平面直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠xOT 内的概率为________.图3-3-4【解析】记“射线OA落在∠xOT内”为事件A.构成事件A的区域最大角度是60°，所有基本事件对应的区域最大角度是360°，所以由几何概型的概率公式得P(A)＝60°360°＝16.【答案】167．如图3-3-5，长方体ABCD-A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A-A1BD内的概率为________．图3-3-5【解析】设长、宽、高分别为a，b，c，则此点在三棱锥A-A1BD内运动的概率P＝16abcabc＝16.【答案】168．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．【解析】记事件A＝“打篮球”，则P(A)＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫142π×12＝116.记事件B＝“在家看书”，则P(B)＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122π×12－P(A)＝14－116＝316.故P(B)＝1－P(B)＝1－316＝1316.【答案】1316三、解答题9．一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m，宽20 m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率．【解】如图，四边形ABCD是长30 m、宽20 m的长方形．图中的阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m”．问题可化为求海豚嘴尖出现在阴影部分的概率．∵S长方形ABCD＝30×20＝600(m2)，S长方形A′B′C′D′＝(30－4)×(20－4)＝416(m2)，∴S阴影部分＝S长方形ABCD－S长方形A′B′C′D′＝600－416＝184(m2)，根据几何概型的概率公式，得P(A)＝184600＝2375≈0.31.[能力提升]1．面积为S的△ABC，D是BC的中点，向△ABC内部投一点，那么点落在△ABD内的概率为()A.13 B.12C.14 D.16【解析】向△ABC内部投一点的结果有无限个，属于几何概型．设点落在△ABD内为事件M，则P(M)＝△ABD的面积△ABC的面积＝12.【答案】 B2．假设你在如图3-3-6所示的图形上随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分(等腰三角形)的概率是________．图3-3-6【解析】设A＝{黄豆落在阴影内}，因为黄豆落在图中每一个位置是等可能的，因此P(A)＝S△ABCS圆，又△ABC为等腰直角三角形，设⊙O的半径为r，则AC＝BC＝2r，所以S△ABC＝12AC·BC＝r2，S⊙O＝πr2，所以P(A)＝r2πr2＝1π.【答案】1π3．甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图3-3-7所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15°，边界忽略不计)即为中奖．图3-3-7乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖．问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？【解】如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘的面积πR2(R为圆盘的半径)，阴影区域的面积为4×15πR2360＝πR26.∴在甲商场中奖的概率为P1＝πR26πR2＝16.如果顾客去乙商场，记盒子中3个白球为a1，a2，a3,3个红球为b1，b2，b3，记(x，y)为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共15种．摸到的2球都是红球的情况有(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共3种．∴在乙商场中奖的概率为P2＝315＝1 5.∵P1<P2，∴顾客在乙商场中奖的可能性大．。
人教A版必修三3.3.1几何概型教案(1)
------------------------- 天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤劳------------------------------课题：几何概型教课目的：1.经过师生共同研究 , 领会数学知识的形成 , 正确理解几何概型的观点；掌握几何概型的概率公式：组成事件 A的地区长度 (面积或体积 ), 学会应用数学知识来解决P（A）=试验的所有结果所组成的地区长度 (面积或体积 )问题 , 领会数学知识与现实世界的联系, 培育逻辑推理能力 .2. 本节课的主要特色是随机试验多, 学习时养成好学谨慎的学习习惯, 会依据古典概型与几何概型的差别与联系来鉴别某种概型是古典概型仍是几何概型, 会进行简单的几何概率计算 , 培育学生从有限向无穷研究的意识.教课要点：理解几何概型的定义、特色, 会用公式计算几何概率.教课难点：等可能性的判断与几何概型和古典概型的差别.教课方法：解说法课时安排：1课时教课过程：一、导入新课：1、复习古典概型的两个基本特色：（ 1）所有的基本领件只有有限个；（2）每个基本领件发生都是等可能的. 那么关于有无穷多个试验结果的状况相应的概率应怎样求呢?2、在概率论发展的初期 , 人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的 , 还一定考虑有无穷多个试验结果的状况. 比如一个人到单位的时间可能是8：00至 9 ： 00 之间的任何一个时辰；往一个方格中投一个石子, 石子可能落在方格中的任何一点这些试验可能出现的结果都是无穷多个. 这就是我们要学习的几何概型.二、新课解说：提出问题(1)任意投掷一枚平均硬币两次 , 求两次出现同样面的概率？(2) 试验 1. 取一根长度为 3 m 的绳索 , 拉直后在任意地点剪断 . 问剪得两段的长都不小于 1 m 的概率有多大？试验 2. 射箭竞赛的箭靶涂有五个彩色得分环. 从外向内为白色, 黑色 , 蓝色 , 红色 , 靶心是金色. 金色靶心叫“黄心”. 奥运会的竞赛靶面直径为122 cm, 靶心直径为12.2 cm. 运动员在70 m 外射箭 . 假定射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的. 问射中黄心的概率为多少？(3)问题 (1)(2) 中的基本领件有什么特色 ?两事件的实质差别是什么 ?(4)什么是几何概型 ?它有什么特色 ?(5)怎样计算几何概型的概率 ?有什么样的公式 ?(6)古典概型和几何概型有什么差别和联系?活动：学生依据问题思虑议论 , 回首古典概型的特色 , 把问题转变为学过的知识解决 , 教师指引学生比较归纳 .议论结果： (1) 硬币落地后会出现四种结果：分别记作（正, 正）、（正 , 反）、（反 , 正）、（反 ,------------------------- 天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤劳 ------------------------------1 1 1出现同样面的概率为4 .42(2) 经剖析 , 第一个试验 , 从每一个地点剪断都是一个基本领件 , 剪断地点能够是长度为3 m的绳索上的任意一点 .第二个试验中 , 射中靶面上每一点都是一个基本领件, 这一点能够是靶面直径为122 cm的大圆内的任意一点 .在这两个问题中 , 基本领件有无穷多个 , 固然近似于古典概型的“等可能性”, 可是明显不可以用古典概型的方法求解 .考虑第一个问题 , 如右图 , 记“剪得两段的长都不小于 1 m ”为事件 A. 把绳索三平分 , 于是当剪断地点处在中间一段上时, 事件 A 发生 . 因为中间一段的长度等于绳长的1 , 于是事件 A 发生的概率 P(A)= 1.331×π×第二个问题 , 如右图 , 记“射中黄心”为事件B, 因为中靶心随机地落在面积为1×π× 12.2 241222cm 2的大圆内 , 而中间靶点落在面积为cm 2 的黄心内时 , 事件 B 发生 , 于是142事件 B 发生的概率 P(B)=4=0.01.112224(3) 硬币落地后会出现四种结果（正 , 正）、（正 , 反）、（反 , 正）、（反 , 反）是等可能的 , 绳索从每一个地点剪断都是一个基本领件 , 剪断地点能够是长度为 3 m 的绳索上的任意一点 , 也是等可能的 , 射中靶面内任何一点都是等可能的 , 可是硬币落地后只出现四种结果 , 是有限的 ; 而剪断绳索的点和射中靶面的点是无穷的 ; 即一个基本领件是有限的, 而另一个基本领件是无限的 . (4) 几何概型 .关于一个随机试验 , 我们将每个基本领件理解为从某个特定的几何地区内随机地取一点,该地区中的每一个点被取到的时机都同样 , 而一个随机事件的发生则理解为恰巧取到上述区域内的某个指定地区中的点 . 这里的地区能够是线段、 平面图形、 立体图形等 . 用这类方法办理随机试验 , 称为几何概型 .假如每个事件发生的概率只与组成该事件地区的长度( 面积或体积 ) 成比率 , 则称这样的概率模型为几何概率模型（geometric models of probability） , 简称 几何概型 .几何概型的基本特色： a. 试验中所有可能出现的结果 ( 基本领件 ) 有无穷多个；b. 每个基本领件出现的可能性相等.(5) 几何概型的概率公式：-------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤劳------------------------------组成事件 A的地区长度 (面积或体积 ).P （A）=试验的所有结果所组成的地区长度 (面积或体积 )(6) 古典概型和几何概型的联系是每个基本领件的发生都是等可能的; 差别是古典概型的基本领件是有限的 , 而几何概型的基本领件是无穷的, 此外两种概型的概率计算公式的含义也不一样 .三、例题解说：例 1 判断以下试验中事件 A 发生的概率是古典概型, 仍是几何概型 .（1）投掷两颗骰子 , 求出现两个“ 4 点”的概率 ;（2）以以下图所示 , 图中有一个转盘 , 甲、乙两人玩转盘游戏 , 规定当指针指向 B 地区时 , 甲获胜, 不然乙获胜 , 求甲获胜的概率 .活动：学生牢牢抓住古典概型和几何概型的差别和联系, 而后判断 .解：（ 1）投掷两颗骰子 , 出现的可能结果有 6× 6=36 种 , 且它们都是等可能的 , 所以属于古典概型 ;（2）游戏中指针指向 B 地区时有无穷多个结果 , 并且不难发现“指针落在暗影部分”, 概率能够用暗影部分的面积与总面积的比来权衡, 即与地区长度相关 , 所以属于几何概型 .评论：此题考察的是几何概型与古典概型的特色, 古典概型拥有有限性和等可能性. 而几何概型则是在试验中出现无穷多个结果, 且与事件的地区长度相关.例 2某人午睡醒来, 觉察表停了 , 他翻开收音机想听电台整点报时, 求他等候的时间短于10 分钟的概率 .剖析：赐教材 136 页解：（略）变式训练1 、某路公共汽车 5 分钟一班准时抵达某车站, 求任一人在该车站等车时间少于 3 分钟的概率（假定车到来后每人都能上）.解：能够以为人在任一时辰到站是等可能的. 设上一班车离站时辰为a, 则某人到站的全部可能时辰为Ω =(a,a+5),记A g={等车时间少于 3 分钟 }, 则他到站的时辰只好为g=(a+2,a+5)中g的长度 3的任一时辰 , 故 P(A g)= .的长度 5评论：经过实例初步领会几何概型的意义.2 、在 1 万平方千米的海疆中有40 平方千米的大陆架储蓄着石油, 假定在海疆中任意一点钻探 , 钻到油层面的概率是多少？-------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤劳------------------------------剖析：石油在 1 万平方千米的海疆大陆架的散布能够看作是随机的，而40 平方千米可看作组成事件的地区面积, 由几何概型公式能够求得概率.解：记“钻到油层面”为事件A, 则 P(A)=0.004.答：钻到油层面的概率是0.004.四、讲堂小结：几何概型是差别于古典概型的又一概率模型, 使用几何概型的概率计算公式时, 必定要注意其合用条件：每个事件发生的概率只与组成该事件地区的长度成比率.五、课后作业：课本习题 3.3A 组 1、 2、3.板书设计几何概型1、几何概型的观点2、几何概型的基本特色课后反省：。
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人教版高中数学B版目录第一篇：人教版高中数学B版目录人教版高中数学B版必修第一章1.1 集合集合与集合的表示方法必修一必修二必修三必修四第二章第三章第一章第二章第一章第二章第三章第一章第二章1.2 集合之间的关系与运算函数2.1 函数2.2 一次函数和二次函数 2.3 函数的应用（Ⅰ）2.4 函数与方程基本初等函数（Ⅰ）3.1 指数与指数函数 3.2 对数与对数函数 3.3 幂函数3.4 函数的应用（Ⅱ）立体几何初步1.1 空间几何体1.2 点、线、面之间的位置关系平面解析几何初步2.1平面真角坐标系中的基本公式2.2 直线方程 2.3 圆的方程2.4 空间直角坐标系算法初步1.1 算法与程序框图 1.2 基本算法语句1.3 中国古代数学中的算法案例统计2.1 随机抽样2.2 用样本估计总体 2.3 变量的相关性概率3.1 随机现象 3.2 古典概型3.3 随机数的含义与应用 3.4 概率的应用基本初等函(Ⅱ)1.1 任意角的概念与弧度制 1.2 任意角的三角函数 1.3三角函数的图象与性质平面向量2.1 向量的线性运算必修五第三章第一章第二章第三章2.2 向量的分解与向量的坐标运算 2.3平面向量的数量积 2.4 向量的应用三角恒等变换3.1 和角公式3.2 倍角公式和半角公式3.3 三角函数的积化和差与和差化积解直角三角形1.1 正弦定理和余弦定理 1.2 应用举例数列2.1 数列 2.2 等差数列 2.3 等比数列不等式3.1 不等关系与不等式 3.2 均值不等式3.3 一元二次不等式及其解法 3.4 不等式的实际应用3.5二元一次不等式（组）与简单线性规划问题人教版高中数学B版选修常用逻辑用语命题与量词第一章1.1 选修1－1 选修1－2 选修4－5 第二章第三章第一章第二章第三章第四章第一章第二章第三章1.2 基本逻辑联结词1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式圆锥曲线与方程2.1 椭圆 2.2 双曲线 2.3 抛物线导数及其应用3.1 导数3.2 导数的运算 3.3导数的应用统计案例推理与证明数系的扩充与复数的引入框图不等式的基本性质和证明的基本方法1.1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1.2 基本不等式1.3 绝对值不等式的解法 1.4 绝对值的三角不等式 1.5 不等式证明的基本方法柯西不等式与排序不等式及其应用2.1 柯西不等式2.2 排序不等式2.3平均值不等式(选学)2.4 最大值与最小值问题，优化的数学模型数学归纳法与贝努利不等式 3.1 数学归纳法原理3.2用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式第二篇：高中数学目录必修1第一章集合与函数概念1.1 集合阅读与思考集合中元素的个数1.2 函数及其表示阅读与思考函数概念的发展历程1.3 函数的基本性质信息技术应用用计算机绘制函数图象第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数信息技术应用借助信息技术探究指数函数的性质2.2 对数函数阅读与思考对数的发明探究也发现互为反函数的两个函数图象之间的关系2.3 幂函数第三章函数的应用3.1 函数与方程阅读与思考中外历史上的方程求解信息技术应用借助信息技术方程的近似解3.2 函数模型及其应用信息技术应用收集数据并建立函数模型必修2第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.2 空间几何体的三视图和直观图阅读与思考画法几何与蒙日1.3 空间几何体的表面积与体积探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率探究与发现魔术师的地毯3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式阅读与思考笛卡儿与解析几何第四章圆与方程4.1 圆的方程阅读与思考坐标法与机器证明4.2 直线、圆的位置关系4.3 空间直角坐标系信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：圆必修3第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.2 基本算法语句1.3 算法案例阅读与思考割圆术第二章统计2.1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2.2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2.3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱第三章概率3.1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3.2 古典概型3.3 几何概型阅读与思考概率与密码必修4第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.2 任意角的三角函数阅读与思考三角学与天文学1.3 三角函数的诱导公式1.4 三角函数的图像与性质探究与发现函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）探究与发现利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质信息技术应用1.5 函数y=Asin（ωx+φ）的图像阅读与思考振幅、周期、频率、相位1.6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念阅读与思考向量及向量符号的由来2.2平面向量的线性运算2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.4平面向量的数量积2.5平面向量应用举例阅读与思考向量的运算（运算律）与图形性质第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式信息技术应用利用信息技术制作三角函数表3.2 简单的三角恒等变换必修5第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1.2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1.3 实习作业第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列信息技术应用2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列的前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3.4 基本不等式选修1－1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词阅读与思考“且”“或”“非”与“交”“并”“补”1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.2 双曲线探究与发现2.3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3.4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分选修1－2第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理阅读与思考科学发现中的推理2.2 直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算第四章框图4.1 流程图4.2 结构图信息技术应用用word2002绘制流程图选修2－1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3 双曲线2.4 抛物线第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用3.2 立体几何中的向量方法选修2－2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算选修2－3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2 排列与组合探究与发现组合数的两个性质1.3 二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2 二项分布及其应用探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布信息技术应用μ，σ对正态分布的影响第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用选修3－1第一讲早期的算术与几何一古埃及的数学二两河流域的数学三丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者二毕达哥拉斯学派三欧几里得与《原本》四数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一《周髀算经》与赵爽弦图二《九章算术》三大衍求一术四中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一坐标思想的早期萌芽二笛卡儿坐标系三费马的解析几何思想四解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景二科学巨人牛顿的工作三莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉二数学王子──高斯第七讲千古谜题一三次、四次方程求根公式的发现二高次方程可解性问题的解决三伽罗瓦与群论四古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一古代的无穷观念二无穷集合论的创立三集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一中国现代数学发展概观二人民的数学家──华罗庚三当代几何大师──陈省身选修3－3第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1．球面三角形2．三面角3．对顶三角形4．球极三角形第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和第五讲球面三角形的全等1．“边边边”(s.s.s)判定定理2．“边角边”(s.a.s.)判定定理3．“角边角”(a.s.a.)判定定理4．“角角角”(a.a.a.)判定定理第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1．向量的向量积2．球面上余弦定理的向量证明三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义选修3－4对称与群第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1．平面刚体运动的定义2．平面刚体运动的性质二对称变换1．对称变换的定义2．正多边形的对称变换3．对称变换的合成4．对称变换的性质5．对称变换的逆变换三平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一 n元对称群Sn思考题二多项式的对称变换思考题三抽象群的概念1．群的一般概念2．直积第三讲对称与群的故事一带饰和面饰思考题二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论选修4－1几何证明选讲第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定2．相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线选修4－2第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1．旋转变换2．反射变换3．伸缩变换4．投影变换5．切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法三线性变换的基本性质（一）线性变换的基本性质（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1．逆变换与逆矩阵2．逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1．二元一次方程组的矩阵形式2．逆矩阵与二元一次方程组探索与发现三阶矩阵与三阶行列式第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1．特征值与特征向量2．特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1．Anα的简单表示2．特征向量在实际问题中的应用选修4－4坐标系与参数方程第一讲坐标系一平面直角坐标系二极坐标系三简单曲线的极坐标方程四柱坐标系与球坐标系简介第二讲参数方程一曲线的参数方程二圆锥曲线的参数方程三直线的参数方程四渐开线与摆线选修4－5不等式选讲第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲讲明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式柯西不等式二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式选修4－6初等数论初步第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥选修4－7优选法与试验设计初步第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用选修4－9风险与决策第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例第三篇：高中数学目录【人教版】高中数学教材总目录必修一第一章集合与函数概念1.1 集合阅读与思考集合中元素的个数1.2 函数及其表示阅读与思考函数概念的发展历程1.3 函数的基本性质信息技术应用用计算机绘制函数图象实习作业小结第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数信息技术应用借助信息技术探究指数函数的性质2.2 对数函数阅读与思考对数的发明探究也发现互为反函数的两个函数图象之间的关系2.3 幂函数小结复习参考题第三章函数的应用3.1 函数与方程阅读与思考中外历史上的方程求解信息技术应用借助信息技术方程的近似解3.2 函数模型及其应用信息技术应用收集数据并建立函数模型实习作业小结复习参考题必修二第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.2 空间几何体的三视图和直观图阅读与思考画法几何与蒙日1.3 空间几何体的表面积与体积探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积实习作业小结复习参考题第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法小结复习参考题第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率探究与发现魔术师的地毯3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式阅读与思考笛卡儿与解析几何小结复习参考题第四章圆与方程4.1 圆的方程阅读与思考坐标法与机器证明4.2 直线、圆的位置关系4.3 空间直角坐标系信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：圆必修三第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.2 基本算法语句1.3 算法案例阅读与思考割圆术小结复习参考题第二章统计2.1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2.2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2.3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱实习作业小结复习参考题第三章概率3.1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3.2 古典概型3.3 几何概型阅读与思考概率与密码小结复习参考题必修四第一章三角函数.1 任意角和弧度制1.2 任意角的三角函数阅读与思考三角学与天文学1.3 三角函数的诱导公式1.4 三角函数的图像与性质探究与发现函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）探究与发现利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质信息技术应用1.5 函数y=Asin（ωx+φ）的图像阅读与思考振幅、周期、频率、相位1.6 三角函数模型的简单应用小结复习参考题第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念阅读与思考向量及向量符号的由来2.2平面向量的线性运算2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.4平面向量的数量积2.5平面向量应用举例阅读与思考向量的运算（运算律）与图形性质小结复习参考题第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式信息技术应用利用信息技术制作三角函数表3.2 简单的三角恒等变换必修五第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1.2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1.3 实习作业小结复习参考题第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列信息技术应用2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列的前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学小结复习参考题第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3.4 基本不等式选修1-1 第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词阅读与思考“且”“或”“非”与“交”“并”“补”1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.2 双曲线探究与发现2.3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用小结复习参考题第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3.4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分选修1-2 第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理阅读与思考科学发现中的推理2.2 直接证明与间接证明小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题第四章框图4.1 流程图4.2 结构图选修2—1 第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3 双曲线探究与发现2.4 抛物线探究与发现阅读与思考小结复习参考题第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用 3.2 立体几何中的向量方法选修2—2 第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算选修2-3 第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2 排列与组合。
几何概型的类型及解法教案
几何概型的类型及解法教案几何概型是几何学中的一种问题类型，通常通过已知条件来确定未知几何量的值。
根据问题的类型，几何概型可以分为以下几类：相似三角形、直角三角形、圆、多边形和平面几何等。
下面将对几何概型的类型和解法进行详细介绍。
一、相似三角形概型相似三角形概型是几何概型中最常见的一类。
相似三角形指的是具有相同形状但大小不同的三角形。
相似三角形的概型通常包括已知条件，例如角度和边长，通过这些已知条件求解未知条件。
解决相似三角形概型的方法主要有以下几种：1.根据已知条件的比例关系求解：根据相似三角形的性质，可以得到两个相似三角形的任意两边之比等于另一个两边之比。
通过已知条件的比例关系，可以求解未知条件。
2.利用相似三角形的角度关系求解：通过已知条件的角度关系，可以确定一个相似三角形中的角度，进而求解未知条件。
二、直角三角形概型直角三角形概型是另一类常见的几何概型。
直角三角形是一个角度为90度的三角形，其中直角就是一个90度的角。
解决直角三角形概型的方法主要有以下几种：1.利用勾股定理求解：勾股定理是解决直角三角形问题的重要定理，根据勾股定理可得：直角三角形斜边的长度的平方等于两个直角边长度的平方和。
通过已知条件的边长关系，可以求解未知条件。
2.利用特殊三角函数求解：在直角三角形中，正弦、余弦和正切是常用的三角函数。
通过已知条件的三角函数关系，可以求解未知条件。
三、圆概型圆概型是几何概型中的一类，主要涉及与圆有关的问题。
解决圆概型的方法主要有以下几种：1.利用圆的面积和周长的计算公式求解：根据圆的半径或直径，可以计算圆的面积和周长。
2.利用与圆有关的角度关系求解：在圆上的角可分为弧度角和圆心角。
通过已知条件的角度关系，可以求解未知条件。
四、多边形概型多边形概型主要涉及与多边形有关的问题。
解决多边形概型的方法主要有以下几种：1.利用多边形的内角和定理求解：对于n边形，其内角和等于180度乘以n-2、通过已知条件的内角和关系，可以求解未知条件。
几何概型
几何概型1.几何概型的概念：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型.2.几何概型的基本特点：(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；(2)每个基本事件出现的可能性相等.3.几何概型的概率：一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域d 内＂为事件A ，则事件A 发生的概率()d P A D的测度的测度. 说明：(1)D 的测度不为0；(2)其中＂测度＂的意义依D 确定，当D 分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的＂测度＂分别是长度，面积和体积；(3)区域为＂开区域＂；(4)区域D 内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关.要点诠释：几种常见的几何概型(1)设线段l是线段L的一部分，向线段L上任投一点，若落在线段l上的点数与线段l的长度成正比，而与线段l在线段L上的相对位置无关，则点落在线段l上的概率为：P=l的长度/L的长度(2)设平面区域g是平面区域G的一部分，向区域G上任投一点，若落在区域g上的点数与区域g的面积成正比，而与区域g在区域G 上的相对位置无关，则点落在区域g上概率为：P=g的面积/G的面积(3)设空间区域上v是空间区域V的一部分，向区域V上任投一点，若落在区域v上的点数与区域v的体积成正比，而与区域v在区域V上的相对位置无关，则点落在区域v上的概率为：P=v的体积/V的体积。
高中数学教材人教版知识点总结
高中数学教材人教版知识点总结必修1第一章、集合及函数概念§1.1.1、集合1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。
集合三要素：确定性、互异性、无序性。
2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。
3、 常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合：Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R .4、集合的表示方法：列举法、描述法.§1.1.2、集合间的基本关系1、 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是集合B 的子集。
记作B A ⊆. 2、 如果集合B A ⊆，但存在元素B x ∈，且A x ∉，则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B.3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：∅.并规定：空集合是任何集合的子集.4、 如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n 2个子集. §1.1.3、集合间的基本运算1、 一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合，称为集合A 及B 的并集.记作：B A .2、 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 及B 的交集.记作：B A . 3、全集、补集？{|,}U C A x x U x U =∈∉且§1.2.1、函数的概念1、 设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作：()A x x f y ∈=,. 2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性及最大（小）值 单调性的定义：见书P281、 注意函数单调性证明的一般格式：解：设[]b a x x ,,21∈且21x x <，则：()()21x f x f -=… §1.3.2、奇偶性1、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-，那么就称函数()x f 为偶函数.偶函数图象关于y 轴对称.2、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-，那么就称函数()x f 为奇函数.奇函数图象关于原点对称.第二章、基本初等函数（Ⅰ） §2.1.1、指数及指数幂的运算1、 一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根。
高中概率问题
高中概率问题3。
1．随机事件的概率3。
1。
1 随机事件的概率1、必然事件:一般地，把在条件S 下,一定会发生的事件叫做相对于条件S 的必然事件。
2、不可能事件:把在条件S 下,一定不会发生的事件叫做相对于条件S 的不可能事件。
3、确定事件:必然事件和不可能事件统称相对于条件S 的确定事件.4、随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件S 的随机事件。
5、频数：在相同条件S 下重复n 次试验,观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数。
6、频率：事件A 出现的比例()=A n n A nf。
7、概率：随机事件A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值。
3。
1。
2 概率的意义1、概率的正确解释:随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性。
认识了这种随机中的规律性，可以比较准确地预测随机事件发生的可能性。
2、游戏的公平性：抽签的公平性。
3、决策中的概率思想:从多个可选答案中挑选出正确答案的决策任务，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则。
--极大似然法、小概率事件4、天气预报的概率解释：明天本地降水概率为70％解释是“明天本地下雨的机会是70％”.5、试验与发现：孟德尔的豌豆试验.6、遗传机理中的统计规律。
3.1.3 概率的基本性质1、事件的关系与运算(1)包含。
对于事件A 与事件B ，如果事件A 发生，则事件B 一定发生，称事件B 包含事件A(或事件A 包含于事件B ），记作(B A ⊇⊆或A B)。
不可能事件记作∅.（2）相等。
若B A A B ⊇⊇且，则称事件A 与事件B 相等，记作A=B 。
（3）事件A 与事件B 的并事件（和事件)：某事件发生当且仅当事件A 发生或事件B 发生. (4）事件A 与事件B 的交事件（积事件）：某事件发生当且仅当事件A 发生且事件B 发生。
（5）事件A 与事件B 互斥：A B 为不可能事件,即=A B ∅,即事件A 与事件B 在任何一次试验中并不会同时发生. (6）事件A 与事件B 互为对立事件:AB 为不可能事件,A B 为必然事件，即事件A 与事件B 在任何一次试验中有且仅有一个发生。
高中数学 (3.3.1 几何概型)教案 新人教A版必修3
课 题：3.3.1 几何概型教学目标：1.通过师生共同探究,体会数学知识的形成,正确理解几何概型的概念；掌握几何概型的概率公式：P （A ）=)()(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成面积或体积的区域长度构成事件A ,学会应用数学知识来解决问题,体会数学知识与现实世界的联系,培养逻辑推理能力.2.本节课的主要特点是随机试验多,学习时养成勤学严谨的学习习惯,会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型,会进行简单的几何概率计算,培养学生从有限向无限探究的意识.教学重点：理解几何概型的定义、特点,会用公式计算几何概率.教学难点：等可能性的判断与几何概型和古典概型的区别.教学方法：讲授法课时安排：1课时教学过程：一、导入新课：1、复习古典概型的两个基本特点：（1）所有的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件发生都是等可能的.那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如何求呢?2、在概率论发展的早期,人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的,还必须考虑有无限多个试验结果的情况.例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子,石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个.这就是我们要学习的几何概型.二、新课讲授：提出问题(1)随意抛掷一枚均匀硬币两次,求两次出现相同面的概率？(2)试验1.取一根长度为3 m 的绳子,拉直后在任意位置剪断.问剪得两段的长都不小于1 m 的概率有多大？试验 2.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色,黑色,蓝色,红色,靶心是金色.金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122 cm,靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m 外射箭.假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的.问射中黄心的概率为多少？(3)问题(1)(2)中的基本事件有什么特点?两事件的本质区别是什么?(4)什么是几何概型?它有什么特点?(5)如何计算几何概型的概率?有什么样的公式?(6)古典概型和几何概型有什么区别和联系?活动：学生根据问题思考讨论,回顾古典概型的特点,把问题转化为学过的知识解决,教师引导学生比较概括.讨论结果：(1)硬币落地后会出现四种结果：分别记作（正,正）、（正,反）、（反,正）、（反,反）.每种结果出现的概率相等,P （正,正）=P （正,反）=P （反,正）=P （反,反）=1/4.两次出现相同面的概率为214141=+. (2)经分析,第一个试验,从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为 3 m 的绳子上的任意一点.第二个试验中,射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为122 cm 的大圆内的任意一点.在这两个问题中,基本事件有无限多个,虽然类似于古典概型的“等可能性”,但是显然不能用古典概型的方法求解.考虑第一个问题,如右图,记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A.把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A 发生.由于中间一段的长度等于绳长的31, 于是事件A 发生的概率P(A)=31. 第二个问题,如右图,记“射中黄心”为事件B,由于中靶心随机地落在面积为41×π×1222 cm 2的大圆内,而当中靶点落在面积为41×π×12.22 cm 2的黄心内时,事件B 发生,于是事件B 发生的概率P(B)=22122412.1241⨯⨯⨯⨯ππ=0.01.(3)硬币落地后会出现四种结果（正,正）、（正,反）、（反,正）、（反,反）是等可能的,绳子从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3 m 的绳子上的任意一点,也是等可能的,射中靶面内任何一点都是等可能的,但是硬币落地后只出现四种结果,是有限的;而剪断绳子的点和射中靶面的点是无限的;即一个基本事件是有限的,而另一个基本事件是无限的.(4)几何概型.对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型（geometric models of probability ）,简称几何概型. 几何概型的基本特点：a.试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；b.每个基本事件出现的可能性相等.(5)几何概型的概率公式：P （A ）=)()(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成面积或体积的区域长度构成事件A .(6)古典概型和几何概型的联系是每个基本事件的发生都是等可能的;区别是古典概型的基本事件是有限的,而几何概型的基本事件是无限的,另外两种概型的概率计算公式的含义也不同.三、例题讲解：例1 判断下列试验中事件A 发生的概率是古典概型,还是几何概型.（1）抛掷两颗骰子,求出现两个“4点”的概率;（2）如下图所示,图中有一个转盘,甲、乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B 区域时,甲获胜,否则乙获胜,求甲获胜的概率.活动：学生紧紧抓住古典概型和几何概型的区别和联系,然后判断.解：（1）抛掷两颗骰子,出现的可能结果有6×6=36种,且它们都是等可能的,因此属于古典概型;（2）游戏中指针指向B 区域时有无限多个结果,而且不难发现“指针落在阴影部分”,概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量,即与区域长度有关,因此属于几何概型.点评：本题考查的是几何概型与古典概型的特点,古典概型具有有限性和等可能性.而几何概型则是在试验中出现无限多个结果,且与事件的区域长度有关.例2 某人午休醒来,发觉表停了,他打开收音机想听电台整点报时,求他等待的时间短于10分钟的概率.分析：见教材136页解：（略）变式训练1、某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站,求任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率（假定车到来后每人都能上）.解：可以认为人在任一时刻到站是等可能的.设上一班车离站时刻为a,则某人到站的一切可能时刻为Ω=(a,a+5),记A g ={等车时间少于3分钟},则他到站的时刻只能为g=(a+2,a+5)中的任一时刻,故P(A g )=53=Ω的长度的长度g . 点评：通过实例初步体会几何概型的意义.2、 在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油,假设在海域中任意一点钻探,钻到油层面的概率是多少？分析：石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的，而40平方千米可看作构成事件的区域面积,由几何概型公式可以求得概率.解：记“钻到油层面”为事件A,则P(A)=0.004.答：钻到油层面的概率是0.004.四、课堂小结：几何概型是区别于古典概型的又一概率模型,使用几何概型的概率计算公式时,一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例.五、课后作业：课本习题3.3A组1、2、3.板书设计课后反思：。
高中数学优质教学设计2：3.3.1几何概型 教案
§3.3.1 几何概型教学内容：人教版《数学必修3》第三章第三节几何概型。
学情分析：学生学习了概率的含义以及古典概型的计算方式，对概率有了一定的了解，对概率的求法也有了一定的方法。
现在进行几何概型的学习，可以通过对比进行学习，通过分辨两种概型的区别与联系，可以达到学习几何概型的目的。
教学目标知识与技能目标１．初步体会几何概型及其基本特点；２．会运用几何概型的概率计算公式，求简单的几何概型的概率问题；3．让学生初步学会把一些实际问题化为几何概型；过程与方法目标1．通过游戏、案例分析，体会几何概型与古典概型的区别；会用类比的方法学习新知识，提高学生的解题分析能力；2．经历将一些实际问题转化为几何概型的过程，探求正确应用几何概型的概率计算公式解决问题的方法，增强几何概型在解决实际问题中的应用意识；情感、态度与价值观目标通过对几何概型的研究，感知生活中的数学，体会数学文化，培养学生的数学素养。
教学重点：初步体会几何概型，将求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题教学难点：将求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题，准确确定几何区域D和与事件A对应的区域d，并求出它们的测度。
教学过程：一、复习引入T1：计算随机事件概率的方法有哪些?T2：古典概型的特征是什么？T3：如何计算古典概型的概率？二、创设情景，引入新课1．玩转盘游戏游戏规则:甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B 区域时,甲获胜,否则乙获胜. 数据的统计：1）请每一位同学以左边的转盘，做20次试验，统计指针指向B 的次数，并计算指针指向B 的频率。
2）教师以右边的转盘，分别做100、200、400、700次试验，统计指针指向B 的次数，并计算指针指向B 的频率。
2．学生活动（分组讨论） 分析下列三个题目，回答问题：1)如图，甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B 区域时,甲获胜,否则乙获胜. 求甲获胜的概率?2)射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环，从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色。
高中数学必修三概率知识点
第三章概率3.1.1 —3.1.2随机事件的概率及概率的意义1、基本概念：（1）必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件；（2）不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件；（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件；（4）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件；（5）频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数；称事件A出现的比例fn(A)=nnA为事件A出现的概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A），称为事件A的概率。
（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA与试验总次数n的比值nnA，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。
我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。
频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率3.1.3 概率的基本性质1、基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件（2）若A∩B为不可能事件，即A∩B=ф，那么称事件A与事件B互斥；（3）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件；（4）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A与B为对立事件，则A∪B 为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)2、概率的基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A发生且事件B不发生；（2）事件A不发生且事件B发生；（3）事件A与事件B同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A发生B不发生；（2）事件B发生事件A不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。
新人教B版高中数学(必修3)3.3.1《几何概型》
记事件 指出概率类型 构造几何图形
求概率
计算几何度量
例1.有一杯1升的水,其中含有1个细菌, 用一个小杯从这杯水中取出0.1升,求小 杯水中含有这个细菌的概率. 解: 记A=“小杯水 中含有这个细菌” P(A)=0.1/1=0.1
例2：一金鱼在水池中自由游弋，水 池为长30米，宽20米的长方形，求 金鱼离岸边不超过2米的概率？
E C O D
关 键:
对于复杂的实际问题,解题的关键
是要建立模型,找出随机事件与所有 基本事件相对应的几何区域,把问题 转化为几何概型问题,利用几何概型 的概率公式来求解.
课堂小结
(1)几何概型的特点 (2)几何概型的定义 (3)几何概型的概率计算公式
1、在线段[0，3]上任取一点，则此点坐标小于1 的概率是：（ ） A：1/3 B：1/2 C：2/3 D：2/9 2、在直角坐标系内，射线OT落在60°的终边上， 任作一条射线OA，则射线OA落在∠XOT内的概 率是（ ） A：1/3 B：1/4 C：1/5 D：1/6 3、如果在一个1万平方公里的海域里有表面积 达40平方公里的大陆架贮藏着石油,假如在这海 领域里随意选定一点钻探,问钻到石油的概率是 （ ） A：1/40 B：1/25 C：1/250 D：1/500
等可能发生的的概率类型;
2.几何概型主要用于解决与长度.角度.面积.
1.几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是
体积有关的题目;
3.求解公式为
μA 子 区 域 A的几 何 度 量 P(A) = = μΩ 区 域的 几 何 度 量
练习：求下列事件的概率
长度
1.取一根长为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断， 那么剪得两段的长都不小于1m的概率为（ 1 ） 3 2.在40根纤维中，有12根的长度超过30mm，从中 3 任取一根，取到长度超过30mm的纤维的概率（ 10） 3.如图在圆心角为90O 的扇形AOB中，以圆心O为 起点作射线OC，则∠AOC和∠BOC都不小于20O 5 的概率为（ ） 面积 4、向面积为S的△ABC内任投一点P，则△PBC的 面积小于 S 的概率为（ 3 ）
高中数学_几何概型
几何概型知识图谱几何概型知识精讲一．几何概型1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件的区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型几何概型，可以将每个基本事件看成从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会一样；这里区域可以是线段、平面图形、立体图形等．2．特点：（1）结果的无限性，即在一次试验中，所有可能出现的结果（基本事件）的个数可以是无限的，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；（2）等可能性，每个基本事件的发生的可能性是均等的．二．几何概型的计算公式几何概型中，事件A的概率定义为：()AP A=构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）三点剖析一．方法点拨1.几何概型与古典概型的联系与区别在古典概型及几何概型中，基本事件的发生都是等可能的；在古典概型中基本事件的个数是有限的，而在几何概型中基本事件的个数是无限的.2．几何概型求解的一般步骤（1）首先要判断几何概型，尤其是判断等可能性，这方面比古典概型可能更难于判断；（2）把基本事件转化为与之对应的区域；（3）计算基本事件空间与事件A所含的基本事件对应的区域的几何度量（长度、面积、体积等）；（4）利用公式代入求解．3．几何概型的应用要把实际问题转化成几何概型，精读问题，注意适当选择观察角度，抓住关键词，把问题转化为数学问题，几何概型问题解决的关键是构造出事件对应的几何图形，利用几何图形的几何度量来求随机事件的概率．注意分辨清楚属于一维、二维或三维问题．尤其是二维问题一直是考试的重点．一维情形例题1、将一条5米长的绳子随机地切断成两条，事件T表示所切两段绳子都不短于1米的事件，则事件T发生的概率为（）A.1 2B.15C.25D.35例题2、在长为12cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为（）A.1 6B.13C.23D.45例题3、在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交”发生的概率为_________．例题4、如图，在三角形AOB中，已知∠AOB=60°，OA=2，OB=5，在线段OB上任取一点C，求△AOC为钝角三角形的概率．（）A.0.6B.0.4C.0.2D.0.1随练1、某公交车站每隔10分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，那么一个乘客候车时间不超过6分钟的概率为____．随练2、平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3cm，把一枚半径为1cm的硬币任意投掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是（）A.1 4B.13C.12D.23随练3、在长为12cm的线段AB上任取一点C．现做一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为（）A.1 6B.13C.23D.45二维情形例题1、如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A.1-2πB.12-1πC.2πD.1π例题2、二次函数f（x）=ax2+2bx+1（a≠0）．（1）若a∈{-2，-1，2，3}，b∈{0，1，2}，求函数f（x）在（-1，0）内有且只有一个零点的概率；（2）若a∈（0，1），b∈（-1，1），求函数f（x）在（-∞，-1）上为减函数的概率．例题3、设有-4×4正方形网格，其各个最小的正方形的边长为4cm，现用直径为2cm的硬币投掷到此网格上；假设每次投掷都落在最大的正方形内或与最大的正方形有公共点．求：（1）硬币落下后完全在最大的正方形内的概率；（2）硬币落下后与网格线没有公共点的概率．例题4、小钟和小薛相约周末去爬尖刀山，他们约定周日早上8点至9点之间（假定他们在这一时间段内任一时刻等可能的到达）在华岩寺正大门前集中前往，则他们中先到者等待的时间不超过15分钟的概率是____（用数字作答）．随练1、分别在区间[1，6]和[1，4]内任取一个实数，依次记为m和n，则m＞n的概率为（）A.7 10B.310C.35D.25随练2、设一直角三角形两直角边的长均是区间（0，1）的随机数，则斜边的长小于1的概率为____．随练3、小明的爸爸下班驾车经过小明学校门口，时间是下午6:00到6:30，小明放学后到学校门口的候车点候车，能乘上公交车的时间为5:50到6:10，如果小明的爸爸到学校门口时，小明还没乘上车，就正好坐他爸爸的车回家，问小明能乘到他爸的车的概率．三维情形例题1、在500mL的水中有一个细菌，现从中随机取出2mL水样放到显微镜下观察，则发现这个细菌的概率是（）A.0.004B.0.002C.0.04D.0.02例题2、在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点O 在底面ABCD 中心，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1内随机取一点P 则点P 与点O 距离大于1的概率为（）A.12π B.1-12π C.6π D.1-6π随练1、1升水中有2只微生物，任取0.1升水化验，含有微生物的概率是（）A.0.01 B.0.19 C.0.1 D.0.2随练2、一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行．若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一个的距离不大于10，则就有可能撞到玻璃上而不安全；若始终保持与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是（）A.18 B.116 C.127 D.38拓展1、在区间[﹣4，4]上随机地抽取一个实数x ，若x 满足x 2≤m 的概率为34，则实数m 的值为________2、一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是________、________、________．(1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯．3、在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于4S 的概率是（）A.13 B.12 C.34 D.144、在长为18cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于362cm 与281cm 之间的概率为（）A.56 B.12 C.13 D.165、已知圆O ：x 2+y 2=4（O 为坐标原点），点P （1，0），现向圆O 内随机投一点A ，则点P 到直线OA 的距离小于12的概率为（）A.23 B.12 C.13 D.166、在区间[0，1]上随机取两个数m ，n ，求关于x 的一元二次方程x 2n 有实根的概率．7、假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进人同一部手机，若这两条短信进人手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为（）A.425 B.825 C.1625 D.24258、已知函数：f （x ）=x 2+bx+c ，其中：0≤b≤4，0≤c≤4，记函数f （x ）满足条件：(2)12(1)3f f ≤⎧⎨-≤⎩的事件为A ，则事件A 发生的概率为（）A.58 B.516 C.38 D.129在棱长为a的正方体－A1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离小于等于a的概率为（）A.22B.22C.16D.16π。
几何概型 讲义
几 何 概 型 的 常 见 题 型几何概型是高中新课改后增加的一种概率类型，也是高考的一个新增热点，但由于试题设计的背景不同，试题所呈现的方式也不同，此试卷通过对几何概型试题的归纳整理，以便更好地理解和掌握此类问题.一．几何概型的定义1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.2．特点：（1）无限性，即一次试验中，所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个； （2）等可能性，即每个基本事件发生的可能性均相等. 3．计算公式：.)(积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A A P =说明：用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行度量.4．古典概型和几何概型的区别和联系： （1）联系：每个基本事件发生的都是等可能的.（2）区别：①古典概型的基本事件是有限的，几何概型的基本事件是无限的；②两种概型的概率计算公式的含义不同.二．常见题型1．与长度有关的几何概型例1．(2009山东卷·文理)在区间]1,1[-上随机取一个数x ，2cos xπ的值介于0到21之间的概率为( ).A.31 B.π2C.21D.32 分析：在区间]1,1[-上随机取任何一个数都是一个基本事件.所取的数是区间]1,1[-的任意一个数，基本事件是无限多个，而且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件的发生的概率只与自变量x 的取值范围的区间长度有关，符合几何概型的条件. 解：在区间]1,1[-上随机取一个数x ,即[1,1]x ∈-时,要使cos2xπ的值介于0到21之间, 需使223xπππ-≤≤-或322xπππ≤≤∴213x -≤≤-或213x ≤≤，区间长度为32，由几何概型知使cos 2x π的值介于0到21之间的概率为31232===度所有结果构成的区间长符合条件的区间长度P . 故选A.练1. 取一根长度为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m的概率是.A.21 B.31C.41D.不确定 3. 两根相距6 m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m 的概率是________.2. 在等腰Rt △ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 的长小于AC 的长的概率.4. 平面上画了一些彼此相距2a 的平行线，把一枚半径r<a 的硬币任意掷在这个平面上，硬币不与任一条平行线相碰的概率.5. 在半径为1的圆周上，有一定点A ，以A 为端点任连一弦，另一端点在圆周上等可能的选取，求弦长超过√3 的概率。
高中数学新人教版B版精品教案《3.3.1 几何概型》
几何概型教学设计一、教学内容分析1教材的内容及地位“几何概型”是继“古典概型”之后的第二类等可能概率模型，在概率论中占有相当重要的地位，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸，是为更广泛的满足随机模拟的需要而新增加的内容，这充分体现了数学与实际生活的紧密关系。
《几何概型》共安排2课时,本节课是第1课时，注重概念的建构和公式的应用，为第二课时的几何概型的应用以及体会随机模拟中的统计思想打下基础。
2教学重点1理解几何概型的定义、特点。
2会用公式计算几何概型概率。
3理解几何概型和古典概型的区别。
3教学难点在几何概型中把实验的基本事件和随机事件与某一特定的几何区域及其子区域对应，确定适当的几何测度，通过数学建模解决实际问题。
二、教学目标分析1通过师生共同试验探究,体会数学知识的形成,正确理解几何概型的概念，会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别概率模型。
2会利用公式求简单的几何概型的概率问题，体会数学知识与现实世界的联系,培养逻辑推理。
3会用类比的方法学习新知识，提高学生的解题分析能力，培养学生从有限向无限探究的意识。
三、学生学情分析学生通过古典概型的学习初步形成了解决概率问题的思维模式，但不会很成熟，学生在学习本节课时容易对几何概型概念理解不清，与古典概型相混淆。
另外，在解决几何概型问题时，几何概型的判别问题应该不大，但几何度量的选择需要特别重视，在教学中，应引导学生发现其中的规律特征，找出正确的几何测度方式去分析解决问题。
另外，授课班级为理科宏志班，但了解到本班数学成绩偏差，因此选题均为中档题，适宜学生自己分析解决，实现学生主体地位。
四、教学策略分析1、教学方法：本节课采用贯穿类比思想，以引导发现为主的教学方法，以归纳启发式作为教学模式2、学法指导：通过小组合作试验、交流，类比归纳，让学生在学习中学会怎样发现问题、分析问题、解决问题。
3、板书设计（一）知识回顾：问题1：古典概型的两个特点是什么？问题2：计算公式是什么？古典概型的特点及其概率公式：(1)1 (2) 2A () A P A ⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨=⎪⎪⎪⎩试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；、古典概型的特点每个基本事件出现的可能性相等。
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1. 4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )
A.13
B.12
C.23
D.34
2.先后抛掷两枚均匀的硬币，出现两次正面向上的概率是（ ）
A. 14
B. 13
C. 12
D.1
3.抛掷两枚骰子，事件“点数之和为6”的概率为
1A.11 1B.9 5C.36 1D.6
4.从一副扑克牌(54张)中抽到牌“K ”的概率是( ) A.
227 B. 154 C. 127 D. 19 5.先后抛掷两枚均匀的骰子，求：
(1)点数之和为7点的概率；
(2)出现两个4点的概率；
(3)点数之和能被3整除的概率．
6.在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个小球被取出的可能性相等。
（1）求取出的两个球上标号为相邻整数的概率；
（2）求取出的两个球上标号之和能被3整除的概率
7.小王、小李两位同学玩掷骰子（骰子质地均匀）游戏，规则：小王先掷一枚骰子，向上
的点数记为x ；小李后掷一枚骰子，向上的点数记为y ，
（Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，以),(y x 为坐标的点共有几个？试求点),(y x 落在直线7=+
y x 上的概率；
（Ⅱ）规定：若10≥+y x 则小王赢，若4≤+y x 则小李赢，其它情况不分输赢. 试问这个游戏规则公平吗？请说明理由
一．知识点
1、古典概型的两个特征：
（1）
（2）
2、古典概型的概率计算公式
3、古典概型和几何概型的比较
古典概型几何概型
所有基本事件的个数
每个基本事件发生的
可能性
概率的计算公式
二、预习检测：
1．在数轴上，设点x∈[-3,3]中按均匀分布出现，记a∈(-1,2]为事件A，则P（A）=（）
A、1
B、0
C、1/2
D、1/3
2．在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油,假设在海域中任意一点钻探,钻到油层面的概率是多少？
3.在区间[1，3]上任意取一数，则这个数不小于1.5的概率是多少？。