江苏省徐州市第一中学2019届高三上学期第一次月考 数学 (含解析)

江苏省徐州市第一中学2019届高三上学期第一次月考
数学
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1.已知集合，，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】
本题是集合A与集合B取交集。

【详解】因为，
所以
【点睛】交集是取两集合都有的元素。

2.若复数是虚数单位)是纯虚数，则实数的值为___________．
【答案】-2
【解析】
【分析】
本题考察的是复数的运算，可以先将复数化简，在通过复数是纯虚数得出结果。

【详解】，
因为是纯虚数，
所以。

【点睛】如果复数是纯虚数，那么。

3.“”是“直线与直线互相垂直”的___________条件（填“必要不充分”“充分不必要”“充要”或“既不充分又不必要”）．
【答案】充分不必要
【解析】
【分析】
可以先通过“直线与直线互相垂直”解得的取值范围，再通过与“”进行对比得出结论。

【详解】因为直线与直线互相垂直，
所以两直线斜率乘积为或者一条直线与轴平行、一条与轴平行，
所以或者，解得或者，
由“”可以推出“或者”，但是由“或者”推不出“”，
所以为充分不必要条件。

【点睛】在判断充要条件的时候，可以先将“若A则B”中的A和B化为最简单的数集形式，在进行判断。

4.函数的递增区间是___________．
【答案】
【解析】
【分析】
本题可以先通过的取值范围来将函数分为两段函数，再依次进行讨论。

【详解】当时，，开口向下，对称轴为，所以递增区间是，
当时，，开口向上，对称轴是，所以在定义域内无递增区间。

综上所述，递增区间是。

【点睛】在遇到带有绝对值的函数的时候，可以根据的取值范围来将函数分为数段函数，在依次求解。

5.按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数的值是___________．
【答案】5
【解析】
【分析】
本题中，，可根据这几个式子依次推导出每一个A所对应的S的值，最后得出结果。

【详解】
因为当时输出结果，
所以
【点睛】在计算程序框图时，理清每一个字母之间的关系，如果次数较少的话可以依次罗列出每一步的运算结果，最后得出答案。

6.已知，则________．
【答案】
【解析】
【分析】
本题可先将进行化简得出，在利用二倍角公式计算得出的值。

【详解】，，。

【点睛】余弦的二倍角公式。

7.已知方程表示双曲线，则实数的取值范围为___________．
【答案】
【解析】
【分析】
因为方程表示双曲线，所以与都大于0。

【详解】因为方程表示双曲线，
所以，即。

【点睛】如果一个方程式是双曲线，那么的分式的分母都大于0。

8.设分别为连续两次投掷骰子得到的点数，且向量，则向量的夹角为锐角的概率是___________．
【答案】
【解析】
【分析】
首先可以通过向量的夹角为锐角得出之间的关系，再计算出概率。

【详解】因为向量的夹角为锐角，
所以，
即，
当时，有5种；当时，有4种；当时，有3种；
当时，有2种；当时，有1种，一共15种，
所以概率为。

【点睛】向量夹角为锐角，向量乘积为正值；向量夹角为锐角，向量乘积为负值。

9.已知函数是定义在实数集上的奇函数，且在区间上是单调递增，若
，则的取值范围为___________．
【答案】
【解析】
【分析】
本题可以先将进行化简，化简得出来的结果为1，再利用函数的单调性以及奇函数性质得出结果。

【详解】，
，
所以，
即，，
因为函数是定义在实数集上的奇函数，且在区间上是单调递增，所以函数在R上单调递增，所以
【点睛】对数函数有。

10.已知函数的图象在点处的切线与直线平行，
若数列的前项和为，则的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】
本题可以先通过对函数进行求导来求出b的值，再通过裂项相消法得出结果。

【详解】
因为函数的图象在点处的切线与直线平行，
所以
所以
【点睛】裂项相消法：。

11.在锐角中，若，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
因为A=2B,所以,所以,所以.
12.已知正实数满足，则的最小值为___________．
【答案】
【解析】
试题分析: 因为
,故应填答案.
考点：基本不等式及灵活运用．
【易错点晴】基本不等式是高中数学中的重要内容和解答数学问题的重要工具之一.本题设置的目的是考查基本不等式的灵活运用和灵活运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时先将已知变形为
,然后再运用基本不等式最后达到获解之目的.
13.当时，恒成立，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
本题可以先将不等式中的绝对值去掉，化成再对、这两种情况进行分类讨论，通过移项和求导得出对应的值。

【详解】因为当时，恒成立，
所以
当时，
设
所以在内恒为减函数，
即
当时，
设
所以在内恒为增函数,
即
综上所述，。

【点睛】本题是一到综合题，需要能够对含绝对值的不等式的求法有着一定的掌握以及对通过求导求最值有着足够的了解。

14.若实数成等差数列且点在动直线上的射影为，点，则线段长度的最大值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
本题首先可以通过成等差数列求出直线恒过点，在通过得出在以为直径的圆上，然后通过圆心和半径求出线段长度的最大值。

【详解】因为成等差数列，
所以,即，方程恒过点
又因为点在动直线上的射影为，
所以，在以为直径的圆上，此圆的圆心A坐标为
即半径,
又因为，所以，
所以。

【点睛】如果一动点到两定点之间的夹角恒为，那么动点的轨迹是以两定点为直径的圆。

二、解答题（本大题共6小题，共90分）
15.如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面为的中点．求证：
（1）平面；
（2）平面平面．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（ 1）可通过连接交于，通过中位线证明和平行得证平面。

（ 2）可通过正方形得证，通过平面得证，然后通过线面垂直得证面面垂直。

【详解】（ 1）证明：连交于O,
因为四边形是正方形 ,
所以 ,
连，则是三角形的中位线, ,
平面，平面
所以平面 .
（2）因为平面 ,
所以 ,
因为是正方形，所以,
所以平面,
所以平面平面.
【点睛】证明线面平行可通过线线平行得证，证明面面垂直可通过线面垂直得证。

16.已知函数．
（1）若，求函数的值域；
（2）设的三个内角所对的边分别为，若为锐角且，求
的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）由函数形式知，用两角和的正弦公式展开，用二倍角公式降幂，再用两角和的正弦公式化函数为一个三角函数，求出正弦号后面整个角的取值范围，结合正弦函数可得值域；（2）由（1）的解析式可求得角，由余弦定理可求得边，由正弦定理可求得，利用两角差的余弦公式可得．
试题解析：（1）
由得，，．
∴，即函数的值域为．
（2）由得，
又由，∴，∴．
在中，由余弦定理，得，
由正弦定理，得，
∵，∴，∴，
∴
考点：两角和与差的正弦公式，二倍角公式，正弦定理与余弦定理．
17.如图，有一块等腰直角三角形的草坪，其中，根据实际需要，要扩大此草坪的规模，在线段上选取一点，使四边形为平行四边形．为方便游客参观，现将铺设三条观光道路，设．
(1)用表示出道路的长度；
(2)当点距离点多远时，三条观光道路的总长度最小?
【答案】(1)；(2) .
【解析】
【分析】
可以先通过表示的长，在通过平行四边形性质得出的长度，
(2)先根据第一小题中得出的数据得出，在通过求导得出结果。

【详解】(1)在中，，
所以，
又四边形为平行四边形，
所以
(2)设三条观光道路的总长度为，
则
，
所以．
由得，由得．
当时，是减函数；当时，是增函数，
所以当时，取得最小值，此时．
【点睛】在计算含有角度的求导的时候，一定要特别注意角度的取值范围。

18.如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，
点在椭圆上，的面积为．
(1)①求椭圆的标准方程；
②若点在椭圆上，且，求的值．
(2)直线与椭圆相交于两点，若以为直径的圆经过坐标原点，求实数的值．
【答案】(1)①；②；(2).
【解析】
【分析】
(1)①可通过点在椭圆上得出，再通过的面积为得出，最后利用
得出椭圆方程。

②可以通过解三角形和椭圆性质得出结果。

(2)首先可以通过椭圆方程和直线方程得出与的值，再因为圆过原点，所以，最后计算得出结果。

【详解】(1)①由条件可知，
，
又，所以，，
所以椭圆的标准方程为．
②当时，
有,
所以．
(2)设，，
由得，
则，，
．
因为以AB为直径的圆经过坐标原点，则，
解得，此时，满足条件．
因此．
【点睛】本题考察圆锥曲线中的椭圆方程，需要对椭圆的基本性质以及解三角形、直径所对应的圆周角为90度等定理有着足够的了解。

19.设函数是奇函数，且当时，取得极小值.
（1）求函数的解析式；
（2）求使得方程仅有整数根的所有正实数的值；
（3）设，，求的最大值．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（ 1）首先可以利用奇函数性质得出，在通过当时，取得极小值得出，最后检验一下；
（ 2）先通过第一小题所计算出的结果化简得出，再将其化简成，进而得出的值；
（ 3）先带入对其进行化简，然后再根据的取值范围进行分类讨论，依次得出每一中情况下的最大值。

【详解】（1）因为为奇函数，所以，
又由及，得，
所以；
当时，，当时，
所以在时取得极小值，所以为所求
（2）方程化简得：，
因为方程仅有整数解，故为整数，
又由及知，.
又，故为的正约数，
所以，进而得到。

（3）因为是偶函数，所以只要求出在上的最大值即可.记，因为，
（i）时，，在上单调递增且，
所以，故。

（ii）时，由得，和，
①当即时，在上单调减，
所以，故，
；
②当即时，在单调减，单调增，
（Ⅰ）当，即时，，所以，
（Ⅱ）当，即时，，所以，
综上可知，。

【点睛】本题难度较高，所需要的解题能力较强：
（ 1）可通过奇函数性质以及导数函数极值的特点求解，
（ 2）可通过将原式化为一个的式子，再通过判断的值判断的值，
（ 3）需要通过对进行分类讨论依次得出最值。

20.各项均为正数的数列中，设，，且．
(1)设，证明：数列是等比数列；
(2)设，求集合．
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】
【分析】
(1)首先通过得出以及和之间的关系，再通过化简得到
最后得证是等比数列。

(2)由第一小题可以解出，再得出，由此得出通项公式，然后解出集合。

【详解】(1)当时，，
即，解得(负值舍去)．
因为，所以．①
当时，，②
得，
即，
即，所以
因为数列的各项均为正数，所以数列为递减数列，所以，所以．
因为，所以，
所以数列是首项为1、公比为的等比数列．
(2)由(1)知,所以，
又当时，，
两式相减得 (对也成立)，即，
由，得
又当时，，所以数列从第2项开始依次递减．
(i)当时，若，则，式不成立，
所以，即．
令，
则，
所以，即存在满足题设的数组。

【点睛】本题是一道关于数列的综合题，考察到构造数列，需要对等比数列的相关性质有着足够的了解。

选修4—2：矩阵与变换
21.设，若矩阵把圆变换为椭圆．
（1）求的值；
（2）求矩阵的逆矩阵．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（ 1）首先可以通过矩阵变换得出的对应点，再通过在椭圆上得出的值。

（2）将的值带入之后得出逆矩阵。

【详解】（ 1）设点为圆：上任意一点，
经过矩阵变换后对应点为，
则，所以，
因为点在椭圆上，
所以，这个方程即为圆方程，
所以，因为，所以，
（2）由（1）得所以。

【点睛】本题考察的是矩阵变换，可以通过点与点之间的变换来推导出函数之间的变换。

选修4—4：坐标系与参数方程
22.在极坐标系中，已知圆被直线截得的弦长为，求实数的值．
【答案】-2
【解析】
【分析】
首先通过极坐标系与直角坐标系之间的转换得出圆和直线的直角坐标方程，再利用圆心到直线距离公式得出结果。

【详解】因为圆的直角坐标方程为，
直线的直角坐标方程为
所以圆心到直线的距离
因为圆被直线截得的弦长为，所以．
即．解得，或．
【点睛】极坐标系与直角坐标系之间的转换：。

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内
．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
23.如图，平面，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
可以以为轴、为轴、为轴构建空间直角坐标系，写出的空间坐标，通过证明得证平面
通过求平面和平面的法向量得证二面角的余弦值。

【详解】（1）根据题意，建立以为轴、为轴、为轴的空间直角坐标系，
则，
，
，
因为，
所以．
因为平面，且，
所以平面．
（2）设平面的法向量为，则
因为，所以．
令，则．
所以是平面的一个法向量．
因为平面，所以是平面的法向量．
所以
由此可知，与的夹角的余弦值为．
根据图形可知，二面角的余弦值为。

【点睛】在计算空间几何以及二面角的时候，可以借助空间直角坐标系。

24.在一个盒子中有大小一样的7个球，球上分别标有数字1，1，2，2，2，3，3．现从盒子中同时摸出3个球，设随机变量为摸出的3个球上的数字和．
（1）求概率；
（2）求的概率分布列，并求其数学期望．
【答案】（1）；（2）6.
【解析】
【分析】
可以将，它们的和就是。

分别将求出，然后画出概率分布图，求出期望。

【详解】（ 1）
所以，
（2），
所以随机变量X的概率分布列为
x 4 5 6 7 8 p
所以。

【点睛】数学期望。