四川省泸州市泸州老窖天府中学高二数学上学期期中试题

泸州老窖天府中学高2014级高二上期半期考试
数 学
本试题分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至2页，第Ⅱ卷第3至8页.
第I 卷（选择题 ，共60分）
注意事项：
1.答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用2B 铅笔涂写在机读卡上.
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑，若需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案，不准答在本题单上.
一、选择题：（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合要求的．）
1．直线013=-+y x 的倾斜角为（ ）
A ．
6
π
B ．
3
π
C ．
32π D ．6
5π 2．命题“若2015x >，则0x >”的否命题是（ ）
A ．若2015x >，则0x ≤
B ．若0x ≤，则2015x ≤
C ．若2015x ≤，则0x ≤
D ．若0x >，则2015x >
3．如果0<<b a ，那么下面不等式一定成立的是（ ）
A ．0>-b a
B ．bc ac <
C ．
b
a 1
1< D ．22b a >
4．不等式
03
1
2>+-x x 的解集是（ ） A ．（
1
2
，+∞） B ．（4，+∞） C ．（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）
D ．（﹣∞，﹣3）∪（
1
2
，+∞） 5．如果两条直线l 1:260ax y ++=与l 2:(1)30x a y +-+=平行，那么a 等于（ ）
A ．1
B ．-1
C ．2
D ．
23
6．已知a R ∈，则“2a >”是“2
2a a >”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分也非必要条件
7．若不等式022>+-a ax x ，对R x ∈恒成立, 则实数a 取值范围为（ ）
A ．}21{<<a a
B ．}12{<<-a a
C ．}20{<<a a
D ．}10{<<a a 8．设0,0a b >>，若3是3a 与3b 的等比中项，则14
a b
+的最小值为 （ ） A ．8
B.9
C.4
D.
9．在圆 内，过点 的最长弦和最短弦分别为 和 ，则四边形 的面积为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
10．某加工厂用某原料由车间加工出 产品，由乙车间加工出 产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克 产品，每千克 产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克 产品，每千克 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为( )
A ．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱
B ．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
C ．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
D ．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱
11．已知恒过定点(1,1)的圆C 截直线1x =-所得弦长为2，则圆心C 的轨迹方程为( )
A.2
42x x y =+ B.2
42x y x =+ C.2
42y y x =+ D.2
42y x y =+ 12．若直线1+=kx y 与圆0422=-+++my kx y x 交于N M ,两点,且N M ,关于直线0=-y x 对
称,动点P ()b a ,在不等式组20
00
-+≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩kx y kx my y 表示的平面区域内部及边界上运动，则21
b w a -=-的取值范围是（ ）
A ．),2[+∞
B ．]2,(--∞
C ．]2,2[-
D ．),2[]2,(+∞⋃--∞
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中横线上.） 13.不等式234x x +<的解集为 .
14.直线3480x y +-=与直线3470x y ++=间的距离是 .
15.函数229
()(0)x x f x x x
-+=
<最大值为_________. 16.已知直线)0(4)1(:2
≥=+-m m y m mx l 和圆01648:2
2
=++-+y x y x C .有以下几个结论： ①直线l 的倾斜角不是钝角； ②直线l 必过第一、三、四象限； ③直线l 能将圆C 分割成弧长的比值为
21的两段圆弧； ④直线l 与圆C 相交的最大弦长为5
54. 其中正确的是________________.（写出所有正确说法的番号）.
三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. (本题满分10分) 已知,a b R +
∈，求证：3322a b a b ab +≥+.
18.(本题满分12分)
(1)求经过直线l 1：2x ＋3y －5＝0与l 2：7x ＋15y ＋1＝0的交点，且平行于直线x ＋2y －3＝0的直线方程;
(2)求与直线3x ＋4y －7＝0垂直，且与原点的距离为6的直线方程.
19.（本小题满分12分）直线34120x y -+=与坐标轴的交点是圆C 一条直径的两端点. （I ）求圆C 的方程；
（II ）圆C 的弦AB 长度为21且过点1
(1,)2
，求弦AB 所在直线的方程.
20. (本题满分12分)某村计划建造一个室内面积为8002
m 的矩形蔬菜温室.在温室内，沿左右两侧与后侧内墙各保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地.当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大,最大种植面积是多少？
21.(本题满分12分)已知)0,5(-P ，点Q 是圆36)5(2
2=+-y x 上的点，M 是线段PQ 的中点.
（Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程;
（Ⅱ）过点P 的直线l 和轨迹C 有两个交点,A B （,A B 不重合）,若4=AB ，求直线l 的方程.
22. (本题满分12分)设函数222
()log (0.1)12b
x x f x b b ax
-+=>≠+ （1）求()f x 的定义域；
（2）1b >时，求使()0f x >的所有x 值.
泸州老窖天府中学高2014级高二上期半期考试
数学参考答案
1—5 CCDDB 6—10 ADBBB
11—12 DD
13．()1,3 14． 3 15．-8 16.①④ 三、解答题：
17证明：3322a b a b ab +-+=（）3232a a b b ab -+-（）
2
222)(()()a a b b b a a b a b =-+-=--（）2()()a b a b =-+
,a b R +∈Q ,2()0,0a b a b ∴-≥+>2()()0a b a b ∴-+≥ 3322a b a b ab ∴+≥+.
18.解 (1)设所求的直线方程为2x ＋3y －5＋λ(7x ＋15y ＋1)＝0，
即(2＋7λ)x ＋(3＋15λ)y ＋λ－5＝0，由已知－2＋7λ3＋15λ＝－1
2，解得λ＝1.
故所求的直线方程为9x ＋18y －4＝0.
(2)设所求的直线方程为4x －3y ＋c ＝0.由已知：|c|42
＋3
2
＝6，解得c ＝±30，
故所求的直线方程为4x －3y ±30＝0.
19. 解：（I ）直线34120x y -+=与两坐标轴的交点分别为(4,0)A -，(0,3)B ．（2分） 所以线段AB 的中点为3
(2,)2
C -，||5AB =．（4分）
故所求圆的方程为22235
(2)()()22
x y ++-=．（6分）
（II ）设直线AB 到原点距离为d ，则22
521()()122
d =-=．
（8分） 若直线AB 斜率不存在，不符合题意．若直线AB 斜率存在，设直线AB 方程为1
(1)2
y k x -=-，则211
d k =
=+，解得0k =或3
4
k =-．（11分） 所以直线AB 的方程为210y -=或3450x y +-=．（12分）
20. 解：设矩形温室的左侧边长为a m ，后侧边长为b m ，则 ab =800. 蔬菜的种植面积).2(2808824)2)(4(b a a b ab b a S +-=+--=--=
所以).(648248082
m ab S =-≤
当).(648,)(20),(40,22
m S m b m a b a ====最大值时即
答：当矩形温室的左侧边长为40m ，后侧边长为20m 时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m 2
. 21.解（Ⅰ）设),(y x M ，则)0,5(-P 关于M 的对称点为)2,52(y x Q +，
∵点Q 是圆36)5(2
2=+-y x 上的点， ∴36)2()552(2
2=+-+y x ，即922=+y x ，
所以轨迹C 的方程是92
2=+y x ．………………………………6分
（Ⅱ）① 设),(),,(2211y x B y x A ，由题意，直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程是
)5(+=x k y ,
由方程组⎩⎨
⎧=++=9
)5(2
2y x x k y 得，092510)1(2
222=-+++k x k x k ， 由0)925)(1(4)102
2
2
2>-+-=
∆k k k （,得4
3
43<<-k ∴2
221222119
25110k
k x x k k x x +-=+-=+，，………………………………6分 ∵4=AB ，∴41212
=-+x x k , ∴44)(1212212=-+⋅+x x x x k ,
∴41)
925(4)110(12
22222
=+--+-⋅+k
k k k k ， 解得，21±
=k ，∴直线l 的方程是)5(2
1
+±=x y ， 即直线l 的方程是052=++y x 或052=+-y x ．………………………………12分 【另解】设坐标原点为O ，作AB OE ⊥，垂足为E ． ∵4=AB ，∴2=AE ,由（I ）可知，3=OA ,∴5=OE .
又5=OP ，∴52=PE ， ∴2
1tan =
=
∠PE
OE APO .∴直线l 的斜率21±=k ，∴直线l 的方程是)5(21
+±=x y ，
即直线l 的方程是052=++y x 或052=+-y x ．………………………………12分
22.解：⑴222
()log (0,1)12b
x x f x b b ax
-+=>≠+Q ，2220x x -+> 120ax ∴+> ①0a >时，21ax >-，12x a >-
，定义域为1(,)2a
-+∞ ②0a =时，10>，x R ∈，定义域为R ③0a <时，21ax >-，12x a <-
，定义域为1(,)2a
-∞-
⑵222
()log 0log 112b
b x x f x ax
-+=>=+ 1b >Q 222
112x x ax
-+∴
>+ 22212x x ax ∴-+>+ 即2
(22)10x a x -++> 令2
2
[(22)]44(2)a a a ∆=-+-=+ ①当0a <时，0∆>，2
(22)10x a x -++=的两根为
11x a =+21x a =+
这时
121102x x a a
<=+=
<<-
1x a ∴<+112a x a
++<-
②当2a =-时，1
4
x <
且1x ≠- ③当20a -<<时，0∆<，12x a
<- ④当0a =时，x R ∈且1x ≠
⑤当0a >时，0∆>，21102x x a >>>-
1
12x a a
∴-
<<+1x a >+。