河北省唐山市丰润区新军屯中学2020年高二数学理上学期期末试题含解析

河北省唐山市丰润区新军屯中学2020年高二数学理上学期期
末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知椭圆：，左,右焦点分别为，过的直线交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则的值是( )
A.1
B.
C.
D.
参考答案：
D
略
2. 用斜二测画法作一个边长为2的正方形，则其直观图的面积为（）
A. B. 2 C. 4 D．
参考答案：
D
略
3. 已知离散型随机变量X服从二项分布，且，则的最小值为（）
A. 2
B.
C.
D. 4
参考答案：
C
【分析】
根据二项分布的性质可得，，化简即，结合基本不等式即可得到
的最小值.
【详解】离散型随机变量X服从二项分布，
所以有，
，
所以，即，（，）
所以，
当且仅当时取得等号．
故选C．
【点睛】本题主要考查了二项分布的期望与方差，考查了基本不等式，属于中档题．
4. 已知两个数列3，7，11，…，139与2，9，16，…，142，则它们所有公共项的个数为（）
A．4 B．5 C．6 D．7
参考答案：
B
5. 已知，则直线与直线的位置关系是（）
A．平行 B．相交或异面
C．平行或异面 D．异面
参考答案：
C
略
6. 极坐标方程表示的曲线为（）
A、极点
B、极轴
C、一条直
线 D、两条相交直线
参考答案：
D
7. 给定两个命题,的必要而不充分条件,则（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：
A
略
8. 执行如图所示的程序框图，输出的s值为( )
A. B. C. D.
参考答案：
A
【分析】
根据程序框图，逐步执行，即可得出结果.
【详解】初始值，
第一步：，进入循环；
第二步：，结束循环，输出.
故选A
9. 已知函数，若，则必有（）
A． B．
C． D．的符号与的取值有关参考答案：
B
10. 设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，
若，则k＝（）
A．2 B． 4 C．－2 D．－4
参考答案：
B
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知集合，则_________。

参考答案：
12. 某幼儿园的老师要给甲、乙、丙、丁4个小朋友分发5本不同的课外书，则每个小朋友至少分得1本书的不同分法数为______.
参考答案：
240
【分析】
先给其中一个小朋友2本，再均分剩余3本,列出式子求解即可.
【详解】先给其中一个小朋友2本，再均分剩余3本，
故所求分法数为.
故答案为：240
【点睛】本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
13. 半径为R的圆形铁片剪去一个扇形，用剩下的部分卷一个圆锥．圆锥的体积最大值为______
参考答案：
【分析】
设圆锥的底面半径为，高为，可得，构造关于圆锥体积
的函数，可得
，利用导数可求得最大值.
【详解】设圆锥的底面半径为，高为 则
，即
圆锥的体积：
则
，令
，解得：
则时，；时，
即
在
上单调递增，在
上单调递减
本题正确结果：
【点睛】本题考查圆锥体积最值的求解，关键是能够利用圆锥体积公式将所求体积构造为关于圆锥的高的函数，从而可利用导数求解得到函数的最值.
14. 已知点P 在△ABC 所在平面外，直线PA 与AB 、AC 所成的角均为arcsin ，且AB = AC =
，BC
=
，则异面直线PA 与BC
的距离是 。

参考答案：
；
15. 如图，在三棱柱
中，
分别是
的中点，设三棱锥
的体积为
，三棱柱
的体积为
，则
参考答案：
1：24．
16. 随机变量ξ的分布列为P （ξ=k ）=，k=1，2，3，4，其中c 为常数，则P （ξ≥2）等
于 ．
参考答案：
【考点】CG ：离散型随机变量及其分布列．
【分析】由随机变量ξ的分布列求出c=，由此能求出P （ξ≥2）=1﹣P （ξ=1）的值． 【解答】解：∵随机变量ξ的分布列为P （ξ=k ）=，k=1，2，3，4，其中c 为常数，
∴
=1，
解得c=，
∴P（ξ≥2）=1﹣P （ξ=1）=1﹣
=．
故答案为：． 17. 观察下列等式
照此规律，第个等式为 。

参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 一次口试，每位考生要在8道口试题中随机抽出2道题回答，若答对其中1题即为合格．
（1）现有某位考生会答8题中的5道题，那么，这位考生及格的概率有多大？
（2）如果一位考生及格的概率小于50%，则他最多只会几道题？
参考答案：
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】（1）这位考生及格的对立事件是抽出的两道题都不会，由此利用对立事件概率计算公式能求出这位考生及格的概率．
（2）一位考生及格的概率小于50%，则他不及格的概率大于，设他最多会n道题，则，由此能求出结果．
【解答】解：（1）∵一次口试，每位考生要在8道口试题中随机抽出2道题回答，答对其中1题即为合格．
某位考生会答8题中的5道题，
∴这位考生及格的对立事件是抽出的两道题都不会，
∴这位考生及格的概率p=1﹣=1﹣=．
（2）一位考生及格的概率小于50%，
则他不及格的概率大于，
设他最多会n道题，n≤8，则，
则=＞14，即n2﹣15n+28＞0，
解得n＜或n＞（舍），
∵n∈Z*，∴n的最大值为2．
∴他最多只会2道题．
19. 在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),直线l的参数方程为
(t为参数).以坐标原点O为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）写出直线l的普通方程以及曲线C的极坐标方程
（2）若直线l与曲线的C两个交点分别为M,N,直线l与x轴的交点为P,求的值.
参考答案：
（1），；（2）1.
分析：(1)消去参数t可得直线l的普通方程为x＋y－1＝0．曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0．化为极坐标即ρ＝4sinθ．
(2)联立直线参数方程与圆的一般方程可得t2－3t＋1＝0，结合直线参数的几何意义可得|PM|·|PN|＝|t1·t2|＝1．
详解：(1)直线l的参数方程为(为参数)，
消去参数t，得x＋y－1＝0．
曲线C的参数方程为(θ为参数)，
利用平方关系，得x2＋(y－2)2＝4，则x2＋y2－4y＝0．
令ρ2＝x2＋y2，y＝ρsinθ，代入得C的极坐标方程为ρ＝4sinθ．
(2)在直线x＋y－1＝0中，令y＝0，得点P(1，0)．
把直线l的参数方程代入圆C的方程得t2－3t＋1＝0，
∴t1＋t2＝3，t1t2＝1．
由直线参数方程的几何意义，|PM|·|PN|＝|t1·t2|＝1．
点睛：本题主要考查参数方程与直角坐标方程、极坐标方程与普通方程之间的转化方法，直线参数方程的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
20. 一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为米，拱顶距离水面米．
（）建立如图所示的平面直角坐标系，试求拱桥所在抛物线的方程．
（）若一竹排上有一米宽米高的大木箱，问此木排能否安全通过此桥？
参考答案：
（）
（）可以安全通过
解（）在中，抛物线过点，开口向下，过，设抛物线为代入点，
解出，
∴抛物线为，
即．
（）当时，，
∵，
∴木排可安全通过此桥．
21. （本小题满分12 分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，
，侧面底面，若.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
参考答案：
（1）因为，所以.
又因为侧面底面，且侧面底面，
所以底面.而底面，所以.
在底面中，因为，，所以，所以. 又因为，所以平面. 6分
（2）法一：设为中点，连结，则.又因为平面平面，
所以平面.过作于，连结，则：.
所以是二面角的平面角。

…………………………………………9分
设，则, .
在中，，所以.所以，.
即二
面角的余弦值为. …………………………12分
法二：由已知，平面，所以为平面的一个法向量.
可求平面的一个法向量为：.………………………………………9分
设二面角的大小为，由图可知，为锐角，
所以.
即二面角的余弦值为. …………………………………12分22. 如图，在平面四边形ABCD中，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，求CD.
参考答案：
（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）在中利用余弦定理即可求得结果；（Ⅱ）在中利用正弦定理构造方程即可求得结果.
【详解】（Ⅰ）中，由余弦定理可得：
（Ⅱ），在中，由正弦定理可得：，即：
解得：
【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，考查公式的简单应用，属于基础题.。