线性规划解决投资

利用线性规划解决投资问题
一．提出问题
某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示．按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税．此外还有以下限制：
(1)政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；
(2)所购证券的平均信用等级不超过1.4(信用等级数字越小，信用程度越高)；
(3)所购证券的平均到期年限不超过5年。

证 券 信 息
问：
（1） 若该经理有1000万元资金，应如何投资？
（2） 如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？
（3） 在1000万元资金情况下，若证券A 的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C 的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？
二．模型假设
1.数据模型足够大可视为连续使用函数线性规划来解决问题
2.由于证券利润、资金等均为常数，可建立线性规划模型.
三．问题分析
此线性问题的目标是有价证券回收的利息为最高,要做的决策是投资计划。

即应购买的各种证券的数量的分配。

再进行灵敏度分析即可解决问题。

综合考虑：特定证券购买、资金限制、平均信用等级、平均年限这些条件，按照题目所求，将决策变量、决策目标和约束条件构成的优化模型求解问题便得以解决。

四．模型建立
决策变量 用X1、X2、X3、X4、X5、分别表示购买A 、B 、C 、D 、E 证券的数值， 单位：百万元
目标函数 以所给条件下银行经理获利最大为目标。

则，由表可得：
m ax Z =0.0431x +0.0272x +0.0253x +0.0224x +0.0455x (1)
约束条件 为满足题给要求应有：
4x x x 432≥++ (2)
10x x x x x 54321≤++++ (3)
且 1x 、2x 、3x 、4x 、5x 均非负。

五．模型求解
将（1）（2）（3）（4）（5）构成的线性规划模型输入LINGO 如下： m ax Z =0.0431x +0.0272x +0.0253x +0.0224x +0.0455x
St
4x x x 432≥++;
10x x x x x 54321≤++++；
0x 36x 4x 4x 6x 654321≤+--+；
0x 3x 2x x 10x 454321≤---+；
End
解得：
Global optimal solution found.
Objective value: 0.2983636
Infeasibilities: 0.000000
Total solver iterations: 3
Model Class: LP
Total variables: 5
Nonlinear variables: 0
Integer variables: 0
Total constraints: 5
Nonlinear constraints: 0
Total nonzeros: 23
Nonlinear nonzeros: 0
Variable Value Reduced Cost
X1 2.181818 0.000000
X2 0.000000 0.03018182
X3 7.363636 0.000000
X4 0.000000 0.0006363636
X5 0.4545455 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 0.2983636 1.000000
2 3.363636 0.000000
3 0.000000 0.02983636
4 0.000000 0.0006181818
5 0.000000 0.002363636
求解并进行灵敏度分析，得到：
Ranges in which the basis is unchanged:
Objective Coefficient Ranges:
Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X1 0.04300000 0.003500000 0.01300000 X2 0.02700000 0.03018182 INFINITY X3 0.02500000 0.01733333 0.0005600000 X4 0.02200000 0.0006363636 INFINITY X5 0.04500000 0.05200000 0.01400000
Righthand Side Ranges:
Current Allowable Allowable Row RHS Increase Decrease
2 4.000000 3.363636 INFINITY
3 10.00000 INFINITY 4.567901
4 0.000000 105.7143 20.00000
5 0.000000 10.00000 12.00000
即A，C，E证券分别投资2.182百万元，7.364百万元，0.455百万元。

最大税后收益为0.298百万元。

问题（2）分析
六．问题分析
问题一
A，B，E证券分别投资2.182百万元，7.364百万元，0.455百万元。

最大税后收益为0.298百万元。

问题二
由“影子价格”可知，若投资增加100万元，收益可增加0.0298百万元。

大于以2.75%的利率借到100万元的利息，所以应借贷。

得到：证券A、C、E分别投资2.40百万元,8.10百万元,0.50百万元，最大收益为0.3007百万元
问题三
分析及求解
由(1)的结果中目标系数的允许范围可知,证券A的税前收益可增加0.35%，故证券A的税前收益增加4.5%，投资不应改变。

证券C的税前收益了减0.112%（按50%纳税），故证券C的税前收益可减4.8%，故投资应改变。