复旦大学第2.4二项分布与泊松分布

n k 次
A A A A A A A A
k 1 次
n k 1 次

n 得 A 在 n 次试验中发生k 次的方式共有 种, k 且两两互不相容.
因此 A在 n 次试验中发生 k 次的概率为
n k n k 记 q 1 p p (1 p) k
399
(4) 二项分布数值表 对于二项分布的计算，我们可以通过查表得到 k 0 1 2 3 4 5 6 b(k;20,p)
p1
p2 p3
------0.1216 0.0008 0.2702 0.0068
k 7 8 9 10 11 12 13
b(k;20,p)
p1
p2 p3
0.0002 0.1643 0.0739 0.0004 0.1144 0.1201
是 n重伯努利试验. (3) 二项概率公式
若 X 表示 n 重伯努利试验中事件A 发生的次数, 则 X 所有可能取的值为
0, 1, 2, , n.
当 X k (0 k n) 时, 即 A 在 n 次试验中发生了k 次.
A A A A A A ,
k次
b( k; n, pn )

k
k!
e
例 有一繁忙的汽车站, 每天有大量汽车通过, 设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率 为0.0001,在每天的该段时间内有1000 辆汽车通 过,问出事故的次数不小于2的概率是多少? 解 设1000 辆车通过, 出事故的次数为 X , 则 X ~ B(1000 0.0001 , ), 所求概率为 P{ X 2} 1 P{ X 0} P{ X 1}
X 的分布律为
400 P{ X k } (0.02)k (0.98)400 k , k 0,1,,400. k 因此 P { X 2} 1 P { X 0} P { X 1}
1 (0.98)
400
400(0.02)(0.98) 0.9972.
二、二项分布的泊松逼近
在二项分布的计算中，当n很大时，计算相当复杂， 为了简化计算，我们来讨论泊松定理.
定理2.4.1 (泊松定理) 在独立试验中，以pn代表事件 A在试验中出现的概率，它与试验次数有关，如果 lim npn 0， 则有b( k; n, pn )
n
k
k!
e- .
0.2852 0.0278 0.0002
0.1901 0.0716 0.0011 0.0898 0.1304 0.0046
0.0001 0.0654 0.1602
------0.0308 0.1762 0.0120 0.1602
0.0319 0.1789 0.0148
0.0089 0.1916 0.0370
第2.4节
二项分布与泊松分布
一、二项分布的性质与计算 二、二项分布的泊松逼近
三、泊松分布
一、二项分布的性质及计算
1 二项分布的计算
(1) 重复独立试验 将试验 E 重复进行 n 次, 若各次试验的结果互 不影响 , 即每次试验结果出现的概率都不依赖于其 它各次试验的结果, 则称这 n 次试验是相互独立的, 或称为 n 次重复独立试验.
(2) n 重伯努利试验
伯努利资料
设试验 E 只有两个可能结果: A 及 A, 则称 E 为伯努利试验. 设 P ( A) p (0 p 1), 此时P ( A) 1 p.
将 E 独立地重复地进行n 次, 则称这一串重 复的独立试验为n 重伯努利试验.
实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面. 若将硬 币抛 n 次,就是n重伯努利试验. 实例2 抛一颗骰子n次,观察是否 “出现 1 点”, 就
1. 泊松分布
随机事件所有可能取的值为 0, 1, 2, , 而取各个 值的概率为 k! 其中 0 是常数.称这样的分布是参数为 的泊 松分布, 记为p( k , ).
此分布是由法国数学家泊松1837年引入的。
p( k , )
k e
, k 0,1, 2, ,
例(p90例3）设每颗子弹打中飞机的概率为0.01， 问在500发子弹中打中飞机的最大可能次数是多少， 其概率为多少？ 显然，最大可能次数为5, 经计算概率为0.1764
3 产品抽样验收与(n,c)方案
抽样检验是生产管理中的必要手段，检验的原则是 次品率小于等于某一临界值 p0时,认为此批产品为合 p1 格品，次品率大于或等于某一临界值 时，认为不合 格品. 而这个原则在实际操作时等价于抽检n件产品， 次品数小于或等于c件时，认为此批产品为合格品， 否则为不合格品，称这种方案为(n,c)方案. (n,c)方案的缺点 导致两类错误：拒绝合格品，接受不合格品 操作特性曲线（OC曲线）
X ~ B(2500,0.002)
保险公司在1月1日的收入是 250012=30000元
• 保险公司这一年里付出200X元.假定 200X30000,即X 15人时公司不赢利.
于是,P{公司亏本}=P{ X 15}=1-P{14 X}
2500 0.002 5, 14 e 5 5k 0.0002 P{公司亏本} 1 k 0 k !
泊松分布的图形
2 泊松分布的背景及应用
二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察 与分析放射性物质放出的 粒子个数的情况时, 他们做了2608 次观察(每次时间为7.5 秒)发现 放射性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子 数X 服从泊松分布.
由泊松定理得 (2) 获利不少于一万元,即 30000 -200X 10000
e 5 5k 0.9864 P{获利不少于一万元}=P{X10} k 0 k !
10
即X10
例 有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每 辆汽车在一天的某段时间内,出事故的概率为 0.0001,在每天的该段时间内有1000 辆汽车通过, 问 出事故的次数不小于2的概率是多少? 解 设 1000 辆车通过, 出事故的次数为 X , 则 X ~ B(1000 0.0001 , ), 故所求概率为 P { X 2} 1 P { X 0} P { X 1} 1000 1000 1 0.9999 0.0001 0.9999999 ? 1 n很大, p 很小 二项分布 泊松分布
1 0.9999
1000
可利用泊松定理计算
1000 0.0001 0.9999999 1
1000 0.0001 0.1,
e 0.1 0.1 e 0.1 P { X 2} 1 0.0047. 0! 1!
三、泊松分布
泊松资料
L( p )
1

p0
c
1

p1
O
p
n k 其中L( p) p (1 p)nk , 为了减少犯两类错误的 k 0 k 概率，应该满足L( p) 1 , L( p) ,由此条件确定出 相应的n与c .
4 实例
例 (人寿保险问题)在保险公司里 有2500个同年 龄同社会阶层的人参加了人寿保险,在每一年里 每个人死亡的概率为0.002,每个参加保险的人在1 月1日付12元保险费,而在死亡时,家属可在公司里 领取200元.问 (1)保险公司不赢利的概率是多少? (2) 保险公司获利不少于一万元的概率是多少? 解 设X表示这一年内的死亡人数,则
P{ X 0} 0.012 P{ X 1} 0.058
P{ X 4} 0.218 P{ X 5} 0.175 P{ X 6} 0.109 P{ X 8} 0.022 P{ X 9} 0.007
P{ X 10} 0.002
P{ X 2} 0.137

证明
由
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 pn o(1), n n

1 1 pn 1 o(1) n n
n! b( k; n, pn ) ( pn )k (1 pn )nk k !( n k )! n! 1 o(1) n k k [ o(1)] [1 ) k! ( n k )! n n n n [ o(1)]k o(1) n n( n 1) ( n k 1) [1 ] o(1) k k! n n k n [1 ] n n 1 [ o(1)]k o(1) n 1(1 n ) (1 kn 1 ) [1 ] o(1) k k! n n [1 ] n n 当n 时,
-------
0.0039 0.1201
0.0010 0.0739
当p>0.5时，表格没有提供数据，但可以利用公式 b(k;n,p)=b(n-k;n,1-p) 以及结合查表得到。
(5) 统计假设检验法 例(p88例2）设在家畜中感染某种疾病的概率为30%, 新发现了一种血清可能对预防此病有效，为此对20 只健康的动物注射这种血清，若注射后只有一只动 物感染，试判定该血清对此病的效果如何？ 解 假设该血清对此病无效果，因此20只感染k只的 概率为b(k;20,0.3),
概率会随着k的增加先递增，再递减，并在某处达 到最大
b( k; n, p) ( n k 1) p ( n 1) p k 由于 1 , b( k 1, n, p) kq kq 因此，当k<(n+1)p时，b(k;n,p)单增，当k>(n+1)p时， b(k;n,p)单减，而当k =(n+1)p时，b(k;n,p) 最大。但 由于取整的缘故，m=[(n+1)p],称m为二项分布最可 能成功次数.
分析 这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很 大, 且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很 小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.
把检查一只元件看它是 否为一级品看成是一次 试验, 检查20只元件相当于做 20 重伯努利试验.
解 以 X 记 20 只元件中一级品的只数 ,
则 X ~ b(k;20, 0.2), 因此所求概率为 20 P{ X k } (0.2)k (0.8)20k , k 0,1,, 20. k
X
0
5
1
2
5 2 0.6 0.43 2
3
4
5
pk
5 (0.4) 0.6 0.44 1
5 3 2 5 4 0.6 0.4 0.6 0.4 0.6 5 3 4
例
按规定, 某种型号电子元件的使 用寿命超过
1500 小时的为一级品. 已知某一大批产品的一 级 品率为0.2, 现在从中随机地抽查 只. 问20只元件 20 中恰有 k 只( k 0,1,,20) 一级品的概率是多少 ?
P{ X 3} 0.205
P{ X 7} 0.055
P{ X k } 0.001, 当 k 11 时
图示概率分布
例
某人进行射击, 设每次射击的命中率为 .02, 0
独立射击 400 次, 试求至少击中两次的概 . 率
解 设击中的次数为X ,
则 X ~ B(400,0.02).
则发生感染一只或无感染情形的概率为
b(0;20,0.3)+ b(1;20,0.3)=0.0076 这样的小概率事件在一次试验中几乎不可能发生， 但事实上，这样的事件却发生了，因此我们有理由 怀疑，我们的假设是错的，这样的原理将是统计学 里边假设检验的主要原理。
2 二项分布的性质
观察下面二项分布的图形
得 X 的分布律为 X 0 1 n n 1 n pk q pq 1
n k n k pq k
n k n k p q pn k 称这样的分布为二项分布.记为 X ~ b( k; n, p).

k

n
二项分布的图形
例 在相同条件下相互独立地进行 5 次射击,每次 射击时击中目标的概率为 0.6 ,则击中目标的次数 X 服从 B (5,0.6) 的二项分布.