流体力学教学课件chapter 3 流体运动基本原理

dx dy x t y t
得
（2）由式
dx dy dt 得 ux uy
C -4 -3 -2 -1 B M (-1,-1) A y
dx dy dt x t y t
t x C 1e t 1 得： -t y C 2 e t 1
o
-1 -2 -3 -4 x
x0 x0 x C1 (1 t ) t t0 C1 1 t x 1 t (1 t ) 即： 0 0 t x x0 , y y0 t0 ( t t0 ) y C2e C2 y0e y y0e
解 设经Δt时段后，原在A、B处的质点 分别运动到A′、B′位置，那么 A A B B

1、在水位恒定的情况下： （ 1） A A 不存在时变加速度和迁移加速度。
（2）BB
不存在时变加速度，但存在迁移加速度。
2、在水位变化的情况下：
（ 1 ） A A
（2）BB
存在时变加速度，但不存在迁移加速度。
a dux ux u ux u ux u ux x x y y z z t dt x du y u y u y u y u y a y ux uy uz t x y z dt a duz uz u uz u uz u uz z x x y y z z t dt
既存在时变加速度，又存理 第二节 流体流动的若干基本概念
一、流动的描述

二、欧拉法对流动的分类
三、流管、流束、过流断面和流量 四、渐变流过流断面的性质
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一、流动的描述
为了更好的理解流动，可以定义一些概念来直观的 反映流场。于是有以下的：
1、流线
3、色线
由于描述复杂，本教案不采用。
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2.欧拉法
欧拉法（Euler method）是以流体质点流经流场中各空间点 的运动即以流场作为描述对象研究流动的方法。——流场法
它不直接追究质点的运动过程，而是以充满运动液体质点的空间——流 场为对象。研究各时刻质点在流场中的变化规律。将个别流体质点运动过程 置之不理，而固守于流场各空间点。通过观察在流动空间中的每一个空间点 上运动要素随时间的变化，把足够多的空间点综合起来而得出的整个流体的 运动情况。 流场运动要素是时空（x,y,z,t）的连续函数：
2、迹线
这三“线”在实际流场中不易观察到，但是通过实验手 段，利用示踪介质等流场显示技术，可以显示其形态。
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11
1、流线 (1).流线的定义
流线（Stream Line）是表 示某一瞬时流体各点流动 趋势的曲线，曲线上任一 点的切线方向与该点的流 速方向重合。它描述了流 场中不同质点在同一时刻 的运动状况。
脉线

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18 例1 已知流动速度场为 u x
试求：（1）在t= t 0 瞬间，过A（ x 0 ，y 0 ，z 0 ）点的流线方程； （2）在t= t 0 瞬间，位于A（ x 0 ，y 0 ，z 0 ）点的迹线方程。 解： （1）流线方程的一般表达式为 代入，则有：
x ，u y y，u z 0 1 t
掌握连续性微分方程和一元连续性方程。
4.
5.
理解流体微团的运动分析，理解流体有旋与无旋运动的概念。
流体运动微分方程：理想流体运动微分方程。粘性流体运动微分 方程（不推导）。
6.
7.
理想流体运动微分方程伯努利积分。伯努利方程的能量意义和几 何意义。
理解速度势函数和流函数，流网，了解势流叠加原理；
2
3

二、欧拉加速度
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二.欧拉加速度
质点的加速度（流速对时间求导）有两部分组成： （1）时变加速度（当地加速度）——流动过程中流体由于速度随时间变化而引 （Local Acceleration） 起的加速度； （2）迁移加速度（位变加速度）——流动过程中流体由于速度随位置变化而引 （Convective Acceleration） 起的加速度。 由于位置又是时间t的函数，所以流速是t的复合函数，对流速求导可得加 速度: du u u u dy ux dz ax x x x dx x t x dt y dt z dt dt 时变加速度 dx u , dy u , dz u 代入上式得： x y z dt dt dt
y0 et0 1t ( x 0 x 1) 0
——迹线方程
t是自变量。
或写成：
y
e
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例2 已知流速场为 u Cy , u Cx , u 0 x y z x2 y 2 x2 y 2
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y
其中C为常数（C>0），求流线方程与迹线方程。 dx dy dx dy ，得 解： 流线由式 u Cy Cx ux u y 2 2 2 2 x y x y dx dy y x
第三章 流体运动基本原理 第一节 流体运动的描述方法
一、描述流体运动的两种方法

二、欧拉加速度
3
4
一、描述流体运动的两种方法
1.拉格朗日方法 拉格朗日方法（Lagrangian Approach）是以流场中每一流体质点 作为描述对象的方法，它以流体个别质点随时间的运动为基础，通过 综合足够多的质点（即质点系）运动求得整个流动。----质点系法 即跟随质点研究质点运动参数的变化。
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u
u uxi u y j uz k
ds dxi dyj dzk
A
ds
流速向量与流线相切，即没有垂直于流线的流速分量，u和ds重合。
i
ds u 0 即 dx ux
j dy uy
k dz 0展开后得到： uz
dx dy dz ——流线方程 ux u y uz
1 t 1 dx dy x y
dx dy dz ，将本题已知条件 ux u y uz
积分得：（1+t）lnx = lny + lnCˊ 即：
y Cx(1t )
(1t0 )
当t= t0 时，x= x 0 ，y=y 0 得 C y0 x0 故
y y0 x0(1t0 ) x(1t0 )
u x u x ( x, y, z , t ) （x,y,z,t）——欧拉变量 速度 u y u y ( x, y, z , t ) u z u z ( x, y, z , t )
因欧拉法较简便，是常用的方法。
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第三章 流体运动基本原理 第一节 流体运动的描述方法
一、流描述流体运动的两种方法
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x u ，u y y，u z 0 例1 已知流动速度场为 x 1 t
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试求：（1）在t= t 0 瞬间，过A（ x 0 ，y 0 ，z 0 ）点的流线方程； （2）在t= t 0 瞬间，位于A（ x 0 ，y 0 ，z 0 ）点的迹线方程。
（2）求迹线方程 dx dy 迹线一般表达式为 dt ,代入本题已知条件有： ux uy dx dt dx d t x 1 t ln x ln(1 t ) ln C1 x 1 t t d y d y ln y ln e ln C2 dt dt y y
ln x t ln y t ln C
( x t )( y t ) C
将： t=0，x=-1，y=-1 代入得瞬时 流线 y xy=1 即流线是双曲线
-4 -3 -2 -1 B M (-1,-1) A
由 t=0时，x= –1，y=-1得C1=0， C2=0，则有： 迹线方程：
62第三章流体运动基本原理第五节欧拉运动微分方程的积分一在恒定势流无旋质量力只有重力流体不可压缩条件下的积分二在恒定质量力只有重力流体不可压缩条件下沿流线的积分63第五节欧拉运动微分方程的积分由于欧拉运动微分方程是一个一阶非线性偏微分方程组迁移加速度的三项中包含了未知数与其偏导数的乘积因而至今还无法在一般情况下积分只能在一定条件下积分
迹线是指某一质点在某一时刻 内的运动轨迹，它描述流场中 同一质点在不同时刻的运动情 况。 脉线（色线）是指源于一点的 很多流体质点在同一瞬时的连 线。
流线方程为：
dx dy dz ux uy uz
式中时间t为参变量。 迹线方程为：
dx dy dz dt ux uy uz
迹线
式中时间t为自变量。 恒定流中，流线、迹线、 脉线三线重合。
2
x
积分得： x
迹线由式
y 2 C1
dx dy Cy Cx x2 y 2 x2 y 2
图3-11 速度场
dx dy dt ，得 ux u y
2
积分得： x
y 2 C2
0, u y 0
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因此，流线和迹线均为同心圆。当 y 0, x 0 时，u x
显示图片
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1、流线 (2).流线的绘制方法
参考右图。在流场中任取一 点，绘出某时刻通过该点的 流体质点的流速矢量，再画 出距1点很近的2点在同一时 刻通过该处的流体质点的流 速矢量……,
u2 u1
1 2 3
u3
4
u4
图3-6 某时刻流线图
L1 如此继续下去，得一折线1234……，若各点无限接近，其 u2 极限就是某时刻的流线。 L2 u1
显示图片
dx dy dz ——流线方程，t是参变量 ux u y uz
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3.色线（coloring line）
又称脉线，是源于一 点的很多流体质点在 同一瞬时的连线。
显示图片 色线
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流线、迹线、色线
概念名 定 义 备 注
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流线
流线是表示流体流动趋势的 一条曲线，在同一瞬时线上 各质点的速度向量都与其相 切，它描述了流场中不同质 点在同一时刻的运动情况。
o
-1 -2 -3 -4 x
x t 1 y t 1
或写成： x y 2 0 （MC线）
（或用它们余弦相等推得）
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2. 迹线
(1)、迹线的定义 迹线（Path Line）是指 某一质点在某一时段内的运 动轨迹线。 (2)、迹线的微分方程
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dx dy dz dt ux u y uz
式中，ux，uy，uz 均为时空 t，x，y，z的函数，且t是自 变量。
注意：流线和迹线微分方程的异同点。
表示流向为逆时针。因本例速度场与时间无关，为恒定流，表明恒定流流 线与迹线重合。
例3
已知平面流动
ux x t , u y y t , uz 0
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试求：（1）t=0时，过点M（–1， – 1）的流线 （2）求在t=0时刻位于x= – 1，y= – 1点处流体质点的迹线。
dx dy 解：（1）由式 ux uy
u x u x ( x, y, z , t ) 7 u y u y ( x, y, z , t ) u z u z ( x, y, z , t )
迁移加速度
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8 例: 如图 ,一容器的出水管中有A、B两点，试分析当容器的水位保 持不变 （恒定）和水位随时间变化（不恒定）时，流经A、B处的质点欧拉加速度。
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第三章 流体运动基本原理
第一节 流体运动的描述方法
第二节
第三节
流体流动的若干基本概念
流体微团运动分析
第四节
第五节 第六节
流体运动基本方程
欧拉运动微分方程的积分 恒定平面势流
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第三章 流体运动基本原理（6学时）
本章学习要点： 1. 了解描述流体运动的欧拉法和拉格朗日法。
2.
3.
掌握恒定与非恒定流动、均匀与非均匀流、迹线、流线、流管和 流量及一元、二元和三元概念。
x x(a, b, c, t ) 空间坐标 y y (a, b, c, t ) z z (a, b, c, t )
速度表达式
加速度表达式
（a,b,c）为t=t0起始时刻质点所在的空间位置坐标，称为拉格朗日数。所以，任 何质点在空间的位置（x,y,z）都可看作是（a,b,c）和时间t 的函数。
图3-7 流线不能相交
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1、流线 (3)、流线的性质
a、同一时刻的不同流线，不能相交。
L2 b、流线不能是折线，而是一条光滑的曲线。 L1 U2 U1
c、对不可压缩流体，流线簇的疏密反映了速
度的大小（流线密集的地方流速大，稀疏的 地方流速小）。
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1、流线
(4)、流线的方程
根据流线的定义，可以求得流线的微分方程： 设ds为流线上A处的一微元弧长 u为流体质点在A点的流速