招生国统一考试数学文试题陕西卷,含解析试题

2021年普通高等招生全国统一考试〔卷〕
创作人：历恰面日期：2020年1月1日
文科数学
一．选择题：在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.〔本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分〕.
1. 设集合
2
{|}
M x x x
==，{|lg0}
N x x
=≤，那么M N=〔〕
A．
[0,1]B．(0,1]C．[0,1)D．(,1]
-∞
【答案】A
考点：集合间的运算.
2. 某中学初中部一共有110名老师，高中部一共有150名老师，其性别比例如下图，那么该校女老师的人数为〔〕
A．93 B．123 C．137 D．167
（高中部）
（初中部）
男
男女
女
60%
70%
【答案】C
【解析】
试题分析：由图可知该校女老师的人数为11070%150(160%)7760137⨯+⨯-=+=
故答案选C
考点：概率与统计.
3. 抛物线
22(0)
y px p
=>的准线经过点(1,1)
-，那么抛物线焦点坐标为〔〕
A．(1,0)
-B．(1,0)C．(0,1)
-D．(0,1)
【答案】B 【解析】
试题分析：由抛物线
22(0)
y px p
=>得准线2
p
x=-
，因为准线经过点
(1,1)
-，所以2
p=，所以抛物线焦点坐标为
(1,0)，故答案选B
考点：抛物线方程.
4. 设
1,0
()
2,0
x
x x
f x
x
⎧-≥
⎪
=⎨
<
⎪⎩
，那么
((2))
f f-=〔〕
A．1-B．
1
4C．
1
2D．
3
2
【答案】C
考点：1.分段函数；2.函数求值.
5. 一个几何体的三视图如下图，那么该几何体的外表积为〔〕
A．3πB．4πC．24
π+D．34
π+
【答案】D 【解析】
试题分析：由几何体的三视图可知该几何体为圆柱的截去一半，
所以该几何体的外表积为
2112122234
2
πππ⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=+，故答案选D
考点：1.空间几何体的三视图；2.空间几何体的外表积. 6. “sin cos αα=〞是“cos 20α=〞的〔 〕
A 充分不必要条件
B 必要不充分条件
C 充分必要条件
D 既不充分也不必要 【答案】A
考点：1.恒等变换；2.命题的充分必要性.
7. 根据右边框图，当输入x 为6时，输出的y =〔 〕 A ．1 B ．2 C ．5 D ．10
【答案】D 【解析】
试题分析：该程序框图运行如下：6330x =-=>，330x =-=，0330x =-=-<，
2(3)110y =-+=，故答案选D .
考点：程序框图的识别.
8. 对任意向量,a b ，以下关系式中不恒成立的是〔 〕
A ．||||||a b a b •≤
B ．||||||||a b a b -≤-
C ．22
()||a b a b +=+
D ．22
()()a b a b a b +-=- 【答案】B
考点：1.向量的模；2.数量积.
9. 设()sin f x x x =-，那么()f x =〔 〕
A ．既是奇函数又是减函数
B ．既是奇函数又是增函数
C ．是有零点的减函数
D ．是没有零点的奇函数 【答案】B 【解析】 试
题
分
析
：
()sin ()()sin()sin (sin )()f x x x f x x x x x x x f x =-⇒-=---=-+=--=-
又()f x 的定义域为R 是关于原点对称，所以()f x 是奇函数；
()1cos 0()f x x f x '=-≥⇒是增函数.
故答案选B 考点：函数的性质.
10. 设()ln ,0f x x a b =<<
，假设p f =，(
)2a b q f +=，1
(()())2r f a f b =+，
那么以下关系式中正确的选项是〔 〕
A ．q r p =<
B ．q r p =>
C ．p r q =<
D ．p r q => 【答案】C 【解析】
试题分析
：
1
ln 2
p f ab
===；
(
)ln 22
a b a b
q f ++==；
11
(()())ln 22r f a f b ab
=+=
因为2a b +>，由()ln f x x =
是个递增函数，()2a b
f f +>
所以q p r >=，故答案选C 考点：函数单调性的应用.
11. 某企业消费甲乙两种产品均需用A ，B 两种原料，消费1吨每种产品需原料及每天原料
的可用限额表所示，假如消费1吨甲乙产品可获利润分别为3万元、4万元，那么该企业每天可获得最大利润为〔〕
甲乙原料限额
A(吨)
3212
B(吨)128
A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元
【答案】D
当直线
340
x y z
+-=过点(2,3)
A时，z获得最大值324318
z=⨯+⨯=
故答案选D
考点：线性规划.
12. 设复数
(1)
z x yi
=-+(,)
x y R
∈，假设||1
z≤，那么y x
≥的概率〔〕A．
31
42π
+
B．
11
2π
+
C．
11
42π
-
D．
11
2π
-
【答案】C
【解析】
试题分析：
2222 (1)|
|(1)1(1)1
z x yi z x y x y
=-+⇒=-+≤⇒-+≤
如图可求得
(1,1)
A,(1,0)
B，阴影面积等于
2
111
111
4242
π
π⨯-⨯⨯=-
假设
||1
z≤，那么y x
≥的概率2
1
11
42
142
π
ππ
-
=-
⨯
故答案选C
考点：1.复数的模长；2.几何概型.
填空题：把答案填写上在答题卡相应题号后的横线上〔本大题一一共5小题，每一小题5分，一共25分〕.
13、中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2021，那么该数列的首项为________ 【答案】5
考点：等差数列的性质.
14、如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y＝3sin(6
π
x＋Φ)＋k，据此函数可知，这段时间是水深(单位：m)的最大值为____________.
【答案】8 【解析】
试题分析：由图像得，当
sin()
1
6x
π
+Φ=-
时min 2
y=
，求得5
k=，
当sin()1
6
x
π
+Φ=
时，max
3158
y=⨯+=
，故答案为8.
考点：三角函数的图像和性质.
15、函数
x
y xe
=在其极值点处的切线方程为____________.
【答案】
1 y
e =-
考点：导数的几何意义.
16、观察以下等式：
1－11 22 =
1－11111 23434 +-=+
1－11111111 23456456 +-+-=++
…………
据此规律，第n 个等式可为______________________.
【答案】
111111111234212122n n n n n -+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-++ 【解析】
试题分析：观察等式知：第n 个等式的左边有2n 个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，
且分子为1，分母是1到2n 的连续正整数，等式的右边是111
122n n n ++⋅⋅⋅+
++. 故答案为
11111111
1234212122n n n n n -+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-++ 考点：归纳推理.
三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〔本大题一一共6小题，一共75分〕
17．ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c
，向量(,)m a =与(cos ,sin )n A B =平行. (I)求A
； (II)假设2a b =
=求ABC ∆的面积. 【答案】(I)
3A π
=
；(II)
试题解析：(I)因为//m n ，所以sin 3cos 0a B b A -= 由正弦定理，得sin sin 3cos 0A B B A -=， 又sin 0B ≠，从而tan 3A =
由于0A π<<
所以
3A π
=
(II)解法一：由余弦定理，得
2222cos a b c bc A =+-，而7,2a b ==，
3A π
=
，
得2
742c c =+-，即2
230c c --= 因为0c >，所以3c =，
故ABC ∆面积为133sin 2
bc A =
. 解法二：由正弦定理，得
72sin sin
B
π
=
从而
21sin B =
又由a b >知A B >，所以
27cos 7B =
故
sin
sin()sin()3C A B B π
=
+=+
321sin cos
cos sin
3
3
14B B ππ=+=
所以ABC ∆面积为133sin 2
2ab C =
. 考点：1.正弦定理和余弦定理；2.三角形的面积.
18．如图1，在直角梯形ABCD 中，
//,,2
AD BC BAD AB BC π
∠=
=1
2AD a =
=，E 是
AD 的中点，O 是OC 与BE 的交点，将ABE ∆沿BE 折起到图2中1A BE ∆的位置，得到
四棱锥
1A BCDE -.
(I)证明：CD ⊥平面1AOC ；
(II)当平面
1A BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -的体积为362，求a 的值.
【答案】(I) 证明略，详见解析；(II) 6a =.
(II)由，平面
1A BE ⊥
平面BCDE ，且平面1
A BE
平面BCDE BE = ，又由(I)知，
1
AO BE ⊥，所 以
1AO ⊥平面BCDE ，即1AO 是四棱锥1A BCDE -的高，易求得平行四边形BCDE 面积
2S BC AB a =⋅=，从而四棱锥1A BCDE -的为3
1
1236V S AO a =⨯⨯=，由3
23626a =6a =.
(II)由，平面1A BE ⊥平面BCDE ，
且平面
1A BE
平面BCDE BE =
又由(I)知，
1
AO BE ⊥，所以 1
AO ⊥平面BCDE ， 即
1AO 是四棱锥1A BCDE -的高，
由图1可知，1
22
AO AB ==，平行四边形BCDE 面积2S BC AB a =⋅=，
从而四棱锥
1A BCDE
-的为
23
1
112233V S AO a =⨯⨯=⨯=，
3=
6
a=.
考点：1.线面垂直的断定；2.面面垂直的性质定理；3.空集几何体的体积.
19.随机抽取一个年份，对该年4月份的天气情况进展统计，结果如下：
(I)在4月份任取一天，估计在该天不下雨的概率；
(II)某拟从4月份的一个晴天开场举行连续两天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率.
【答案】(I) 13
15；(II)
7
8.
【解析】
试题分析：(I)在容量为30的样本中，从表格中得，不下雨的天数是26，以频率估计概率，
4月份任选一天，不下雨的概率是2613 3015
=
.
(II)称相邻两个日期为“互邻日期对〞〔如1日与2日，2日与3日等〕这样在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16对，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的
频率为147
168
=
，以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为
7
8.
试题解析：(I)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一
天，不下雨的概率是13 15.
(II)称相邻两个日期为“互邻日期对〞〔如1日与2日，2日与3日等〕这样在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16对，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的
频率为8，
以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为
7
8.
考点：概率与统计.
20．如图，椭圆
22
22
:1(0)
x y
E a b
a b
+=>>
经过点
(0,1)
A-
2
2.
(I)求椭圆E的方程；
(II)经过点
(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点,P Q〔均异于点A〕，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.
【答案】(I)
2
21
2
x
y
+=
；(II)证明略，详见解析.
【解析】
试题分析：(I)由题意知
2
1
c
b
a
==
，由222
a b c
=+，解得2
a=，继而得椭圆的方程为
2
21
2
x
y
+=
；
(II) 设
()()
1122
,
P x y Q x y
，12
x x≠
由题设知，直线
PQ的方程为(1)1(2)
y k x k
=-+≠，代入
2
21
2
x
y
+=
，化简得
22
(12)4(1)2(2)0
k x k k x k k
+--+-=，那么1212
22
4(1)2(2)
,
1212
k k k k
x x x x
k k
--
+==
++，
由
∆>， 从而直线
AP
与
AQ
的斜率之和
12121211
1122AP AQ y y kx k kx k
k k x x x x +++-+-+=
+=+
化简得
12122(2)
AP AQ x x k k k k x x ++=+-()4(1)
222(21)22(2)k k k k k k k k -=+-=--=-.
试题解析：(I)
由题意知1c b a ==，
综合2
2
2
a b c =+
，解得a =
，
所以，椭圆的方程为2
21
2x y +=.
(II)由题设知，直线PQ 的方程为(1)1(2)y k x k =-+≠，代入2
21
2x y +=，得
22
(12)4(1)2(2)0k x k k x k k +--+-=， 由0∆>，设
()()
1122,P x y Q x y ，
120x x ≠
那么
1212
224(1)2(2)
,1212k k k k x x x x k k --+=
=++，
从而直线AP 与AQ 的斜率之和
12121211
1122AP AQ y y kx k kx k k k x x x x +++-+-+=
+=+
12
1212112(2)2(2)x x
k k k k x x x x ⎛⎫+=+-+=+- ⎪⎝⎭
()
4(1)
222(21)2
2(2)k k k k k k k k -=+-=--=-.
考点：1.椭圆的HY 方程；2.圆锥曲线的定值问题.
21. 设
2
()1,, 2.n n f x x x x n N n =+++-∈≥
(I)求
(2)
n f '；
(II)证明：()n f x 在20,3⎛⎫
⎪⎝⎭内有且仅有一个零点〔记为n a 〕，且
1120233n
n a ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭. 【答案】(I) (2)(1)21n n f n '=-+ ；(II)证明略，详见解析.
【解析】
试题分析：(I)由题设1()12n n f x x nx -'=+++，所以1(2)1222n n f n -'=+⨯++，此式
等价于数列1
{2}n n -⋅的前n 项和，由错位相减法求得(2)(1)21n n f n '=-+；
(II)因为(0)10f =-<，2
222()12120333n n f ⎛⎫⎛⎫=-⨯≥-⨯> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()n f x 在2(0,)3内
至少存在一个零点，又
1
()120n n f x x nx
-'=++
+>，所以()n f x 在2
(0,)
3内单调递增，因
此，()n f x 在2
(0,)3内有且只有一个零点n a ，由于1()11n n x f x x -=--，所以10()11n n n n n a f a a -==--，由此可得1111222n n n a a +=+>
故122
3n a <<，继而得1
11112120222333n n
n n
n a a ++⎛⎫⎛⎫
<-=<⨯=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.
试题解析：(I)由题设1()12n n f x x nx -'=+++，
所以1(2)1222n n
f n -'=+⨯++ ①
由
22(2)12222n n f n '=⨯+⨯++ ② ①-②得2
1(2)12222n n n
f n -'-=++++-
2
122(1)2112n n n n -=-⋅=---，
所以 (2)(1)21n n f n '=-+
(II)因为(0)10f =-<
2221332
22()112120
233313
n
n n f ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎝
⎭=-=-⨯≥-⨯> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
-，
所以()n f x 在2
(0,)3内至少存在一个零点， 又1()120n n
f x x nx -'=+++>
所以()n f x 在2(0,)3内单调递增，
因此，()n f x 在
2(0,)3内有且只有一个零点n a ， 由于1()1
1n
n x f x x -=--， 所以10()1
1n
n n n n
a f a a -==--
由此可得
1111
222n n n a a +=
+>
故12
2
3n a <<
所以
1
11112120222333n n
n n n a a ++⎛⎫⎛⎫
<-=<⨯=⨯ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
考点：1.错位相减法；2.零点存在性定理；3.函数与数列.
考生注意：请在22、23、24三题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题计分，答题时需要用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题是以后的方框涂黑.
22. 选修4-1：几何证明选讲
如图，AB 切O 于点B ，直线AO 交O 于,D E 两点，,BC DE ⊥垂足为C . (I)证明：CBD DBA ∠=∠
(II)假设3,2AD DC BC ==
，求O 的直径.
【答案】(I)证明略，详见解析； (II)3. 【解析】
试题分析：：(I)因为DE 是O 的直径，那么90BED EDB ∠+∠=︒，又BC DE ⊥，所以
90CBD EDB ∠+∠=︒，又AB 切O 于点B ，得DBA BED ∠=∠，所以
CBD DBA ∠=∠；
(II)由(I)知BD 平分CBA ∠，那么3
BA AD
BC CD ==，又2BC =，从而32AB =，由
222AB BC AC =+，
解得4AC =，所以3AD =，由切割线定理得2
AB AD AE =⋅，解得6AE =，故
3DE AE AD =-=，
即O 的直径为3.
试题解析：(I)因为DE 是O 的直径， 那么90BED EDB ∠+∠=︒
又BC DE ⊥，所以90CBD EDB ∠+∠=︒ 又AB 切O 于点B ， 得DBA BED ∠=∠ 所以CBD DBA ∠=∠ (II)由(I)知BD 平分CBA ∠，
那么3
BA AD
BC CD ==，
又BC =
，从而AB =，
所以4AC =
=
所以3AD =，
由切割线定理得2
AB AD AE =⋅
即2
6
AB AE AD ==，
故3DE AE AD =-=， 即O 的直径为3.
考点：1.几何证明；2.切割线定理. 23. 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标版权法xOy 吕，直线l
的参数方程为132(x t t y ⎧
=+⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩为参数〕，以原点为极点，x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C
的极坐标方程为ρθ=. (I)写出C 的直角坐标方程；
(II)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的间隔 最小时，求点P 的坐标. 【答案】
(I) (2
23
x y +-=； (II) (3,0).
【解析】
试题分析：(I)
由ρθ=
，得2sin ρθ=
，从而有
22
x y +=
，所以(2
2
3
x y +-=
(II)
设132P t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，
又C ，
那么PC ==，
故当0t =时，PC
获得最小值，此时P 点的坐标为(3,0).
试题解析：(I)
由ρθ=，
得
2
sin ρθ=，
从而有22
x y +=
所以
(2
2
3
x y +-=
(II)
设132P t ⎛⎫+ ⎪
⎝⎭
，又C ，
那么PC ==，
故当0t =时，PC
获得最小值，
此时P 点的坐标为(3,0).
考点：1. 坐标系与参数方程；2.点与圆的位置关系. 24. 选修4-5：不等式选讲 关于x 的不等式
x a b
+<的解集为{|24}x x <<
(I)务实数,a b 的值；
(II)
+的最大值. 【答案】(I) 3,1a b =-=；(II)4. 【解析】
试题分析：(I)由x a b +<，得b a x b a --<<-，由题意得2
4b a b a --=⎧⎨-=⎩
，解得
3,1a b =-=；
(II)
柯
西
不
等
式
得
+=
+≤
4==，
创 作人： 历恰面 日 期： 2020年1月1日 创 作人： 历恰面 日 期： 2020年1月1日
=1t =
时等号成立，故min 4+=. 试题解析：(I)由x a b +<，得b a x b a --<<-
那么24b a b a --=⎧⎨-=⎩
，解得3, 1.a b =-=
+=
≤
4==
=1t =时等号成立，
故
min 4+= 考点：1.绝对值不等式；2.柯西不等式.。