7.2金属半导体接触整流理论(雨课堂课件)
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下面讨论镜象力和隧道效应 的影响：主要考虑对势垒高 度的影响(因为是热电子发射 理论。)
三、理论模型的校正（略)
⑴ 镜象力的影响
镜象电荷、镜象力概念：在金属-真空系统中，一个在金属外 面的电子，要在金属表面感应出正电荷，同时电子要受到正电 荷的吸引。若电子距离金属表面的距离为x，则它与感应正电荷 之间的吸引力，相当于该电子与位于-x处的等量正电荷之间的 吸引力，如图7-14所示。这个正电荷称为镜像电荷，这个吸引 力称为镜像力，它应为
二、定量得出阻挡层伏-安特性表达式 1、扩散理论(续)
将 V xd n V 和 ns n VD
代入（7-13）V x
qN D
r0
xxd
1 2
x2
ns
得到
xd
2 0 r VS 0
qN D
V
1
2
xd
V 0
2
0r Vs
qND
0
1
2
下页推导 (7-14) (7-15)
qV x
k0T
dx
qDn
n
x
exp
qV x
k0T
xd 0
二、定量得出阻挡层伏-安特性表达式 1、扩散理论(续)
得到：
J
xd 0
exp
qV x
k0T
dx
qDn
n0
exp
q
ns Vs
k0T
0
exp
qV k0T
1
(7-22)
其中用到： 下页推导
Wm >Ws n 型半导体
下面计算通过势垒的电流：必须同时考虑漂移和扩散运动
J
q
n
x
n
Ex
Dn
dn x
dx
因此要知道电场强度分布，又
E x dV
dx
所以要知道势垒区的电势分布，下面讨论这些问题：
推导过程略，直接到22页，（7-26）式
二、定量得出阻挡层伏-安特性表达式 1、扩散理论(续)
r0
xxd
1 2
x2
ns
(7-13)
当势垒高度-q [ (Vs)0+V] >> k0T时，被积函数exp[-qV(x)/k0T]
随x增大而急剧减小。因此，积分主要取决于x=0附近的电势值。
这时，xxd>>x2/2，略去式(7-13)中的x2项，近似有
二、定量得出阻挡层伏-安特性表达式 1、扩散理论(续)
xd是V的函数。这种宽度（厚度）依赖于外加电压的势垒叫 肖特基势垒。
二、定量得出阻挡层伏-安特性表达式 1、扩散理论(续)
⑶ 电流密度（推导过程略讲解）
J
q
n
x
n
Ex
Dn
dn x
dx
qn x dV x dn x
qDn
k0T
dx
dx
(7-16)
其中利用了爱因斯坦关系
Dn
n
k0T q
ns n VD
二、定量得出阻挡层伏-安特性表达式 1、扩散理论(续)
计算(7-22)左边的积分
J
xd 0
exp
qV x
k0T
dx
qDn n0
exp
q
ns Vs
k0T
0
exp
qV k0T
1
用耗尽层近似，V(x)由(7-13)表示。即
(7-22)
Vx
qN D
q2
q2
f
4 0 2x2
16 0 x2
-x
x
(7-40)
三、理论模型的校正（略)
把电子从x点移到无穷远处，电场力所做的功是：
Ge、Si、GaAs都有较高的载流子迁移率，即有较大的平均自
由程，因而在室温下，这些半导体材料的肖特基势垒中的电流
输运机构主要是多数载流子的热电子发射。
三、理论模型的校正（略)
图7-13是锗检波器的反向特性与热电子发射理论的比较。实际
的反向电流比理想情况大得多，另外，理论得出的反向电流JST
与电压无关，但实际的反向电流随电压增加而增加。理论不能 精确描述性能，必须加以修正。
么变化？例如，外加电压V 于金属，由于阻挡层是一个高阻区
域，因此电压主要降落在阻挡层上。原来半导体表面和内部之
间的电势差，即表面势是(Vs)0，现在应为[(Vs)0+V ]，因而，
电子的势垒高度是
-q[(Vs)0+V]
(7-10)
V 与原来表面势符号相同时，阻挡层势垒将提高，否则势垒将 下降。对于n 型阻挡层，(Vs)0 < 0。
载流子浓度不均匀。因此，计算通过势垒的电流时，必须同时
考虑漂移和扩散运动；3) 势垒区近似为耗尽层，载流子浓度极
为稀少，它们对空间电荷的贡献可以忽略；杂质全部电离，空
间电荷完全由电离杂质的电荷形成。4) 半导体是均匀掺杂的，
那么耗尽层中的电荷密度也是均匀的，且等于qND 。
+++++
V
金属
++阻++ 挡++ 层++ ++ +++++ ++(V++s)++0<++ ++0
2qND
r0
Vs
0
V
12
exp
qVD k0T
exp
qV k0T
1
q2 Dn Nc k0T
2qN D
r0
Vs
0
1 2 V
exp
qns
k0T
exp
qV k0T
1
J SD
exp
qV k0T
1
7 26
其中
J SD
q2 Dn Nc k0T
qV k0T
1
J sT
exp
qV k0T
1
(7-38)
二、定量得出阻挡层伏-安特性表达式 2、热电子发射理论(续)
J ST
AT
2
exp
qns
k0T
(7-39)
A* 4 qmn*k02
h3
有效理查逊常数
J-V特性与扩散理论所得到的结果(7-26)式形式上一样，不同
的是JST与外加电压无关，却依赖于温度。
《固体间电接触的理论》和《金属间以及金属和半导体间的接触》，均发表在 1942年的《物理学评论》上。范绪筠在这两篇文章里，定性和定量地讨论了金属 和半导体的不同特性，特别是半导体中传导电子的密度可能会出现偏离正常值相当 大的现象，对固体电子学的发展，尤其是第二次世界大战以后的半导体广泛应用起 了十分重要的作用。
Ex
dV x
dx
qND
r0
x
xd
(7-12)
Vx
qN D
r0
xxd
1 2
x2
ns
(7-13)
二、定量得出阻挡层伏-安特性表达式 1、扩散理论(续) ⑵ 势垒宽度xd
加电压 于金属
V xd n V
xd处的电子的电势能为
qn V
所以，电势为
qn V q n V
根据
ns n VD
V<0，电子由金属流向半导体。由于金属一边的势垒高度较 高，所以反向电流很小；另外，金属一边的势垒高度不随电压 变化，从金属到半导体的电子流恒定。
以上的讨论定性地说明了阻挡层具有类似p-n结的伏-安特性 即有整流作用。
二、定量得出阻挡层伏-安特性表达式
1、扩散理论
理论模型：1) 厚阻挡层；2) 势垒区中存在电场，有电势变化，
一、以n型阻挡层为例定性说明阻挡层的整流特性
V<0时，反向电压，金属接负，半 导体一边势垒增加，无统一Ferni能 级，金属一边的电子流向半导体， 形成反向电流。
n型阻挡层的整流特性 V>0，电压增加，势垒下降，正向电流越大。正向电流是由n 型半导体中多数载流子构成的。
一、以n型阻挡层为例定性说明阻挡层的整流特性
V x
qND xd
r0
x ns
将式(7-23)代入(7-22)左边的积分式，得到
(7-23)
xd 0
exp
qV x
k0T
dx
k0T r 0
q2 ND xd
exp
qns
k0T
1
exp
q2 ND xd2
k0T r 0
(7-24) 由于-q [ (Vs)0+V]>>k0T，所以，根据(7-14)，
物理学 家 。 1912 年 7 月 15 日 生 于 江 苏 省 上海县 （ 今 上海市 ） 。 1932年毕业于哈尔滨工业学校，同年赴美。1934年在麻省理工学 院获硕士学位，1937年于该校获科学博士学位。同年回国，在清 华大学无线电研究所从事研究。
范绪筠
【上世纪50年代】当时最引人注意的半导体是锗和硅，范绪筠用 实验证明锗和硅有吸收限，用光的性质来证明半导体有禁带。
二、定量得出阻挡层伏-安特性表达式 2、热电子发射理论
几个假定：n 型阻挡层；并假定势垒高度-q(Vs)0>>k0T，因而
半导体内越过势垒到达金属的电子数只占半导体总电子数很少一 部分，故半导体内的电子浓度可以视为常数；非简并半导体。
J
J sm
Jms
A*T 2
exp
qns
k0T
exp
+++++
V
金属
++阻++ 挡++ 层++ ++ +++++ ++(V++s)++0<++ ++0
Wm >Ws n 型半导体
一、以n型阻挡层为例定性说明阻挡层的整流特性
图7-10，外加电压对n 型阻挡层的影响
V=0时，平衡阻挡层。金属、半导
体有统一Fermi能级，无净电流。
V>0时，即正向电压，金属接正， 半导体一边势垒降低，无统一 Fermi能级，半导体中有电子(多子) 流向金属，形成正向电流。
qV x
k0T
7 17
二、定量得出阻挡层伏-安特性表达式 1、扩散理论(续)
(7-17)式，从x=0到x=xd对上式积分，得到
J
xd 0
exp
qV x
k0T
dx
qDn
n
x
exp
qV x
k0T
xd 0
确定(7-18)右边的值，要用到
(7-18)
V
xd
qND
2 r 0
xd2
ns (由7 13获得)
n
V
n xd
n0
Nc
exp
qn
k0T
(7-19)
二、定量得出阻挡层伏-安特性表达式 1、扩散理论(续)
V 0 ns
n
0
n0
exp
q
Vs
0
k0T
(7-20) (7-21)
将(7-19)、(7-20)及(7-21)代
入(7-18)，即
J
xd 0
exp
1
xd
20r
VS
0
qN D
V
2
二、定量得出阻挡层伏-安特性表达式 1、扩散理论(续)
exp
q2 ND xd2
k0T r 0
exp
2q
Vs
0
k0T
V
1
式(7-24)近似为
xd 0
exp Biblioteka qV xk0Tdx
k0T r 0
q2 ND xd
exp
qns
k0T
讨论：
J
J SD
exp
qV k0T
1
V>0,
qV>>k0T时，J
J SD
exp
qV k0T
V<0, |qV|>>k0T时，J J SD
7 26
JSD随电压变化，并不饱和。如图7-12
对于氧化亚铜这样的半导体，载流子迁移率较小，即平均自由程 较短，扩散理论是适用的。
二、定量得出阻挡层伏-安特性表达式 2、热电子发射理论 2、热电子发射理论 推导过程（略）： 模型：① 阻挡层很薄，扩散理论不适用。② 电子在势垒区的碰 撞可以忽略，起决定作用的是势垒高度，而不是势垒宽度。③ 半导体内部的电子只要有足够高的能量超越势垒的顶点，就可以 自由通过阻挡层进入金属。同样，金属中能超过势垒顶点的电子 也能到达半导体的体内，所以电流计算归结于计算超越势垒的载 流子数目。这就是热电子发射理论。
1
把式(7-25)及xd
20 r
VS
0
qN D
V
2
代入(7-22)
(7-25)
J
xd 0
exp
qV x
k0T
dx
qDn n0
exp
q
ns Vs
k0T
0
exp
qV k0T
1
二、定量得出阻挡层伏-安特性表达式 1、扩散理论(续)
最后得到电流密度
J
q2 Dn n0 k0T
以及
E x dV
dx
用因子 exp qV x k0T 遍乘(7-16)的两边，得到
二、定量得出阻挡层伏-安特性表达式 1、扩散理论(续)
J
exp
qV x
k0T
qDn
n
x
d dx
exp
qV x
k0T
exp
qV x
k0T
dn x
dx
qDn
d dx
n
x exp
§7.2 金属半导体接触整流理论
一、以n 型阻挡层为例定性说明阻挡层的整流特性
二、定量得出阻挡层伏-安特性表达式 1、扩散理论 2、热电子发射理论 三、理论模型的校正：镜像力与隧道效应。讨论反向偏压 时，理论与实验得出的电流之间的偏差。 四、肖特基势垒二极管
在紧密接触的金属和半导体之间加上电压时，阻挡层将发生什
泊松方程是：
d 2V dx2
qN D
r0
0
0 x xd
x
xd
(7-11)
⑴ 电场强度和电势
利用边界条件
E
xd
dV dx
x xd
0
和 V 0 ns
由(7-11)得出
把金属费米
能级(EF)m除 以-q 选作电
势的零点， 则有
V 0 ns
图7-11 : n型半 导体中的耗尽层
二、定量得出阻挡层伏-安特性表达式 1、扩散理论(续)
2qND
r0
Vs
0
12
V
exp
qns
k0T
1
2qND
r0
VD
V
2
exp
qVD k0T
（7-27）
说明：推导中用到
ns
n
VD
,
Vs
0
VD , n0
Nc
exp
qn
k0T
qn0 n0
三、理论模型的校正（略)
⑴ 镜象力的影响
镜象电荷、镜象力概念：在金属-真空系统中，一个在金属外 面的电子，要在金属表面感应出正电荷，同时电子要受到正电 荷的吸引。若电子距离金属表面的距离为x，则它与感应正电荷 之间的吸引力，相当于该电子与位于-x处的等量正电荷之间的 吸引力，如图7-14所示。这个正电荷称为镜像电荷，这个吸引 力称为镜像力，它应为
二、定量得出阻挡层伏-安特性表达式 1、扩散理论(续)
将 V xd n V 和 ns n VD
代入（7-13）V x
qN D
r0
xxd
1 2
x2
ns
得到
xd
2 0 r VS 0
qN D
V
1
2
xd
V 0
2
0r Vs
qND
0
1
2
下页推导 (7-14) (7-15)
qV x
k0T
dx
qDn
n
x
exp
qV x
k0T
xd 0
二、定量得出阻挡层伏-安特性表达式 1、扩散理论(续)
得到：
J
xd 0
exp
qV x
k0T
dx
qDn
n0
exp
q
ns Vs
k0T
0
exp
qV k0T
1
(7-22)
其中用到： 下页推导
Wm >Ws n 型半导体
下面计算通过势垒的电流：必须同时考虑漂移和扩散运动
J
q
n
x
n
Ex
Dn
dn x
dx
因此要知道电场强度分布，又
E x dV
dx
所以要知道势垒区的电势分布，下面讨论这些问题：
推导过程略，直接到22页，（7-26）式
二、定量得出阻挡层伏-安特性表达式 1、扩散理论(续)
r0
xxd
1 2
x2
ns
(7-13)
当势垒高度-q [ (Vs)0+V] >> k0T时，被积函数exp[-qV(x)/k0T]
随x增大而急剧减小。因此，积分主要取决于x=0附近的电势值。
这时，xxd>>x2/2，略去式(7-13)中的x2项，近似有
二、定量得出阻挡层伏-安特性表达式 1、扩散理论(续)
xd是V的函数。这种宽度（厚度）依赖于外加电压的势垒叫 肖特基势垒。
二、定量得出阻挡层伏-安特性表达式 1、扩散理论(续)
⑶ 电流密度（推导过程略讲解）
J
q
n
x
n
Ex
Dn
dn x
dx
qn x dV x dn x
qDn
k0T
dx
dx
(7-16)
其中利用了爱因斯坦关系
Dn
n
k0T q
ns n VD
二、定量得出阻挡层伏-安特性表达式 1、扩散理论(续)
计算(7-22)左边的积分
J
xd 0
exp
qV x
k0T
dx
qDn n0
exp
q
ns Vs
k0T
0
exp
qV k0T
1
用耗尽层近似，V(x)由(7-13)表示。即
(7-22)
Vx
qN D
q2
q2
f
4 0 2x2
16 0 x2
-x
x
(7-40)
三、理论模型的校正（略)
把电子从x点移到无穷远处，电场力所做的功是：
Ge、Si、GaAs都有较高的载流子迁移率，即有较大的平均自
由程，因而在室温下，这些半导体材料的肖特基势垒中的电流
输运机构主要是多数载流子的热电子发射。
三、理论模型的校正（略)
图7-13是锗检波器的反向特性与热电子发射理论的比较。实际
的反向电流比理想情况大得多，另外，理论得出的反向电流JST
与电压无关，但实际的反向电流随电压增加而增加。理论不能 精确描述性能，必须加以修正。
么变化？例如，外加电压V 于金属，由于阻挡层是一个高阻区
域，因此电压主要降落在阻挡层上。原来半导体表面和内部之
间的电势差，即表面势是(Vs)0，现在应为[(Vs)0+V ]，因而，
电子的势垒高度是
-q[(Vs)0+V]
(7-10)
V 与原来表面势符号相同时，阻挡层势垒将提高，否则势垒将 下降。对于n 型阻挡层，(Vs)0 < 0。
载流子浓度不均匀。因此，计算通过势垒的电流时，必须同时
考虑漂移和扩散运动；3) 势垒区近似为耗尽层，载流子浓度极
为稀少，它们对空间电荷的贡献可以忽略；杂质全部电离，空
间电荷完全由电离杂质的电荷形成。4) 半导体是均匀掺杂的，
那么耗尽层中的电荷密度也是均匀的，且等于qND 。
+++++
V
金属
++阻++ 挡++ 层++ ++ +++++ ++(V++s)++0<++ ++0
2qND
r0
Vs
0
V
12
exp
qVD k0T
exp
qV k0T
1
q2 Dn Nc k0T
2qN D
r0
Vs
0
1 2 V
exp
qns
k0T
exp
qV k0T
1
J SD
exp
qV k0T
1
7 26
其中
J SD
q2 Dn Nc k0T
qV k0T
1
J sT
exp
qV k0T
1
(7-38)
二、定量得出阻挡层伏-安特性表达式 2、热电子发射理论(续)
J ST
AT
2
exp
qns
k0T
(7-39)
A* 4 qmn*k02
h3
有效理查逊常数
J-V特性与扩散理论所得到的结果(7-26)式形式上一样，不同
的是JST与外加电压无关，却依赖于温度。
《固体间电接触的理论》和《金属间以及金属和半导体间的接触》，均发表在 1942年的《物理学评论》上。范绪筠在这两篇文章里，定性和定量地讨论了金属 和半导体的不同特性，特别是半导体中传导电子的密度可能会出现偏离正常值相当 大的现象，对固体电子学的发展，尤其是第二次世界大战以后的半导体广泛应用起 了十分重要的作用。
Ex
dV x
dx
qND
r0
x
xd
(7-12)
Vx
qN D
r0
xxd
1 2
x2
ns
(7-13)
二、定量得出阻挡层伏-安特性表达式 1、扩散理论(续) ⑵ 势垒宽度xd
加电压 于金属
V xd n V
xd处的电子的电势能为
qn V
所以，电势为
qn V q n V
根据
ns n VD
V<0，电子由金属流向半导体。由于金属一边的势垒高度较 高，所以反向电流很小；另外，金属一边的势垒高度不随电压 变化，从金属到半导体的电子流恒定。
以上的讨论定性地说明了阻挡层具有类似p-n结的伏-安特性 即有整流作用。
二、定量得出阻挡层伏-安特性表达式
1、扩散理论
理论模型：1) 厚阻挡层；2) 势垒区中存在电场，有电势变化，
一、以n型阻挡层为例定性说明阻挡层的整流特性
V<0时，反向电压，金属接负，半 导体一边势垒增加，无统一Ferni能 级，金属一边的电子流向半导体， 形成反向电流。
n型阻挡层的整流特性 V>0，电压增加，势垒下降，正向电流越大。正向电流是由n 型半导体中多数载流子构成的。
一、以n型阻挡层为例定性说明阻挡层的整流特性
V x
qND xd
r0
x ns
将式(7-23)代入(7-22)左边的积分式，得到
(7-23)
xd 0
exp
qV x
k0T
dx
k0T r 0
q2 ND xd
exp
qns
k0T
1
exp
q2 ND xd2
k0T r 0
(7-24) 由于-q [ (Vs)0+V]>>k0T，所以，根据(7-14)，
物理学 家 。 1912 年 7 月 15 日 生 于 江 苏 省 上海县 （ 今 上海市 ） 。 1932年毕业于哈尔滨工业学校，同年赴美。1934年在麻省理工学 院获硕士学位，1937年于该校获科学博士学位。同年回国，在清 华大学无线电研究所从事研究。
范绪筠
【上世纪50年代】当时最引人注意的半导体是锗和硅，范绪筠用 实验证明锗和硅有吸收限，用光的性质来证明半导体有禁带。
二、定量得出阻挡层伏-安特性表达式 2、热电子发射理论
几个假定：n 型阻挡层；并假定势垒高度-q(Vs)0>>k0T，因而
半导体内越过势垒到达金属的电子数只占半导体总电子数很少一 部分，故半导体内的电子浓度可以视为常数；非简并半导体。
J
J sm
Jms
A*T 2
exp
qns
k0T
exp
+++++
V
金属
++阻++ 挡++ 层++ ++ +++++ ++(V++s)++0<++ ++0
Wm >Ws n 型半导体
一、以n型阻挡层为例定性说明阻挡层的整流特性
图7-10，外加电压对n 型阻挡层的影响
V=0时，平衡阻挡层。金属、半导
体有统一Fermi能级，无净电流。
V>0时，即正向电压，金属接正， 半导体一边势垒降低，无统一 Fermi能级，半导体中有电子(多子) 流向金属，形成正向电流。
qV x
k0T
7 17
二、定量得出阻挡层伏-安特性表达式 1、扩散理论(续)
(7-17)式，从x=0到x=xd对上式积分，得到
J
xd 0
exp
qV x
k0T
dx
qDn
n
x
exp
qV x
k0T
xd 0
确定(7-18)右边的值，要用到
(7-18)
V
xd
qND
2 r 0
xd2
ns (由7 13获得)
n
V
n xd
n0
Nc
exp
qn
k0T
(7-19)
二、定量得出阻挡层伏-安特性表达式 1、扩散理论(续)
V 0 ns
n
0
n0
exp
q
Vs
0
k0T
(7-20) (7-21)
将(7-19)、(7-20)及(7-21)代
入(7-18)，即
J
xd 0
exp
1
xd
20r
VS
0
qN D
V
2
二、定量得出阻挡层伏-安特性表达式 1、扩散理论(续)
exp
q2 ND xd2
k0T r 0
exp
2q
Vs
0
k0T
V
1
式(7-24)近似为
xd 0
exp Biblioteka qV xk0Tdx
k0T r 0
q2 ND xd
exp
qns
k0T
讨论：
J
J SD
exp
qV k0T
1
V>0,
qV>>k0T时，J
J SD
exp
qV k0T
V<0, |qV|>>k0T时，J J SD
7 26
JSD随电压变化，并不饱和。如图7-12
对于氧化亚铜这样的半导体，载流子迁移率较小，即平均自由程 较短，扩散理论是适用的。
二、定量得出阻挡层伏-安特性表达式 2、热电子发射理论 2、热电子发射理论 推导过程（略）： 模型：① 阻挡层很薄，扩散理论不适用。② 电子在势垒区的碰 撞可以忽略，起决定作用的是势垒高度，而不是势垒宽度。③ 半导体内部的电子只要有足够高的能量超越势垒的顶点，就可以 自由通过阻挡层进入金属。同样，金属中能超过势垒顶点的电子 也能到达半导体的体内，所以电流计算归结于计算超越势垒的载 流子数目。这就是热电子发射理论。
1
把式(7-25)及xd
20 r
VS
0
qN D
V
2
代入(7-22)
(7-25)
J
xd 0
exp
qV x
k0T
dx
qDn n0
exp
q
ns Vs
k0T
0
exp
qV k0T
1
二、定量得出阻挡层伏-安特性表达式 1、扩散理论(续)
最后得到电流密度
J
q2 Dn n0 k0T
以及
E x dV
dx
用因子 exp qV x k0T 遍乘(7-16)的两边，得到
二、定量得出阻挡层伏-安特性表达式 1、扩散理论(续)
J
exp
qV x
k0T
qDn
n
x
d dx
exp
qV x
k0T
exp
qV x
k0T
dn x
dx
qDn
d dx
n
x exp
§7.2 金属半导体接触整流理论
一、以n 型阻挡层为例定性说明阻挡层的整流特性
二、定量得出阻挡层伏-安特性表达式 1、扩散理论 2、热电子发射理论 三、理论模型的校正：镜像力与隧道效应。讨论反向偏压 时，理论与实验得出的电流之间的偏差。 四、肖特基势垒二极管
在紧密接触的金属和半导体之间加上电压时，阻挡层将发生什
泊松方程是：
d 2V dx2
qN D
r0
0
0 x xd
x
xd
(7-11)
⑴ 电场强度和电势
利用边界条件
E
xd
dV dx
x xd
0
和 V 0 ns
由(7-11)得出
把金属费米
能级(EF)m除 以-q 选作电
势的零点， 则有
V 0 ns
图7-11 : n型半 导体中的耗尽层
二、定量得出阻挡层伏-安特性表达式 1、扩散理论(续)
2qND
r0
Vs
0
12
V
exp
qns
k0T
1
2qND
r0
VD
V
2
exp
qVD k0T
（7-27）
说明：推导中用到
ns
n
VD
,
Vs
0
VD , n0
Nc
exp
qn
k0T
qn0 n0