黑吉两省十校2020-2021学年高二(上)期中数学(理科)试题

黑吉两省十校2020-2021学年高二（上）期中数学（理科）
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝1，则实数a 的值为 A ．
14
B ．－
14
C ．4
D ．－4
2．“3x ≤”是“27120x x -+≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．下列说法正确的是( )
A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题是“若x 2＝1，则x≠1”
B ．若命题p ：∃x0∈R，2
00210x x -->，则p ⌝：∀x∈R，x2－2x －1＜0
C ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y”的逆否命题为真命题
D ．“x＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件
4．在极坐标系中，O 为极点，
曲线2
cos 1ρθ=与3
πθ=射线的交点为A ，则OA =（ ）
A ．2
B
C ．
1
2
D ．
2
5．某双曲线的一条渐近方程为3
2
y x =
，且焦点为，则该双曲线的方程是（ ） A ．22
164x y -=
B ．22
164y x -=
C ．22
1188x y -=
D ．22
1188
y x -=
6．已知1F ，2F 分别是椭圆22
221(0)9
x y a a a +=>-的左、右两焦点，过点2F 的直线交
椭圆于点A ，B ，若1ABF 为等边三角形，则a 的值为（ ）
A ．3
B ．
C ．
D 7．对于实数a ，b ，m ，命题p ：若a b >，则22am bm >；命题:0q a b >>，且
ln ln a b =
，则2+a b 的最小值为 ）
A ．()p q ⌝∧
B ．()p q ∧⌝
C ．p q ∧
D ．q ⌝
8．若以抛物线22(0)y px p =>上的点(1,)P a 为圆心，2为半径的圆恰好与抛物线的准线相切，则a 的值为（ ） A ．2
B ．2±
C ．2-
D ．±1
9．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为12
y x =±，焦点与双曲线
22
1169
x y -=的焦点相同，则双曲线C 的方程为（ ） A ．22
11510x y -=
B ．22
11015x y -=
C ．22
1
1002533
x y -=
D ．22
1205
x y -=
10．已知椭圆22
1169
x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，若1F ，2F ，P
是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ） A ．
95
B ．3 C
．
7
D ．
94
11．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，双曲线的左支
上有A 、B 两点使得112AF F B =.若12AF F △的周长与12BF F △的周长之比是5
4
，则双曲线的离心率是（ ） A
B
C ．2
D ．
139
12．已知点P 是y 轴左侧一点，抛物线2
:2(0)C y px p =>上存在不同的两点A ，B 满
足PA ，PB 的中点均在C 上，设线段AB 的中点为M ，则（ ） A ．直线PM 的斜率为正数 B ．直线PM 一定经过原点
C ．直线PM 平行于x 轴或与x 轴重合
D ．直线PM 斜率为负数
二、填空题
13．在直角坐标系xOy 中，若直线:x t l y t a =⎧⎨
=-⎩（t 为参数）过椭圆4cos :5sin x C y θ
θ=⎧⎨=⎩
（θ为参数）的左顶点，则a =__________．
14．已知:11p m x m -<<+，:26q x <<，若q 是p 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为______．
15．若椭圆22
14x y m
+=的离心率是12，则m 的值为_________.
16．在平面上给定相异两点A ，B ，设P 点在同一平面上且满足
PA PB
λ=，当0λ>且
1λ≠时，P 点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我
们称这个圆为阿波罗尼斯圆，现有双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >），A ，B 为双曲
线的左、右顶点，C ，D 为双曲线的虚轴端点，动点P 满足
2PA PB
=，PAB ∆面积的最
大值为
64
3
，PCD ∆面积的最小值为4，则双曲线的离心率为______.
三、解答题
17．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22cos 12sin x y α
α
=+⎧⎨
=+⎩（α为参数），直线l
的参数方程为1212x t y ⎧=⎪⎪
⎨⎪=-+⎪⎩
（t 为参数），且直线l 与曲线C 交于,A B 两点，以直角
坐标系的原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程；
（2） 已知点P 的极坐标为3(1,)2
π，求11PA PB +的值
18．求两条渐近线为20x y ±=且截直线30x y --=
的双曲线方程． 19．已知2:2(1)(1)0(0)p x x m m m ---+>；2:230q x x --． （1）若p 是q 的充要条件，求实数m 的值；
（2）若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．
20．已知p ：关于x 的方程20x x a ++=有解；q ：对于[0m ∀∈，1]，不等式
225322a a m m +--++恒成立．
（1）若p 为真，求实数a 的取值范围；
（2）若“p q ∨”为真，“p q ∧”为假，求实数a 的取值范围．
21．已知曲线上一动点P （x ，y ）（x ＞0）到定点F ，0）的距离与它到直线l ：
x
=
（1）求动点P 的轨迹E 的方程；
（2）若M 是曲线E 上的一个动点，直线l ′：y ＝x +4，求点M 到直线l ′的距离的最小值．
22．已知椭圆2
2:110
x C y +=的右焦点为F ，原点为O ，椭圆C 的动弦AB 过焦点F 且
不垂直于坐标轴，弦AB 的中点为N ，过F 且垂直于线段AB 的直线交射线ON 于点M .
（1）证明：点M 在定直线上；
（2）当OMF ∠最大时，求MAB △的面积.
参考答案
1．B 【解析】
试题分析：由已知中抛物线方程2
2
111
222y ax x y y p a a a
=∴=
=⨯∴=
又抛物线的准线方程是y=1，11
1,44
a a -=∴=-，选B. 考点：本试题考查了抛物线的简单性质的简单运用．
点评：抛物线的简单性质，是一道基础题．也是高考常考的题型．找出抛物线标准方程中的p 值是解本题的关键．要求学生掌握抛物线的标准方程如下：（1）y 2=2px （p ＞0），抛物线
开口方向向右，焦点F （ 2p ，0），准线方程为x=-2p ；（2）y 2=-2px （p ＞0），抛物线开口方向向左，焦点F （- 2p ，0），准线方程为x=2p
；（3）x 2=2py （p ＞0），抛物线开口方向向
上，焦点F （0，2p ），准线方程为y=-2p
；（4）x 2=-2py （p ＞0），抛物线开口方向向下，焦
点F （0，- 2p ），准线方程为y=2
p
．
2．A 【分析】
利用一元二次不等式的解法求出27120x x -+≥的解集，再根据充分条件与必要条件的定义求解即可. 【详解】
记“27120x x -+≥”的解集为集合B ， 则{|3B x x =≤或4}x ≥
所以“3x ≤”能推出“27120x x -+≥” “27120x x -+≥”不能推出“3x ≤”
所以“3x ≤”是“27120x x -+≥”的的充分不必要条件. 故选：A. 3．C 【分析】
A 中，写出该命题的否命题，即可判断A 是否正确；
B 中，写出该命题的否定命题，即可判断B 是错误的；
C 中，判断原命题的真假，由此得出它的逆否命题的真假．
D 中，判断充分性和必要性是否成立即可； 【详解】
对于A ，该命题的否命题是：若x 2≠1，则x≠1，∴A 错误； 对于B ，命题的否定是：“2210x R x x ∀∈≤，－－”，∴B 错误；
对于C ，∵命题“若x=y ，则sin x=sin y ”是真命题，∴它的逆否命题也为真命题． ∴C 正确；
对于D ，x=-1时，x 2-5x-6=0，∴充分性成立，x 2-5x-6=0时，x=-1或x=6，必要性不成立，是充分不必要条件，D 错误 故选C ． 【点睛】
本题通过命题真假的判断，考查了命题与命题的否定，四种命题之间的关系，充分与必要条件等问题，是综合题． 4．B 【解析】
分析：将两方程联立求出ρ，再根据ρ的几何意义即可得到OA 的值.
详解：由题可得：2cos 1
{3
ρθρπ
θ=⇒==
，由ρ的几何意义可得OA =
，故选B. 点睛：考查极坐标的定义和ρ的几何意义： ρ表示原点到A 的距离，属于基础题. 5．D 【分析】
设双曲线的方程为22(0)94
y x λλ-=>
，利用焦点为求出λ的值即可.
【详解】
因为双曲线的一条渐近方程为3
2
y x =
，且焦点为， 所以可设双曲线的方程为22
(0)94
y x λλ-=>，
则9426λλ+=，2λ=，
所以该双曲线方程为22
1188
y x -=.
故选：D. 6．B 【分析】
由已知求得c ，再由1ABF 为等边三角形，可得直线AB 与x 轴垂直，然后求解直角三角形得a 值． 【详解】
由题意可得，2
2
2
(9)9c a a =--=，则3c =．
又1ABF 为等边三角形，得直线AB 与x 轴垂直，1230AF F ∠=︒， 则122AF AF =，
12||||2AF AF a +=，则223
a
AF =
，可得122F F AF =，
即6=
，求得a =． 故选：B
7．A 【分析】
由a b >，0m =可判断命题p ；由条件可得1ab =，0a b >>，结合基本不等式可判断命题q ，再根据真值表判断命题真假即可． 【详解】
对于实数a ，b ，m ，命题p ：若a b >，如果0m =，则22am bm >不成立，故命题p 为
q ：若0a b >>，且ln ln a b
=，可得0lna lnb +=，即1ab =，
由0a b >>，
则222a b ab +=2a b a b =⇔==
时取等号；
即有2+a b 有最小值 故命题q 为真命题． 所以()p q ⌝∧是真命题； 故选：A 8．B 【分析】
利用已知条件，结合抛物线的定义，求出p ，然后求解a ，即可得到结果． 【详解】
以抛物线2
2(0)y px p =>上的点(1,)P a 为圆心，2为半径的圆恰好与抛物线的准线相切， 可得122
p
+
=，所以2p =，所以抛物线的方程为：24y x =，点(1,)P a 在抛物线上，所以2a =±． 故选：B 9．D 【分析】
求出已知双曲线的焦点坐标，利用所求双曲线的离心率，求解a ，b ，得到双曲线方程． 【详解】
双曲线22
1169
x y -
=的焦点(5,0)±， 双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的焦点(5,0)±，5c =，
双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为12y x =±，
所以1
2
b a =，222
c a b =+，解得220a =，25b =，
∴双曲线C 的方程为：22
1205
x y -=．
10．D 【解析】
试题分析：由题意可知P x c =±==29
4
P b y a ==
考点：椭圆性质 11．D 【分析】
设1BF m =，可得12AF m =，利用双曲线的定义可求得12AF F △和12BF F △的周长，由已知条件求得3
m a c
=+，再由1212cos cos 0AF F BF F ∠+∠=可求得双曲线的离心率的值. 【详解】
设1BF m =，则由112AF F B =，得12AF m =. 由于212AF AF a -=，212BF BF a -=， 所以222AF a m =+，22BF m a =+.
则12BF F △的周长为1212222BF BF F F m a c ++=++， 12AF F △的周长为
1212422AF AF F F m a c =++++.
根据题意得
42252224m a c m a c ++=++，得3
m a c
=+，
又因为1212cos cos 0AF F BF F ∠+∠=，即
()
()()
2
22
222242242022222m c a m m c a m m c m c
+-++-++=⨯⨯⨯⨯，
所以223340c a am --=，代入3m a c
=
+，得()()()4303
a a c c a c a +-+-=， 可得9130c a -=，解的13
9
c e a =
=， 因此，该双曲线的离心率为139
. 故选：D ． 【点睛】
本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与双曲线的位置关系的应用，属于中档题. 12．C 【分析】
设出P ，A ，B 坐标，利用PA ，PB 的中点在抛物线上，转化求解AB 的中点，判断选项的正误． 【详解】
设0(P x ,0)y ，21(2y A p
,1)y ，2
2(2y B p ,2)y ，
因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以2
102012
2
02022()222
2()222y x y y p p y x y y p p ⎧+⎪+⎪=⋅
⎪⎨⎪+⎪+=⋅⎪
⎩
， 化简可得1y ，2y 为方程22
000240y y y px y -+-=的两个不相同的实数根，
所以1202y y y +=，所以PM 平行于x 轴或与x 轴重合， 故选：C. 【点睛】
关键点点睛：解本题的关键在于将点A 、B 的纵坐标转化为关于y 的方程
22
000240y y y px y -+-=的两个解，进而可利用韦达定理求解.
13．4-. 【解析】
分析：直接化参数方程为普通方程，得到直线和椭圆的普通方程，求出椭圆的左顶点，代入直线的方程，即可求得a 的值. 详解：由已知可得圆4cos :sin x C y ϕ
ϕ
=⎧⎨
=⎩（ϕ为参数）化为普通方程，
可得2
2116
x y +=，故左顶点为(4,0)-，
直线x t
y t a
=⎧⎨
=-⎩（t 为参数）化为普通方程， 可得y x a =-，又点(4,0)-在直线上， 故04a =--，解得4a =-，故答案是4-.
点睛：该题考查的是有关直线的参数方程与椭圆的参数方程的问题，在解题的过程中，需要将参数方程化为普通方程，所以就需要掌握参数方程向普通方程的转化-----消参，之后要明确椭圆的左顶点的坐标，以及点在直线上的条件，从而求得参数的值. 14．[3，5] 【分析】
根据q 是p 的必要不充分条件便得到12
16
m m -⎧⎨+⎩，解该不等式组即得m 的取值范围．
【详解】
:11p m x m -<<+，:26q x <<；
q 是p 的必要不充分条件；
即由p 能得到q ，而q 得不到p ；
∴1216m m -⎧⎨+⎩
，解得35m ≤≤；
m ∴的取值范围是[3，5]．
故答案为：[3，5]．
15．3或
163
【分析】
分焦点在x 轴和y 轴分类讨论，结合离心率得表达式即可求解 【详解】
①当椭圆的焦点在x 轴上时，由题意得
1
22
=，解得3m =；
②当椭圆的焦点在y 1
2=，解得163m =.
综上所述，m =3或16
3
故答案为：3或163
【点睛】
本题考查由椭圆的离心率求解参数值，属于基础题 16．
54
【分析】
根据,A B 为双曲线的左、右顶点可设(),0A a =-,(),0B a ,(),P x y ,由两点间距离公式并化简可得动点P 的轨迹方程.由,A B 为双曲线的左、右顶点可知当P 位于圆的最高点时PAB ∆的面积最大,根据面积最大值求得a .当P 位于圆的最左端时PCD ∆的面积最小,结合最小面积可求得b ,即可求得双曲线的离心率. 【详解】
设(),0A a =-,(),0B a ,(),P x y , 依题意,得2PA PB =,
=两边平方化简得2
2
25433a x y a ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,则圆心为5,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,半径43a r =, 当P 位于圆的最高点时PAB ∆的面积最大,最大面积为1464
2233
a a ⨯⨯=, 解得4a =；
当P 位于圆的最左端时PCD ∆的面积最小,最小面积为15
42423
33a b a a b ⎛⎫⨯⨯-=⨯= ⎪⎝⎭, 解得3b =,
故双曲线的离心率为54e ==.
故答案为: 5
4
【点睛】
本题考查了两点间距离公式的应用,轨迹方程的求法,圆与双曲线的综合应用,双曲线离心率的求法,属于中档题.
17．(1)24cos 2sin 10ρρθρθ--+=.
(2)
11PA PB +=【解析】
分析：(1)曲线C 的参数方程消去参数α，得曲线C 的普通方程()()22
214x y -+-=，整理得到2
2
4210x y x y +--+=，由此，根据极坐标与平面直角坐标之间的关系，可以求得曲线C 的极坐标方程；
(2)将直线的参数方程与曲线C 的普通方程联立，利用直线方程中参数的几何意义，结合韦达定理，求得结果.
详解：（1）C 的普通方程为()()22
214x y -+-=， 整理得2
2
4210x y x y +--+=，
所以曲线C 的极坐标方程为2
4cos 2sin 10ρρθρθ--+=.
（2）点P 的直角坐标为()0,1-，设A ，B 两点对应的参数为1t ，2t ，
将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程中得2
2
1211422t ⎛
⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
整理得(2
240t t -++=.
所以121224t t t t ⎧+=+⎪⎨=⎪⎩
，且易知10t >，20t >，
由参数t 的几何意义可知，1PA t =，2PB t =，
所以
1212111111PA PB t t t t +=+=+
121212
t t t t ++==. 点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有曲线的参数方程向普通方程的转化，曲线的平面直角坐标方程向极坐标方程的转化，直线的参数方程中参数的几何意义，在解题的过程中，要认真分析，细心求解.
18．2
214
x y -=．
【分析】
由渐近线方程为20x y ±=可设双曲线方程为22
4x y λ-=，联立直线方程30x y --=可得2
324(36)0x x λ-++=，结合韦达定理和弦长公式，即可得解. 【详解】
设双曲线方程为2
2
4x y λ-=
联立方程组，得22430,
x y x y λ⎧-=⎨--=⎩消去y ，得2
324(36)0x x λ-++=．
设直线被双曲线截得的弦为AB ，且()()1122,,,A x y B x y ，那么12122
8,36,32412(36)0,
x x x x λλ+=⎧⎪+⎪
=⎨⎪∆=-+>⎪⎩ 那么
||3AB =
=== 解得4λ=，
经检验4λ=满足0∆>
所以所求双曲线方程是：2
214
x y -=．
【点睛】
本题考查了利用渐近线设双曲线的方程，考查了利用韦达定理建立各个变量之间的关系，进而利用弦长公式求得参数的问题，利用渐近线设双曲线的方程的方法比较典型，同时利用韦达定理解决圆锥曲线的问题，也非常常见，计算量较大，属于较难题. 19．（1）2m =；（2）(2,)+∞. 【分析】
（1）解不等式，求出p ，q 的范围，根据充分必要条件的定义，求出m 的值即可； （2）根据p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，得到关于m 的不等式组，解出即可． 【详解】
（1）由2
2(1)(1)0(0)x x m m m ---+>，得1x m -或1x m +，
令{|1A x x m =-或1x m +，0}m >， 由2230x x --，得1x -或3x ， 令{|1B x x =-或3}x ，
p 是q 的充要条件，
∴11
13m m -=-⎧⎨
+=⎩
，解得2m =，
（2）
p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，
A
B ∴，∴1113m m -<-⎧⎨+>⎩
，
解得2m >，
∴实数m 的取值范围是(2,)+∞
20．（1）(-∞，1
]4；（2）(6-，1][14
⋃，)+∞．
【分析】
（1）根据关于x 的方程20x x a ++=有解，得到140a ∆
，解出即可；
（2）首先求出p q ，为真命题时a 的范围，然后根据“p q ∨”为真，“p q ∧”为假，分两种情况讨论即可求出答案. 【详解】
（1）若p 为真，即关于x 的方程20x x a ++=有解，
则判别式140a ∆，得14
a
， a ∴的取值范围是(-∞，1
]4
．
（2）
[0m ∈，1]，222[2m m ∴-++∈，3]．
对于[0m ∀∈，1]，不等式225322a a m m +--++恒成立；
2533a a ∴+-． 1a ∴或6a -．
∴当q 为真时，1a 或6a -；
当q 为假时，61a -<<． 当p 为假时，14
a >
． 依题意“p q ∨”为真，且“p q ∧”为假，
p ∴与q 必有一真一假．
若p 真q 假，则1
4
61a a ⎧⎪⎨⎪-<<⎩，解得164a -<； 若p 假q 真，则14
16
a a a ⎧
>⎪
⎨⎪-⎩或，解得1a ． 综上，实数a 的取值范围是(6-，1
][14
⋃，)+∞．
21．（1
）22x -y 2＝1（
x （2）
2
【分析】
（1）由两点的距离公式和点到直线的距离公式，化简可得所求轨迹方程；
（2）设(,)M x y ，过M 与直线l '且与双曲线相切的直线1:l y x m =+，联立双曲线的方程，由相切的条件：判别式为0，可得m ，注意检验，再由两平行直线的距离公式可得所求最小值． 【详解】
解：（1）曲线上一动点(P x ，)(0)y x >
到定点F 0)
的距离与它到直线:l x =
的距离
=2
212x y -=， 令0y =
可得x =
则动点P 的轨迹E
的方程为2
21(2
x y x -=>；
（2）设(,)M x y ，过M 与直线l '且与双曲线相切的直线1:l y x m =+，
由22
22
y x m
x y =+⎧⎨
-=⎩可得224220x mx m +++=，22168(1)0m m ∆=-+=，解得1m =±， 当1m =时，2440x x ++=，解得2x =-，由0x >可得2x =-舍去； 当1m =-时，2440x x -+=，解得2x =，符合题意；直线1:1l y x =-，
1l 和l '
=
M 到直线l '
的距离的最小值为2
． 【点睛】
本题考查双曲线的方程和性质，考查直线方程和双曲线联立，运用相切的条件：判别式为0，以及两平行直线的距离公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 22．（1）证明见解析；（2
）60
. 【分析】
(1) 设AB 所在直线为：()3(0)y k x k =-≠，()11,A x y ，()22,B x y ,与椭圆方程联立求出点N 的坐标，得到直线ON 的方程，写出FM 的方程，再联立两直线方程得到交点M 的轨迹，得到的证明. (2) 由（1）设点M 101(
,)33k -且()3,0F ，则cos ||||
MF MO OMF MF MO ⋅∠=⋅
=MAB △的边长，得到三角形的面积. 【详解】
（1）证明：显然椭圆2
2:110
x C y +=的右焦点F 的坐标为()3,0，
设AB 所在直线为：()3(0)y k x k =-≠，()11,A x y ，()22,B x y
联立方程组22
(3)110y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222
(101)60(9010)0k x k x k +-+-= 则212260101k x x k +=+，21229010
101
k x x k -=+，
点N 的坐标为222
303(,)101101
k k
k k -++，ON 所在直线方程为110y x k =-. FM 所在的直线方程为1
(3)y x k
=-
-， 联立方程组1(3)110y x k
y x
k ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
得103M x =，
故点M 在定直线10
3
x =
上. （2）解：由（1）103M x =
得点M 的坐标为101
(,)33k
-且()3,0F ， 则11,
33MF k ⎛⎫
=- ⎪
⎝⎭
，101(,)33MO k =-.
所以2
101
cos MF MO OMF MF MO
k +⋅∠=
=
=
⋅ 210
11
=≥
（当且仅当2
110
k =不等式取等号）
若cos OMF ∠取得最小值时，OMF ∠最大， 此时123x x +=，1212
x x =-
，
12||||AB x x =-==
，
||3FM ===
所以1||||2MAB
S
AB MF =⨯⨯=
. 【点睛】
关键点睛：本题考查求轨迹问题和求三角形的面积，解答本题的关键是设直线AB ：
()3(0)y k x k =-≠，联立椭圆方程求出N 222
303(,)101101
k k
k k -++，得到直线ON 方程1
10y x k
=-
，再与直线FM 的方程联立得轨迹方程，由向量的夹角公式则cos ||||
MF MO OMF
MF MO ⋅∠=⋅=2
110k =时OMF ∠最大，属于难题.。