广东省广州市第一中学高中数学 3.3.1函数的单调性与导数(一)课件 新人教选修1-1

2
3
3
5、讨论二次函数 f (x) ax2 bx c(a 0) 的单调区间.
解: f(x)a 2b xc(a0 )f(x)2axb.
(1) 当a0时，
由 f(x)0, 得 x b , 即函数 f ( x) 的递增区间
是 (
b
2a ,); 相应地, 函数的递减区间是 (,
b
)
2a
2a
(2) 当a0时，
2．用定义证明函数的单调性的一般步骤：
(1)任取x1、x2∈D，且x1< x2. (2)作差f(x1)－f(x2) (作商) (3)变形(因式分解、配方、通分、提取公因式) (4)定号(判断差f(x1)－f(x2)的正负)(与０比较) (5)结论
练习：判断函数y=x2－4x＋3的单调性. 图象法 定义法
A、
A、
fAf ((、xx))
f (00x)
0
BB、、fB(f、x()x)f
(0x)0
0C、C、Cf((、-xf)(fx,()0x-) 10 )0 、 D、(1D不,D、+能、不确不)能定能确确定定
33、、函函3数数、函ff (数(xx))f(xxx)33xxx23 2xx2x在在区x区间在间区间
3
递增递。递增。。
44、、判判断断下下列列函函数数的的单单调调性性，，并并求求出出单单调调区区间间：：
（（11））f f((xx))22xx2 233xx33；；（（22））f f((xx))33eex x33xx；；
( （1 （) 3(增 3）3）)区 增 f f间 (区 (xx( )间 )3 4 (, x0+ x, c) )co； .ossx减 x,( ,x4 区 x) 增 间 (0(区 ( 0, - ,2间 2), )；( 3 4 ；（- （ ) 4. , 4( ）- ）2 1 ) ) f增 f、 ((x区 x( ))间 1 , ( x+ 0 x3 , 3+ ) x； x2) 2； 减 减 x区 x.区 .间 间 ( - ( 1 - , 1 ) , 0 . ) .
3.3.1函数的单调性与导数（一）
复习引入：问题1：函数单调性的定义怎样描述的?
1、一般地，对于给定区间D上的函数f(x)，若对于属于区间D 的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，有 (1)若f(x1)<f (x2) ，那么f(x)在这个区间上 是增函数.
(2)若f(x1)>f(x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数.
；
；
；
（2）（（函22数））函函f (数数x) ff((xxx2))+2xx22++322的xx 增33区的的间增增是区区间间是是 (-1,+；)；；
减区间减是区间是 (-,-1) . ..
、（122）、、（（函11数））函函f (数数x) ff((xxx3))6xxx33 的66增xx区的的间增增是区区间间是是
2°试总结用“导数法” 求单调区间的步骤？
①求定义域；
②求 f '( x );
③令 f'(x)0解 不 等 式 f(x)的 递 增 区 间 ;
f'(x)0解 不 等 式 f(x)的 递 减 区 间 ;
④作出结论.
注：单调区间不以“并集”出现。
【课后作业】
D 1、函数
2 y=x+x
（x>0）的单调减区间为（
o 12
x
(D)
变式1：课本P93练习第2题
2.函数 yf(x)的图象如图所示, 试画出导函数 f (x)图象
的大致形状
y
y f x
Oa
bc
x
【典例探究】 例2、判断下列函数的单调性，并求出单调区间： ( 1 )f( x ) s i n x x ,x ( 0 ,) ; (1)的图象
(2 )f(x ) 2 x 3 3 x2 2 4 x 1 . (2)的图象
）
A. (2，＋∞) B. (0，2) C. ( 2 ，＋∞) D. (0， 2 )
A 22、、若若2在在、区若区间在间区((aa间,,bb()a)内内, b有)有内f f有'(x'()fx)'(0x)，0，且0 ，且f (且af)(fa()0a)，0则0，在，则则(a在在,b()(aa有,,bb（))有有（（）
故，f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(2，＋∞) 单调递减区间(0,2)
说明：当x=0或2时, f′(x)=0,即函数在该点单调性 发生改变.
示例：求函数f(x)=2x3-6x2+7的单调区间.
解 ： f'x 6 x 2 1 2 x 6 ( x 2 2 x )
解 不 等 式 f'x 0 ， 得 x 0 或 x 2 ； 解 不 等 式 f'x 0 ， 得 0 x 2 .
注意:1、如果在某个区间内恒有f´(x)=0,则f(x)为
常数函数
示例：求函数f(x)=2x3-6x2+7的单调区间.
解 ： f'x 6 x 2 1 2 x 6 ( x 2 2 x )
解 不 等 式 f'x 0 ， 得 x 0 或 x 2 ； 解 不 等 式 f'x 0 ， 得 0 x 2 .
下面我们通将过函数的y=x2－4x＋3图象来考察 单调性与导数有什么关系
【学习目标】 1．探索函数的单调性与导数的关系；会利用导数判
断函数的单调性并求函数的单调区间。 2.能由导数信息绘制函数大致图象。
重点：探索并应用函数单调性与导数的关系求单调区间。 难点：利用导数信息绘制函数的大致图象。
再观察函数y=x2－4x＋3的图象：
设 f '( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数，y f '(x)的图象如
右图所示,则 y f (x)的图象最有可能的是( C )
y
y f (x)
y
y f (x)
y y f '(x)
o 1 2x
(A)
y y f (x)
2
o1
x
(C)
o 1 2x
o
2x
(B)
y
变式1： y f (x) 课本P93练习第2题
增区间：(２，+∞). 减区间：(－∞，２).
思考：那么如何求出下列函数的单调性呢? (1)f(x)=2x3-6x2+7 (2)f(x)=ex-x+1 (3)f(x)=sinx-x
发现问题：用单调性定义讨论函数单调性虽然可行， 但十分麻烦，尤其是在不知道函数图象时。例如： 2x3-6x2+7，是否有更为简捷的方法呢？
y = x3
y
y = x y y = x2
y
y
y' 3x2
y1
y' 1
y' 2x
x
O
x
y ‘= x O
O x
x
O
x
1 y' x2
结论:一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导,则函
数在该区间 如果f´(x)>0, 则f(x)为增函数2;、必须在 如果f´(x)<0, 则f(x)为减函数定. 义域内
试画出函数 f ( x ) 图象的大致形状。附近几乎没有升降
解： f ( x ) 的大y致A形状如右图： 变化,y切A线平行x轴
这 里 ， y 称 fA (, xB ) 两 点 为 “ 临 界 点 ” y f (x) B B
o 2 5x
o 2 5x
题型：应用导数信息确定函数大致图象
练习：
(04浙江理工类)
由 f(x)0, 得 x b , 即函数 f ( x) 的递增区间
是 (,
b
2a ) ; 相应地, 函数的递减区间是 (
b
,)
2a
2a
A、是增函数 B、是减函数 C、有最大值 D、有最小值
【典例探究】 例1、已知导函数的下列信息：
分析：
当2 x 5时，f '(x)0; f(x )在 此 区 间 递 减
当x 5或x 2时，f '(x) 0; f(x )在 此 区 间 递 增
当x 5或x 2时，f '(x) 0. f ( x)图象在此两处
2
2
当 f(x)0 , 即 1217x1217时, f ( x)单调递减.
故，所求函数增区间为 (-,1 17)、 (1 17， +）
2
2
减区间为 (1 17，1 17)
2
2
【总结提升】
1°什么情况下，用“导数法” 求函数单调性、 单调区间较简便？
总结: 当遇到三次或三次以上的,或图象很难
画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。
y
0 ....2
.. .
总结: 该函数在区 间（－∞，2）上单 减,切线斜率小于0, 即其导数为负;
在区间（2，+∞） 上单增,切线斜率大 于0,即其导数为正.
x 而当x=2时其切
线斜率为0,即导数 为0.函数在该点单 调性发生改变.
观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函
数正负的关系.
故，f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(2，＋∞)
单调递减区间(0,2)
小结：根据导数确定函数的单调性步骤：
1.确定函数f(x)的定义域. 2.求出函数的导数. 3.解不等式f´(x)>0,得函数递增区间;
解不等式f´(x)<0,得函数递减区间. 4.求出函数的导数.
【预习自测】
1、（111）、、（（函11数））函函f (数数x) ff((xx2))x322的xx 减33区的的间减减是区区间间是是（-，+）
解: (1) 因为 f(x ) sinx x ,x (0 , ), 所以
f(x)co x 1 s0.
因此, 函数 f(x)sixnx在 x(0,)上单调递减.
(2) 因为 f(x)2x33x224x1 , 所以 f(x ) 6 x 2 6 x 2 4 = 6 (x 2 x 4 )
当 f (x)0, 即 x1 17或 x1 17时, f ( x) 单调递增;
(-,+)
；
；；
（2）（（函22数））函函f (数数x) ff((2xxx))3226xxx33+766的xx+增+77区的的减间增增区是区区间间间是是是(- （,-- 11 ，1) ；）、 ( ；；1,+ . )
3、函数 f (x) 2x sin x减在区(间减是区,间是) 上（A ） . .