2020-2021学年安徽省阜阳市第十五中学高二数学理测试题含解析

2020-2021学年安徽省阜阳市第十五中学高二数学理测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在中，若，则A等于（）
A．或 B．或 C．或 D．或
参考答案：
D
2. 已知函数为奇函数，且当时，则当时，的解析式为A．B．
C．D．
参考答案：
B
略
3. 观察数列2，5，11，20，，47…中的等于
A.28
B.32
C.33
D.27
参考答案：
B
略
4. 在极坐标系中，过点（1,0）并且与极轴垂直的直线方程是（）
A． B. C. D.
参考答案：
C
5. 函数的单调递增区间是( )
A．B．
C．D．
参考答案：
B
考点：复合三角函数的单调性．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：本题即求函数y=sin（2x﹣）的减区间，令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得x 的范围，可得所求．
解答：解：由于函数=﹣sin（2x﹣），故函数的单调递增区间，
即函数y=sin（2x﹣）的减区间．
令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得kπ+≤x≤kπ+，
故所求的函数的单调递增区间是，
故选B．
点评：本题主要考查复合三角函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于中档题．
6. 在正项等比数列{a n}中，a1和a19为方程x2﹣10x+16=0的两根，则a8?a10?a12等于（）
A．16 B．32 C．64 D．256
参考答案：
C
【考点】等比数列的性质．
【分析】由a1和a19为方程x2﹣10x+16=0的两根，根据韦达定理即可求出a1和a19的积，而根据等比数
列的性质得到a1和a19的积等于a102，由数列为正项数列得到a10的值，然后把所求的式子也利用等比数列的性质化简为关于a10的式子，把a10的值代入即可求出值．
【解答】解：因为a1和a19为方程x2﹣10x+16=0的两根，
所以a1?a19=a102=16，又此等比数列为正项数列，
解得：a10=4，
则a8?a10?a12=（a8?a12）?a10=a103=43=64．
故选C
7. 设抛物线y2=4x的焦点为F，过点M（﹣1，0）的直线在第一象限交抛物线于A、B，使，则直线AB的斜率k=（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】直线与圆锥曲线的关系．
【分析】由题意可得直线AB的方程 y﹣0=k （x+1），k＞0，代入抛物线y2=4x化简求得x1+x2和
x1?x2，进而得到y1+y2和y1?y2，由，解方程求得k的值．
【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），直线AB的方程 y﹣0=k （x+1），k＞0．
代入抛物线y2=4x化简可得 k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0，
∴x1+x2=，x1?x2=1．
∴y1+y2=k（x1+1）+k（x2+1）=+2k=，
y1?y2=k2（x1+x2+x1?x2+1）=4．
又=（x1﹣1，y1）?（x2﹣1，y2）=x1?x2﹣（x1+x2）+1+y1?y2=8﹣，
∴k=，
故选：B．
8. 下列四个图中，哪个可能是函数的图象（）A．B．C．
D．
参考答案：
C
【考点】3O：函数的图象．
【分析】根据的图象由奇函数左移一个单位而得，结合对称性特点判断．【解答】解：∵是奇函数，向左平移一个单位得，
∴图象关于（﹣1，0）中心对称，故排除A、D，
当x＜﹣2时，y＜0恒成立，排除B．
故选：C
9. 阅读下图所示的程序框图，当输入的值为3时，输出的结果是( )
A．3 B．8 C．12 D．20
参考答案：
B
10. 设随机变量X等可能地取值1,2,3，…，10.又设随机变量Y＝2X－1，则P(Y<6)的值为( ) A．0.3 B．0.5 C．0.1 D．0.2参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+ y2 = 16相切，则p的值为 .
参考答案：
2
略
12. 已知，则__________．
参考答案：
24
分析：由题意根据，利用二项展开式的通项公式，求得a2的值．
详解：由题意根据，.
即答案为24 .
点睛：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
13. 马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布律如下表
请小牛同学计算的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同。

据此，小牛给出了正确答案
参考答案：
2
14. 已知等比数列{a n}中，a1＋a2=9，a1·a2·a3=27，则{a n}的前n项和S n=________.
参考答案：
解：等比数列{a n}中，由a1·a2·a3=27，得a2=3，又a1＋a2=9，所以a1=6，
公比，所以.
15. 六个人排成一排，丙在甲乙两个人中间（不一定相邻）的排法有__________种.
参考答案：
240
略
16. 已知命题:“?x∈[1,2],使x2+2x-a≥0”为真命题,则a的取值范围是
参考答案：
a≤8
略
17. 由曲线，y=e x，直线x=1所围成的区域的面积为．
参考答案：
e﹣ln2﹣1
【考点】定积分在求面积中的应用．
【分析】作出两个曲线的图象，求出它们的交点，由此可得所求面积为函数y=e x﹣在区间[0，1]
上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．
【解答】解：∵曲线，y=e x，直线x=1交点为（0，1）、（1，e）和（1，）
∴曲线，y=e x，直线x=1所围图形的面积为
S==
=﹣=e﹣ln2﹣1
故答案为：e﹣ln2﹣1
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 数列{a n}的前n项为S n，S n=2a n﹣3n（n∈N*）．
（1）证明：数列{a n+3}是等比数列；
（2）求数列{a n}的通项公式a n．
参考答案：
（1）证明：由S n=2a n﹣3n，得S n﹣1=2a n﹣1﹣3（n﹣1）（n≥2），
则有a n=2a n﹣2a n﹣1﹣3a n+3=2（a n﹣1+3）（n≥2），
∵a1=S1=2a1﹣3，∴a1=3，
∴a1+3=6≠0，
由此可得a2+3=12≠0，以此类推a n+3≠0，
∴，
∴数列{a n+3}是以6为首项，2为公比的等比数列．…（6分）
（2）解：∵a1=S1=2a1﹣3，∴a1=3．
由（1）知，∴．…（12分）
考点：数列递推式；等比关系的确定．
专题：综合题；点列、递归数列与数学归纳法．
分析：（1）证明数列{a n+3}是等比数列，利用等比数列的定义，证明即可；（2）根据数列{a n+3}是以6为首项，2为公比的等比数列，可求求数列{a n}的通项公式．
解答：（1）证明：由S n=2a n﹣3n，得S n﹣1=2a n﹣1﹣3（n﹣1）（n≥2），
则有a n=2a n﹣2a n﹣1﹣3a n+3=2（a n﹣1+3）（n≥2），
∵a1=S1=2a1﹣3，∴a1=3，
∴a1+3=6≠0，由此可得a2+3=12≠0，以此类推a n+3≠0，
∴，
∴数列{a n+3}是以6为首项，2为公比的等比数列．…（6分）
（2）解：∵a1=S1=2a1﹣3，∴a1=3．
由（1）知，∴．…（12分）
点评：证明数列是等比数列，定义是根本，求数列的通项，正确运用等比数列的通项是关键．19. 已知圆,坐标原点为.圆上任意一点在轴上的射影为点，已知向量
.
(1) 求动点的轨迹的方程；
(2) 当时，过点S (0，－)的动直线l交轨迹于A，B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以为直径的圆恒过点?若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：
解（1）设,,
又在圆上轨迹的方程为即
（2）当时，轨迹的方程为
（ⅰ）当与轴平行时，以AB为直径的圆的方程为
（ⅱ）当与轴平行时，以AB为直径的圆的方程为
略
20. 某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为3000平方米，其中场地四周（阴影部分）为通道，通道宽度均为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为平方米.
（1）分别写出用表示和用表示的函数关系式（写出函数定义域）；
（2）怎样设计能使取得最大值，最大值为多少？
参考答案：
解：（Ⅰ）由已知=3000 , ，则
·=
(Ⅱ)=3030-2×300=2430
当且仅当,即时，“”成立，此时 .
即设计x=50米，y=60米时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米.
略
21. （本小题12分）已知命题：对任意实数都有恒成立；
：关于的方程有实数根；如果为假命题，求实数的取值范围．参考答案：
对任意实数都有恒成立；（3分）
关于的方程有实数根（6分）
由已知P为真命题，为假命题（9分），
所以（11分）
所以实数的取值范围为．（12分）
22. 已知函数，．
（Ⅰ）若在(0,+∞)内单调递减，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若函数有两个极值点分别为，，证明：．
参考答案：
（Ⅰ）（Ⅱ）见证明
【分析】
（I）先求得函数的导数，根据函数在上的单调性列不等式，分离常数后利用构造函数法求
得的取值范围.（II）将极值点代入导函数列方程组，将所要证明的不等式转化为证明
，利用构造函数法证得上述不等式成立.
【详解】（I）．
∴在内单调递减，
∴在内恒成立，
即在内恒成立．
令，则，
∴当时，，即在内为增函数；
当时，，即在内为减函数．
∴的最大值为，
∴
（Ⅱ）若函数有两个极值点分别为，，
则在内有两根，，
由（I），知．
由，两式相减，得．
不妨设，∴要证明，只需证明．
即证明，亦即证明．
令函数．
∴，即函数在内单调递减．
∴时，有，∴．
即不等式成立．
综上，得．
【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数，考查利用导数研究函数极值点问题，考查利用导数证明不等式，考查利用构造函数法证明不等式，难度较大，属于难题.。