微专题12 奇偶性问题(原卷版)

微专题12奇偶性问题
【方法技巧与总结】
方法技巧一、函数的奇偶性概念及判断步骤1、函数奇偶性的概念
偶函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 称为偶函数．奇函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 称为奇函数．诠释：
（1）奇偶性是整体性质；
（2）x 在定义域中，那么x -在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；
（3）()()f x f x -=的等价形式为：()
()()0,
1(()0)()
f x f x f x f x f x ---==≠，()()f x f x -=-的等价形式为：()
()()01(()0)()
f x f x f x f x f x -+-==-≠，；（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有(0)0f =；（5）若()f x 既是奇函数又是偶函数，则必有()0f x =．2、奇偶函数的图象与性质
（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y 轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y 轴对称，则这个函数是偶函数．
3、用定义判断函数奇偶性的步骤
（1）求函数()f x 的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；
（2）结合函数()f x 的定义域，化简函数()f x 的解析式；
（3）求()f x -，可根据()f x -与()f x 之间的关系，判断函数()f x 的奇偶性．若()()f x f x -=-，则()f x 是奇函数；若()f x -=()f x ，则()f x 是偶函数；
若()()f x f x -≠±，则()f x 既不是奇函数，也不是偶函数；
若()()f x f x -=且()()f x f x -=-，则()f x 既是奇函数，又是偶函数方法技巧二、判断函数奇偶性的常用方法
（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()f x -与()f x ±之一是否相等．
（2）验证法：在判断()f x -与()f x 的关系时，只需验证()()0f x f x -±=及()
1()
f x f x -=±是否成立即可．
（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称．
（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数．
（5）分段函数奇偶性的判断
判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断．在函数定义域内，对自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数．分段函数不是几个函数，而是一个函数．因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()f x -与()f x 的关系．首先要特别注意x 与x -的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()
f x 与()f x -对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较．
方法技巧三、关于函数奇偶性的常见结论
（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．（2）奇偶函数的图象特征．
函数()f x 是偶函数⇔函数()f x 的图象关于y 轴对称；函数()f x 是奇函数⇔函数()f x 的图象关于原点中心对称．（3）若奇函数()y f x =在0x =处有意义，则有(0)0f =；偶函数()y f x =必满足()(||)f x f x =．
（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同．
（5）若函数()f x 的定义域关于原点对称，则函数()f x 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记1()[()()]2g x f x f x =+-，1
()()()]2
h x f x f x =--，则()()()f x g x h x =+．
（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如()(),()(),()(),()()f x g x f x g x f x g x f x g x +-⨯÷．
对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；
奇()⨯÷奇=偶；奇()⨯÷偶=奇；偶()⨯÷偶=偶．
（7）复合函数[()]y f g x =的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．
【题型归纳目录】
题型一：函数奇偶性的判断题型二：求函数值与解析式题型三：已知奇偶性求参数题型四：利用性质解决不等式问题题型五：性质的综合运用
【典型例题】
题型一：函数奇偶性的判断
例1．（2022·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）下列函数是奇函数的是（）
A ．
y =B ．223
y x =+C ．1
y x
=-
D ．2,(1,1)
y x x =-∈-例2．（2022·全国·高一课时练习）已知()()()3
2F x x x f x =-，且()f x 是定义在R 上的奇函
数，()10f ≠，则()F x （）
A ．是奇函数
B ．是偶函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．既不是奇函数也不是偶函数
例3．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）已知函数()f x ，()g x 均为定义在R 上的奇函数，且()0f x ≠，()0g x ≠，则（）
A ．()()f x g x +是奇函数
B ．()()f x g x -是奇函数
C ．()()f x g x 是偶函数
D ．()()f x g x 是偶函数
例4．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）下列判断正确的是（）
A ．()(1f x x =-
B ．()22,0
,0x x x f x x x x ⎧+<=⎨-+>⎩是奇函数
C ．()f x =
D ．()133
x f x x =
+-是非奇非偶函数例5．（2022·全国·高一单元测试）判断下列函数的奇偶性．(1)()3
1f x x x
=-；
(2)()(
1f x x =-(3)(
)f x =+(4)()2,12,112,1x x f x x x x -<-⎧⎪
=-≤≤⎨⎪>⎩
．
例6．（2022·全国·高一课时练习）设函数()f x 对任意,x y ∈R ，都有()()()f x y f x f y +=+，证明：()f x 为奇函数．
题型二：求函数值与解析式
例7．（2022·全国·高一单元测试）已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，
2()4f x x x =-，则0x <时，()f x 的解析式为________．
例8．（2022·全国·高一单元测试）已知()f x 是偶函数，当0x <时，()()1f x x x =+，则当0x >时，()f x =_________．
例9．（2022·全国·高一课时练习）已知()f x ，()g x 分别是R 上的奇函数和偶函数，且
()()231f x g x x x +=-+，试求()f x 和()g x 的表达式．
例10．（2022·全国·高一期中）已知函数()y f x =的图象关于原点对称，且当0x ≥时，
()22f x x x
=-(1)试求()f x 在R 上的解析式；
(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间.
例11．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，()22f x x x =+．
(1)求当x ＞0时，函数()f x 的解析式；
(2)解不等式()()30x f x f x -->⎡⎤⎣⎦．
题型三：已知奇偶性求参数
例12．（2022·全国·高一单元测试）若函数()22,0
0,0,0x x x f x x ax x x ⎧-+>⎪
==⎨⎪+<⎩
是奇函数，则实数a 的值为
___________.
例13．（2022·全国·高一课时练习）已知函数2220()000x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪
==⎨⎪+<⎩
，，，是奇函数，则m =_____．
例14．（2022·江苏·无锡市市北高级中学高一期中）定义在区间[,2]n 上的偶函数
2()1=++f x x ax ，最大值为m ，则a m n ++=__________.
例15．（2022·全国·高一专题练习）若函数32()=-+f x x bx ax 在[3,2]+a a 上为奇函数，则
a b +=___________.
例16．（2022·广西·高一阶段练习）已知函数()()32121f x a x x =-+-是偶函数，则a ＝______．
题型四：利用性质解决不等式问题
例17．（2022·全国·高一单元测试）函数()f x 为奇函数，()2f x +是定义在()3,1--上的减函数，若()()1320f m f m -+-<，则实数m 的取值范围为______．
例18．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，在()0,∞+上的图象如图所示，则使()0f x <的x 的取值集合为______
．
例19．（2022·全国·高一专题练习）奇函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，且(1)0f =，则不等式
2023()2022()
0-->f x f x x
的解集为__________.
例20．（2022·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）已知奇函数()f x 在[)0,∞+上单调递减，若
()()211f a f ->，则实数a 的取值范围为_________．
例21．（2022·全国·高一单元测试）已知偶函数()f x 的定义域为R ，当[)0,x ∈+∞时，()21
x
f x x -=
+，则()11f x -<的解集为（）
A ．13,22⎛⎫
⎪
⎝⎭B ．1,2⎛
⎫-∞ ⎪
⎝
⎭C ．3,2⎛⎫+∞ ⎪
⎝⎭
D ．13,,22⎛⎫⎛⎫
-∞+∞ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
例22．（2022·全国·高一专题练习）定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的
[)1212,0,(),x x x x ∈+∞≠有
()()
1212
0f x f x x x -<-，则（
）
A ．()()()321f f f <-<
B ．()()()123f f f <-<
C ．()()()
213f f f -<<D ．()()()
312f f f <<-题型五：性质的综合运用
例23．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()()2
2,f x mx nx m n =++∈R 是定义在[]
2,3m m +上的偶函数，则函数()()2g x f x x =+在[]22-,
上的最小值为______．例24．（2022·福建省永泰县第二中学高一阶段练习）已知函数()f x 的定义域是
{}R |0D x x =∈≠，对任意1x ，2x D ∈都有：1212()()()f x x f x f x ⋅=+，且当1x >时，()0f x >．给出结论：
①()f x 是偶函数；②()f x 是奇函数；
③()f x 在()0,∞+上是增函数；④()f x 在()0,∞+上是减函数．则正确结论的序号是________．
例25．（2022·全国·高一课时练习）设函数()()2
32
11
x x f x x ++=+在区间[]22-,上的最大值为M ，最小值为N ，则()
2022
1M N +-的值为______.
例26．（2022·全国·高一单元测试）已知f (x )是定义在区间[－1，1]上的奇函数，且f (1)＝1，当a ，b ∈[－1，1]，a ＋b ≠0时，有
()()
f a f b a b
++＞0成立.
(1)判断f (x )在区间[－1，1]上的单调性，并证明；
(2)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1，1]恒成立，求实数m 的取值范围.
例27．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，
()22f x x x =+，现已画出函数f (x )在y 轴左侧的图象，如图所示．
(1)请补出函数()y f x =，x ∈R 剩余部分的图象，并根据图象写出函数()y f x =，x ∈R 的单调增区间；
(2)求函数()y f x =，x ∈R 的解析式；
(3)已知关于x 的方程()f x m =有三个不相等的实数根，求实数的取值范围．
例28．（2022·全国·高一课时练习）函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点
(),P a b 成中心对称的充要条件是函数()y f x a b =+-是奇函数.
(1)依据推广结论，求函数()32
3f x x x =-的图象的对称中心；(2)请利用函数()32
3f x x x =-的对称性
()()()201920172015f f f -+-+-+⋅⋅⋅
()()()()()()()()31135201720192021f f f f f f f f +-+-++++⋅⋅⋅+++的值；
(3)类比上述推广结论，写出“函数()y f x =的图像关于y 轴成轴对称的充要条件是函数
()y f x =为偶函数”的一个推广结论.（不需要证明）
例29．（2022·全国·高一专题练习）已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝1
2,01,
23,1,
x x
x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≥⎩若f (x )在14,4⎡
⎤--⎢⎥⎣
⎦上的最大值为m ，最小值为n ，求m ＋n ．
例30．（2022·全国·高一课时练习）设函数()f x 的定义域为()1,1-，且满足：①当()1,0x ∈-时，()0f x >；
②()()1x y f x f y f xy ⎛⎫
++= ⎪+⎝⎭
，(),1,1x y ∈-．
则()f x 是_______函数（填“奇”或“偶”），()f x 在定义域上是_______函数（填“增”或“减”）．
【过关测试】一、单选题
1．（2022·北京·中国农业大学附属中学高一期中）某同学在研究函数2
()||1
x f x x =+时，分别
给出下面四个结论，其中正确的结论是（）
A ．函数()f x 是奇函数
B ．函数()f x 的值域是()1,+∞
C ．函数()f x 在R 上是增函数
D ．方程()2f x =有实根
2．（2022·全国·高一单元测试）函数()2
25f x x x =-+的单调增区间是（
）
A ．(),1-∞-和()0,1
B ．(),1-∞-和()1,+∞
C ．[]1,0-和[)
1,+∞D ．()1,0-和()
0,13．
（2022·全国·高一课时练习）若函数()245
42322022t x tx x f x x t
+++=+在[]2022,2022-上的最大值为M ，最小值为N ，且M ＋N ＝2024，则实数t 的值为（）
A ．－506
B ．506
C ．2022
D ．2024
4．
（2022·全国·高一课时练习）已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，且满足以下条件：①()(),x f x f x ∀∈-=R ；②()12,0,x x ∀∈+∞，当12x x ≠时，
()()2112120x f x x f x x x ->-．记()1a f =，()33f b -=，()55
f c =，则（
）
A ．c a b <<
B ．a b c <<
C ．c b a
<<D ．b c a
<<5．（2022·全国·高一单元测试）若函数()()()21x
f x x x a =-+为奇函数，则
=a （
）
A ．1
2
B ．
23
C ．
3
4
D ．1
6．
（2022·全国·高一课时练习）已知偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，且()30f -=，则()20xf x ->的解集是（
）
A ．{}|33x x -<<
B ．{|10x x -<<或5}x >
C ．{}
|05x x <<D ．{|5x x <-或1}
x >7．（2022·全国·高一课时练习）定义在[]22-,
上的偶函数()f x 在区间[]0,2上单调递减，若()()1f m f m -<，则实数m 的取值范围是（
）A ．12
m <-
B ．12
m >
C ．1
12
m -≤<
D ．
1
22
m <≤
8．（2022·全国·高一单元测试）下列图象中，不可能是()()1
R f x ax a x
=+
∈的图象的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、多选题
9．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()f x x x a =-，其中R a ∈，下列结论正确的是（）
A ．存在实数a ，使得函数()f x 为奇函数
B ．存在实数a ，使得函数()f x 为偶函数
C ．当0a >时，()f x 的单调增区间为,2a ⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭，()
,a +∞D ．当0a <时，()f x 的单调减区间为,2a a ⎛⎫
⎪
⎝⎭
10．
（2022·全国·高一课时练习）已知定义域为R 的函数()f x 在(,1)-∞-上为增函数，且()1f x -为偶函数，则（
）
A ．()f x 的图象关于直线x ＝－1对称
B ．()f x 在(1,)-+∞上为增函数
C ．()()
12f f =-D ．()()1302f f f ⎛⎫
-<<- ⎪
⎝⎭
11．（2022·全国·高一课时练习）在复习了函数性质后，某同学发现：函数()y f x =为奇函数的充要条件是()y f x =的图彖关于坐标原点成中心对称：可以引申为：函数
()y f x a b =+-为奇函数，则()y f x =图象关于点(),P a b 成中心对称.现在已知函数()3221f x x mx nx =+++的图象关于()1,0成中心对称，则下列结论正确的是（
）
A ．()11f =
B ．()21f =-
C ．3
m n +=-D ．对任意x ∈R ，都有()()110
f x f x ++-=12．（2022·全国·高一期中）已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，对于任意a ，R b ∈都满足()()()=+f ab af b bf a ，则下述正确的是（）
A ．()00
f =B ．()11
f =C ．()f x 是奇函数
D ．若()22f =，则11
22
⎛⎫-=
⎪⎝⎭f
三、填空题
13．（2022·云南红河·高一期末）设偶函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，且(3)0f -=，则不等式()()02f x f x x
+-<的解集是___________．14．
（2022·全国·高一课时练习）已知函数()f x 满足()()110f x f x -+-=，12,x x ∀∈R ，且12x x ≠，()()
12120f x f x x x -<-.若()()243340f a f a ++->，则a 的取值范围是_______.
15．（2022·全国·高一课时练习）若定义在R 上的偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，且()30f =，则满足()20xf x -≤的x 的取值范围为___________.
16．（2022·贵州·凯里一中高一期中）函数()22f x x x =-，若()()213f m f +<，则实数m 的
取值范围是____________．
四、解答题
17．
（2022·全国·高一课时练习）设函数()223f x x x a =--+，x ∈R ．(1)某同学认为，无论实数a 取何值，()f x 都不可能是奇函数，该同学的观点正确吗？请说明你的理由．
(2)若()f x 是偶函数，求实数a 的值．
(3)在（2）的情况下，()2f x m m ≥-恒成立，求实数m 的取值范围．
18．（2022·浙江·余姚市实验高中高一开学考试）已知函数22()x x a f x x
++=．(1)若()()2g x f x =-，判断()g x 的奇偶性并加以证明．
(2)当12
a =时，先用定义法证明函数f （x ）在[1，+∞）上单调递增，再求函数()f x 在[1，+∞）上的最小值．
(3)若对任意[1,),()0x f x ∈+∞>恒成立，求实数a 的取值范围．
19．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()()2213f x x k x =-++．
(1)若函数()f x 为偶函数，求实数k 的值；
(2)若函数()f x 在区间[]1,3-上具有单调性，求实数k 的取值范围；
(3)求函数()f x 在区间[]22-,
上的最小值．20．
（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()20f x x mx m =->在区间[]0,2上的最小值为()g m ．
（1）求函数()g m 的解析式．
（2）定义在()(),00,∞-+∞U 上的函数()h x 为偶函数，且当0x >时，()()h x g x =．若()()4h t h <，求实数t 的取值范围．
21．（2022·全国·高一课时练习）已知______，且函数()22x b g x x a
+=+.①函数()()224f x x a x =+-+在定义域[]1,1b b -+上为偶函数；
②函数()()0f x ax b a =+>在[1,2]上的值域为[]2,4.
在①，②两个条件中，选择一个条件，将上面的题目补充完整，求出a ，b 的值，并解答本题.
(1)判断()g x 的奇偶性，并证明你的结论；
(2)设()2h x x c =--，对任意的1x ∈R ，总存在[]22,2x ∈-，使得()()12g x h x =成立，求实数c 的取值范围.。