顺序统计量X(1)和X(n)的相关结构

顺序统计量X(1)和X(n)的相关结构
彭定忠
【摘要】In this paper, we study the dependence structure between order statistics X(1) and X(n), give a proof for their asymptotic independence as n approaches infinity, and calculate the dependence measures.%利用Copula 研究顺序统计量X(1)和X(n)的相关结构, 证明了当样本容量n→∞时, X(1)与X(n)是渐近独立的. 并计算了它们的相关性测度.
【期刊名称】《湖南理工学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2018(031)002
【总页数】3页(P6-8)
【关键词】顺序统计量;Copula;渐近独立;Kendall's τ
【作者】彭定忠
【作者单位】湖南理工学院数学学院, 湖南岳阳 414006
【正文语种】中文
【中图分类】O212
设是来自总体X的简单随机样本, X具有分布函数为其顺序统计量. 显然,
最小项顺序统计量与最大项顺序统计量在可靠性理论、均匀分布的参数估计等方面起着非常重要的作用. 由文[1]可知, 当x,y ∈ (0,1)时,
(X(1) , X(n))的联合分布函数为
二元Copula能联系随机变量 ,X Y的联合分布函数与边缘分布函数. 作为一种灵活而稳健的相关性分析工具, Copula理论在分析变量间的相关结构时有很多优势[2～4]. 本文借助文[2]中的Sklar定理得到了能刻画X(1)和X(n)相关结构的Copula, 并在此基础上计算它们的相关性测度.
1 预备知识
定义1[2] 若一个二元函数C : [0,1]2 → [ 0,1]满足如下条件:
(1) 对任意的变量t ∈I=[0,1], 都有C(t, 0)= C (0,t)= 0 , C (t, 1) = C (1,t) = t ;
(2) 对任意的u1,u2,v1,v2∈I=[0,1], 且u1 ≤ u2,v1 ≤ v2, 有
则称C为Copula函数.
条件(1)称为二元函数具有零基面(grounded); 条件(2)称为二元函数二维递增(2-increasing).
本文需用到Copula函数的两个基本性质:
(1) 设 s (x)是关于x的严格递减函数, t(y)是关于y的严格递增函数, 若(X ,Y) ～ C (u,v), 则
(2) 若 u ,v独立, 则
Sklar定理[2] 设随机变量(X ,Y) 的联合分布为 H (x,y), 边缘分布分别为 F (x) ,G (y). 令
如果 F (x) ,G (y)连续, 则存在唯一的Copula函数C, 使得
注由Sklar定理可知, 当随机变量联合分布已知时, 可利用边缘分布的反函数和联合分布, 求出相应的Copula函数.
利用Copula函数度量连续型随机变量之间的相关性, 优点在于由其导出的相关性指标是严格单增变换下的相关性, 比线性相关使用的范围更广. 下面介绍一种重要的相关性测度.
定义2[2] 设X和Y是连续型随机变量, 它们具有Copula函数C (u,v), 则
称为Kendall’s τ相关系数.
2 主要结论
定理1设X1, X2,…, Xn 是来自总体X的简单随机样本, X具有分布函数F(x), X(1), X(n)分别表示最小项顺序统计量和最大项顺序统计量, 则 (X(1), X(n))具有Copula 函数
相应的概率密度函数为
其中
证明令则
将 x,y代入(1)式可得(3)式. 由Sklar定理知, Cn (u,v)是 (X(1), X(n))的Copula函数. 又再对(3)式直接求导可得(4)式.
图1可帮助我们更直观地理解X(1)与X(n)的相关结构.
定理 2 设 Cn (u,v) 是 (X(1), X(n))的 Copula函数, 则即当n→∞时, X(1)与 X(n)渐近独立.
证明设 s (x)是严格递减函数, t(y)是严格递增函数, 则由Copula的基本性质(1)可知
令可得
其中max是常见的Clayton Copula, 记为故
又故
由性质(2)可知, 当n→∞时, X(1) 与 X(n) 是渐近独立的.
图1
定理3 设 Cn (u,v)是 (X(1), X(n))的Copula函数, 则
证明由定理2和定义1可得
令则有
参考文献
【相关文献】
[1] 邓集贤, 杨维权, 司徒荣, 等. 概率论及数理统计[ M]. 北京: 高等教育出版社, 2009
[2] Nelsen. R. B. An introduction to Copulas[M]. New York: Springer, 2006
[3] T. P. Hutchinson, C. D. Lai. Continuous bivariate distributions, Emphasizing applications[M]. Adelaide: Rumsby Scientific, 1990
[4] J Pinto, N Kolev. Copula Representations for Invariant Dependence Functions[M]. NewYork: Springer, 2015。