1.2.2 组合(一)(用)
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5 3 2
C3C9 378
1 4
（6）甲、乙、丙三人至少1人当选； 3 2 2 3 1 4 (6)方法一：C3 C9 C3 C9 C3C9 666
方法二：C12 C3 C9 666
5 0 5
例5、某医院有内科医生12名，外 科医生8名，现要派5人参加支边 医疗队，至少要有1名内科医生和 1名外科医生参加，有多少种选法？
C4 6
2
练一练
1.写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素 的所有组合。
a
b
c b d c d c d
abc ， abd ， acd ， bcd .
组合
abc abc acb abd adb acd adc
排列
bac bca bad bda cad cda cbd cdb cab cba dab dba dac dca dbc dcb
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出 m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不 同元素中取出m个元素的一个组合．
共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元 素” 不同点: 排列与元素的顺序有关， 而组合则与元素的顺序无关.
概念理解
思考一:ab与ba是相同的排列还是相同的 组合?为什么? 思考二:两个相同的排列有什么特点?两个 相同的组合呢?
m n1
m!(n m)!
n!(n m 1) n!m m!(n m 1)! (n 1)! m![( n 1) m]!
C .
cn cn c n 1
m
m
m 1
注:1 公式特征：下标相同而上标差1的 两个组合数之和，等于下标比原下标多1 而上标与原组合数上标较大的相同的一 个组合数． 2 此性质的作用：恒等变形，简化运 算．在今后学习“二项式定理”时，我 们会看到它的主要应用．
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(4)10人聚会，见面后每两人之间要 握手相互问候,共需握手多少次? 组合问题 (5)从4个风景点中选出2个游览,有 多少种不同的方法? 组合问题 (6)从4个风景点中选出2个,并确定这 2个风景点的游览顺序,有多少种不同 排列问题 的方法?
组合是选择的结果，排列 是选择后再排序的结果.
C3 C9 36
3 2
C1 C9 126
1 4
变式练习
按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不 同选法？4）甲、乙、丙三人只有一人当选；
（5）甲、乙、丙三人至多2人当选； 2 3 1 4 0 5 (5)方法一：C3 C9 C3C9 C3 C9 756
方法二：C12 C3 C9 756
情境创设
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2 名去参加某天的一项活动，其中1名同学 参加上午的活动，1名同学参加下午的活 动，有多少种不同的选法？ 2
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出 2名去参加某天一项活动，有多少种不 同的选法？ 3
A3 6
甲、乙；甲、丙；乙、 丙
问题1 从已知的3 个 不同元素中每 次取出2个元 素 ,按照一 定的顺序排成 一列.
abd acd
bcd
你发现了 bcd 什么?
bdc
不写出所有组合，怎样才能知道组合的种数？
求
可分两步考虑： A4
3 4
3
求 P 可分两步考虑：
第一步，
第二步，
C
A
3 4
3 4
3 3
（ 4） 个 ；
（ 6） 个 ；
根据分步计数原理，
A C
3 4
3 4
A
3 3 .
从 而 C
A C A
从n个不同元素中取出m（m≤n） 个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合 m 数，用符号 C 表示.
n
概念讲解
组合数:
注意： m C n 是一个数，应该把它与“组合”区别开 来． a , b , c三个不同的元素中取 如:从
出两个元素的所有组合个数是: C 3 3
2
如:已知4个元素a 、b 、 c 、 d ,写出 每次取出两个元素的所有组合个数是：
m! * m 、 n N，且 m n 这里 ，这个公式叫做组合 数公式．
因此：C
m n
An A
m
m m
nn 1n 2 n m 1
概念讲解
从 n 个不同元中取出m个元素的排列数
A
m n
C
m n
A
m m
组合数公式:
Cn
m
An
m m
n ( n 1)( n 2 ) ( n m 1) m!
C5 5 5
2
(2)凸n（ n>3）边形有多少条对角线？
Cn n
2
n ( n 1) 2
n
n ( n 3) 2
变式练习
按下列条件，从12人中选出5人，有多 少种不同选法？ （1）甲、乙、丙三人必须当选；
（2）甲、乙、丙三人不能当选； 0 5 C3 C9 126 （3）甲必须当选，乙、丙不能当选；
n
c
m n
c
98
100
c100
2
100 99 1 2
4950
所以规定
（2）当m=n时, 有
cn 1 cn
n
0
0 cn
1
定理 2 :
C
m n
m n1
C C
m n
m1 n
.
证明:
n!
C C
m1 n
n! (m 1)![n (m 1)]! (n m 1 m)n! m!(n 1 m)!
解 法 一 （ 直 接 法 ） ： C 12 C 8 C 12 C 8 C 12 C 8 C 12 C 8
1 4 2 3 3 2 4 1
解 法 二 （ 间 接 法 ） ： C 20 C 12 C 8 C 12 C 8
5 0 5 5
0
例6：（1）平面内有9个点，其中4 个点在一条直线上，此外没有3个点 在一条直线上，过这9个点可确定多 少条直线？可以作多少个三角形？
n！ m（n m） ! !
,
n!
m 1 nm
Cn
m 1
m 1
n m (m 1)!(n m 1)!
m 1
n!
(m 1)! (n m)( n m 1)!
m ! ( n m) ! C .
m n
n!
组合数的两个性质
性质 : 1
证明: C
（2）空间12个点，其中5个点共面， 此外无任何4个点共面，这12个点可 确定多少个不同的平面？
例7、有翻译人员11名，其中5名仅 通英语、4名仅通法语，还有2名英、 法语皆通。现欲从中选出8名，其中 4名译英语，另外4名译法语，一共 可列多少张不同的名单？
课堂小结
组合的概念 排列 联系 组合是选择的 结果，排列是 选择后再排序 的结果 组合 组合数的概念
m n
m Cn
,
nm Cn
.
n！ m（n m） ! !
C
n m n
n！ (n m) ![n n m）! （ ]
n！ m ! ( n m) !
C C
m n
nm n
.
性质1的应用 (1)当m> 2时，利用这个公式，可使 的计算简化 9 8 7 97 2 c9 c9 c9 1 2 36
例１ 计算：
(1)
C
198 200
;
198 C200 C 200
2 99
2
200 199 2 1
19900
(2)
C C 100 99 98 3 2 1
3 9 2 8
161700
2C C C .
3 8
2 C (C C ) C C 56
１）元素相同； ２）元素排列顺序相同.
元素相同
思考三:组合与排列有联系吗?
构造排列分成两步完成，先取后排； 而构造组合就是其中一个步骤.
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的 含有3个元素的子集有多少个? 组合问题 (2)某铁路线上有5个车站，则这条铁 路线上共需准备多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题 (3)10名同学分成人数相同的数学和 英语两个学习小组,共有多少种分法? 组合问题
3
3 4 4 3
P
3 4 3 3
3
P
如何计算:
Cn
m
概念讲解
组合数公式
排列与组合是有区别的，但它们又有联系． 一般地，求从 n 个不同元素中取出 m 个元素 的排列数，可以分为以下2步： 第1步，先求出从这 m 元素的组合数 C n ．
n
个不同元素中取出 m 个
m m ．
第2步，求每一个组合中m 个元素的全排列数 A m 根据分步计数原理，得到：A nm C nm A m
概念理解
1.从 a , b , c三个不同的元素中取出两 个元素的所有组合分别是: ab , ac , bc 2.已知4个元素a , b , c , d ,写出每次 取出两个元素的所有组合.
a
b
c
d c d b c d ab , ac , ad , bc , bd , cd
(6个)
概念讲解
组合数:
3 8 3 8 2 8 2 8 3 8
例题分析
例3.甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循 环赛，
(1)列出所有各场比赛的双方； （2)列出所有冠亚军的可能情况.
(1) 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁
（2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙
例题分析
例4.(1)平面内有10个点，以其中每2 个点为端点的线段共有多少条？ (2)平面内有10个点，以其中每2个 点为端点的有向线段共有多少条？ 例5.(1)凸五边形有多少条对角线？
问题2 从已知的3个 不同元素中每 次取出2个元 素 ,并成一 组
有 顺 序
排列
组合
无 顺 序
概念讲解
组合定义:
一般地，从n个不同元素中取 出m（m≤n）个元素并成一组，叫 做从n个不同元素中取出m个元素 的一个组合．
排列与组合的 概念有什么共同 点与不同点？
概念讲解
排列定义: 一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.
Am
Cn
m
n! m !( n m ) !
我们规定：Cn 1.
0
例1计算：⑴C
4 7
⑵ C
3 n
7 10
(3)
已知
C
A
2 n
,求 n ．
(4)求 C 38 - n + C 3n 的 值 . 3n 21+ n
例2
求证 : C
m n
m 1 nm
C
m1 n
.
证明: C
m n
C3C9 378
1 4
（6）甲、乙、丙三人至少1人当选； 3 2 2 3 1 4 (6)方法一：C3 C9 C3 C9 C3C9 666
方法二：C12 C3 C9 666
5 0 5
例5、某医院有内科医生12名，外 科医生8名，现要派5人参加支边 医疗队，至少要有1名内科医生和 1名外科医生参加，有多少种选法？
C4 6
2
练一练
1.写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素 的所有组合。
a
b
c b d c d c d
abc ， abd ， acd ， bcd .
组合
abc abc acb abd adb acd adc
排列
bac bca bad bda cad cda cbd cdb cab cba dab dba dac dca dbc dcb
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出 m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不 同元素中取出m个元素的一个组合．
共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元 素” 不同点: 排列与元素的顺序有关， 而组合则与元素的顺序无关.
概念理解
思考一:ab与ba是相同的排列还是相同的 组合?为什么? 思考二:两个相同的排列有什么特点?两个 相同的组合呢?
m n1
m!(n m)!
n!(n m 1) n!m m!(n m 1)! (n 1)! m![( n 1) m]!
C .
cn cn c n 1
m
m
m 1
注:1 公式特征：下标相同而上标差1的 两个组合数之和，等于下标比原下标多1 而上标与原组合数上标较大的相同的一 个组合数． 2 此性质的作用：恒等变形，简化运 算．在今后学习“二项式定理”时，我 们会看到它的主要应用．
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(4)10人聚会，见面后每两人之间要 握手相互问候,共需握手多少次? 组合问题 (5)从4个风景点中选出2个游览,有 多少种不同的方法? 组合问题 (6)从4个风景点中选出2个,并确定这 2个风景点的游览顺序,有多少种不同 排列问题 的方法?
组合是选择的结果，排列 是选择后再排序的结果.
C3 C9 36
3 2
C1 C9 126
1 4
变式练习
按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不 同选法？4）甲、乙、丙三人只有一人当选；
（5）甲、乙、丙三人至多2人当选； 2 3 1 4 0 5 (5)方法一：C3 C9 C3C9 C3 C9 756
方法二：C12 C3 C9 756
情境创设
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2 名去参加某天的一项活动，其中1名同学 参加上午的活动，1名同学参加下午的活 动，有多少种不同的选法？ 2
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出 2名去参加某天一项活动，有多少种不 同的选法？ 3
A3 6
甲、乙；甲、丙；乙、 丙
问题1 从已知的3 个 不同元素中每 次取出2个元 素 ,按照一 定的顺序排成 一列.
abd acd
bcd
你发现了 bcd 什么?
bdc
不写出所有组合，怎样才能知道组合的种数？
求
可分两步考虑： A4
3 4
3
求 P 可分两步考虑：
第一步，
第二步，
C
A
3 4
3 4
3 3
（ 4） 个 ；
（ 6） 个 ；
根据分步计数原理，
A C
3 4
3 4
A
3 3 .
从 而 C
A C A
从n个不同元素中取出m（m≤n） 个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合 m 数，用符号 C 表示.
n
概念讲解
组合数:
注意： m C n 是一个数，应该把它与“组合”区别开 来． a , b , c三个不同的元素中取 如:从
出两个元素的所有组合个数是: C 3 3
2
如:已知4个元素a 、b 、 c 、 d ,写出 每次取出两个元素的所有组合个数是：
m! * m 、 n N，且 m n 这里 ，这个公式叫做组合 数公式．
因此：C
m n
An A
m
m m
nn 1n 2 n m 1
概念讲解
从 n 个不同元中取出m个元素的排列数
A
m n
C
m n
A
m m
组合数公式:
Cn
m
An
m m
n ( n 1)( n 2 ) ( n m 1) m!
C5 5 5
2
(2)凸n（ n>3）边形有多少条对角线？
Cn n
2
n ( n 1) 2
n
n ( n 3) 2
变式练习
按下列条件，从12人中选出5人，有多 少种不同选法？ （1）甲、乙、丙三人必须当选；
（2）甲、乙、丙三人不能当选； 0 5 C3 C9 126 （3）甲必须当选，乙、丙不能当选；
n
c
m n
c
98
100
c100
2
100 99 1 2
4950
所以规定
（2）当m=n时, 有
cn 1 cn
n
0
0 cn
1
定理 2 :
C
m n
m n1
C C
m n
m1 n
.
证明:
n!
C C
m1 n
n! (m 1)![n (m 1)]! (n m 1 m)n! m!(n 1 m)!
解 法 一 （ 直 接 法 ） ： C 12 C 8 C 12 C 8 C 12 C 8 C 12 C 8
1 4 2 3 3 2 4 1
解 法 二 （ 间 接 法 ） ： C 20 C 12 C 8 C 12 C 8
5 0 5 5
0
例6：（1）平面内有9个点，其中4 个点在一条直线上，此外没有3个点 在一条直线上，过这9个点可确定多 少条直线？可以作多少个三角形？
n！ m（n m） ! !
,
n!
m 1 nm
Cn
m 1
m 1
n m (m 1)!(n m 1)!
m 1
n!
(m 1)! (n m)( n m 1)!
m ! ( n m) ! C .
m n
n!
组合数的两个性质
性质 : 1
证明: C
（2）空间12个点，其中5个点共面， 此外无任何4个点共面，这12个点可 确定多少个不同的平面？
例7、有翻译人员11名，其中5名仅 通英语、4名仅通法语，还有2名英、 法语皆通。现欲从中选出8名，其中 4名译英语，另外4名译法语，一共 可列多少张不同的名单？
课堂小结
组合的概念 排列 联系 组合是选择的 结果，排列是 选择后再排序 的结果 组合 组合数的概念
m n
m Cn
,
nm Cn
.
n！ m（n m） ! !
C
n m n
n！ (n m) ![n n m）! （ ]
n！ m ! ( n m) !
C C
m n
nm n
.
性质1的应用 (1)当m> 2时，利用这个公式，可使 的计算简化 9 8 7 97 2 c9 c9 c9 1 2 36
例１ 计算：
(1)
C
198 200
;
198 C200 C 200
2 99
2
200 199 2 1
19900
(2)
C C 100 99 98 3 2 1
3 9 2 8
161700
2C C C .
3 8
2 C (C C ) C C 56
１）元素相同； ２）元素排列顺序相同.
元素相同
思考三:组合与排列有联系吗?
构造排列分成两步完成，先取后排； 而构造组合就是其中一个步骤.
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的 含有3个元素的子集有多少个? 组合问题 (2)某铁路线上有5个车站，则这条铁 路线上共需准备多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题 (3)10名同学分成人数相同的数学和 英语两个学习小组,共有多少种分法? 组合问题
3
3 4 4 3
P
3 4 3 3
3
P
如何计算:
Cn
m
概念讲解
组合数公式
排列与组合是有区别的，但它们又有联系． 一般地，求从 n 个不同元素中取出 m 个元素 的排列数，可以分为以下2步： 第1步，先求出从这 m 元素的组合数 C n ．
n
个不同元素中取出 m 个
m m ．
第2步，求每一个组合中m 个元素的全排列数 A m 根据分步计数原理，得到：A nm C nm A m
概念理解
1.从 a , b , c三个不同的元素中取出两 个元素的所有组合分别是: ab , ac , bc 2.已知4个元素a , b , c , d ,写出每次 取出两个元素的所有组合.
a
b
c
d c d b c d ab , ac , ad , bc , bd , cd
(6个)
概念讲解
组合数:
3 8 3 8 2 8 2 8 3 8
例题分析
例3.甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循 环赛，
(1)列出所有各场比赛的双方； （2)列出所有冠亚军的可能情况.
(1) 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁
（2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙
例题分析
例4.(1)平面内有10个点，以其中每2 个点为端点的线段共有多少条？ (2)平面内有10个点，以其中每2个 点为端点的有向线段共有多少条？ 例5.(1)凸五边形有多少条对角线？
问题2 从已知的3个 不同元素中每 次取出2个元 素 ,并成一 组
有 顺 序
排列
组合
无 顺 序
概念讲解
组合定义:
一般地，从n个不同元素中取 出m（m≤n）个元素并成一组，叫 做从n个不同元素中取出m个元素 的一个组合．
排列与组合的 概念有什么共同 点与不同点？
概念讲解
排列定义: 一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.
Am
Cn
m
n! m !( n m ) !
我们规定：Cn 1.
0
例1计算：⑴C
4 7
⑵ C
3 n
7 10
(3)
已知
C
A
2 n
,求 n ．
(4)求 C 38 - n + C 3n 的 值 . 3n 21+ n
例2
求证 : C
m n
m 1 nm
C
m1 n
.
证明: C
m n