江苏省扬中市第二高级中学高中数学苏教版必修4《1.3.3函数y=Asin(ωx+φ)的图象》教学设计5

课题：函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象
：苏教版普通高中课程标准实验教科书数学必修4
一、内容与内容解析
1．本课地位和作用
三角函数是描述周期现象的数学模型，也是一种基本初等函数，在数学和其他领域中具有重要的作用．“函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象”是三角函数的一个重要内容，通过揭示参数A，ω，φ变化对函数y＝A sin(ωx＋φ)图象的影响，有助于进一步深化对函数图象变换的理解和认识，同时也有助于体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型．
2．本课内容剖析
“函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象”主要是探讨函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象与函数y＝sin x的图象之间的关系．图象是由点构成的，图象变换的本质是图象上点的变换，而点的位置变化对应着点的坐标变化，因此，欲研究函数图象的变换规律，只需研究图象上每个点的坐标变化规律．
本节课教学设计是先分别探讨φ、A、ω对函数y＝sin(x＋φ)、y＝A sin x(A>0)、y ＝sinωx(ω>0)的图象的变化规律，再探究y＝sin(2x＋1)的图象和函数y＝sin2x的图象之间的变化关系．其中，φ对y＝sin(x＋φ)的图象的变化规律的探讨方法可以迁移到后续问题解决中去．
本节课的重点是：分别探讨φ、A、ω对y＝sin(x＋φ)、y＝A sin x(A>0)、y＝sinωx(ω>0)的图象的变化规律．
本节课的难点是：①函数y＝sinωx的图象与正弦曲线的关系；②函数y＝sin(2x＋1)的图象与函数y＝sin2x的图象的关系．
二、目标与目标解析
1．探索并发现φ对y＝sin(x＋φ)的图象的变化规律，A对y＝A sin x(A>0)的图象的变化规律，ω对y＝sinωx(ω>0)的图象的变化规律；
2．在理解φ、A、ω对y＝sin(x＋φ)、y＝A sin x(A>0)、y＝sinωx(ω>0)的图象的变化规律的基础上，探究y＝sin(2x＋1)的图象和函数y＝sin2x的图象之间的变化关系；
3．学生在活动中经历观察、归纳、验证的过程，体会从简单到复杂，从具体到抽象，由特殊到一般的思想．学生在问题的引导下，自主探究研究策略，从而培养学生的认知策略，
发展元认识．
教学中，不急于把结论抛给学生，而是结合多个实例，增加供归纳的样本，让学生亲历从简单到复杂，具体到抽象，特殊到一般的探索过程，逐步概括图象变换的规律．学生通过充分地思考和探究，发现函数图象之间的关系，并对结论进行理性思考，从中学习解决问题的一般方法．
三、教学问题诊断分析
在此之前，学生已经学习了二次函数等一般函数图象的平移变换，又在三角函数的图象和性质中对周期变换有所涉及，本节课是对一般函数图象变换内容的延伸和拓展．
1．参数φ引起的平移变换，学生已有经验“左加右减”，为什么如此呢？在教学中引导学生理性思考，让新旧知识交汇，有利于提升学生对函数图象平移的理解；
2．参数A 和ω的取值，学生会忽视0＜A ＜1和0＜ω＜1情况，为此，在这里注意引导，从而全面认识参数A 和ω的变化引起的图象变化；
3．理解y ＝sin ωx 和y ＝sin x 的图象间关系是难点，教学中类比参数φ，A 对图象影响的探讨思路，认识代数关系与几何关系后，回到图象上任意点的坐标变换上进行理性分析，从而理解变换的实质．如从y ＝sin x 到y ＝sin2x ，代数上是用2x 代换x ，因此是将y ＝sin x
图象上坐标为(x 0，y 0)的点变换到坐标为(12
x 0，y 0)的点，所以是将y ＝sin x 图象上各点纵坐标不变、横坐标变为原来的12
，得到y ＝sin2x 的图象； 4．从y ＝sin2x 的图象变换到y ＝sin(2x ＋1)的图象是本课又一难点，究竟是向左平移1
个单位还是12
个单位？突破难点有二个途径：①画图观察；②从坐标变换理性分析． 四、教学支持条件分析
利用几何画板辅助教学，可以对图象上每个点进行分析，有利于学生突破本节课的难点．该探讨方法可以迁移到其他一般函数的图象和性质中去，有利于学生理解函数图象变换的数学本质．
五、教学过程
创设情境，引出课题
制定方案，分类探讨
以问题为载体
以活动为主线
层层递进，探究结论
回顾总结，反思提高
1.创设情境、引出课题
如图，摩天轮的半径为A m (A>0)，摩天轮逆时针做匀速转动，
角速度为ωrad／min (ω>0)，如果当摩天轮上点P从图中点P0
处开始计算时间．请在如图所示的坐标系中，确定时刻x min时
点P的纵坐标y．
【设计意图】
函数y＝A sin(ωx＋φ)是刻画自然界周期现象的重要模型，具有丰富的自然背景，借助于实际意义来理解函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象性质是自然的、清楚的、明白的！
师生活动：先将点P0置于x轴正半轴上，利用正弦函数的定义得到y＝A sinωx；再将点P0置于如图所示位置，得到在时刻x min时点P的纵坐标y＝A sin(ωx＋φ)．
小结：形如y＝A sin(ωx＋φ)的函数在生活中经常可见，如
弹簧振子在振动过程中离开平衡位置的位移满足y＝
A sin(ωx＋φ)，如图所示．再比如潮汐现象中水位的高度、
单摆中的摆角等也满足这个解析式，因此今天我们来探讨这个
函数，为了探讨方便，这里A>0，ω>0．
设问1：按照我们以往的经验，一般我们通过什么方法探讨函数的性质呢？
结论：图象．
板书课题：函数y＝A sin(ωx＋φ)（A>0，ω>0）的图象
设问2：显然，参数A，ω，φ取不同实数，我们就得到不同的函数表达式，进而函数图象就
发生变化，在这个大家庭中，有你熟悉的函数吗？
结论：函数y＝sin x．
2．制定方案，分类探讨
问题1：如何由y＝sin x的图象得到y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象？
师生活动：引导学生制定研究方案，教师板书方案．
小结：在比较讨论的基础上确定本节课的研究方案，即相对固定其中2个，仅一个变动，先分别探讨φ、A、ω对函数y＝sin(x＋φ)、y＝A sin x(A>0)、y＝sinωx(ω>0)的图象的变化规律，再综合．
【设计意图】
首先，强调面对一个问题，让学生去规划研究思路，重在引导学生思考解决问题的方法;其次，面对多变量问题，学会通过控制变量的个数将复杂问题简单化，体会从简单到复杂的研究问题的一般方法．
3．层层递进，探究结论
根据上面制定的计划，分别探讨φ、A、ω对y＝sin(x＋φ)、y＝A sin x(A>0)、y ＝sinωx(ω>0)的图象的变化规律．
问题2：如何由y＝sin x的图象得到y＝sin(x＋1)的图象？
师生活动：①让学生们说一说，几何画板作图验证，追问学生“为什么？”；②再举几个例子
如：y＝sin(x－1)，y＝sin(x＋
π
3
)；③抽象到一般．
板书：y＝sin x———————→y＝sin(x＋1) 点M (x0，y0) ———————→点N(x0－1，y0) y＝sin x———————→y＝sin(x＋φ)
向左(φ>0)或向右(φ<0)
平移|φ|个单位
向左平移1个单位
点M (x0，y0) ———————→点N(x0－φ，y0)
【设计意图】
第一，人们总是借助具体的东西来理解抽象的东西，因此结合具体的实例说，增加供归纳的样本，具体的清楚了，抽象的就不难了；第二，引导学生说明为什么？从形上说图象变换是图象上每点的位置变化，从数上讲是点的坐标变化，这里找出是纵坐标相同的两点，从横坐标的变化关系解释变换．
着重探讨清楚φ对y＝sin(x＋φ)的图象的变化规律，学生可以将探讨方法迁移到后续对A、ω的探讨中去．
问题3：(1) 如何由y＝sin x的图象得到函数y＝A sin x(A>0)的图象？
(2) 如何由y＝sin x的图象得到函数y＝sinωx(ω>0)的图象？
师生活动：让学生类比之前的方法充分探讨，然后交流．
①y＝A sin x(A＞0)的图象可以看作是把y＝sin x图象上所有点在横坐标不变的情况下纵坐标变为原来的A倍得到的．
板书：y＝sin x————————→y＝A sin x (A>0)
点M (x0，y0) ————————→点N (x0，Ay0)
②y＝sinωx(ω＞0)的图象可以看作是把y＝sin x图象上所有点在纵坐标不变的情况下横坐
标变为原来的1
ω倍得到的．
横坐标不变
纵坐标变为原来的A倍
板书： y ＝sin x ————————→ y ＝sin ωx (ω＞0)
点M (x 0，y 0) ————————→ 点N ( x 0ω，y 0)
【设计意图】
类比前面的探讨方法，请学生独立探讨A 、ω对y ＝A sin x 、y ＝sin ωx 的图象有什么影响.此处与问题2的解决有所不同，更加突出代数角度分析．
设问3：刚才我们分别探讨了φ、A 、ω对函数图象影响的变化规律，我们是怎样研究的呢？ 师生活动：（1）控制变量；（2）作图比较；（3）理性分析．
探究：如何由函数y ＝sin2x 的图象得到y ＝sin(2x ＋1)的图象呢？
师生活动：学生讨论后交流．这里是向左平移1个单位还是向左平移12
个单位？①利用几何画板画图观察，②从坐标关系理性分析． 板书： y ＝sin2x ————————→ y ＝sin(2x +1)
点M (x 0，y 0) ————————→ 点N (x 0－12
，y 0) 小结：从中发现，横向变换只对x 的变化而言，同理纵向变换仅对y 的变化而言． y ＝sin2x 的图象向左平移个单位，得到的函数图象对应的解析式是y ＝sin2(x ＋12
)，而不是y ＝sin(2x ＋12)．
【设计意图】
探讨y ＝sin(2x ＋1)的图象与y ＝sin2x 的图象的关系，不仅是对本节课探讨的深入，也为下一课时的探讨拉开序幕．“为理解而学习、教学”是建构主义的核心目标．
4．回顾总结，反思提高 纵坐标不变
横坐标变为原来的1
ω
倍
向左平移12个单位
小结：今天我们分别探讨了φ、A、ω对函数y＝sin(x＋φ)、
y＝A sin x(A>0)、y＝sinωx(ω>0)的图象的变化规律，下面
探讨什么呢？
【设计意图】
培养学生反思的习惯，确定接下来的探讨内容和方法.
布置作业：1．阅读课本（系统回顾本节课学习内容，学习规范表达）；
2．书第44页第2题．
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