电磁场论分离变量法习题课07
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设导体球壳外电势为Φ1 ， 壳内为Φ2
er Q
n2
O R1
Φ2
R3 R2
Φ1
图 3.8-1 带电导体球壳中的导体球
z r 【例3】一半径为a，电 容率为ε2的介质球体， 放在均匀外电场E0中， 球外充满电容率为ε1的 另一种均匀介质，如图。 求球内外的电势分布。
设介质球外电势为Φ1 ， 球内为Φ2
∞
若具有球对称性，Φ与θ ,ϕ 无关,只取 n= 0 项： 若讨论的问题仅与θ 有关,则拉普拉斯方程变为：
B Φ = A+ r
解为： Φ = C
θ + C2 1 ln tan 2
1 d dΦ =0 sin θ 2 r sin θ dθ dθ
若电荷呈轴对称分布，则拉普拉斯方程变为：
通解为： 若讨论的问题仅与θ 有关,则拉普拉斯方程变为：
∞
解为： Φ = C
θ + C2 1 ln tan 2
1 d dΦ =0 sin θ 2m(cosθ ) = 1−cos2 θ n
勒让德多项式：
(
)
n
m 2
解的物理意义： （1）球外电势由两部分叠加： 匀强电场产生的电势＋极化电荷产生的电势
ε2 −ε1 E0a3 cosθ Φ(r,θ ) = −E0r cosθ + r2 ε2 + 2ε1 ε2 −ε1 E0a3 cosθ ΦP = ε2 + 2ε1 r2 P cosθ 电偶极子产生的电势 Φ= e 4πε0r2 ε2 −ε1 与球心处 P = 4πε0 E0a3 的电偶极子产生的电势等效 e ε2 + 2ε1
设两种介质中势函数分别为
R2
R3 R1
ε2 ε1
Φ1 Φ2
U0
Φ1，Φ2
双层介质的同轴电缆
球坐标系中的拉普拉斯方程：
1 ∂ 2 ∂Φ 1 ∂ ∂Φ 1 ∂2Φ =0 r + 2 sin θ + 2 2 2 2 r ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ ∂ϕ
d P (cosθ ) n
m
d(cosθ )
2
m
1 d cos θ −1 P (cosθ ) = n n n 2 n! d(cosθ )
(
)
n
z P r a O
θ ϕ ε2 Φ2 Φ1 ε1
y
x E0
若仅与ρ 有关,拉普拉斯方程为：
1 ∂ ∂Φ ρ ∂ρ = 0 ρ ∂ρ
解为：
Φ(ρ) = Aln ρ + B
1 ∂2Φ 若仅与ϕ 有关,拉普拉斯方程为： =0 2 2 ρ ∂ϕ
解为：
Φ(ϕ) = Cϕ + D
若仅与z 有关,拉普拉斯方程为： 解为：
Φ(z) = C'z + D'
∂Φ =0 2 ∂z
2
若电荷呈轴对称分布，则拉普拉斯方程变为：
∂ ∂Φ 1 ∂ 2 ∂Φ 1 r + 2 sin θ =0 2 ∂θ r ∂r ∂r r sin θ ∂θ
通解为：
Bn Φ(r,θ ) = ∑ A rn + n+1 P (cosθ ) n n r n=0
∂ ∂Φ 1 ∂ 2 ∂Φ 1 r + 2 sin θ =0 2 ∂θ r ∂r ∂r r sin θ ∂θ
Bn Φ(r,θ ) = ∑ A rn + n+1 P (cosθ ) n n r n=0 B 若具有球对称性，Φ与θ ,ϕ 无关,只取 n= 0 项： Φ = A + r
柱坐标系中的拉普拉斯方程：
1 ∂ ∂Φ 1 ∂2Φ ∂2Φ ρ ∂ρ + ρ2 ∂ϕ2 + ∂z2 = 0 ρ ∂ρ
通解为：Φ =
∞
(m + m2z)(m3 + m4 ln ρ) + 1
( An + Bn z)(Cn cos nϕ + Dn sin nϕ)(Fnρn +Gnρ−n ) ∑
（2）球内电势也由两部分叠加： 匀强电场产生的电势＋极化电荷产生的电势
ε2 −ε1 Φ(r,θ ) = −E0r cosθ + E0r cosθ ε2 + 2ε1 ε2 −ε1 ΦP = E0r cosθ ε2 + 2ε1
极化电荷在球内产生的为匀强场，对应的电场强度为
r ε2 −ε1 r EP = E0 ε2 + 2ε1
1 ∂Φ =0 2 2 ρ ∂ϕ
2
若仅与ϕ 有关,拉普拉斯方程为： 解为：
Φ(ϕ) = Cϕ + D
若仅与z 有关,拉普拉斯方程为： 解为：
Φ(z) = C'z + D'
∂2Φ =0 2 ∂z
【例1】已知同轴电缆内、外半径 分别为R1、R2，中间充有两种均 匀各向同性的介质，其电容率分 别为ε1和ε2，分界面为柱面，其半 径为R3 ，已知内外电极间的电压 为U0，求空间的电势分布和场强 分布？
P
a O
θ Φ2 ε2 Φ1 ε1
y
ϕ
x
E0
图 3.8-2 均匀电场中的介质球体
勒让德多项式：
1 d cos θ −1 P (cosθ ) = n n 2 n! d(cosθ )n
n 2
(
)
n
n 0 1 2 3 4 5
Pn(cosθ) 1 cosθ
3 1 cos2 θ − 2 2 5 3 3 cos θ − cosθ 2 2 35 15 3 cos4 θ − cos2 θ + 8 4 8 63 35 15 5 3 cos θ − cos θ + cosθ 8 4 8
n= 1 ∞
∑( A ' ch kz + B ' sh kz)(C' coslϕ + D' sin lϕ)
×[F 'Jl (kρ) + Gkl'Nl (kρ)] kl
n= 1 k k l l
若仅与ρ 有关,拉普拉斯方程为：
1 ∂ ∂Φ ρ ∂ρ = 0 ρ ∂ρ
解为：
Φ(ρ) = Aln ρ + B
通解为：
B (1 D (2 Φ(r,θ,ϕ) = ∑ Anmrn + nnm Ynm) (θ,ϕ) +Cnmrn+1 + nnm Ynm) (θ,ϕ) r +1 r +1 n,m
式中球谐函数
(1 Ynm) (θ,ϕ) = Pm(cosθ ) cos mϕ n (2 Ynm) (θ,ϕ) = Pm(cosθ )sin mϕ n
∞
若具有球对称性，Φ与θ ,ϕ 无关,只取 n= 0 项： 若讨论的问题仅与θ 有关,则拉普拉斯方程变为：
B Φ = A+ r
解为： Φ = C
θ + C2 1 ln tan 2
1 d dΦ =0 sin θ 2 r sin θ dθ dθ
n1 【例2】一个内径和外径 分别为R2 和R3的导体球壳， 带电量Q，同心的包围着 一个半径为R1的导体球 （ R1 < R2 ）,如图。若使 这个导体球接地，求空间 各点的电势和这个导体球 的感生电荷。
若电荷呈轴对称分布，则拉普拉斯方程变为：
∂ ∂Φ 1 ∂ 2 ∂Φ 1 r + 2 sin θ =0 2 ∂θ r ∂r ∂r r sin θ ∂θ
通解为： Φ(r,θ ) =
Bn A rn + n+1 P (cosθ ) ∑ n r n n=0
er Q
n2
O R1
Φ2
R3 R2
Φ1
图 3.8-1 带电导体球壳中的导体球
z r 【例3】一半径为a，电 容率为ε2的介质球体， 放在均匀外电场E0中， 球外充满电容率为ε1的 另一种均匀介质，如图。 求球内外的电势分布。
设介质球外电势为Φ1 ， 球内为Φ2
∞
若具有球对称性，Φ与θ ,ϕ 无关,只取 n= 0 项： 若讨论的问题仅与θ 有关,则拉普拉斯方程变为：
B Φ = A+ r
解为： Φ = C
θ + C2 1 ln tan 2
1 d dΦ =0 sin θ 2 r sin θ dθ dθ
若电荷呈轴对称分布，则拉普拉斯方程变为：
通解为： 若讨论的问题仅与θ 有关,则拉普拉斯方程变为：
∞
解为： Φ = C
θ + C2 1 ln tan 2
1 d dΦ =0 sin θ 2m(cosθ ) = 1−cos2 θ n
勒让德多项式：
(
)
n
m 2
解的物理意义： （1）球外电势由两部分叠加： 匀强电场产生的电势＋极化电荷产生的电势
ε2 −ε1 E0a3 cosθ Φ(r,θ ) = −E0r cosθ + r2 ε2 + 2ε1 ε2 −ε1 E0a3 cosθ ΦP = ε2 + 2ε1 r2 P cosθ 电偶极子产生的电势 Φ= e 4πε0r2 ε2 −ε1 与球心处 P = 4πε0 E0a3 的电偶极子产生的电势等效 e ε2 + 2ε1
设两种介质中势函数分别为
R2
R3 R1
ε2 ε1
Φ1 Φ2
U0
Φ1，Φ2
双层介质的同轴电缆
球坐标系中的拉普拉斯方程：
1 ∂ 2 ∂Φ 1 ∂ ∂Φ 1 ∂2Φ =0 r + 2 sin θ + 2 2 2 2 r ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ ∂ϕ
d P (cosθ ) n
m
d(cosθ )
2
m
1 d cos θ −1 P (cosθ ) = n n n 2 n! d(cosθ )
(
)
n
z P r a O
θ ϕ ε2 Φ2 Φ1 ε1
y
x E0
若仅与ρ 有关,拉普拉斯方程为：
1 ∂ ∂Φ ρ ∂ρ = 0 ρ ∂ρ
解为：
Φ(ρ) = Aln ρ + B
1 ∂2Φ 若仅与ϕ 有关,拉普拉斯方程为： =0 2 2 ρ ∂ϕ
解为：
Φ(ϕ) = Cϕ + D
若仅与z 有关,拉普拉斯方程为： 解为：
Φ(z) = C'z + D'
∂Φ =0 2 ∂z
2
若电荷呈轴对称分布，则拉普拉斯方程变为：
∂ ∂Φ 1 ∂ 2 ∂Φ 1 r + 2 sin θ =0 2 ∂θ r ∂r ∂r r sin θ ∂θ
通解为：
Bn Φ(r,θ ) = ∑ A rn + n+1 P (cosθ ) n n r n=0
∂ ∂Φ 1 ∂ 2 ∂Φ 1 r + 2 sin θ =0 2 ∂θ r ∂r ∂r r sin θ ∂θ
Bn Φ(r,θ ) = ∑ A rn + n+1 P (cosθ ) n n r n=0 B 若具有球对称性，Φ与θ ,ϕ 无关,只取 n= 0 项： Φ = A + r
柱坐标系中的拉普拉斯方程：
1 ∂ ∂Φ 1 ∂2Φ ∂2Φ ρ ∂ρ + ρ2 ∂ϕ2 + ∂z2 = 0 ρ ∂ρ
通解为：Φ =
∞
(m + m2z)(m3 + m4 ln ρ) + 1
( An + Bn z)(Cn cos nϕ + Dn sin nϕ)(Fnρn +Gnρ−n ) ∑
（2）球内电势也由两部分叠加： 匀强电场产生的电势＋极化电荷产生的电势
ε2 −ε1 Φ(r,θ ) = −E0r cosθ + E0r cosθ ε2 + 2ε1 ε2 −ε1 ΦP = E0r cosθ ε2 + 2ε1
极化电荷在球内产生的为匀强场，对应的电场强度为
r ε2 −ε1 r EP = E0 ε2 + 2ε1
1 ∂Φ =0 2 2 ρ ∂ϕ
2
若仅与ϕ 有关,拉普拉斯方程为： 解为：
Φ(ϕ) = Cϕ + D
若仅与z 有关,拉普拉斯方程为： 解为：
Φ(z) = C'z + D'
∂2Φ =0 2 ∂z
【例1】已知同轴电缆内、外半径 分别为R1、R2，中间充有两种均 匀各向同性的介质，其电容率分 别为ε1和ε2，分界面为柱面，其半 径为R3 ，已知内外电极间的电压 为U0，求空间的电势分布和场强 分布？
P
a O
θ Φ2 ε2 Φ1 ε1
y
ϕ
x
E0
图 3.8-2 均匀电场中的介质球体
勒让德多项式：
1 d cos θ −1 P (cosθ ) = n n 2 n! d(cosθ )n
n 2
(
)
n
n 0 1 2 3 4 5
Pn(cosθ) 1 cosθ
3 1 cos2 θ − 2 2 5 3 3 cos θ − cosθ 2 2 35 15 3 cos4 θ − cos2 θ + 8 4 8 63 35 15 5 3 cos θ − cos θ + cosθ 8 4 8
n= 1 ∞
∑( A ' ch kz + B ' sh kz)(C' coslϕ + D' sin lϕ)
×[F 'Jl (kρ) + Gkl'Nl (kρ)] kl
n= 1 k k l l
若仅与ρ 有关,拉普拉斯方程为：
1 ∂ ∂Φ ρ ∂ρ = 0 ρ ∂ρ
解为：
Φ(ρ) = Aln ρ + B
通解为：
B (1 D (2 Φ(r,θ,ϕ) = ∑ Anmrn + nnm Ynm) (θ,ϕ) +Cnmrn+1 + nnm Ynm) (θ,ϕ) r +1 r +1 n,m
式中球谐函数
(1 Ynm) (θ,ϕ) = Pm(cosθ ) cos mϕ n (2 Ynm) (θ,ϕ) = Pm(cosθ )sin mϕ n
∞
若具有球对称性，Φ与θ ,ϕ 无关,只取 n= 0 项： 若讨论的问题仅与θ 有关,则拉普拉斯方程变为：
B Φ = A+ r
解为： Φ = C
θ + C2 1 ln tan 2
1 d dΦ =0 sin θ 2 r sin θ dθ dθ
n1 【例2】一个内径和外径 分别为R2 和R3的导体球壳， 带电量Q，同心的包围着 一个半径为R1的导体球 （ R1 < R2 ）,如图。若使 这个导体球接地，求空间 各点的电势和这个导体球 的感生电荷。
若电荷呈轴对称分布，则拉普拉斯方程变为：
∂ ∂Φ 1 ∂ 2 ∂Φ 1 r + 2 sin θ =0 2 ∂θ r ∂r ∂r r sin θ ∂θ
通解为： Φ(r,θ ) =
Bn A rn + n+1 P (cosθ ) ∑ n r n n=0