【人教版】高中物理选修3-4示范学案：11.2 简谐运动的描述 (2)

学案4 简谐运动的描述
[目标定位] 1.知道振幅、周期和频率的概念，知道全振动的含义.2.了解初相和相位差的概念，理解相位的物理意义.3.了解简谐运动位移方程中各量的物理意义，能依据振动方程描绘振动图象．
一、描述简谐运动的物理量
1．振幅
振动物体离开平衡位置的最大距离．振幅的两倍表示的是做振动的物体运动范围的大小．
2．周期和频率
(1)全振动：一个 的振动过程，称为一次全振动．弹簧振子完成一次全振动的时间总是 ．
(2)周期：做简谐运动的物体完成一次 所需要的时间，叫做振动的周期，用T 表示．单位：在国际单位制中，周期的单位是 (s)．
(3)频率：单位时间内完成 的次数，叫做振动的频率，用f 表示．单位：在国际单位制中，频率的单位是 ，简称赫，符号是Hz.
(4)周期和频率的关系：f ＝1T
(5)周期和频率都是表示物体 的物理量，周期越小，频率越大，表示振动 ．
3．相位
在物理学上，我们用不同的相位来描述周期性运动在各个时刻所处的 ．
想一想 振幅就是振动物体离开平衡位置的最大位移吗？为什么？
二、简谐运动的表达式
简谐运动的一般表达式为x ＝ ．
1．A 表示简谐运动的 ．
2．ω是一个与频率成正比的量，叫做简谐运动的 ．它也表示简谐运动的快慢，ω＝2πT
＝ .
3． 代表简谐运动的相位，φ是t ＝0时的相位，称做初相位，或 ．
4．相位差
如果两个简谐运动的频率 ，其初相分别是φ1和φ2，当φ2>φ1时，它们的相位差是Δφ＝(ωt ＋φ2)－(ωt ＋φ1)＝φ2－φ1.
想一想 简谐运动的表达式一定是正弦函数吗？
一、描述简谐运动的物理量
1．对全振动的理解
正确理解全振动的概念，应注意把握全振动的五种特征．
(1)振动特征：一个完整的振动过程．
(2)物理量特征：位移(x)、速度(v)第一次同时与初始状态相同，即物体从同一方向回到出发点．
(3)时间特征：历时一个周期．
(4)路程特征：振幅的4倍．
(5)相位特征：增加2π.
2．振幅与路程的关系
振动物体在一个周期内的路程为四个振幅．
振动物体在半个周期内的路程为两个振幅．
振动物体在14
个周期内的路程不一定等于一个振幅． 3．周期(T)和频率(f)
(1)周期是振动物体完成一次全振动所需的时间．频率是单位时间内完成全振动的次数．所以
周期(T)与频率(f)的关系：T ＝1f
. (2)物体振动的周期和频率，由振动系统本身的性质决定，与振幅无关．
图11－2－1
【例1】 弹簧振子在AB 间做简谐运动，O 为平衡位置，AB 间距离是20 cm ，A 到B 运动时间是2 s ，如图11－2－1所示，则( )
A ．从O →
B →O 振子做了一次全振动
B ．振动周期为2 s ，振幅是10 cm
C ．从B 开始经过6 s ，振子通过的路程是60 cm
D ．从O 开始经过3 s ，振子处在平衡位置
【例2】 一质点做简谐运动，其位移x 与时间t 的关系图象如图11－2－2所示，由图可知( )
图11－2－2
A ．质点振动的频率是4 Hz
B ．质点振动的振幅是2 cm
C ．t ＝3 s 时，质点的速度最大
D ．在t ＝3 s 时，质点的振幅为零
二、简谐运动的表达式
做简谐运动的物体位移x 随时间t 变化的表达式：x ＝Asin(ωt ＋φ)
1．由简谐运动的表达式我们可以直接读出振幅A 、圆频率ω和初相φ.据ω＝2πT
或ω＝2πf 可求周期T 或频率f ，可以求某一时刻质点的位移x.
2．关于两个相同频率的简谐运动的相位差Δφ＝φ2－φ1的理解
(1)取值范围：－π≤Δφ≤π.
(2)Δφ＝0，表明两振动步调完全相同，称为同相．
Δφ＝π，表明两振动步调完全相反，称为反相．
(3)Δφ>0，表示振动2比振动1超前．
Δφ<0，表示振动2比振动1滞后．
【例3】 一弹簧振子A 的位移y 随时间t 变化的关系式为y ＝0.1sin(2.5πt)，位移y 的单位为m ，时间t 的单位为s.则( )
A ．弹簧振子的振幅为0.2 m
B ．弹簧振子的周期为1.25 s
C ．在t ＝0.2 s 时，振子的运动速度为零
D ．若另一弹簧振子B 的位移y 随时间变化的关系式为y ＝0.2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2.5πt ＋π4，则振动A 滞后B π4
借题发挥 应用简谐运动的表达式解决相关问题，首先应明确振幅A 、周期T 、频率f 的对应
关系，其中T ＝2πω，f ＝ω2π
，然后把确定的物理量与所要解决的问题相对应，找到关系． 三、简谐运动的周期性和对称性
1．周期性
做简谐运动的物体经过一个周期或几个周期后，能回复到原来的状态．
2．对称性
图11－2－3
如图11－2－3所示，物体在A 和B 之间运动，O 点为平衡位置，C 和D 两点关于O 点对称，则：
(1)时间的对称
①振动质点来回通过相同的两点间的时间相等．如t DB ＝t BD .
②质点经过关于平衡位置对称的等长的两线段时间相等，图中t OB ＝t BO ＝t OA ＝t AO ，t OD ＝t DO ＝t OC ＝t CO .
(2)速度的对称
①物体连续两次经过同一点(如D 点)的速度大小相等，方向相反．
②物体经过关于O 点对称的两点(如C 与D)的速度大小相等，方向可能相同，也可能相反．
【例4】 一质点在平衡位置O 附近做简谐运动，从它经过平衡位置起开始计时，经0.13 s 质点第一次通过M 点，再
经0.1 s 第二次通过M 点，则质点振动周期的可能值为多大？
描述简谐运动的物理量
1．如图11－2－4所示是一做简谐运动的物体的振动图象，下列说法正确的是( )
图11－2－4
A．振动周期是2×10－2 s
B．第2个10－2 s内物体的位移是－10 cm
C．物体的振动频率为25 Hz
D．物体的振幅是10 cm
简谐运动的周期性和对称性
2．如图11－2－5所示，一质点沿水平直线做简谐运动，先后以相同速度通过a、b两点，经历时间t ab＝1 s，过b点后再经t′＝1 s质点第一次反向通过b点．若在这两秒内质点所通过的路程是8 cm，试求该质点的振动周期和振幅．
图11－2－5
简谐运动的表达式及其振动图象
3.
图11－2－6
如图11－2－6所示为A、B两个简谐运动的位移－时间图象．
请根据图象写出：
(1)A的振幅是________ cm，周期是________ s；B的振幅是________cm，周期是________s.
(2)这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式；
(3)在时间t＝0.05 s时两质点的位移分别是多少？
4．弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t＝0时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运
动；在t＝0.2 s时，振子速度第一次变为－v；在t＝0.5 s时，振子速度第二次变为－v.
(1)求弹簧振子振动周期T；
(2)若B、C之间的距离为25 cm，求振子在4.0 s内通过的路程；
(3)若B、C之间的距离为25 cm.从平衡位置计时，写出弹簧振子的位移表达式，并画出弹簧振子的振动图象．
甲
题组一描述简谐运动的物理量
1．振动周期指的是振动物体( )
A．从任意一个位置出发又回到这个位置所用的时间
B．从一侧最大位移处，运动到另一侧最大位移处所用的时间
C．从某一位置出发又沿同一运动方向回到这个位置所用的最短时间
D．经历了四个振幅的时间
2．周期为2 s的简谐运动，在半分钟内通过的路程是60 cm，则在此时间内振子经过平衡位置的次数和振子的振幅分别为( )
A．15次，2 cm B．30次，1 cm
C．15次，1 cm D．60次，2 cm
图11－2－7
3．如图11－2－7所示，在光滑水平面上振动的弹簧振子的平衡位置为O，把振子拉到A点，OA＝1 cm，然后释放振子，经过0.2 s振子第1次到达O点，如果把振子拉到A′点，OA′＝2 cm，则释放振子后，振子第1次到达O点所需的时间为( )
A．0.2 s B．0.4 s C．0.1 s D．0.3 s
4．一质点做简谐运动的图象如图11－2－8所示，下列说法正确的是( )
图11－2－8
A．质点振动频率是4 Hz
B．在10 s内质点经过的路程是20 cm
C．第4 s末质点的速度是零
D．在t＝1 s和t＝3 s两时刻，质点位移大小相等、方向相同
5．水平放置的弹簧振子先后以振幅A和2A振动，振子从左边最大位移处运动到右边最大位移处过程中的平均速度分别为v1和v2，则( )
A．v1＝2v2 B．2v1＝v2
C.2v1＝v2 D．v1＝v2
6．在心电图仪、地震仪等仪器工作过程中，要进行振动记录，如图11－2－9甲所示是一种常用的记录方法，在弹簧振子的小球上安装一支记录用笔P，在下面放一条白纸带．当小球振动时，匀速拉动纸带(纸带速度与振子振动方向垂直)，P就会在纸带上画出一条曲线．如图乙所示为某次记录的一条曲线，若匀速拉动纸带的速度为0.5 m/s，则由图中数据可得该弹簧振子的振动周期为________s；若将小球的振幅减小为 4 cm，其它条件不变，则其振动周期将________(选填“变大”、“不变”或“变小”)．
图11－2－9
题组二简谐运动的周期性与对称性
7．如图11－2－10所示，振子以O点为平衡位置在A、B间做简谐运动，从振子第一次到达P 点开始计时，则( )
图11－2－10
A．振子第二次到达P点的时间间隔为一个周期
B．振子第三次到达P点的时间间隔为一个周期
C．振子第四次到达P点的时间间隔为一个周期
D．振子从A点到B点或从B点到A点的时间间隔为一个周期
8．质点沿x轴做简谐运动，平衡位置为坐标原点O.质点经过a点(x a＝－5 cm)和b点(x b＝5 cm)时速度相同，所用时间t ab＝0.2 s；质点由b点回到a点所用的最短时间t ba＝0.4 s．则该质点做简谐运动的频率为( )
A．1 Hz B．1.25 Hz C．2 Hz D．2.5 Hz
9．一个做简
图11－2－11
谐运动的质点，先后以同样的速度通过相距10 cm 的A 、B 两点，历时0.5 s(如图11－2－11所示)．过B 点后再经过t ＝0.5 s ，质点以大小相等、方向相反的速度再次通过B 点，则质点振动的周期是( )
A ．0.5 s
B ．1.0 s
C ．2.0 s
D ．4.0 s
题组三 简谐运动的表达式
10．某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x ＝Asin π4
t ，则质点( ) A ．第1 s 末与第3 s 末的位移相同
B ．第1 s 末与第3 s 末的速度相同
C ．第3 s 末与第5 s 末的位移方向相同
D ．第3 s 末与第5 s 末的速度方向相同
11．物体A 做简谐运动的振动方程是x A ＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫100t ＋π2 m ，物体B 做简谐运动的振动方程是x B ＝5sin ⎝
⎛⎭⎪⎫100t ＋π6 m ．比较A 、B 的运动( ) A ．振幅是矢量，A 的振幅是6 m ，B 的振幅是10 m
B ．周期是标量，A 、B 周期相等，都为100 s
C ．A 振动的频率f A 等于B 振动的频率f B
D ．A 的相位始终超前B 的相位π3
图11－2－12
12．如图11－2－12所示，一弹簧振子在M 、N 间沿光滑水平杆做简谐运动，坐标原点O 为平衡位置，MN ＝8 cm.从小球经过图中N 点时开始计时，到第一次经过O 点的时间为0.2 s ，则小球的振动周期为________s ，振动方程为x ＝________cm.
13．有一弹簧振子在水平方向上的B 、C 之间做简谐运动，已知B 、C 间的距离为20 cm ，振子
在2 s 内完成了10次全振动．若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t ＝0)，经过14
周期振子有正向最大加速度．
图11－2－13
(1)求振子的振幅和周期；
(2)在图11－2－13中作出该振子的位移—时间图象；
(3)写出振子的振动方程．。