逆矩阵

a11 a12 a1n A11 1 a21 a22 a2 n A12 AB A a A a a nn 1 n n1 n 2
a11 1 a21 AB A a n1
a12 a1n A11 a22 a2 n A12 an 2 ann A1n
A21 An1 A22 An 2 A2 n Ann
A 1 A
∴ B＝A－1
A
E A
同理可证 BA=E (行列式按列展 A12 A 1n
A21 An1 A22 An 2 为A的伴随矩阵. (注意①转置; ②符号) A2 n Ann 1 1 A [注]①上定理记为:An×n可逆 A 0 ,且A A 1 A A A ; ②重要结论: AA A A A E
4.推论:An×nBn×n=EA,B可逆,且A－1=B, B－1=A
1 2 3 例 判断 A 2 2 1 是否可逆，若可逆，求其逆. 3 4 3 1 2 3 解: A 2 2 1 =6＋6＋24－18－12－4＝2≠0 ∴A可逆 3 4 3
2 4 2 1 1 A1 A A 2 3 2 3 1 3 1 3 2 4 2 3 4 3 2 3 2 1 1 3 2 1 3 3 5 3 2 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2
逆矩阵 一、逆矩阵的概念 1.定义:设An×n ,若AB＝BA＝E,称B是A的逆矩阵, 记B＝A-1 ,并称A可逆. (1) 由A、B可交换知: A、B为同阶方阵. (2)B是A的逆矩阵 A、B互为逆矩阵. 例：
1 2 1 2 1 1 2 1 2 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 -1 [注] A 不可写作 ，∵一般A-1B≠BA-1， A 1 B 而将A-1记作 ，二者均为 了！ A A
2. 性质： 1) A可逆 A-1唯一； 2) (AT)-1= (A-1)T; 1 1 . 3) A A 4) (A-1)-1＝A； 5) (AB)-1＝ B-1A-1; (k≠0); 6) (kA)-1＝
二、矩阵可逆的充分必要条件 1.定义：若 Ann 0 ,则称A为非奇异的. 2.定理：An×n可逆 A非奇异 证: 性质5)已证; (将逆矩阵拿出来!)
A11 1 A12 设B A A 1n A21 A22 A2 n An1 An 2 Ann
Aij是 A 中元素aij的 代数余子式
A21 An1 行列式 A22 An 2 按行展 开定理 及推论 ! A2 n Ann
1 3 3 3 1 2 3 4