复变函数幂级数

▪级数的最前面n项的和 n sn (z)f1(z)f2(z) fn (z) fk(z) k 1 ---级数的部分和
▪ 若z0D ln im sn(z0)s(z0),称级(1数 )在z0收敛 ,
其和s为 (z0), ln im sn(z0)不存在，称 (1)发 级散 数。
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13
若级数(1)在D内处处收敛，其和为z的函数 s ( z ) f 1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z ) ＋ ---级数(1)的和函数
n1
n1
n1
证明 sn n k n (ak ibk) n ak i n bk nin
k1
k1
k1
k1
由定理ln１ im s， n aibln im n a,ln im n b
an和bn都收敛。
n1
n1
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7
由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为 两个实数项级数的收敛问题。
性质 级 数 n收 敛 的 必 要 :条ln im 件n 0.
i1
▪若
部
分
和
数
列{
sn
收 }
敛－级数n称为收敛
n1
ln imsn s称 为 级 数 的
和
不收敛 －级数 n称为发散
n1
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6
例2
判别
3i的 敛 散 性 。
n1 2n
解 snk n 12 3 k i3 i(1 2 1 n)又 ,ln ism n3 i
级数收 ,且敛 和3i为 .
定理2 级 数 n收敛 an和 bn都收敛。
展开
1 1g(z)[g(z)2] [g(z)n ],g(z)1 1g(z)
1b z a ab z a a2 b z a an,zabaR
还原
1
11
11
zbba1g(z)ba(ba)2(za)
(b1a)3(za)2(b1a)n1(za)nzaR
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29
分析运算
定理4 设cnznf(z) zR n0
取 M ma ,cx 0,c1z0,c2z0 2, ,cN z0 N
故 cnz0 nM ,n0 ,1 ,2 ,
若zz0,
则z q1 z0
cnzn cnz0n
n
z Mqn, z0
由于 Mqn收敛,由 比 较 判 别 cnz法 n 收 得敛 ,
n0
n0
cnzn绝对收敛。
n0
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16
(2)用反证法，设z1,当z1 z0， 有cnz1n收 敛 ，
当
z
1时,即z
1时,
n0
cnzn绝
对
收
敛
；
当z
1时
，
即 z 1时,
n0
cnzn发
散
，
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21
以 下 :当 证 z1时n 0 ， cnzn也 发 . 散
用
反 ,设 证 z在 1 法 外
有 z0 ， 一 cnz0 n 收 点 ,
n 0
再
取 z1,满 一 1足 点 z1 z0，A 由 b 定 le理 :
第四章 级 数
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1
§4.1 复数项级数
1. 复数列的极限 2. 级数的概念
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2
1. 复数列的极限
定义 设复 {n }n 数 ( 1 ,2 , ) 列 其 , n ＝ ： 中 a n in b ,
又设复常数：aib，
若0,N0,当nN,恒 有 n，
那 么 称 为 复 {n数 }当n列 时 的 极 限
(iii) 0,使 得 cnn收 敛, 小，在c外部都是蓝色，
n0
红、蓝色不会交错。故
0,使 得 cn n发 散. 一 定 cR：z R ,为 红 、
n0
由Able定理，在圆周c
:
蓝两色的分界线。
z 内，级数(3)收敛；
在圆周c : z 外，级
数(3)发散. 显然，<
否则，级数(3)将在处发散。
得
cn z1n收敛 ,矛盾 ! cnz0n发散,即
n0
n0
当 z1时 c ， nzn发,故 散 R1.
n0
(i)i若 0时 ， z都 对有 cnzn收敛
n0
cnzn在 复 平 面 上 处故 处R收 敛 ; ，
n0
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22
(ii)i当 时，z 除 0外，对z,一 有切
cnzn发散，,从cn而 zn也发. 散
⑴ 若 级c数 nzn在zz0(0)收 敛 ,则 对 满 足 n0
z z0的z,级 数 必 绝.对 收 敛
⑵ 若z级 z0发 数 ,则 散 在对z 满 z0的 足 z, 级 数 . 必 发 散
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15
证明 (1) n0cnz0 n收,则 敛 ln i m cnz0 n0，即
0 ， N 0 ， nN ， 恒 cnz0 n有
记ln 作 i m n,或n 当 时， n,
此 时 ， 也{称 n}收复 敛 数 . 于列
定理1 l n in m l n ia n m a , l n ib n m b .
证明 “ ”已 n l i m 知 n 即，
0,N0,nN,恒有 n
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3
又 n(ana)i(bnb) (ana)2(bnb)2 anan bnbn
1 i
(8 i)n ( 1 )n i
(1 ) (1 )(2 ) n 1n n n 0 n !
(3 ) (
n 1
n 2 n )
解 (1 ) n 1n 1发n 散 1n 1 2收 ， 敛 n 1n 1(1 ， n i)发 . 散
(2)
8in8n收敛 ， (8i)n绝
故 n l i m ana, n l i m bnb.
“”已知 liman a, limbn b 即，
n
n
0,N0,
n
N,恒
有an
a
2，bn
b
2
又n (an a)i(bn b)
an a bn b 故nl im n .
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4
例1 判断下列数列是否收敛？若收敛，求出其 极限。
幂级 数的代换运 算在函数展
f[g(z) ] an [g(z)n ] zR
n 0
成幂级数中 很有用.
例3
把1 表 zb
成
形 如 cn(za)n的
n0
幂
级
数
，
这 里 ， 复b常 a.数
解 z1b(za)1(ba)b 1a1b z1 a a1代换1g(z)b 1a
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28
解 z 1b(z a ) 1(b a ) b 1a1 b z 1 a a1 代 换1 g (z) b 1a
(5) (cosin)zn; n0
(6) (2i)nz2n1. n1
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26
5. 幂级数的运算和性质
代数运算
设 a n z n f(z )R r 1 b n z n g (z )R r 2
n 0
n 0
---幂级数的加、减运算
a n z n b n z n (a n b n )z n f(z ) g (z )z R
(ii)幂级数(3)的收敛范围是以0为中心，半径为R 的圆域；幂级数(2)的收敛范围是以z0为中心,半径 为R的圆域.
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20
4. 收敛半径的求法
关于幂级cn数 zn (3)的收敛半径求法，
n0
(比定值理法2 )若 ln i m ccnn 1
，R 则 1 /
0
0 0
证明 (i) 0, ln i m cn c n 1z zn n1ln i m cc n n 1z z
(1)
zn
1 1
ni ni
(3)zn (1
i )n 3
ni
(2) zn e 2
(4)
zn
(1
1)eni n
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5
2. 级数的概念
定义 ▪设复数列： {n } { a n in b }n ( 1 ,2 , ,), n12 n---无穷级数 n1
▪级数的前面n项的和
n
sn12 n i ---级数的部分和
n 0
n 0
n 0
---幂级数的乘法运算
其中 Rm ： ri1,n r2)(
( anzn)( bnzn) (a0bna1bn1a2bn2 anb0)zn
n0
n0
n0
f(z)g(z),zR
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27
---幂级数的代换(复合)运算
设f(z) anzn z r, n0
g((1)知 cnz0n收敛与假设矛盾！ ，得证
n0
3. 收敛圆与收敛半径
由Able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述 三种情况：
(i)若对所有正实数都收敛，级数(3)在复平面上处 处收敛。
(ii )除z=0外，对所有的正实数都是发散的，这时， 级数(3)在复平面上除z=0外处处发散。
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17
(i) f(z)在 zR内 解 . 析
(i)if'(z ) ( c n z n ) ' (c n z n ) ' n n z n c 1 z R
n 0
n 0
n 1
---幂级数的逐项求导运算
(ii)i f(z)d z
c
c
c n zn d z c nczn d z
n 0
n 0
或
当 z1时li， m zn0,级 数.发 散
综上
zn收
n
敛 ,且和
函
数1为 1z
当z
1时;
n0 发散 当 z 1时 .
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25
例2 求下列幂级数的收敛半径
z n
(1) n1 n 2 ;
z n
( 2 ) n 1 n ！;
(z 1)n
(3)
;
n1 n
(4) z 2n ; n1
i n的 敛 散 ;性
n1 n
讨
论
n1
ln(1 in
1) n敛
散
性 .
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11
§4.2 幂级数
1. 幂级数的概念 2. 收敛定理 3. 收敛圆与收敛半径 4. 收敛半径的求法 5. 幂级数的运算和性质
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12
1. 幂级数的概念
定义
▪设复变函数列：{fn (z)}z D , n 1 ,2 , fn (z)f1 (z)f2 (z) fn (z) (1 ) n 1 ---称为复变函数项级数
特殊情况，在级数(1)中 fn(z)cn(zz0)n得
cn(zz0)n (2)
n0
当z00 cnzn (3) n0
称为幂级数
在(2)中 令 zz0 (2) cnk k0
研 究 级(3)数 并 不 失 一 般 性 。
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14
2. 收敛定理
同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理：
定理1 (阿贝尔(Able)定理）
n0
n0
否则，如z果 00有 , 一 cnz0点 n收,敛 则 n0
z1,满足 z0 z1 0，cnz1n收敛， ! 矛 故 R盾 0. n0
1/ 0
定理3 (根值法)
若 ln i m n cn
，
则 R 0
0
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23
(比定值理法2 )若 ln i m ccnn 1
，R 则 1 /
将收敛部分染成红色，发散
部分染成蓝色，逐渐变大，
在c内部都是红色,逐渐变
播放
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18
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R cR
19
定义 这个红蓝两色的分界圆周cR叫做幂级数的 收敛圆；这个圆的半径R叫做幂级数的收敛半径。
(i)幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外 部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题 要具体分析。
对
收
n0 n! n0n!
n0 n!
(3 ) n 1( n 1 )n 收n 1 敛 2 1 n 收 ， 敛 n 1(( n 1 )， n2 in)收 . 敛
又
(1)n条件 收敛 原 ，级数非绝. 对收
n1 n
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10
练习： 讨 论 11ein的 敛 散 ; 性
n0 n
讨论
0
0 0
1/ 0
定理3 (根值法)
若 ln i m n cn
，
则 R 0
0
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24
例1 求 幂 级 数 zn 1zz2 zn n0
的收敛范围及和函数。
解 limcn1 1 R1
又 n当 sn z c n1 1 时 z ln zi2 z ， m n 0 ,z n ln 1 i 1s m 1n zzn1 1z.
定理4 级 数 n收敛 an和 bn都收敛
n1
n1
n1
? 若 n收 n1
敛 n收
n1
敛 (例.如:
n1
(1)ni n
)
定义 若n收 敛 ， 则称n为 绝 对 收 敛 ；
n1
n1
若n发 散 ，而n收 敛 ， 则称n为
n1
n1
n1
条 件 收.敛
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9
例2 下列级数是否收敛否？绝是对收敛？
n1
定理3 若 n收 敛 n 收敛 ， n 且 n.
n1
n1
n1
n1
证明 n an ibn
an an2 bn2 ,
an2 bn2
由比较判定法
an和 bn均绝对收敛，
n1
n1
bn an2 bn2
由
定
理
2得
收
n
敛
。
n
n
k k, nn
n1
k1
k1
n1
n1
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8
由定理3的证明过程，及不等式 an 2bn2anbn有:
z
f()d
cnzn1
zR ,CzaR
0
n0 n1
---幂级数的逐项积分运算
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30
例4 求幂级数的和函数及收敛圆.
(1) nnz112z3z2 n1
(2)
zn
z2 z
z3
n1 n
23
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