2023年江西省上饶市鄱阳县鄱南六校中考数学二模试卷(含解析)

2023年江西省上饶市鄱阳县鄱南六校中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列四个数中，最大的一个数是( )
A. −1
B. 2
C. 1
5
D. 5
2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3. 下列运算正确的是( )
A. m2÷m2=0
B. (m−n)2=m2−n2
C. (n
2m )3=n3
2m3
D. mn÷n
m
=m2
4.
一个长方体截去一部分后得到的几何体如图所示，其左视图是( )
A.
B.
C.
D.
5.
如图，这是某区域海水盐度随着纬度的变化情况，下
列说法中不正确的是( )
A. 北纬0°的海水盐度为3.50%
B. 从北纬0°到北纬30°，海水盐度不断升高
C. 北纬30°的海水盐度最高
D. 此区域海水最高盐度与最低盐度之差为2.08%
6. 如图，这是由10个全等的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，我们把三个顶点都在格点上的三角形称为格点三角形，△ABC是格点三角形，将
△ABC平移后仍为格点三角形(本身除外)的方法有( )
A. 5种
B. 6种
C. 7种
D. 8种
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
7. 过去的一年，江西克服了夏秋冬连旱的极端天气影响，“三农”工作又迎来了一个丰收年，2022年全省的粮食产量达到430.38亿斤，连续10年稳定在430亿斤以上，数据430亿用科学记数法可表示为______ ．
8. 分解因式：2a2−4ab+2b2=．
9.
光线在不同介质中的传播速度不同，因此，当光线从空气射向
水中时，会发生折射.如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中
的两条折射光线也是平行的.若水面和杯底互相平行，且∠1=70°，则
∠2的度数为______ ．
10. 若一元二次方程x2−2x−1=0的两根分别为x1，x2，则x21−3x1−x2=______ ．
11. 如图，第1个图形中有1个球；第2个图形中有3个球；第3个图形中有6个球；…古希腊著名科学家毕达哥拉斯把像1，3，6…这样的数称为“三角形数”，则第n个图形中有______ 个球．
12. 在△ABC 中，AC =6，BC =8，AB =10，D 是AB 的中点，P 是CD 上的动点.若点P 到△
ABC 的一边的距离为2，则CP 的长为______ ．
三、解答题（本大题共11小题，共79.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13. (本小题5.0分)
(1)计算： 9+2−1−|−12
|；
(2)如图，在四边形ABCD 中，AD //BC ，∠C =90°，AB =AD ，连接BD ，AE ⊥BD ，垂足为E .求证：△ABE∽△DBC ．
14. (本小题5.0分)
解不等式组{
5x −6≤3x
x−23
<x +12
−1，并把不等式组的解集表示在数轴上．
15. (本小题5.0分)
如图，在菱形ABCD 中，BD 是对角线，∠BAD =60°，AB =2，E 是边AB 的中点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图(保留作图痕迹)．(1)如图1，在BD 上找一点P ，使△AEP 的周长最短；(2)如图2，在BC 上找一点F ，作线段EF ，使得EF = 3．
16. (本小题5.0分)
为了培养同学们的创新精神和实践能力，某校组织学生开展了为期一周的社会实践
活动.每位同学可以在“机器人”“面塑”“电烙画”“摄影”四门课程中选择一门.为公平起见，学校制作了如图所示的转盘，转盘被平均分成了四等份，学生转动转盘一次，指针指到的课程即自己参加的实践课程.(当指针指到分界线上时，则重转)
(1)明明是该校的一名学生，则他参加“机器人”实践课程是______ 事件，参加“烹饪”实践课程是______ 事件(填“不可能”或“必然”或“随机”)；
(2)亮亮是明明的好朋友，他也是该校的学生，他们想参加相同的实践课程，请用列表法或画树状图法求出明明和亮亮参加相同实践面塑机器人课程的概率．
17. (本小题5.0分)
春节期间，某蔬菜经营户每天从蔬菜批发市场批发黄瓜和茄子共50千克到菜市场去卖，其中黄瓜和茄子每天的进价与售价如表所示：
黄瓜茄子
进价/(元/千克)67
售价/(元/千克)1012
(1)某天该蔬菜经营户花了310元批发这两种蔬菜，求黄瓜和茄子各批发了多少千克？
(2)如果该蔬菜经营户每天所售的黄瓜重量不低于茄子的重量，那么应如何进货才能使获得的利润最大？
18. (本小题8.0分)
的图象交于点A，B(n−
与反比例函数y=m
一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点E(0,2)，
如图，
x
2,6)，以线段AB为边在直线AB的右侧作矩形ABCD，使得顶点C(12,n−3)恰好落到反比例函数y=m
(x>0)的图象上．
x
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求证：四边形ABCD是正方形．
19. (本小题8.0分)
“双减”形势下，各地要求初中学生作业量不超过90分钟，其中作业量应以学习程度中等的学生完成作业所需时间为基准.某校推行作业时间公示制度，数学小组从七、八年级各随机抽取20名同学，将他们每天的作业完成时间(单位：分钟)记录下来，并进行统计、分析，共分为四个时段(x表示作业完成时间，x取整数)A.60<x≤70；B.70<x≤80；C.80<x≤90；
D.90<x≤100.过程如下．
收集数据
七年级：
80 70 80 95 65 100 90 85 85 80
95 75 80 90 70 80 95 75 100 90
八年级：
85 80 95 100 90 95 85 70 75 85
90 90 70 90 100 80 80 90 95 75
整理数据及分析数据
七、八年级抽取的学生每天的作业完成时间条形统计图
七、八年级抽取的学生每天的作业完成时间统计表
统计量
平均数众数中位数方差
年级
七年级84a82.599
八年级8690b79
(1)补全条形统计图；
(2)填空：a=______ ，b=______ ；
(3)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的作业量布置得更合理？并说明理由；
(4)若该校七、八年级共1000名学生，请估计每天的作业完成时间在90分钟以内(含90分钟)
的学生人数．
20. (本小题8.0分)
火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备.图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点D，B，O在同一直线上，DO可绕着
点O旋转，AB为云梯的液压杆，点O，A，C在同一水平线上，其中BD可伸缩，套管OB的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆AB=3m，∠BAC=53°，∠DOC=37°．
(1)求BO 的长；
(2)消防人员在云梯末端点D 高空作业时，将BD 伸长到最大长度6m ，云梯DO 绕着点O 顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了3m ，求云梯OD 旋转了多少度.(参考数据：sin 37°≈3
5
，tan 37°≈34
，sin 53°≈45
，tan 53°≈43
，sin 64°≈0.90，cos 64°≈0.44)
21. (本小题9.0分)
如图，在边长为6的等边△ABC 中，O 是AB 上的点，以O 为圆心，OB 的长为半径作圆交AB 于点P ，交BC 于点N ．
(1)如图1，点P 与点A 重合时，⊙O 交AC 于点M ．①连接MN ，△MNC 的形状是______ ；②求M N 的长；
(2)如图2，当OB =12 3−18时，求证：AC 与⊙O 相切．
22. (本小题9.0分)
如图，抛物线C 1：y 1=−x 2+2x +n 与抛物线C 2：y 2=−x 2−4x +m 相交于点B ，点B 的横坐标为−1.过点B 作x 轴的平行线交抛物线C 1于点C ，交抛物线C 2于点A ．抛物线C 1，C 2分别与y 轴交于点D ，E (点D 在点E 上方)．(1)求抛物线C 1的对称轴和线段DE 的长；(2)试说明AC 与DE 是否相等；(3)直接写出当x 为何值时y 1<y 2；
(4)点P (−2,p )在抛物线C 1上，点Q (1,q )在抛物线C 2上，请比较p 与q 的大小．
23. (本小题12.0分)
【课本再现】(1)如图1，点D在等边△ABC的边BC上，连接AD，将△ABD绕点A旋转，使得旋转后点B的对应点为点C，得到△ACD′，连接DD′，判断△ADD′的形状，并说明理由；
【类比迁移】(2)如图2，△ABC是等边三角形，点D在△ABC外，∠CDB=120°，AD=4，
求△ABC面积的最小值；
【拓展应用】(3)如图3，△ABC是等腰直角三角形，若CD⊥BD于点D，AD=42，CD=2，直接写出BC的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵−1<1
5
<2<5，
∴四个数中最大的是5．
故选：D．
根据实数的大小比较法则：正数大于0，负数小于0，正数总大于负数，即可得答案．
本题考查实数大小比较的方法和无理数的估算，解题的关键是正确估算无理数的大小．
2.【答案】C
【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3.【答案】D
【解析】解：A.m2÷m2=1，故此选项不合题意；
B.(m−n)2=m2−2mn+n2，故此选项不合题意；
C.(n
2m )3=n3
8m3
，故此选项不合题意；
D.mn÷n
m
=m2，故此选项符合题意．
故选：D．
直接利用分式的乘除运算法则以及完全平方公式，分别判断得出答案．
此题主要考查了分式的乘除运算以及完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4.【答案】A
【解析】解：从左面看是一个矩形，矩形的内部有一条横向的虚线．
故选：A．
根据左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左面看得到的图形是左视图，注意所有看到的线都用实线表示．
5.【答案】B
【解析】解：由函数图象，得：
北纬0°的海水盐度为3.50%，故选项A说法正确，不符合题意；
从北纬0°到北纬10°，海水盐度不断下降，从北纬10°到北纬30°，海水盐度不断升高，故选项B说法错误，符合题意；
北纬30°的海水盐度最高，故选项C说法正确，不符合题意；
此区域海水最高盐度与最低盐度之差为：3.58%−1.50%=2.08%，故选项D说法正确，不符合题意；
故选：B．
根据自变量的值与函数值的对应关系，可得相应的函数值；再结合函数图象的增减性解答即可．本题考查了函数图象，观察函数图象的变化趋势获得有效信息是解题关键．
6.【答案】C
【解析】解：如图所示：
故选：C．
根据菱形的性质画出图形解答即可．
此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的四边相等解答．
7.【答案】4.3×1010
【解析】解：430亿=43000000000=4.3×1010．
故答案为：4.3×1010．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，
n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
8.【答案】2(a−b)2
【解析】解：原式=2(a2−2ab+b2)=2(a−b)2．
故答案为：2(a−b)2
原式提取2变形后，利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
9.【答案】110°
【解析】解：如图，
∵水中的两条折射光线是平行的，
∴∠1=∠3=70°，
∵水面和杯底互相平行，
∴∠2+∠3=180°，
∴∠2=180°−∠3=110°，
故答案为：110°．
根据水面和杯底平行求得∠3的度数，再根据水中的两条折射光线是平行的，求得∠2便可．
本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．
10.【答案】−1
【解析】解：∵一元二次方程x2−2x−1=0的两根分别为x1，x2，
∴x1+x2=2，x21=2x1+1，
∴x21−3x1−x2
=(2x 1+1)−3x 1−x 2
=2x 1+1−3x 1−x 2
=1−x 1−x 2
=1−(x 1+x 2)
=1−2
=−1．
故答案为：−1．
先根据根与系数的关系得出x 1+x 2=2，再把x 1代入方程x 2−2x−1=0得出x 21=2x 1+1，再代入代数式进行计算即可．
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟知x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根时，x 1+x 2=−b a ，x 1x 2=c a 是解题的关键．11.【答案】n (n +1)2
【解析】解：第1个图形中有1个球，
第2个图形中有3个球，3=1+2，
第3个图形中有6个球，6=1+2+3，
…，
依此类推，第n 个图形中球的个数为：1+2+3+…+n =
n (n +1)2
，故答案为：n (n +1)2．根据图形中球的个数等于连续整数的和，写出第n 个图形中的球的个数的表达式即可．
本题是对图形变化规律的考查，观察出图形中的球的个数是连续整数的和，然后求出第n 个图形中球的个数的表达式是解题的关键．
12.【答案】4或103或3512
【解析】解：如图，过点P 分别作△ABC 三边的垂线段，垂足分别为E 、F 、G ，
∵AC 2+BC 2=62+82=102，AB 2=102，
∴AC 2+BC 2=AB 2，
∴∠ACB =90°，
∵点D 为AB 的中点，AB =10，
∴CD =D =BD =12AB =5，
①当PE =2时，
∵∠PEC =∠BCA =90°，∠PCE =∠BAC ，
∴△PCE∽△BAC ，
∴PE BC =CP AB
，即28=CP 10
，∴CP =52；
②当PF =2时，
∵∠PFC =∠ACB =90°，∠PCF =∠ABC ，
∴△PCF∽△ABC ，
∴PF AC =CP AB
，即26=CP 10
，∴CP =103
；③当PG =2时，过点C 作CH ⊥AB 于H ，则CH =
AC ⋅BC AB =245，∵PG ⊥AB ，CH ⊥AB ，
∴△PGD∽△CHD ，
∴FG CH =PD CD
，即2
245=PD 5
，∴PD =
2512，∴PC =CD−PD
=5−2512
=3512
；综上所述，PC =4或PC =
103或PC =3512，故答案为：4或103或3512．
根据勾股定理的逆定理判断△ABC 是直角三角形，再根据直角三角形的性质得出CD =AD =BD =5，再分三种情况分别利用相似三角形的性质进行计算即可．
本题考查勾股定理的逆定理、相似三角形的判定和性质，掌握勾股定理的逆定理以及相似三角形的判定方法是解决问题的前提．
13.【答案】(1)解：原式=3+12−12
=3；
(2)证明：∵AB =AD ，
∠ABD =∠ADB ，
∵AD //BC ，
∴∠CBD =∠ADB ，
∴∠ABE =∠CBD ，
∵AE ⊥BD ，
∴∠AEB =90°，
∵∠C =90°，
∴∠AEB =∠C ，
∴△ABE∽△DBC ．
【解析】(1)由算术平方根的定义，负整数指数幂：a −p =
1a p (a ≠0,p 是正整数)，负数的绝对值是它的相反数，即可计算；
(2)由AB =AD ，得到∠ABD =∠ADB ，由AD //BC ，得到∠CBD =∠ADB ，因此∠ABE =∠CBD ，由垂直的定义推出∠AEB =∠C ，即可证明△ABE∽△DBC ．
本题考查实数的运算，负整数指数幂，相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形的判定方法．14.【答案】解：{
5x −6≤3x ①x−23<x +12−1②，解不等式①得：x ≤3，
解不等式②得：x >−1，
∴原不等式组的解集为：−1<x ≤3，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
【解析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．
15.【答案】解：(1)如图1，连接CE交BD于P点，
则点P为所作；
(2)如图2，连接AC交BD于O点，延长EO交CD于M点，再连接BM交AC于点N，接着延长DN交BC 于F点，
则EF为所作．
【解析】(1)利用菱形的性质可得到点A、C关于BD对称，则PA=PC，则PE+PA=PE+PC=C E，利用两点之间线段最短可判断此时PA+PE的值最小，从而得到此时△AEP的周长最短；(2)连接AC交BD于O点，延长EO交CD于M点，再连接BM交AC于点N，接着延长DN交BC于F点，
AC=OA=3．
则F点为BC的中点，所以EF=1
2
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等边三角形的判定与性质、菱形的性质和最短路径问题．
16.【答案】随机不可能
【解析】解：(1)从“机器人”“面塑”“电烙画”“摄影”四门课程中选择一门．明明参加“机器人”实践课程是随机事件，参加“烹饪”实践课程是不可能事件，
故答案为：随机，不可能；
(2)用列表法表示明明、亮亮所有等可能出现的结果如下：
明明
亮亮
机器人面塑电烙画摄影
机器人机器人机器人面塑机器人电烙画机器人摄影机器人
面塑机器人面塑面塑面塑电烙画面塑摄影面塑
电烙画机器人电烙画面塑电烙画电烙画电烙画摄影电烙画
摄影机器人摄影面塑摄影电烙画摄影摄影摄影
共有16种等可能出现的结果，其中，明明、亮亮参加相同实践面塑机器人课程有2种，
所以明明、亮亮参加相同实践面塑机器人课程的概率为2
12=1
6
．
(1)根据随机事件，必然事件、不可能事件的意义结合具体问题情境进行判断即可；
(2)用列表法表示明明、亮亮所有选择可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
本题考查列表法或树状图法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的前提，理解概率的定义是解决问题的关键．
17.【答案】(1)设黄瓜和茄子各批了x，y千克，根据题意可得：
{x+y=50
6x+7y=310；解得：{x=40 y=10．
答：黄瓜和茄子分别批发了40、10千克．
(2)设黄瓜每天售出m千克．如果每天所售的黄瓜重量不低于茄子的重量，则有：
m≥50−m；解得：m≥25．
用S表示每天获得和利润，根据题意可列出S与m的关系式：
S=(10−6)m+(12−7)(50−m)=250−m(m≥25)，
由关系式可知，S随m的增大而减小，
∴当m=25时，S=225最大．
答：每天黄瓜和茄子各进25千克利润最大．
【解析】(1)已知黄瓜和茄子的总质量及进货总金额，用二元一次方程求得各批发了多少千克．(2)要求黄瓜重量不低于茄子的重量，求最大利润可用一次函数求最大值解决．
本题考查了二元一次方程或一元一次方程的解法及应用以及一次函数的性质及应用．需要充分理
解函数对变化过程的刻画，理解函数值随自变量的变化而变化．
18.【答案】(1)解：∵B (n−2,6)，C (12,n−3)在反比例函数y =m x (x >0)的图象上，
∴m =6(n−2)=12(n−3)，
解得n =4，
∴B (2,6)，C (12,1)，
∴m =2×6=12，
∴反比例函数为y =12x ，∵一次函数y =kx +b 的图象过点B 、E ，
∵B (2,6)，E (0,2)，
∴{2k +b =6b =2，解得{k =2b =2，
∴一次函数为y =2x +2；
(2)证明：由{y =12x y =2x +2解得{x =2y =6或{
x =−3y =−4，∴A (−3,−4)，B (2,6)，
∴AB = (−3−2)2+(−4−6)2=5 5，
∵B (2,6)，C (12,1)，
∴BC = (2−12)2+(6−1)2=5 5，
∴AB =BC ，
∴矩形ABCD 为正方形．
【解析】(1)由B (n−2,6)，C (12,n−3)在反比例函数y =m
x (x >0)的图象上，得出m =6(n−2)=12(n−3)，即可求得B 、C 的坐标和反比例函数的解析式，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
(2)解析式联立成方程组，解方程组求得A 的坐标，然后证得AB =BC ，即可证得矩形ABCD 为正方形．
本题是反比例函数与一次函数的交点，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，正方形的判定，求得交点坐标是解题的关键．19.【答案】80 82.5
【解析】解：(1)七年级C时间段人数为：20−3−7−5=5(人)，
补全条形统计图如下：
(2)由题意可知，a=80，
=82.5．
b=80+85
2
故答案为：80；82.5；
(3)七年级落实的好，理由如下：
七年级学生完成作业的平均时间为84分，比八年级的少；
=750(名)，
(4)1000×20+20−5−5
20+20
答：估计该校七、八年级每天的作业完成时间在90分钟以内(含90分钟)的学生人数约750名．
(1)按给出数据计算出C时段的数据然后补全即可；
(2)根据中位数、众数的意义求解即可；
(3)从平均数、中位数、众数方面比较得出答案；
(4)用总人数乘样本中每天的作业完成时间在90分钟以内(含90分钟)的学生人数所占比例即可．本题考查了中位数、众数、方差的意义，关键在于根据图中信息结合统计相关知识的意义进行分析即可．
20.【答案】解：(1)如图，过点B作BE⊥OC于点E，
在Rt△ABE中，∠BAC=53°，AB=3m，
∴BE=AB⋅sin∠BAE
=3×sin53°
≈3×4
5
=12
5
，
在Rt△BOE中，∠BOE=37°，BE=12
5
，
∵sin∠BOE=BE
OB
，
∴OB=BE
sin∠BOE
=12
5 3
5
=4(m)，
答：OB=4m；
(2)如图，过点D作DF⊥OC于点F，旋转后点D的对应点为D′，过点D ′作D′G⊥OC于点G，过点D作DH⊥D′G于点H，
在Rt△FOD中，OD=OB+BD=4+6=10，∠DOF=37°，
∴DF=OD⋅sin37°
≈10×3
5
=6(m)，
∴D′G=D′H+HG=3+6=9(m)，
在Rt△D′OG中，OD′=10m，D′G=9m，
∴sin∠D′OG=D′G
D′O =9
10
，
∴∠D′OG≈64°，
∴∠D′OD=64°−37°=27°，
即云梯OD大约旋转了27°．
【解析】(1)构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可；
(2)求出旋转前点D的高度DF，进而求出旋转后点D′的高度D′G，再根据锐角三角函数的定义求出∠D′OG的大小，进而求出答案．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．
21.【答案】等边三角形
【解析】(1)解：①连接AN、BM，
∵AB是直径，
∴∠AMB=∠ANB=90°，
∴BM⊥AC，AN⊥BC，
∵△ABC是等边三角形，
∴M、N分别是AC、BC的中点，且AC=BC，
∴CM=CN，
∵∠C=60°，
∴△MNC是等边三角形，
故答案为：等边三角形．
②连接ON、OM，
∵△MNC是等边三角形，
∴MN=NC=ON=OM，
∴△MNO是等边三角形，
∴∠MON=60°，
∴l M N=60⋅π⋅3
=π；
180
(2)证明：过O作OT⊥AC，垂足为T，
∵OA=AB−OB=6−(123−18)=24−123，
=123−18=OB，
∴OT=OA⋅sinA=(24−123)⋅sin60°=(24−123)⋅3
2
∴AC与⊙O相切．
(1)①说明M、N分别是AC、BC的中点，进而说明CM=CN，结合∠C=60°，即可说明△MNC是等边三角形；
②求出∠MON=60°，利用弧长公式即可；
(2)过O作OT⊥AC，垂足为T，证明OT=OB即可．
本题考查了等边三角形的判定、弧长公式、切线的判定，求弧长关键是确定圆心角，证切线，熟记“作垂直，证半径”．
22.【答案】解：(1)对称轴x=−b
2a =−2
−2
=1，
由题知：D(n,0)，E(m,0)，
当x=−1时，y1=−x2+2x+n=−3+n，当x=−1时，y2=−x2−4x+m=3+m，由−3+n=3+m可得：n−m=6，
∴DE=6，
(2)相等，理由：
C2的对称轴为x=−b
2a =−−4
−2
=−2，
∵C1的对称轴为x=1，过点B作x轴的平行线交抛物线C1于点C，交抛物线C2于点A，
∴点A的横坐标为−2−(−1+2)=−3，点C的横坐标为1+(1+)=3，
∴AC=3+3=6，
∴AC=DE；
(3)由图可知：当x<−1时，y1<y2；
(4)将P(−2,p)代入y1=−x2+2x+n=−3+n得：p=−8+n，
将Q(1,q)代入y2=−x2−4x+m得：q=−5+m，
∵n−m=6，
∴n=m+6，
∴p−q=−8+m+6−(−5+m)=3>0，
∴p>q．
【解析】(1)根据x=−b
2a
求对称轴，将x=−1分别代入y1、y2后可求n−m，可得DE；
(2)根据C1、C2的对称轴以及AC//x轴可得点A和点C的横坐标，计算出AC与DE作比即可；
(3)根据图象可得结论；
(4)分别将P(−2,p)、Q(1,q)代入y1=−x2+2x+n=−3+n、y2=−x2−4x+m求出p、q，再作减即可．
本题主要考查的是二次函数图象上的点的坐标的特征以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的
相关知识是解决本题的关键．
23.【答案】解：(1)△ADD′是等边三角形，理由：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°，
依题意可知，△ABD≌△ACD′，
∴AD=AD′，∠BAD=∠CAD′，
∴∠CAD′+∠CAD=60°，
∴△ADD′是等边三角形；
(2)如图1，延长DB到点D′，使BD′=CD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∵∠CDB=120°，
∴∠BAC+∠CDB=180°，
∴∠DBA+∠ACD=180°，
∵∠DBA+∠ABD′=180°，
∴∠ACD=∠ABD′，
∴△ABD′≌△ACD(SAS)，
∴AD′=AD=4，∠DAC=∠BAD′，
∴∠DAD′=60°，
当AB⊥DD′时，AB最小，此时面积最小，
AB=AD⋅sin60°=4×3
2
=23，
此时△ABC面积为：1
2⋅BC⋅AB⋅3
2
=33
∴△ABC面积的最小值为：33；
(3)BC的长为210或226，
如图2，延长DB至点D′，使BD′=CD，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=90°，AB=AC，
∵CD⊥BD，
∴∠BAC+∠CDB=180°，
∴∠DBA+∠ACD=180°．
∴∠DCA=∠ABD′，
∴△ABD′≌△ACD(SAS)，
∴AD′=AD=42，∠DAC=∠D′AB，
∴∠DAD′=90°，
∴△DAD′是等腰直角三角形，
∴DD′=8，
∵CD=2，
∴DB=8−2=6，
∴BC=62+22=210，
如图3，在BD上取一点D′，使BD′=CD，
同理可得BC=102+22=226，
综上所述，BC的长为210或226．
【解析】△ABC是等边三角形，∠BAC=∠BAD+∠CAD，△ABD≌△ACD′，得出AD=AD′，∠BA D=∠CAD′，∠CAD′+∠CAD=60°，可证△ADD′是等边三角形；
(2)如图1，延长DB到点D′，使AB=AC，△ABC是等边三角形，∠BAC=60°，AB=AC，∠CDB= 120°，根据等量代换∠ACD=∠ABD′，△ABD′≌△ACD，∠DAD′=60°，
当AB⊥DD′时，AB最小，此时面积最小，进而求解；
(3)BC的长为210或226，
如图2，延长DB至点′，使BD′=CD，△ABC是等腰直角三角形，根据等量代换∠DCA=∠ABD′，△ABD′≌△ACD，∠DAD′=90°，△DAD′是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解，如图3，在B D上取一点D′，使BD′=CD，同理可得BC．
本题考查等边三角形，等腰直角三角形，旋转和最值等综合问题，解题的关键是对问题的分类讨论．。