人教A版2019必修第一册 高一数学4

4.5.2用二分法求方程的近似解
考点讲解
考点1：二分法的概念
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
【例1】已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则不能利用二分法求解的零点是________．【答案】x3
【解析】因为x3左右两侧的函数值同号，故其不能用二分法求解．
【方法技巧】
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点.因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合.
【针对训练】
1．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()
A B C D
【答案】B
【解析】二分法的理论依据是零点存在定理，必须满足零点两侧函数值异号才能求解．而选项B图中零点两侧函数值同号，即曲线经过零点时不变号，称这样的零点为不变号零点．另外，选项A，C，D零点两侧函数值异号，称这样的零点为变号零点．
考点2：用二分法求函数零点的近似值
二分法求函数零点近似值的步骤
1.确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0.
2.求区间(a，b)的中点c.
3.计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；
①若f(a)f(c)＜0(此时x0①(a，c))，则令b＝c；
①若f(c)f(b)＜0(此时x0①(c，b))，则令a＝c.
4.判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．
【例2】用二分法求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的根的近似值时，令f(x)＝ln(2x＋6)＋2－3x，并用计算器得到下表：
【解析】因为f(1.25)·f(1.375)<0，故根据二分法的思想，知函数f(x)的零点在区间(1.25,1.375)内，但区间(1.25,1.375)的长度为0.125>0.1，因此需要取(1.25,1.375)的中点1.312 5，两个区间(1.25,1.312 5)和(1.312 5,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.062 5<0.1，因此1.312 5是一个近似解．
【方法技巧】利用二分法求方程近似解的过程图示
【针对训练】
2.求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋1的一个负零点(精确度0.01)．
【解析】确定一个包含负数零点的区间(m，n)，且f(m)·f(n)<0.因为f(－1)>0，f(－2)<0，所以可以取区间(－2，－1)作为计算的初始区间，当然选取在较大的区间也可以．用二分法逐步计算，列表如下：
－1.929 687 5.
f (1)＝－6<0，f (2)＝4>0 (1,2) x 1＝1＋2
2
＝1.5 f (1.5)＝－2.625<0 (1.5,2) x 2＝1.5＋2
2
＝1.75 f (1.75)≈0.234 4>0 (1.5,1.75)
x 3＝1.5＋1.75
2
＝1.625 f (1.625)≈－1.302 7<0 (1.625,1.75) x 4＝
1.625＋1.75
2
＝1.687 5 f (1.687 5)≈－0.561 8<0
(1.687 5,1.75)
由于|1.75－1.687 5|＝0.062 5<0.1，所以函数的正数 零点的近似值可取为1.687 5.
1．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
2．并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足： （1）在区间[a ，b ]上连续不断； （2）f (a )·f (b )<0，
上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值．
一、选择题
1．下面关于二分法的叙述中，正确的是( ) A ．用二分法可求所有函数零点的近似值
B ．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位
C ．二分法无规律可循，无法在计算机上完成
D ．只能用二分法求函数的零点
【解析】B 用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故选项A 错误；二分法是一种程序化的运算，故可以在计算机上完成，故选项C 错误；求函数零点的方法还有方程法、函数图象法等，故D 错误，故选B.
知识小结
考点演练
2．函数f (x )的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程f (x )＝0在(1,2)内近似解的过程可得f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则方程的解所在区间为( )
A ．(1.25,1.5)
B ．(1,1.25)
C ．(1.5,2)
D ．不能确定
【解析】A 由于f (1.25)·f (1.5)<0，则方程的解所在区间为(1.25,1.5)．
3．若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
A ．1.25
B ．1.375
C ．1.42
D ．1.5
【解析】C 由表格可得，函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的零点在(1.406 25,1.437 5)之间．结合选项可知，方程x 3＋x 2－2x －2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是1.42.故选C.
4．用二分法求函数f (x )＝2x ＋3x －7在区间[0,4]上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为( )
A ．(0,1)
B ．(0,2)
C ．(2,3)
D ．(2,4)
【解析】B 因为f (0)＝20＋0－7＝－6<0， f (4)＝24＋12－7>0，
f (2)＝22＋6－7>0，所以f (0)·f (2)<0，所以零点在区间(0,2)内．
5．在用“二分法”求函数f (x )零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是( )
A ．[1,4]
B ．[－2,1] C.⎣
⎡⎦⎤－2，52 D.⎣⎡⎦
⎤－1
2，1 【解析】D ①第一次所取的区间是[－2,4]，①第二次所取的区间可能为[－2,1]，[1,4]，①第三次所取的区间可能为⎣
⎡⎦⎤－2，－12，⎣⎡⎦⎤－12，1，⎣⎡⎦⎤1，52，⎣⎡⎦⎤5
2，4. 二、填空题
6．已知函数f (x )＝x 3－2x －2，f (1)·f (2)<0，用二分法逐次计算时，若x 0是[1,2]的中点，则f (x 0)＝________.
【解析】－1.625 由题意，x 0＝1.5，f (x 0)＝f (1.5)＝－1.625.
7．在用二分法求方程f (x )＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f (0.625)<0，f (0.75)>0，f (0.687 5)<0，即得出方程的一个近似解为________．(精确度为0.1)
【解析】0．687 5(答案不唯一) ①f (0.625)<0，f (0.75)>0，f (0.687 5)<0， ①方程的解在(0.687 5,0.75)上，而|0.75－0.687 5|<0.1， ①方程的一个近似解为0.687 5.
8．如图，一块电路板的线路AB 之间有64个串联的焊接点(不含端点A ，B )，如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致，要想检验出哪一处的焊口脱落，则至多需要检测________次．
【解析】6 [第1次取中点把焊点数减半为642＝32，第2次取中点把焊点数减半为32
2＝
16，第3次取中点把焊点数减半为162＝8，第4次取中点把焊点数减半为8
2＝4，第5次取中
点把焊点数减半为42＝2，第6次取中点把焊点数减半为2
2＝1，所以至多需要检测的次数是
6.
三、解答题
9．已知方程2x ＋2x ＝5.
（1）判断该方程解的个数以及所在区间； （2）用二分法求出方程的近似解(精确度0.1)． 参考数值：
因为函数f (x )＝2x ＋2x －5在R 上是增函数， 所以函数f (x )＝2x ＋2x －5至多有一个零点．
因为f (1)＝21＋2×1－5＝－1<0，f (2)＝22＋2×2－5＝3>0， 所以函数f (x )＝2x ＋2x －5的零点在(1,2)内． (2)用二分法逐次计算，列表如下：
因为所以函数的零点近似值为1.312 5，
即方程2x ＋2x ＝5的近似解可取为1.312 5.
10．用二分法求方程x 2－5＝0的一个近似正解．(精确度为0.1)
【解析】令f (x )＝x 2－5，因为f (2.2)＝－0.16<0，f (2.4)＝0.76>0，所以f (2.2)·f (2.4)<0， 即这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x 0，
取区间(2.2,2.4)的中点x 1＝2.3，f (2.3)＝0.29，因为f (2.2)·f (2.3)<0，所以x 0①(2.2,2.3)， 再取区间(2.2,2.3)的中点x 2＝2.25，f (2.25)＝0.062 5，因为f (2.2)·f (2.25)<0， 所以x 0①(2.2,2.25)，由于|2.25－2.2|＝0.05<0.1， 所以原方程的近似正解可取为2.25.
1．下列函数中不能用二分法求零点近似值的是( ) A ．f (x )＝3x －1 B ．f (x )＝x 3 C ．f (x )＝|x |
D ．f (x )＝ln x
【解析】C 对于选项C 而言，令|x |＝0，得x ＝0，即函数f (x )＝|x |存在零点，但当x >0时，f (x )>0；当x <0时，f (x )>0，所以f (x )＝|x |的函数值非负，即函数f (x )＝|x |有零点，但零点两侧函数值同号，所以不能用二分法求零点的近似值．
2．在用二分法求函数f (x )的一个正实数零点时，经计算，f (0.64)＜0，f (0.72)＞0，f (0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )
A ．0.68
B ．0.72
C ．0.7
D ．0.6
【解析】C 已知f (0.64)＜0，f (0.72)＞0，则函数f (x )的零点的初始区间为[0.64,0.72]，又0.68＝1
2(0.64＋0.72)，且f (0.68)＜0，所以零点在区间[0.68,0.72]，且该区间的左、右端点
精确到0.1所取的近似值都是0.7，因此，0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．
3．用二分法求函数f (x )＝3x －x －4的一个零点，其参考数据如下： f (1.600 0)≈0.200 f (1.587 5)≈0.133 f (1.575 0)≈0.067 f (1.562 5)≈0.003
f (1.556 2)≈－0.029
f (1.550 0)≈－0.060
据此数据，可得方程3x －x －4＝0的一个近似解(精确度为0.01)可取________． 【解析】1．562 5 f (1.562 5)≈0.003>0，f (1.556 2)≈－0.029<0，方程3x －x －4＝0的一个近似解在(1.556 2，1.562 5)上，且满足精确度为0.01，所以所求近似解可取为1.562 5.
4．某同学在借助计算器求“方程lg x ＝2－x 的近似解(精确度为0.1)”时，设f (x )＝lg x ＋x －2，算得f (1)<0，f (2)>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x 的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x ≈1.8，那么他再取的x 的4个值依次是________．
巩固提升
【解析】1．5,1.75,1.875,1.812 5 第一次用二分法计算得区间(1.5,2)，第二次得区间(1.75,2)，第三次得区间(1.75,1.875)，第四次得区间(1.75,1.812 5)．
5．已知函数f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，a ＋b ＋c ＝0，f (0)>0，f (1)>0，证明a >0，并利用二分法证明方程f (x )＝0在区间[0,1]内有两个实根．
【解析】 ①f (1)>0，①3a ＋2b ＋c >0， 即3(a ＋b ＋c )－b －2c >0.
①a ＋b ＋c ＝0，①－b －2c >0，则－b －c >c ，即a >c . ①f (0)>0，①c >0，则a >0. 在区间[0,1]内选取二等分点1
2，
则f ⎝⎛⎭⎫12＝34a ＋b ＋c ＝34a ＋(－a )＝－14a <0. ①f (0)>0，f (1)>0，
①函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12和⎝⎛⎭⎫1
2，1上各有一个零点． 又f (x )最多有两个零点，从而f (x )＝0在[0,1]内有两个实根．。