【解析版】数学高二下期末基础练习(含答案解析)

一、选择题
1．在四边形ABCD 中，AB DC =，且AC ·BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ）
A ．菱形
B ．矩形
C ．直角梯形
D ．等腰梯形
2．已知A （1，0，0），B （0，﹣1，1），OA OB λ+与OB （O 为坐标原点）的夹角为30°，则λ的值为（ ） A ．
6
6
B ．66
±
C ．
62
D ．62
±
3．将函数()sin 3f x x πω⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()cos2g x x =的图象，则ϕ的最小值为（ ）
A ．
3
π B ．
6
π C ．12
π
D ．
24
π
4．在ABC ∆中，已知角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1a n =+，b n =，1c n =-，
n ∈+N ，且2A C =，则ABC ∆的最小角的余弦值为（ ）
A ．
25
B ．
35
C ．
12
D ．
34
5．O 为平面上的定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，若
()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC ∆是（ ）
A ．以A
B 为底面的等腰三角形 B ．以B
C 为底面的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形
D ．以BC 为斜边的直角三角形
6．若将函数y =cos2x 的图象向左平移π
12个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）
A ．x =kπ2−π
6(k ∈Z ) B ．x =kπ2+π
6(k ∈Z )x C ．x =kπ2
−
π12
(k ∈Z ) D ．x =
kπ2
+
π12
(k ∈Z )
7．在
中，,,A B C ∠∠∠所对的边长分别是,,a b c ，若
sin sin()sin 2C B A A +-=，则
的形状为
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
8．已知函数()()sin 0,0,,2f x A x A x R π
ωϕωϕ⎛⎫
=+>><
∈ ⎪⎝
⎭
在一个周期内的图象如图所示.则()y f x =的图象，可由函数cos y x =的图象怎样变换而来（纵坐标不变）（ ）
A ．先把各点的横坐标缩短到原来的12
倍，再向左平移6π
个单位
B ．先把各点的横坐标缩短到原来的
12
倍，再向右平移12π
个单位
C ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移6
π
个单位 D ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移
12
π
个单位
9．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ=+>>≤
⎛⎫
⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示，则函数()y f x =的表达式是（ ）
A ．()2sin 12f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭ B ．()2sin 23f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭ C ．()22sin 23
f x x π⎛⎫=-
⎪⎝⎭
D ．()2sin 23f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
10．函数()0,0,2
()(||)f x Asin x A π
ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则函数()
f x 的解析式为（ ）．
A ．()2sin 6f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
B ．()2sin 26f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
C ．()2sin 12f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
D ．()2sin 23f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
11．已知是12,e e ，夹角为60︒的两个单位向量，则12a e e =+与122b e e =-的夹角是
( ) A ．60︒ B ．120︒
C ．30
D ．90︒ 12．若()
2sin sin
sin
7
7
7
n n S n N π
π
π
︒=+++∈，则在中，正数的
个数是（ ） A ．16
B ．72
C ．86
D ．100
13．已知()()f x sin x ωθ=+（其中()()12120,0,
,''0,2f x f x x x πωθ⎛⎫
>∈==- ⎪⎝
⎭
，的最小值为(),23f x f x π
π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，将()f x 的图象向左平移6π
个单位得()g x ，则()g x 的单调递减区间是（ ） A ．(),2k k k Z πππ⎡⎤
+
∈⎢⎥⎣
⎦
B ．()2,63k k k ππ⎡⎤
π+
π+∈⎢⎥⎣⎦
Z C ．()5,36k k k Z ππππ⎡
⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D ．()7,1212k k k Z ππππ⎡
⎤++∈⎢⎥⎣
⎦ 14．在平面直角坐标系中，,,,AB CD EF GH 是圆2
2
1x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以O x 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是
A ．A
B B ．CD
C ．EF
D ．GH
15．已知tan 3a =，则2
1
cos sin 22
a a +=（） A ．25
-
B ．3
C ．3-
D ．
25
二、填空题
16．已知ABC ∆是顶点为A 腰长为2的等腰直角三角形，P 为平面ABC 内一点，则
()
PA PB PC ⋅+的最小值是__________．
17．已知12,e e 是夹角为
3
π
的两个单位向量，1212,a e e b e e =-=+，则2a b +=___． 18．已知函数229sin cos ()sin x x f x x
+-=，2,63x ππ
⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
，则()f x 的值域为____． 19．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别边,,a b c ，若224a b ab ++=，2c =，则
2a b +的取值范围是_____．
20+_________.
21．已知点1,0A ，M ，N 分别是x 轴、y 轴上的动点，且满足0AN MN ⋅=.若点P 满足2MP NP =，则点P 的轨迹方程是______. 22．在△ABC 中，120A ∠=︒，2133AM AB AC =+，1
2
AB AC ⋅=-，则线段AM 长的最小值为____________．
23．函数()2
1
1
sin
sin (0)222
x f x x ωωω=+->，若函数()f x 在区间x ∈(),2ππ内没有零点，则实数ω的取值范围是_____
24．已知()1
sin 3
x y +=，()sin 1x y -=，则tan 2tan x y +=__________． 25．若sin
cos
02
2
α
α
<<，则角α的终边落在第________象限.
三、解答题
26．已知3sin 5α=-
，,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
. （1）求sin 2α的值； （2）求3tan 4πα⎛⎫
-
⎪⎝⎭
的值. 27．已知函数()2sin()1(0)6
f x x π
ωω=-
->的周期是π.
（1）求()f x 的单调递增区间； （2）求()f x 在[0,]2
π
上的最值及其对应的x 的值.
28．已知3cos()(,)424
x x π
ππ
-
=
∈. （1）求sin x 的值； （2）求sin(2)3
x π+的值.
29．已知向量(1,2),(,1)a b x →→
==
（1）当(2)(2)a b a b +⊥-时,求x 的值；（2）若,a b <>为锐角,求x 的范围. 30．设函数()sin(2)16
f x x π
=++.
(1)当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时,求函数()f x 的值域;
(2)ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且3
()2
f A =
=,求sin C .
【参考答案】
2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案
**科目模拟测试
一、选择题 1．A 2．C 3．C 4．D 5．B 6．C 7．D 8．B 9．D 10．D 11．B 12．C 13．A 14．C
二、填空题
16．【解析】【分析】以所在直线为轴建立坐标系设运用向量的坐标运算和向量数量积的坐标表示得出关于的表达式配方即可得出结论【详解】以所在直线为轴以边上的高为轴建立坐标系是直角边为2的等腰直角三角形且为直角顶
17．【解析】【分析】先计算得到再计算然后计算【详解】是夹角为的两个单位向量故答案为【点睛】本题考查了向量的计算和模属于向量的常考题型意在考查学生的计算能力
18．【解析】【分析】先将函数化简整理则根据函数性质即可求得值域【详解】由题得令构造函数求导得则有当时单调递减当时单调递增t=1时为的极小值故由可得又则的值域为【点睛】本题考查求三角函数的值域运用了求导和
19．【解析】【分析】先根据余弦定理求C再根据正弦定理化为角的函数关系式最后根据正弦函数性质求结果【详解】又因此故答案为【点睛】本题考查余弦定理正弦定理以及正弦函数性质考查综合分析求解能力属中档题
20．【解析】原式因为所以且所以原式
21．【解析】【分析】设点MNP三点坐标根据平面向量垂直特性列出方程可得结果【详解】解：设点M坐标（a0）N坐标（0b）点P坐标（xy）则=（-1b）=（-
ab）而==代入可得故答案为【点睛】本题考查了平
22．【解析】【分析】由可以求出由即可求出答案【详解】由题意知可得则（当且仅当即2时取=）故即线段长的最小值为【点睛】本题考查向量的数量积向量的模向量在几何中的应用及基本不等式求最值属于中档题
23．【解析】分析：先化简函数f(x)再求得再根据函数在区间内没有零点得到不等式组最后解不等式组即得w的范围详解：由题得f(x)=因为所以当或时f(x)在内无零点由前一式得即由k =0得K取其它整数时无解同
24．0【解析】分析：利用和差角的正弦公式可求及的值可得详解：联立可解得故即答案为0点睛：本题综合考查了三角函数公式灵活运用和差角公式和同角三角函数基本关系式是解题的关键属于中档题
25．二【解析】由题意结合三角函数的性质可得：则据此可得角的终边落在第二象限
三、解答题
26．
27．
28．
30．
2016-2017年度第*次考试试卷参考解析
【参考解析】
**科目模拟测试
一、选择题
1．A
解析：A
【解析】
【分析】
由AB DC
=可得四边形为平行四边形，由AC·BD＝0得四边形的对角线垂直，故可得四边形为菱形．
【详解】
∵AB DC
=，
∴AB与DC平行且相等，
∴四边形ABCD为平行四边形．
又0
⋅=，
AC BD
⊥，
∴AC BD
即平行四边形ABCD的对角线互相垂直，
∴平行四边形ABCD为菱形．
故选A．
【点睛】
本题考查向量相等和向量数量积的的应用，解题的关键是正确理解有关的概念，属于基础题．
2．C
解析：C
【解析】
【分析】
运用向量的坐标运算及夹角公式直接求解即可． 【详解】
解：(1,0,0)(0,,)(1,,)OA OB λλλλλ+=+-=-，
∴2||12,||2OA OB OB λλ+=+=，
()2OA OB OB λλ+=，
∴
cos302λ︒=，
∴
4λ=，则0λ>，
∴λ=
． 故选：C ． 【点睛】
本题考查空间向量的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题．
3．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据题意得到变换后的函数解析式，利用诱导公式求得结果 【详解】
由题，向左平移(0)ϕϕ>不改变周期，故2ω=，
∴平移得到()sin 2sin 22cos 233x x x ππϕϕ⎡⎤⎡⎤
⎛⎫++
=++= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎝⎭⎣
⎦ 2+
=
+23
2
k π
π
ϕπ∴，12
k π
ϕπ∴=
+
0ϕ>，∴当0k =时，min 12
π
ϕ=
，故选C
【点睛】
本题考查函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，利用诱导公式完成正、余弦型函数的转化
4．D
解析：D 【解析】 【分析】
利用余弦定理求出cos A 和cos C 的表达式，由2A C =，结合正弦定理
sin sin c a
C A
= 2sin cos a
C C =
得出cos C 的表达式，利用余弦定理得出cos C 的表达式，可解出n 的
值，
于此确定ABC ∆三边长，再利用大边对大角定理得出C 为最小角，从而求出cos C ． 【详解】
2A C =，由正弦定理
sin sin c a C A
=，即sin sin 22sin cos c a a
C C C C ==， ()
1
cos 221a n C c n +∴=
=-， ()()()()
222
222114cos 22121n n n a b c n C ab n n n ++--+-+===
++，()()142121n n n n ++∴=-+， 解得5n =，由大边对大角定理可知角C 是最小角，所以，63
cos 244
C ==⨯，故选
D ． 【点睛】
本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查大边对大角定理，在解题时，要充分结合题中的已知条件选择正弦定理和余弦定理进行求解，考查计算能力，属于中等题．
5．B
解析：B 【解析】
试题分析：根据题意，涉及了向量的加减法运算，以及数量积运算． 因此可知2()()OB OC OA OB OA OC OA AB AC +-=-+-=+
OB OC CB -=，所以(2)OB OC OA +-⋅()0OB OC -=可知为
故有||AB AC =，因此可知b=c ，说明了是一个以BC 为底边的等腰三角形，故选B. 考点：本试题主要考查了向量的数量积的运用．
点评：解决该试题的关键是利用向量的加减法灵活的变形，得到长度b=c ，然后分析得到形状，注意多个变量，向一组基向量的变形技巧，属于中档题．
6．C
解析：C 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：由题意得，将函数y =cos2x 的图象向左平移π
12个单位长度，得到y =
cos2(x +
π12
)=cos (2x +π6)，由2x +π6=kπ,k ∈Z ，得x =kπ2
−
π12
,k ∈Z ，即平移后的
函数的对称轴方程为x =
kπ2
−π
12(k ∈Z )，故选C ．
7．D
解析：D 【解析】
试题分析：由sinC ＋sin(B －A)＝sin2A
再注意到：
，所以有，故知△ABC 是等腰
三角形或直角三角形，故选D. 考点：三角恒等变形公式.
8．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据图象可知1A =，根据周期为π知=2ω，过点(
,1)12
π求得3
π
ϕ=
，函数解析式
()sin(2)3f x x π
=+，比较解析式cos sin()2
y x x π
==+，根据图像变换规律即可求解.
【详解】
由()()sin 0,0,,2f x A x A x R πωϕωϕ⎛⎫
=+>><∈
⎪⎝⎭在一个周期内的图象可得1A =,1
1244126T πππω=
⋅=+，解得=2ω，图象过点(,1)12π，代入解析式得1sin(2)12
π
ϕ=⨯
+，
因为2
π
ϕ<
，所以3
π
ϕ=
，故()sin(2)3f x x π
=+，
因为cos sin()2y x x π
==+
，将函数图象上点的横坐标变为原来的1
2
得sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭，再向右平移12π
个单位得sin[2()]sin(2)()
1223y x x f x πππ=-+=+=的图象，故选B. 【点睛】
本题主要考查了由sin()y A x ωϕ=+部分图像求解析式，图象变换规律，属于中档题.
9．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据函数的最值求得A ，根据函数的周期求得ω，根据函数图像上一点的坐标求得ϕ，由此求得函数的解析式. 【详解】
由题图可知2A =，且
11522122T πππ=-=即T π=，所以222T ππωπ
===，
将点5,212π⎛⎫
⎪⎝⎭
的坐标代入函数()()2sin 2x x f ϕ=+， 得
()5262k k ππϕπ+=+∈Z ，即()23
k k π
ϕπ=-∈Z ， 因为2
π
ϕ≤
，所以3
π
ϕ=-
，
所以函数()f x 的表达式为()2sin 23f x x π⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
．故选D. 【点睛】
本小题主要考查根据三角函数图像求三角函数的解析式，属于基础题.
10．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据最值计算A ，利用周期计算ω，当512
x π
=时取得最大值2，计算ϕ，得到函数解析式. 【详解】
由题意可知52,4,212()6
A T ππ
πω==-==， 因为:当512
x π
=
时取得最大值2， 所以:5222)2
(1sin π
ϕ=⨯+， 所以:522,Z 122
k k ππ
ϕπ⨯
+=+∈， 解得:2,Z 3
k k π
ϕπ=-∈，
因为:||2
ϕπ
<
， 所以:可得3
π
ϕ=-
，
可得函数()f x 的解析式:()(2)23
f x sin x π
=-．
故选D ． 【点睛】
本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得函数的解析式，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题
11．B
【解析】 【分析】
求出||,||,a b a b ⋅，根据向量夹角公式，即可求解. 【详解】
2
22
2
2
121122||()2a a e e e e e e ==+=+⋅+ 022cos 603,||3a =+⨯=∴=
222
22121122||(2)44b b e e e e e e ==-=-⋅+ 054cos 603,||3b =-⨯==，
1212()(2)a b e e e e ⋅=+⋅-
2201122321cos602
e e e e =-⋅-=--=-，
设,a b 的夹角为1
,cos 2||||
a b a b θθ⋅=
=-，
20,3
π
θπθ≤≤∴=
. 故选:B, 【点睛】
本题考查向量的夹角、向量的模长、向量的数量积，考查计算能力，属于中档题.
12．C
解析：C 【解析】 【分析】 【详解】 令
7
π
α=，则
7
n n π
α=，当1≤n≤14时，画出角序列n α终边如图，
其终边两两关于x 轴对称，故有均为正数，
而，由周期性可知，当14k-13≤n≤14k 时，Sn>0， 而
，其中k=1,2,…,7，所以在
中有14个为0，其余
都是正数，即正数共有100－14＝86个，故选C.
解析：A 【解析】 【分析】
利用正弦函数的周期性以及图象的对称性求得f （x ）的解析式，利用函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律求得G （x ）的解析式，利用余弦函数的单调性求得则G （x ） 的单调递减区间． 【详解】
∵f （x ）＝sin （ωx +θ），其中ω＞0，θ∈（0，2
π
），f '（x 1）＝f '（x 2）＝0，|x 2﹣x 1|min 2
π
=，
∴
12•T 2ππω==， ∴ω＝2，
∴f （x ）＝sin （2x +θ）． 又f （x ）＝f （
3
π
-x ）， ∴f （x ）的图象的对称轴为x 6
π
=，
∴2•
6π+θ＝k π2π+，k ∈Z ，又02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，， ∴θ6
π
=
，f （x ）＝sin （2x 6
π
+
）． 将f （x ）的图象向左平移
6π个单位得G （x ）＝sin （2x 36
ππ
++）＝cos2x 的图象， 令2k π≤2x ≤2k π+π，求得k π≤x ≤k π2
π
+，则G （x ）＝cos2x 的单调递减区间是[k π，
k π2π+]，
故选A ． 【点睛】
本题主要考查正弦函数的周期性以及图象的对称性，函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于中档题．
14．C
解析：C 【解析】
分析：逐个分析A 、B 、C 、D 四个选项，利用三角函数的三角函数线可得正确结论. 详解：由下图可得：有向线段OM 为余弦线，有向线段MP 为正弦线，有向线段AT 为正
A 选项：当点P 在A
B 上时，cos ,sin x y αα==，
cos sin αα∴>，故A 选项错误；
B 选项：当点P 在CD 上时，cos ,sin x y αα==，tan y x α=
， tan sin cos ααα∴>>，故B 选项错误；
C 选项：当点P 在EF 上时，cos ,sin x y αα==，tan y x
α=
， sin cos tan ααα∴>>，故C 选项正确；
D 选项：点P 在GH 上且GH 在第三象限，tan 0,sin 0,cos 0ααα><<，故D 选项错误.
综上，故选C.
点睛：此题考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到
sin ,cos ,tan ααα所对应的三角函数线进行比较.
15．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据正弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，化为齐次式，即可求解，得到答案． 【详解】
由题意，可得22
2
221cos sin cos cos sin 2cos sin cos 2cos sin a a a a a a a a a a
++=+=+
221tan 132
1tan 135a a ++=
==++，故选D ．
【点睛】 本题主要考查了正弦的倍角公式，以及三角函数的基本关系式的化简、求值，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
二、填空题
16．【解析】【分析】以所在直线为轴建立坐标系设运用向量的坐标运算和向量数量积的坐标表示得出关于的表达式配方即可得出结论【详解】以所在直线为轴以边上的高为轴建立坐标系是直角边为2的等腰直角三角形且为直角顶
解析：1-
【解析】 【分析】
以BC 所在直线为x 轴建立坐标系，设P x y （，） ，运用向量的坐标运算和向量数量积的坐
标表示，得出()
PA PB PC ⋅+关于x y ， 的表达式，配方即可得出结论． 【详解】
以BC 所在直线为x 轴，以BC 边上的高为y 轴建立坐标系，
ABC ∆是直角边为2的等腰直角三角形，且A 为直角顶点，
斜边22BC =，则022020A B C -（，），（，），（，），
设P x y （，），则2222PB PC PO x y PA x y （，），（，），+==--=-
∴()
2222
2 22222212
PA PB PC x y x y ⋅+=+-=+--（，
∴当2
02
x y ==，时，()
PA PB PC ⋅+取得最小值-1． 故答案为：-1． 【点睛】
本题考查了平面向量的数量积运算，运用坐标法解题是关键，属于中档题．
17．【解析】【分析】先计算得到再计算然后计算【详解】是夹角为的两个单位向量故答案为【点睛】本题考查了向量的计算和模属于向量的常考题型意在考查学生的计算能力 7
【解析】 【分析】 先计算得到1212
e e ⋅=，再计算1223a b e e +=-，然后计算2
(2)727a b a b +=⇒+=. 【详解】
12,e e 是夹角为3
π的两个单位向量1212
e e ⇒⋅=
12121222()3a b e e e e e e +=-++=-
2
2
22121122(2)(3)96931727a b e e e e e e a b +=-=-⋅+=-+=⇒+=
【点睛】
本题考查了向量的计算和模，属于向量的常考题型，意在考查学生的计算能力.
18．【解析】【分析】先将函数化简整理则根据函数性质即可求得值域【详解】由题得令构造函数求导得则有当时单调递减当时单调递增t=1时为的极小值故由可得又则的值域为【点睛】本题考查求三角函数的值域运用了求导和
解析：2311,2⎡⎫
⎪⎢⎣
⎭
【解析】 【分析】
先将函数化简整理1()9sin sin f x x x =++，2,63
x ππ
⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
，则1sin (,1]2x ∈，根据函数性质即可求得值域。

【详解】
由题得1()9sin sin f x x x =++
，1sin (,1]2x ∈，令sin t x =，1
(,1]2
t ∈，构造函数1()g t t t =+，求导得21
'()1g t t
=-，则有当(,1)t ∈-∞时，'()0g t <，()g t 单调递减，当
(1,)t ∈+∞时，'()0g t >，()g t 单调递增，t=1时，'()0g t =，为()g t 的极小值，故由1(,1]2t ∈可得5()[2,)2g t ∈，又()9()f x g x =+，则()f x 的值域为23[11,)2.
【点睛】
本题考查求三角函数的值域，运用了求导和换原的方法。

19．【解析】【分析】先根据余弦定理求C 再根据正弦定理化为角的函数关系式最后根据正弦函数性质求结果【详解】又因此故答案为【点睛】本题考查余弦定理正弦定理以及正弦函数性质考查综合分析求解能力属中档题 解析：(2,4)
【解析】 【分析】
先根据余弦定理求C,再根据正弦定理化2a b +为角的函数关系式，最后根据正弦函数性质求结果. 【详解】
224a b ab ++=，2c =， 222a b ab c ∴++=，
∴ 2221
22
a b c ab +-=-，1cos 2C ∴=-，又0C π<<，
23
C π∴=
，
因此)sin sin 222sin sin sin sin 3
c A c B a b A B C C +=⨯
+=+
2sin sin ?4sin 36A A A ππ⎫⎛⎫⎛
⎫=
+-=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 03
A π
<<
，∴
6
6
2
A π
π
π
<+
<
，
∴
1sin 126A π⎛
⎫<+< ⎪⎝⎭
， 224a b <+< 故答案为()2,4． 【点睛】
本题考查余弦定理、正弦定理以及正弦函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题.
20．【解析】原式因为所以且所以原式 解析：2sin 4-
【解析】
原式2cos42sin4cos4=
=+-，因为5
3
442
ππ<<
，所以cos40<，且sin4cos4<，所以原式()2cos42sin4cos42sin4=---=-．
21．【解析】【分析】设点MNP 三点坐标根据平面向量垂直特性列出方程可得结果【详解】解：设点M 坐标（a0）N 坐标（0b ）点P 坐标（xy ）则=（-1b ）=（-ab ）而==代入可得故答案为【点睛】本题考查了平 解析：24y x =
【解析】 【分析】
设点M,N,P 三点坐标，根据平面向量垂直特性，列出方程可得结果. 【详解】
解：设点M 坐标（a,0），N 坐标（0，b ），点P 坐标（x,y ）,
则AN =（-1，b ），MN =（-a,b ），∴AN MN ⋅=20a b +=⇒2a b =-， 而MP =(),x a y -,NP =(),x y b -,
2MP NP
=⇒()22()x x a y b y
⎧=-⎨-=⎩⇒2x a y b =-⎧⎨=⎩,代入2a b =-可得24y x =. 故答案为2
4y x =. 【点睛】
本题考查了平面向量垂直的乘积和点的轨迹方程的求法，属于简单题.
22．【解析】【分析】由可以求出由即可求出答案【详解】由题意知可得则（
当且仅当即2时取=）故即线段长的最小值为【点睛】本题考查向量的数量积向量的模向量在几何中的应用及基本不等式求最值属于中档题
解析：
3
【解析】 【分析】
由cos120AB AC AB AC ⋅=︒，可以求出1AB AC =，由
2
2
2222214144142339
99999AM AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC
⎛⎫
=+=++⋅≥⨯+⋅ ⎪⎝⎭，即可求出答案． 【详解】
由题意知1
cos1202
AB AC AB AC ⋅=-=︒，可得1AB AC =， 则
2
22222214
14414444222339
9999999999AM AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=+=++⋅≥⨯+⋅=+⋅=-=
⎪⎝⎭，（当且仅当2241
99
AB AC =，即2AB AC =时取“=”.）
故23AM ≥，即线段AM 长的最小值为3
. 【点睛】
本题考查向量的数量积，向量的模，向量在几何中的应用，及基本不等式求最值，属于中档题．
23．【解析】分析：先化简函数f(x)再求得再根据函数在区间内没有零点得到不等式组最后解不等式组即得w 的范围详解：由题得f(x)=因为所以当或时f(x)在内无零点由前一式得即由k=0得K 取其它整数时无解同
解析：][1
150,,8
48⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦
【解析】
分析：先化简函数f(x) )24
wx π
=
-,再求得(,2),444wx w w πππππ-∈--再根据函
数()f x 在区间x ∈ (),2ππ内没有零点得到不等式组，最后解不等式组即得w 的范围.
详解：由题得f(x)=
1cos 1111sin sin cos )2222224
wx wx wx wx wx π
-+-=-=-, 因为x ∈ (),2ππ，所以(,2),4
44
wx w w π
π
π
ππ-∈-
-
当(,2)(2,2),44
w w k k k z π
π
πππππ-
-⊆+∈或
(,2)(2,2),44
w w k k k z π
π
πππππ-
-⊆-∈时，f(x)在(),2ππ内无零点，由前一式得 24
,224k w w k πππππππ
⎧≤-⎪⎪⎨
⎪-≤+⎪⎩
即152,48k w k +
≤≤+由k=0得15
48
w ≤≤， K 取其它整数时无解，同理，由后一式，解得1
(0,]8
w ∈， 综上，w 的取值范围是][1150,
,848⎛⎤
⋃ ⎥
⎝⎦
. 点睛：（1）本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，考查三角函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力数形结合的思想方法.(2)解答本题的关键有两点，其一是分析得到当(,2)(2,2),44
w w k k k z π
π
πππππ-
-⊆+∈或
(,2)(2,2),44
w w k k k z ππ
πππππ-
-⊆-∈时，f(x)在(),2ππ内无零点，其二是进一步
转化得到不等式组解不等式组. 24．0【解析】分析：利用和差角的正弦公式可求及的值可得详解：联立可解得故即答案为0点睛：本题综合考查了三角函数公式灵活运用和差角公式和同角三角函数基本关系式是解题的关键属于中档题
解析：0 【解析】
分析：利用和差角的正弦公式，可求sin cos x y 及cos sin x y 的值，可得tan 2.tan x
y
=- 详解：
()1
sin sin cos cos sin ,3
x y x y x y +=+=
()sin sin cos cos sin 1,x y x y x y -=-= 联立可解得21
sin cos ,cos sin ,33
x y x y ==-
sin cos tan 2.cos sin tan x y x x y y
∴==- 故tan 2tan 0.x y += 即答案为0.
点睛：本题综合考查了三角函数公式，灵活运用和差角公式和同角三角函数基本关系式是解题的关键，属于中档题．
25．二【解析】由题意结合三角函数的性质可得：则据此可得角的终边落在第二象限
解析：二
【解析】
由题意结合三角函数的性质可得：()5322422
k k k Z παπππ+
<<+∈， 则()544322
k k k Z πα
πππ+<<+∈， 据此可得角α的终边落在第二象限.
三、解答题 26．
（1）2425-
；（2）17
- 【解析】 【分析】
（1
）根据同角三角函数关系求出4cos 5
α==，根据二倍角公式即可得解；
（2）结合（1）求出3
tan 4
α=-，利用两角差的正切公式求解. 【详解】 （1）3sin 5α=-
，,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
，
所以4cos 5
α==，
所以24
sin 22sin cos 25
ααα==-； （2）由（1）可得3tan 4α=-
， 3
131tan 14tan 341tan 714
πααα-+
--⎛⎫-==
=- ⎪-⎝⎭+ 【点睛】
此题考查根据已知三角函数值求三角函数值，关键在于熟练掌握同角三角函数基本关系，二倍角公式以及和差公式.
27．
（1）(),63k k k Z ππππ⎡⎤
-
++∈⎢⎥⎣⎦
；（2）当0x =时，()min 2f x =-；当3x π=时，
()max 1f x =.
【解析】 【分析】
（1）先由周期为π求出2ω=,再根据222262k x k πππππ-
+≤-≤+,k Z ∈进行求解即可；
（2）先求出52666x πππ-
≤-≤,可得12sin 226x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭,进而求解即可 【详解】
（1）解：∵2T π
πω==,∴2ω=,
又∵0>ω,∴2ω=,∴()2sin 216f x x π⎛
⎫=-
- ⎪⎝⎭, ∵222262k x k πππππ-
+≤-≤+,k Z ∈, ∴222233k x k ππππ-
+≤≤+,k Z ∈, ∴63
k x k π
πππ-+≤≤+,k Z ∈, ∴()f x 的单调递增区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦
（2）解：∵02x π≤≤
,∴02x ≤≤π,∴52666x πππ-≤-≤, ∴1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝
⎭, ∴12sin 226x π⎛
⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭
, ∴22sin 2116x π⎛⎫-≤--≤ ⎪⎝
⎭, 当0x =时,()min 2f x =-, 当226x ππ-
=,即3
x π=时,()max 1f x = 【点睛】 本题考查求正弦型函数的单调区间,考查正弦型函数的最值问题,属于基础题
28． (1)45
；
(2)2450
+-
. 【解析】 【分析】
【详解】
试题分析：（1）先判断4x π
-的取值范围，然后应用同角三角函数的基本关系式求出
sin()4x π-，将所求进行变形sin sin[()]44
x x ππ=-+，最后由两角和的正弦公式进行计算即可；（2）结合（1）的结果与x 的取值范围，确定cos x 的取值，再由正、余弦的二倍角公式计算出sin 2x 、cos2x ，最后应用两角和的正弦公式进行展开计算即可.
试题解析：（1）因为3(,)24x ππ
∈，所以(,)442x πππ
-∈，于是
sin()410
x π-== sin sin[()]sin()cos cos()sin 4
44444x x x x ππππππ=-+=-+-
45=+=
（2）因为3(,)24x ππ∈，故3cos 5
x ===- 2247sin 22sin cos ,cos 22cos 12525x x x x x ==-
=-=-
所以中sin(2)sin 2cos cos 2sin 333x x x π
π
π
+=+= 考点：1.同角三角函数的基本关系式；2.两角和与差公式；3.倍角公式；4.三角函数的恒等变换.
29．
（1）x 72=
或x ＝﹣2；（2）x ＞﹣2且x 12
≠． 【解析】
【分析】 （1）利用向量的数量积为零列出方程求解即可．（2）根据题意得a •b ＞0且a ，b 不同向，
列出不等式，即可求出结果．
【详解】
（1）a +2b =（1+2x ，4），2a b -=（2﹣x ，3），（a +2b ）⊥（2a b -），
可得（2x +1）（2﹣x ）+3×
4＝0． 即﹣2x 2+3x +14＝0．
解得：x 72
=或x ＝﹣2． （2）若a ＜，b ＞为锐角，则a •b ＞0且a ，b 不同向．
a •
b =x +2＞0，∴x ＞﹣2，当x 12=
时，a ，b 同向． ∴x ＞﹣2且x 12
≠
． 【点睛】 本题主要考查向量垂直的坐标表示，考查向量夹角为锐角的充要条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
30．
（1）1,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2【解析】
【分析】
（1）根据0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求出26x π+的范围，由正弦函数的图象和性质求解即可（2）根据条件求出A 的值，结合正弦定理以及两角和的正弦公式进行求解即可.
【详解】
（1）0,,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
72,666x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦
， 1sin 21226x π⎛⎫∴++ ⎪⎝
⎭ ∴函数()f x 的值域为1
,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （2）3()sin 2162f A A π⎛⎫=++= ⎪⎝
⎭， 1sin 262A π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭， 0,A π<<
132666
A π
π
π∴<+<， 5266A ππ∴+
=， 即3
A π=,
2a =
由正弦定理得：2
A B ==，
sin 2
B ∴=， 203B π∴<<，则4
B π=，
sin sin[()]sin()sin cos cos sin 34343434C πππππππππ∴=-+=+=+==
【点睛】
本题主要考查了根据角的范围求正弦函数值域，正弦定理，两角和的正弦公式，属于中档题.。