2022年强化训练北师大版八年级数学下册第五章分式与分式方程难点解析试题(含答案及详细解析)

北师大版八年级数学下册第五章分式与分式方程难点解析
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、关于x的方程31
2
a
x x
-
=
-
的解为整数．且关于x的不等式组
312(2)
4
1
3
x x
x a
+≤-
⎧
⎪
-
⎨
≤
⎪⎩
的解集为5
x≤-．则满足
条件的所有整数a值之和为（）
A．5 B．3 C．4 D．0
2、如果把分式2xy
x y
+
中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（）
A．扩大3倍B．缩小3倍C．缩小6倍D．不变
3、PM 2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（）．
A．2.5×10﹣5B．2.5×10﹣6C．25×10﹣7D．1.2×10﹣8
4、若a b，则下列分式化简正确的是（）
A．
2
2
a a
b b
+
=
+
B．
2
2
a a
b b
-
=
-
C．
0.2
0.2
a a
b b
=D．
2
2
a a
b b
=
5、在3m
n
，
3
x y
+
，
1
x
，
3
a b
+
中，分式的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
6x的取值范围是（）
A．x＞2 B．x≥﹣2 C．x≠2D．x≥﹣2且x≠2
7、某种微粒的直径为0.0000058米，那么该微粒的直径用科学记数法可以表示为（）
A．0.58×10－6B．5.8×10－6C．58×10－5D．5.8×10－5
8、斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A—B—C横穿双向行驶车道，其中AB=BC=12米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过AC路段，其中通过BC路段的速度是通过AB路段速度的1.2倍，则小敏通过AB路段时的速度是（）
A．0.5米/秒B．1米/秒C．1.5米/秒D．2米/秒
9、下列变形正确的是（）
A．
3
3
y y
x x
+
=
+
B．
y y
x x
-
=
-
C．
2
2
y y
x x
=D．
y x
x y
=
10、如果把
2
23
xy
x y
-
中的x和y都扩大到原来的5倍，那么分式的值（）
A．扩大到原来的5倍B．不变C．缩小为原来的1
5
D．无法确定
第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、若2
x=是关于x的分式方程2
2
1
a
x x
+=
-
的解，则a的值等于_______．
2、新冠病毒的直径大约是0.00000014米长，0.00000014科学记数法表示为______．
3、如果关于x 的方程4233
k x x x -+=--无解，则k 的值为_____． 4、使分式1
x x -有意义的x 的取值范围是___________． 5、计算：22x y xy
＝_____． 三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、先化简，再求值：213369
x x x x x --+++，其中2630x x +-=． 2、我们已经学过()()()2---,x a x b x a b x ab =++如果关于x 的分式方程满足
ab x a b x
+=+（a ，b 分别为非零整数），且方程的两个跟分别为12=,x a x b =． 我们称这样的方程为“十字方程”． 例如：2=3x x + 可化为1212=3x x ⨯+
=+ ∴12=1,2x x = 再如：6
=-5x x + 可化为()()-2-3-2-3=-5x x ⨯+= ∴12=-2,-3x x =
应用上面的结论解答下列问题：
（1）“十字方程”8-6x x
+=，则1= x ，2x = ； （2）“十字方程”2--1x x =的两个解分别为12,x a x b ==，求11a b
+的值； （3）关于x 的“十字方程”2243
n n x n x ++=+-的两个解分别为1212,()x x x x <，求211x x +的值． 3、（1）解方程：214111
x x x +-=--． （2）先化简，再求值：22224424
x x x x x x --+÷+-的值，其中3x =． 4、一粥一饭当思来之不易，半丝半缕恒念物力维艰．开展“光盘行动”，拒绝“舌尖上的浪费”，已经成为一种时尚． 某学校食堂为了鼓励同学们做到光盘不浪费，针对每餐后光盘的学生奖励苹果
或砂糖橘一份．近日，学校食堂花了1500 元和1800元分别采购了砂糖橘和苹果，采购的砂糖橘比苹果多50千克，砂糖橘每千克的价格比苹果每千克的价格低40%．求苹果每千克的价格．
5、我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式．例如：54=1+14
． 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，称之为“真分式”．例如：像52x x ++，2
1
x x -，…，这样的分式是假分式；像34x -，21
x x -，…，这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式． 例如：()23531222x x =x x x +++=++++；()()211111111
x x x x x x x +-+==++---．解决下列问题： （1）写出一个假分式为： ；
（2）将分式13
x x +-化为整式与真分式的和的形式为： ；（直接写出结果即可） （3）如果分式22
x x x --的值为整数，求x 的整数值．
-参考答案-
一、单选题
1、B
【分析】
（1）先解分式方程得62
x a =+，由于解是整数，故可推出a 的值，解不等式，由于解集为5x ≤-，即可确定a 的可能值，相加即可得出答案．
【详解】 解分式方程得：62
x a =+， ∵x 为整数，2x ≠且0x ≠，
∴a 可为8-，5-，4-，-3，1-，0，4，
312(2)413x x x a +≤-⎧⎪⎨-≤⎪⎩
①②， 由①得：5x ≤-，
由②得：43x a ≤+，
∵解集为5x ≤-，
∴435a +≥-，
解得：2a ≥-，
∴整数a 可为1-，0，4，
∴1043-++=．
故选：B ．
【点睛】
本题考查解分式方程和一元一次不等式组，掌握求解的步骤是解题的关键．
2、A
【分析】
将x ，y 用3x ，3y 代入化简，与原式比较即可．
【详解】
解：将x,y 用3x ,3y 代入得
233y 3233x xy x y x y
⨯⨯⨯=++, 故值扩大到3倍．
故选A ．
【点睛】
本题考查分式的基本性质，熟悉掌握是解题关键．
3、B
【分析】
由题意依据绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定进行分析即可．
【详解】
解：0.0000025=2.5×10-6.
故选：B．
【点睛】
本题考查用科学记数法表示较小的数，注意掌握其一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4、C
【分析】
找出分子分母的公因式进行约分，化为最简形式．
【详解】
解：a b
A选项中，
2
2
a
b
+
+
已是最简分式且不等于
a
b
，所以错误，故不符合题意；
B选项中，
2
2
a
b
-
-
已是最简分式且不等于
a
b
，所以错误，故不符合题意；
C选项中，0.20.2
0.20.2
a a a
b b b
=⨯=，所以正确，故符合题意；
D选项中，
2
2
a a a a
b b b b
⨯
=≠
⨯
，所以错误，故不符合题意；
故选C．
【点睛】
本题考查了分式的化简．解题的关键是找出分式中分子、分母的公因式进行约分．
5、C
【分析】
根据分式的定义逐个分析判断即可．
【详解】 解：在3m n ，3x y +，1x ，3a b +中，分式有3m n ，1x ，3a b +共3个，3x y +是整式． 故选：C ．
【点睛】
本题考查了分式的判断，掌握分式的定义是解题的关键．一般地，如果A 、B （B 不等于零）表示两个整式，且B 中含有字母，那么式子
A B
就叫做分式，其中A 称为分子，B 称为分母． 6、D
【分析】
根据二次根式及分式有意义的条件可直接进行求解．
【详解】
解：由题意得：
20x +≥且20x -≠， 解得：2x ≥-且2x ≠；
故选D ．
【点睛】
本题主要考查二次根式及分式有意义的条件，熟练掌握二次根式及分式有意义的条件是解题的关键．
7、B
【分析】
将原数表示成形式a ×10-n （1＜|a |＜10，n 为正整数）．
【详解】
解：0.0000058米用科学记数法可以表示为5.8×10-6米．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了运用科学记数法表示较小的数，其一般形式为a×10-n（1≤|a|＜10，n为正整数），确定a和n的值成为解答本题的关键．
8、B
【分析】
设通过AB的速度是x m/s，则根据题意可列分式方程，解出x即可．
【详解】
设通过AB的速度是x m/s，
根据题意可列方程：1212
22
1.2
x x
+=，
解得x=1，
经检验：x=1是原方程的解且符合题意．
所以通过AB时的速度是1m/s．
故选B．
【点睛】
本题考查分式方程的实际应用，根据题意找出等量关系并列出分式方程是解答本题的关键．
9、B
【分析】
分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以或除以同一个不为0的数（或整式），分式的值不变，利用分式的基本性质逐一分析判断即可.
【详解】
解：3,3
y y x x ++不一定相等，变形不符合分式的基本性质，变形错误，故A 不符合题意； y y x x
-=-，变形符合分式的基本性质，故B 符合题意； 2
2
,y y x x 不一定相等，变形不符合分式的基本性质，变形错误，故C 不符合题意； ,y x x y
不一定相等，变形不符合分式的基本性质，变形错误，故D 不符合题意； 故选B
【点睛】
本题考查的是分式的基本性质，掌握“利用分式的基本性质判断分式变形是否正确”是解本题的关键.
10、A
【分析】
把分式中的x 与y 分别用5x 与5y 代替，再化简即可判断．
【详解】 分式223xy x y -中的x 与y 分别用5x 与5y 代替后，得2(5)(5)50252(5)3(5)5(23)23x y xy xy x y x y x y
⨯⨯==⨯⨯-⨯--，由此知，此时分式的值扩大到原来的5倍．
故选：A
【点睛】
本题考查了分式的基本性质，一般地，本题中把x 与y 均扩大n 倍，则分式的值也扩大n 倍．
二、填空题
1、1
【分析】
纠错直接把x ＝2代入分式方程，然后解关于a 的一次方程即可．
【详解】
解：把x ＝2代入方程
221a x x +=-得22221a +=-， 解得a ＝1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
2、71.410-⨯
【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n 由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
解：70.00000014 1.410-=⨯．
故答案是：71.410-⨯．
【点睛】
此题考查了用科学记数法表示较小的数，解题的关键是：一般形式为10n a -⨯，其中1||10a <，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3、1
【分析】
首先将分式方程化为整式方程，表示出整式方程的解，再根据分式方程无解确定x 的值，然后再求k 的值即可．
【详解】
解：方程去分母得：2(3)4k x x +-=-，
解得：103
k x ， 由分式方程无解可得：30x -=即3x =， ∴1033k
，
解得：1k =，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了分式方程无解问题，分两种情况：一种是把分式方程化成整式方程后，整式方程无解；一种是把分式方程化成整式方程后，整式方程有解，但这个解使分式方程的分母为0，是增根，熟练掌握理解这两种情况是解题关键．
4、1x ≠
【分析】
根据分式有意义的条件，列出不等式，进而即可求解．
【详解】
解：由题意得：x -1≠0，
∴1x ≠，
故答案是：1x ≠．
【点睛】
本题主要考查分式有意义的条件，掌握分式的分母不等于0，是解题的关键．
5、2x
【分析】
直接利用分式的性质化简得出答案．
【详解】
解：22x y xy ＝2xy x xy ⋅＝2x ． 故答案为：2x ．
【点睛】
本题主要考查了约分，正确掌握分式的性质化简是解题关键．
三、解答题
1、226169x x x x ，16
【分析】
先通分，化为同分母的分式，再进行加减运算，再把条件式化为263,x x 整体代入求值即可.
【详解】 解：213369x
x x x x 2231333x x x x x
2222313616969
x x x
x x x x x x 2630x x +-=
263,x x
所以：原式
31
21.39126 【点睛】
本题考查的是分式的化简求值，熟练的通分，整体代入求值都是解本题的关键.
2、（1）－2，－4；（2）1
2；（3）1
【分析】
（1）按照“十字方程”的解法解方程即可；
（2）根据“十字方程”的解法求出1a =，2b =-，代入求值即可；
（3）把方程转化为2(3)213
n n x n x +-+=+-，求出方程的解，代入计算即可． 【详解】
（1）8-6x x +=可化为()()2424=6x x
-⨯-+=---， ∴1x =－2，2x =－4；
故答案为：－2，－4；
（2）解：∵21x x -
=- ∴21x x
-+=- ∴1(2)1(2)1x x ⨯-+
=+-=- ∴11x a ==，22x b ==- ∴1
11122a b a b ab +-+=
==- （3）解：∵2243
n n x n x ++=+-为关于x 的“十字方程” ∴2(3)213
n n x n x +-+=+- ∴(1)(3)(1)3
n n x n n x +-+=++- ∴3x n -=或31x n -=+
∵12x x <
∴13x n =+或24x n =+ ∴
214411314x n n x n n ++===++++ 【点睛】
本题考查了分式方程的特殊解法，解题关键是理解题意，按照题目中的方法进行求解．
3、（1）原方程无解；（2）1x ，13
【分析】
（1）先去分母，然后再进行求解方程即可；
（2）先把分子分母进行因式分解，然后再进行分式的除法运算，最后代值求解即可．
【详解】
解：（1）214111
x x x +-=-- 去分母得：()22141x x +-=-，
去括号得：222141x x x ++-=-，
移项、合并同类项得：22x =，
解得：1x =，
经检验：1x =使分母为0，分式无意义，
∴原方程无解；
（2）22224424
x x x x x x --+÷+- =()()()()
2
22222x x x x x x --÷+-+ =()2222x x x x x ⨯+--+
=1x ；
把3x =代入得：原式=1
3．
【点睛】
本题主要考查分式的化简求值及分式方程的解法，熟练掌握分式的化简求值及分式方程的解法是解题的关键．
4、14元
【分析】
设苹果每千克的价格为x 元，则砂糖橘每千克的价格为(140%)x -元．根据“学校食堂花了1500 元和1800元分别采购了砂糖橘和苹果，采购的砂糖橘比苹果多50千克，”列出方程，即可求解．
【详解】
解：设苹果每千克的价格为x 元，则砂糖橘每千克的价格为(140%)x -元． 根据题意，得1500180050(140%)x x
-=- 解得14x =
经检验：14x =是原分式方程的解，且符合题意，
∴苹果每千克的价格为14元．
【点睛】
本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
5、（1）1+3x x +；（2）1+43
x -；（3）x =0，1，3，4 【分析】
（1）根据定义即可求出答案．
（2）根据题意给出的变形方法即可求出答案．
（3）先将分式化为真分式与整式的和，然后根据题意即可求出x的值．【详解】
解：（1）根据题意，
1
+3
x
x
+
是一个假分式；
故答案为：
1
+3
x
x
+
（答案不唯一）．
（2）
1344
1
333
x x
x x x
+-+
==-
---
；
故答案为：
4
1
3
x
-
-
；
（3）∵
2(2)(1)+22
=1+
222
x x x x
x
x x x
--+
=+
---
，
∴x-2=±1或x-2=±2，
∴x=0，1，3，4；
【点睛】
本题考查学生的阅读能力，解题的关键是正确理解真假分式的定义，本题属于基础题型．。