吉林大学2020级工程数学B(0002)

工程数学试卷 B
适用专业： 考试日期：
试卷类型：闭卷 考试时刻：120分钟 试卷总分：100分
一． 填空题（每题3分，共计3⨯8
＝24分）
一、设二次型()f x =222123232334x x x x x +++ ,
那么二次型f 矩阵A = 二
、
设
,9,3,A B A B ==三阶方阵有则
T AB =
3、设向量,101,121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=βα 那么T αβ⋅=
4、设向量111,0,11αβ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
那么内积
[]2,αβ=
五、已知2BA B E =+,2112A ⎛⎫
= ⎪-⎝⎭, 那么
1B - =
6、设矩阵A =220210⎛⎫
⎪⎝⎭ ,则矩阵A 的标准形
为
7. 设A 为n 阶方阵，假设行列式50E A -=，
那么2
A 必有一特点值为
8、设123
012111
D =，那么111213A A A ++=
二.选择题（3分⨯4＝12分）
1、 设α是矩阵A 对应于λ的特点向量，那么
1P AP -对应的特点向量为（ ）
（A ）1P α- （B ）P α （C ） T P α （D ） α
2、 设n 阶矩阵A 可逆，以下说法错误的选项
是（ ）
（A ）存在B 使AB E = （B ）0A ≠ （C ）
A 能相似于对角阵 (D) ()r A n =
3、设1201,3410A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2128B AB =（ ）。

（A ） 1234⎛⎫ ⎪⎝⎭ （B ）3412⎛⎫
⎪⎝⎭ （C ）
2143⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）4231⎛⎫ ⎪⎝⎭
4、设A 为m n ⨯的矩阵，()R A n =，那么非齐次线性方程组Ax b =的解为 （ ） （A ）必然有唯一解（B ）必然无解 （C ）必然有无穷多解 （D ）可能有解
三. 设矩阵
2546,,21321A B A X AB -⎡⎤⎡⎤==+=⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
，求矩阵X （10分）
四、设四元非齐次线性方程组AX b=的系数矩阵A的秩()3
R A=，且已知解
123,,ηηη，其中1232132
,4354ηηη⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 求方程组AX b =的所有解 （10分）
五、已知向量组123423240,1,1,22100αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，（1）求向量组的秩；（2）向量组的一个最大无关组；（3）将其余向量用最大无关组线性表示。

（12分）
六、已知111p ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦是矩阵A=2125312a b -⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
的一个特点向量, (1)求参数,a b 及特点向量p 所对应的特点值; (2)问方阵A 是不是能与对角矩阵相似? （12分）。

七、求方程组的解：123412341
23420
202220
x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪
++-=⎨⎪+++=⎩（用基础解系表示） (10分)
八、设2320
-+=，证明A的特点值只能取1或2. (10分)
A A E。