2023-2024学年山东省潍坊市高二下册第一次月考数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年山东省潍坊市高二下册第一次月考数学模拟试题
一、单选题
1
…，）项
A ．17
B ．18
C ．19
D ．20
【正确答案】D
……，
.
…，
……
对于=，为该数列的第20项；故选：D .
此题考查了由数列的项归纳出数列的通项公式，考查归纳能力，属于基础题.
2．2017年1月我市某校高三年级1600名学生参加了2017届全市高三期末联考，
已知数学考试成绩()2
100,X N σ~（试卷满分150分）．统计结果显示数学考试成
绩在80分到120分之间的人数约为总人数的34
，则此次期末联考中成绩不低于120分的学生人数约为
A ．120
B ．160
C ．200
D ．240
【正确答案】C
【详解】结合正态分布图象的性质可得：此次期末联考中成绩不低于120分的学生人数约为
3
1416002002
-⨯
=.选C.
3．等差数列{}n a 中，3910a a +=，则该数列的前11项和11S =A ．58B ．55
C ．44
D ．33
【正确答案】B
【分析】利用等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质，列式求得11S 的值.
【详解】依题意391111110
11111155222
a a a a S ++=
⨯=⨯=⨯=.故选B.本小题主要考查等差数列的前n 项和公式，考查等差数列的性质，属于基础题.4．甲、乙两人进行五局三胜制的乒乓球单打比赛，每局甲获胜的概率为
3
4
．已知在第一局和第二局比赛中甲均获胜，则继续比赛下去，甲最终赢得比赛的概率为（）
A ．
34
B ．
2764
C ．
6364
D ．
14
【正确答案】C
【分析】分别求出甲第三局获胜的概率、第三局输第四局获胜的概率与第三局和第四局输第五局获胜的概率，相加即可.【详解】甲第三局获胜的概率为
34，第三局输第四局获胜的概率为333
14416
⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭，第三局和第四局输第五局获胜的概率为2
333
14464⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭，
所以甲最终赢得比赛的概率为333634166464
++=.
故选:C.
5．等比数列{}n a 中，2a ，6a 是方程234640x x -+=的两根，则4a 等于()
A ．8
B ．8-
C ．8±
D ．以上都不对
【正确答案】A
【详解】试题分析：由题意得2
262626264434,640,0,8
a a a a a a a a a a +==∴>>=∴= 1．二次方程根与系数的关系；2．等比数列
6．某校自主招生面试共有7道题，其中4道理科题，3道文科题，要求不放回地依次任取3道题作答，则某考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率为A ．
1
7
B ．
15
C ．
37
D ．
45
【正确答案】B
【详解】记“该考生在第一次抽到理科题”为事件A ，“该考生第二次和第三次均抽到文科题”为事件B ，则44324
776535
P A P AB ⨯⨯==⨯⨯（），（）=，
∴该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率为1
|5
P B A =
（），
故选：B
7．随机变量ξ的分布列是
ξ
234
p
a
14
b
若11
()4
E ξ=
，则随机变量2ξ的方差(2)D ξ的值为（）A ．
1116
B ．
118
C ．
114
D ．
112
【正确答案】C
【分析】由分布列可得34a b +=
，由11
()4
E ξ=，可得21a b +=，可解得,a b ，然后由方差的计算公式求出()D ξ。

再根据公式求(2)D ξ.【详解】由概率之和为1，有3
4
a b +=，又3()24414
1
E a b ξ=+
+=，即21a b +=，可得1124，a b ==
所以2
2
2
11111111111
()23442444416
D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以2
1111(2)2()4164
D D ξξ==⨯
=故选：C
本题考查随机变量的分布列和期望求相应的概率值和求方差，属于中档题.
8．为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测．现有两种检测方式：（1）逐份检测；（2）混合检测：将其中k 份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这k 份核酸全为阴性，因而这k 份核酸只要检一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这k 份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这k 份核酸再逐份检测，此时，这k 份核酸的检测次数总共为1k +次．假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为()01p p <<，若5k =，运用概率统计的知识判
断下面哪个p 值能使得混合检测方式优于逐份检测方式．（参考数据：5 log 0.7240.2≈-）（
）
A ．0.7
B ．0.2
C ．0.4
D ．0.5
【正确答案】B
【分析】分别求出两种检测的期望值，再结合对数函数的公式比较二者的大小，即可求解．【详解】解：设混合检测方式，样本需要检测的总次数Y 可能取值为1，6，
5(1)(1)P Y p ==-，5(6)1(1)P Y p ==--，
所以555()1(1)6[1(1)]65(1)E Y p p p =⨯-+⨯--=-⨯-，设逐份检测，样本需要检测的总次数X ，则()5E X =，
若混合检测方式优于逐份检测方式，需()()E Y E X <，即565(1)5p -⨯-<，即()5
115
p ->，
即0.2
15p -->5 log 0.7240.2≈- ，
5log 0.724150.724p ∴->=，
00.276p ∴<<．
故选：B ．
二、多选题
9．已知{an }为等差数列13566a a a ++=，24657a a a ++=，则（）
A ．{an }的公差为-2
B ．{an }的通项公式为an=31-3n
C ．{an }的前n 项和为
2
5932
n n -D ．{|an|}的前50项和为2565
【正确答案】BCD
【分析】根据等差数列的通项公式和前n 项和公式逐一判断即可.【详解】设该等差数列的公差为d ，因为13566a a a ++=，
所以由2461355757366573a a a a d a d a d d d ++=⇒+++++=⇒+=⇒=-，所以选项A 不正确，由135111166246628a a a a a d a d a ++=⇒++++=⇒=，所以()()2813331n a n n =+-⋅-=-+，所以选项B 正确；
{an }的前n 项和为()2
2831359322
n n n n +--=
，所以选项C 正确；设{|an|}的前50项和为50S ，由3133103
n a n n =-+>⇒<
，
所以5012101150S a a a a a =++++++ ()()12101150a a a a a =++++-++- ()
12101250222a a a a a a =+++-+++ 1121028109350285049322⎛⎫⎛⎫
=⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
2565=，
因此选项D 正确，故选：BCD
10．某中学组织了足球射门比赛．规定每名同学有5次射门机会，踢进一球得8分，没踢进得4-分．小明参加比赛且没有放弃任何一次射门机会，每次踢进的概率为2
3
，每次射门相互独立．记X 为小明的得分总和，ξ为小明踢进球的次数，则下列结论正确的是（
）
A ．()10
3
E ξ=
B ．()4
45
224C 133P X ⎛⎫⎛
⎫==⨯-
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
C ．()20E X =
D ．()160
D X =【正确答案】ACD
【分析】根据二项分布的性质，结合数学期望和方差的公式逐一判断即可.【详解】因为小明每次踢进的概率为23
，每次射门相互独立，所以ξ服从二项分布
25,3B ξ
⎛⎫ ⎪⎝⎭
，因此()210
533
E ξ=⨯
=，所以选项A 正确；20,8,4,16,28,40X =--，()0
5
05
22120C 133243
P X ⎛⎫
⎛⎫
=-=⋅⋅-= ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭()1
4
15
22108C 133243
P X ⎛⎫
⎛⎫
=-=⋅⋅-=
⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭，()2
3
2522404C 133243
P X ⎛⎫
⎛⎫
==⋅⋅-=
⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭，所以选项B 不正确，()3
2
35
228016C 133243
P X ⎛⎫
⎛⎫
==⋅⋅-= ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
()4
1
45
228028C 133243P X ⎛⎫
⎛⎫
==⋅⋅-= ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭()5
55223240C 133243P X ⎛⎫
⎛⎫
==⋅⋅-=
⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
，()11040808032208416284020243243243243243243
E X =-⨯
-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以选项C 正确，
()()()()()2
222
110408020208204201620243243243243
E X =--⨯+--⨯+-⨯+-⨯()()2
2803228204020160243243
+-⨯
+-⨯=，因此选项D 正确，故选：ACD
11．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A ，2A 和3A 表示从甲罐取出的球是红球、白球、黑球，再从乙罐中随机取出一球，以B 表示从乙罐取出的球是红球．则下列结论中正确的是（
）
A ．()1511
P B
A =∣
B ．2
()5
P B =
C ．事件B 与事件1A 相互独立
D ．1A ，2A ，3A 两两互斥
【正确答案】AD
【分析】根据互斥事件的定义判断D ，再根据条件概率及相互独立事件的概率公式计算即可判断其他选项．
【详解】因为事件1A ，2A 和3A 任意两个都不能同时发生，所以1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件，故D 正确；
因为()151102P A ==，()221
105
P A ==，()3310P A =，()()()11115
5211|1112
P BA P B A P A ⨯===，故A
正确；
22224()4
1011(|)2()1110P BA P B A P A ⨯===，33334()41011(|)3()1110
P BA P B A P A ⨯
===，
()()()123()P B P A B P A B P A B =++()()()()()()112233|||P A P B A P A P B A P A P B A =++1514349211511101122
=
⨯+⨯+⨯=，因为15()22P A B =，1599()()102244P A P B =⨯=，所以
()()()11P A B P A P B ≠，所以B 与1A 不是相互独立事件，故B ，C 不正确．
故选：AD ．
12．（多选题）已知等比数列{}n a 的公比2
3
q =-，等差数列{}n b 的首项112b =，若99a b >且
1010a b >，则以下结论正确的有（）
A ．9100a a ⋅<
B ．910a a >
C ．100b >
D ．910
b b >【正确答案】AD
【分析】根据等比数列{}n a 的公比2
03
q =-<，可知9100a a ⋅<，A 正确；由于不确定9a 和10
a 的正负，所以不能确定9a 和10a 的大小关系；根据题意可知等差数列{}n
b 的公差为负，所以可判断出C 不正确，D 正确．
【详解】对A ， 等比数列{}n a 的公比2
3
q =-，9a ∴和10a 异号，9100a a ∴<，故A 正确；
对B ，因为不确定9a 和10a 的正负，所以不能确定9a 和10a 的大小关系，故B 不正确；对C D ，9a 和10a 异号，且99a b >且1010a b >，9b ∴和10b 中至少有一个数是负数，又1120b => ，0d ∴<910b b ∴>，故D 正确，10b ∴一定是负数，即100b <，故C 不正确.
故选：AD.
三、填空题
13．已知随机事件A ，B 有概率()0.7P A =，()
0.6P B =，条件概率()0.6P B A =，则
()P A B ⋂=_____.
【正确答案】0.28##
725
【分析】根据条件概率的公式，结合交事件的概率公式、对立事件的概率公式进行求解即可.【详解】()()110.60.4P B A P B A =-=-=，
于是有()()()
()0.40.40.70.28P AB P B A P AB P A =
=⇒=⨯=，
即()0.28P A B = ，故0.28
14．对任意正整数n ，数列{}n a 满足：3
21211222
n n a a a a n -++++=+ ，则n a =__________.【正确答案】1
2,1
2,2
n n n -=⎧⎨≥⎩【分析】类比n a 与n S 的求法，
1
2n
n a -=条件式前n 项和减去前n 1-项和.【详解】根据题意有：当1n =，得：1a =2；当2n ≥时，()33122112
122
1112222222n n n
n n n a a a a a a a a a n n ----⎛
⎫⎛
⎫++++-++++==
+-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭
，即1
12
n
n a -=，即12n n a -=，又12a =不满足上式，所以{}n a 的通项公式为12,1
2,2
n n n a n -=⎧=⎨≥⎩.
故答案为.1
2,1
2,2
n n n -=⎧⎨≥⎩15．若数列{an }是等差数列，首项a 1<0，a 203＋a 204>0，a 203·a 204<0，则使前n 项和Sn <0的最大自然数n 是________.【正确答案】405
【分析】利用等差数列的下标和性质转化条件得到a 1＋a 406>0，即S 406>0，由已知求得a 203<0，a 204>0，得到数列{an }的前203项都是负数，得到S 405及其以前各项的和都小于零，从而得到结论.
【详解】由a 203＋a 204>0知a 1＋a 406>0，即S 406>0，又由a 1<0且a 203·a 204<0，知a 203<0，a 204>0，所以公差d >0，则数列{an }的前203项都是负数，那么2a 203＝a 1＋a 405<0，所以S 405<0，所以使前n 项和Sn <0的最大自然数n ＝405.故405.
16．
现有n 2n >*N n ∈个相同的袋子，每个袋子里面均装有n 个除颜色外无其他区别的小球，第k （=1,2,3,,k n ）个袋中有k 个红球，n k -个白球．现将这些袋子混合后，任选其中一
个袋子，并从中随机取出一个球，若取出白球的概率是7
16
，则=n ___________.【正确答案】8
【分析】根据抽到任何一个袋子的概率为1
n
，结合每个袋子中取出白球的概率，利用全概率公式列出等式，计算结果即可.
【详解】解：因为有n 个相同的袋子，所以抽到任何一个袋子的概率为1n
，在第1个袋子中，有1个红球，n 1-个白球，取出白球的概率为1
n n
-，在第2个袋子中，有2个红球，2n -个白球，取出白球的概率为
2
n n -，在第3个袋子中，有3个红球，3n -个白球，取出白球的概率为3
n n -，
L ，
在第n 1-个袋子中，有n 1-个红球，1个白球，取出白球的概率为1n
，在第n 个袋子中，有n 个红球，0个白球，取出白球的概率为0
n
，所以任取一个袋子，取出白球的概率为：1112131110n n n n n n n n n n n n n ---⨯+⨯+⨯++⨯+⨯ 2222
1231
n n n n n n n ---=++++ ()()2
121
n n n -+-++=
()()
22
211172216
n n n n n n --+-=
==，解得8n =.故8
四、解答题
17．某校为缓解学生压力，举办了一场趣味运动会，其中有一个项目为篮球定点投篮，比赛分为初赛和复赛．初赛规则为：每人最多投3次，每次投篮的结果相互独立．在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分，否则得0分．将学生得分逐次累加并用X 表示，如果X 的值不低于3分就判定为通过初赛，立即停止投篮，否则应继续投篮，直到投完三
次为止．现甲先在A 处投一球，以后都在B 处投，已知甲同学在A 处投篮的命中率为
1
4
，在B 处投篮的命中率为
4
5
，求他初赛结束后所得总分X 的分布列．【正确答案】分布列见解析.
【分析】判断随机变量的可能取值，根据题意求出分布列即可.
【详解】设甲同学在A 处投中的事件为A ，投不中的事件为A ，在B 处投中为事件B ，投不中为事件B ，由已知得()14P A =
，()4
5P B =，则()
34P A =，()
15
P B =，X 的可能取值为：0，2，3，
4.
所以()31130455100P X ==⨯⨯=，()3413146
245545525
P X ==⨯⨯+⨯⨯=，
()1
34P X ==
，()34412445525
P X ==⨯⨯=，所以X 的分布列为：
X
2
3
4P
31006
25
14
1225
18．新冠肺炎疫情期间，各地均响应“停课不停学，停课不停教”的号召开展网课学习.为检验网课学习效果，某机构对200名学生进行了网上调查，发现有些学生上网课时有家长在旁督促，而有些没有，网课结束后进行考试，根据考试结果将这200名学生分成“成绩上升”和“成绩没有上升”两类，对应的人数如下表所示：
成绩上升
成绩没有上升
合计有家长督促的学生50
80
没有家长督促的学生
60
没有家长督促的学生
200
(1)完成以上列联表，并通过计算（结果精确到()0.001）说明，是否有90%的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联
(2)从有家长督促的80名学生中按成绩是否上升，采用分层抽样的方法抽出8人，再从8人中随机抽取3人做进一步调查，记抽到3名成绩上升的学生得1分，抽到1名成绩没有上升的学生得1-分，抽到3名生的总得分用X 表示，求X 的分布列和数学期望．附：()
()()()()
2
2
,n ad bc K n a b c d
a b c d a c b d -=
=+++++++()
20P K k ≥0.1000.0500.010
0.0010
k 2.706
3.841
6.835
10.828
【正确答案】(1)列联表见解析，有90%的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联，理由见解析；(2)X 的分布列见解析，()34
E X =
.【分析】（1）由题意完成列联表，根据题中所给的公式，结合表中数据进行运算判断即可；（2）根据分层抽样的性质，结合古典概型运算公式、数学期望公式进行求解即可.【详解】（1）由已知完成列联表如下：
成绩上升
成绩没有上升合计有家长督促的学生503080没有家长督促的学生
6060120没有家长督促的学生
110
90
200
()2
220050603060 3.030 2.7068012011090
K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，有90%的把握认为家长督促学生上网课与学生
的成绩上升有关联；
（2）有家长督促的学生成绩上升的人数为50
8580
⨯=，有家长督促的学生成绩没有上升的人数为30
8380
⨯
=，
由题意可知：3,1,1,3X =--，
()3538C 53C 28P X ===，()215338C C 151C 28P X ===，()12
5338C C 151C 56P X =-==，()33
38C 13C 56
P X =-==，
所以X 的分布列：
X
311
-3-P
5
28
1528
1556
156
()51515133113282856564
E X =⨯
+⨯-⨯-⨯=.19．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知221n
n S n a n
+=+．(1)证明：{}n a 是等差数列；
(2)若479,,a a a 成等比数列，求n S 的最小值．【正确答案】(1)证明见解析；(2)78-．
【分析】（1）依题意可得2
22n n
S n na n +=+，根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，作差即可得到11n n a a --=，从而得证；
（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出1a ，即可得到{}n a 的通项公式与前n 项和，再根据二次函数的性质计算可得．【详解】（1）因为
221n
n S n a n
+=+，即222n n S n na n +=+①，当2n ≥时，()()()2
1121211n n S n n a n --+-=-+-②，
①-②得，()()()2
2112212211n n n n S n S n na n n a n --+---=+----，即()12212211n n n a n na n a -+-=--+，
即()()()1212121n n n a n a n ----=-，所以11n n a a --=，2n ≥且N*n ∈，所以{}n a 是以1为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得413a a =+，716a a =+，918a a =+，
又4a ，7a ，9a 成等比数列，所以2
749a a a =⋅，
即()()()2
111638a a a +=+⋅+，解得112a =-，所以13n a n =-，所以()2
21125125625
122
22228
n n n S n n n n -⎛⎫=-+
=-=--
⎪⎝⎭，所以，当12n =或13n =时，()min 78n S =-．[方法二]：
【最优解】邻项变号法由（1）可得413a a =+，716a a =+，918a a =+，
又4a ，7a ，9a 成等比数列，所以2
749a a a =⋅，
即()()()2
111638a a a +=+⋅+，解得112a =-，所以13n a n =-，即有1123210,0a a a a <<<<= .则当12n =或13n =时，()min 78n S =-．
【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出n S 的最小值，适用于可以求出n S 的表达式；
法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．
20．为了解温度对物质A 参与的某种化学反应的影响，研究小组在不同温度条件下做了四次实验，实验中测得的温度x （单位：°C ）与A 的转化率y %（转化率=A A 的转化量
的起始量
）的数
据如下表所示：
x 45556575y
23
38
65
74
(1)求y 与x 的相关系数（结果精确到0.01）；
(2)该研究小组随后又进行了一次该实验，其中A 的起始量为50g ，反应结束时还剩余2.5g ，
若已知y 关于x 的线性回归方程为ˆ58y
bx =-，估计这次实验是在多少摄氏度的温度条件下进行的..参考数据：
4
1
12900i i
i x y
==∑，421
14900i
i x ==∑，4
21
11674i i y ==∑
91.5≈.
参考公式：相关系数
()()
--=∑n
i
i
x x y
y r 【正确答案】(1)0.98(2)85°C
【分析】（1）计算出x ，y 带入相关系数r 的计算公式，即可算出答案.
（2）由线性回归方程必过样本中心点，即可算出b 的值，根据题意算出y 带入回归方程即可算出答案.【详解】（1）45556575604x +++=
=，23386574
50
4
y +++==所以()()
4
4
4i
i
i
i
x x y
y x y
xy
r ---=
∑∑
90
0.9891.5
=
≈；（2）根据回归直线的性质，58y bx =-，即506058b =-，得 1.8b =.
由条件可知50 2.5
ˆ1009550
y
-=⨯=，令1.85895x -=，得85x =，
因此估计这次实验是在85°C 的温度条件下进行的.
21．已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，315S =，且1311,,,a a a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式;
(2)设56n
n n b a ⎛⎫
=⋅ ⎪⎝⎭
试问数列{}n b 是否存在最大项?若存在，求出最大项序号n 的值;若不存在，
请说明理由.
【正确答案】(1)31
n a n =-
(2)存在，序号6n =，理由见解析
【分析】（1）根据等比数列的性质，结合等差数列前n 项和公式进行求解即可；（2）根据数列最大项的性质进行求解即可.【详解】（1）设该等差数列的公差为d ，0d ≠，
由()311
153321512
S a d =⇒+⨯⨯=，
因为1311,,,a a a 成等比数列，所以()()()2
2
3
1111112102a a a a d a a d =⇒+=+，由()()1,2可得：()12,321331
n a d a n n ==⇒=+-⋅=-（2）由上可知：31n a n =-，()553166n n
n n b a n ⎛⎫⎛⎫
=⋅=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
假设否存在最大项n b ，
则有()()()()1
11
15519313466161931633553132366n n n n n n n n n n n b b n b b n n n --++⎧⎛⎫⎛⎫⎧-⋅≥-⋅⎪≤ ⎪ ⎪≥⎧⎪⎝⎭⎝⎭⎪⇒⇒⇒≤≤⎨⎨⎨≥⎩⎛⎫⎛⎫⎪⎪≥
-⋅≥+⋅ ⎪ ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎝⎭⎩
，因为N n *∈，所以6n =，所以假设成立，数列{}n b 是否存在最大项，序号6n =.
22．某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为三级过滤，使用寿命为十年.如图所示，两个一级过滤器采用并联安装，二级过滤器与三级过滤器为串联安装.其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现，在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换（每个滤芯是否需要更换相互独立），三级滤芯无需更换，若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个80元，二级滤芯每个160元.若客户在使用过程中单独购买滤芯，则一级滤芯每个200元，二级滤芯每个400元,现需决策安装净水系统的同时购滤芯的数量，为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中图是根据200个一级过滤器更换的滤芯个数制成的柱状图，表是根据100个二级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表
:
二级滤芯更换频数分布表：
二级滤芯更换的个数56频数
60
40
以200个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以100个二级过滤器更换滤芯的频率代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率.
（1）求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30的概率；
（2）记X 表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的一级滤芯总数，求X 的分布列及数学期望；
（3）记m ，n 分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.若
28m n +=，且{}5,6n ∈，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望
值为决策依据，试确定m ，n 的值.
【正确答案】（1）0.064；（2）见解析；（3）m =23，n =5.
【分析】（1）根据图表，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30，则一级12个滤芯，二级6个滤芯，分别算出相应的概率，一次更换为2个一级滤芯和1个二级滤芯，从而得到概率.
（2）由柱状图，一级过滤器需要更换的滤芯个数，分别得到概率，然后得到X 可能取的值，算出每种情况的概率，写出分布列及数学期望.
（3）因为28m n +=且{}5,6n ∈，则可分为两类，即22,6m n ==和23,5m n ==，分别计算他们的数学期望，然后进行比较，选取较小的一组.
【详解】（1）由题意可知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30，则该套净水系统中的两个一级过滤器均需更换12个滤芯，二级过滤器需要更换6个滤芯．设“一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30”为事件A .
因为一个一级过滤器需要更换12个滤芯的概率为0.4，二级过滤器需要更换6个滤芯的概率
为0.4，
所以()0.40.40.40.064P A =⨯⨯=.（2）由柱状图可知，
一个一级过滤器需要更换的滤芯个数为10，11，12的概率分别为0.2，0.4，0.4.由题意，X 可能的取值为20，21，22，23，24，并且
()200.20.20.04P X ==⨯=，()210.20.420.16P X ==⨯⨯=，
()220.40.40.20.420.32P X ==⨯+⨯⨯=，()230.40.420.32P X ==⨯⨯=，()240.40.40.16P X ==⨯=.
所以X 的分布列为
X
2021222324
P
0.04
0.160.320.32
0.16
200.04210.16220.32230.32240.1622.4EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.
（3）【解法一】因为28m n +=，{}5,6n ∈，若22m =，6n =，则该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为
22802000.324000.1661602848⨯+⨯+⨯+⨯=；
若23m =，5n =，
则该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为
23802000.1651604000.42832⨯+⨯+⨯+⨯=.
故m ，n 的值分别为23，5.
【解法二】因为28m n +=，{}5,6n ∈，若22m =，6n =，
设该客户在十年使用期内购买一级滤芯所需总费用为1Y （单位：元），则1
Y 176019602160
p
0.520.320.16
117600.5219600.3221600.161888EY =⨯+⨯+⨯=.
设该客户在十年使用期内购买二级滤芯所需总费用为2Y （单位：元），则26160960Y =⨯=，()21960960E Y =⨯=.
所以该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为
()()1218889602848E Y E Y +=+=.
若23m =，5n =，
设该客户在十年使用期内购买一级滤芯所需总费用为1Z （单位：元），则1
Z 18402040p
0.84
0.16
()118400.8420400.161872E Z =⨯+⨯=.
设该客户在十年使用期内购买二级滤芯所需总费用为2Z （单位：元），则
2
Z 8001200p
0.6
0.4
()28000.612000.4960E Z =⨯+⨯=.
所以该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为
()()1218729602832E Z E Z +=+=.
故m ，n 的值分别为23，5.
本题题目较长，信息量比较大，需要对条件中的信息重新整理分类，考查了直方图和表格求概率，独立重复试验的概率和分布列，以及利用数学期望解决实际问题.属于中档题.。