数学八年级上册13.3.1等腰三角形课时1等腰三角形的性质教学课件 新人教版
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第十三章 轴对称
13.3 等腰三角形 13.3.1等腰三角形 课时一 等腰三角形的性质
目 录
CONTENTS
1 学习目标 3 新课讲解 5 当堂小练 7 布置作业
2 新课导入 4 课堂小结 6 拓展与延伸
学习目标
1.了解等腰三角形的性质，体会等腰三角形“三线合一”的意义.（重 点） 2.探索并掌握等腰三角形的性质，并用以解决实际问题.（难点）
当堂小练
如图，AB//CD，AD=CD，∠1=65°，则∠2的度数为（ A ）
A.50°
B.60°
C.65°
D.70°
解：∵AB//CD，∠1=65°, ∴∠ACD=∠1=65°. ∵AD=CD， ∴∠DCA=∠DAC=65°. ∴∠2的度数为：180°- 65°-65°=50°.
当堂小练
如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数.
解：∵∠BAD=26°，AB=AD， ∴∠B=∠ADB= 12（180°-26°）=77°. ∵AD=CD，
∴∠C=∠DAC.
∵∠ADB=77°，∠ADB=∠C+∠DAC，
∴∠C的度数为 1∠ADB=38.5°. 2
A
BB
D
C
当堂小练
如图，在△ABC中，AB＝AC，E在CA的延长线上，∠AEF＝∠AFE， 求证：EF⊥ BC.
A
BD
C
新课讲解
（1）“三线合一”的性质应用非常广泛，可以用来证明角相等、线段相 等或线段垂直. （2）等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边上的高或底边上 的中线）所在的直线.
应用“三线合一”的前提条件是等腰三角形，且必须是底边上的中线、 底边上的高和顶角的平分线才能互相重合.
新课讲解
新课导入
情境导入
如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把 它展开，得到的△ABC有什么特点.
B
A
D
C
剪刀剪过的两条边是相等的，即△ABC中AB=AC，所以△ABC是等腰三角形.
新课导入
思 考 把剪出的等腰三角形ABC沿着折痕对折，找出其中重合的线段和角. 由得出的重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗？试试说出 你的猜想.
B
A
D
C
在一张白纸上任意画一个等腰三角形，把它剪 下来，请试试折叠，此时猜想仍然成立吗？
新课讲解
知识点 等腰三角形的性质
等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写 成“等边对等角”）.
A
几何语言：如图，在△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
B
C
应用“等边对等角”的前提条件是在同一个三角形中，不
新课讲解
知识点 等腰三角形的性质
等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上
的中线、底边上的高互相重合（简写成“三线合一”）.
A
几何语言：如图，在△ABC中，
①∵AB=AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，BD=CD.
②∵AB=AC，AD⊥BC， ③∵AB=AC，BD=CD，
∴AD平分∠BAC ，BD=CD. ∴AD平分∠BAC，AD⊥BC. B D C
证明：作AD⊥BC，垂足为D. ∵AB=AC，∴∠BAC=2∠CAD. ∵∠AEF=∠AFE， ∴∠BAC=∠AEF+∠AFE=2∠AEF. ∴∠CAD=∠AEF，∴AD∥EF. ∵AD⊥BC，∴EF⊥BC.
拓展与延伸
已知一个等腰三角形的一个内角是130°，它的另外两个内角是多少度？
解：因为等腰三角形的两个底角相等， 所以这个已知的角只能是顶角， 则两个底角的度数都是（180°-130°）=25°, 所以另外两个内角的度数分别为25°，25°.
A.40° B.36° 解： ∵AB=AC， ∴∠C=∠B.
C.80°
D.25°
∵BD=2∠B.
设∠C=∠B=x，则∠BAD=∠BDA=2x.
∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°,∴x=36°.
∴∠B=36°.
课堂小结
等 腰 三 角 形
有两边相等的三角形 等边对等角 三线合一
等腰三角形的其他性质：
（1）等腰三角形两腰上的中线相等，两腰上的高相等，两底角的平分线 也相等. （2）等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高. （3）等腰三角形底边上的高（或底边上的中线或顶角平分线）上任意一 点到两腰的距离相等.
新课讲解
典例分析
例 1 如图，△ABC是等腰三角形（AB=AC，∠BAC=90°），AD是底边BC
重合的线段：AB和AC，BD和CD； 重合的角：∠BAD=∠CAD，
∠B=∠C， ∠ADB=∠ADC.
B
A
D
C
新课导入
猜 想 等腰三角形的两个底角相等，折痕AD为∠BAC的角平分线，为底边BC 的中线，为底边BC的高.
重合的线段：AB和AC，BD和CD； 重合的角：∠BAD=∠CAD，
∠B=∠C， ∠ADB=∠ADC.
上的高，请写出∠B，∠C，∠BAD，∠DAC的度数，并说明BD=CD.
解： ∵AB=AC，∠BAC=90° ,
A
∴∠B=∠C=45°.
∵AB=AC，AD是底边BC上的高， ∴AD是∠BAC的平分线，则∠BAD=∠DAC=45B°.
┐
C
∴AD是底边BC上的中线，则BD=CD.
新课讲解
练一练
1 如图，在△ABC中，已知AB=AC，D为BC的中点，∠BAD=35°，
拓展与延伸
（3）已知一个等腰三角形的两条边的长度比是3:2，且有一条边的长为12厘 米，这个等腰三角形的周长最大是多少？
解：因为等腰三角形一条边长为12厘米，并且两条边的长度比为3:2， 所以和它不相等的另外一条边的长为8厘米或18厘米. ①当腰长为8厘米，底边长为12厘米时，周长为8+8+12=28（厘米）； ②当腰长为12厘米，底边长为8厘米时，周长为8+12+12=32（厘米）； ③当腰长为12厘米，底边长为18厘米时，周长为18+12+12=42（厘米）； ④当腰长为18厘米，底边长为12厘米时，周长为18+18+12=48（厘米）. 因为28<32<42<48，所以这个等腰三角形的周长最大为48厘米.
拓展与延伸
（3）已知一个等腰三角形的两条边的长度比是3:2，且有一条边的长为12厘 米，这个等腰三角形的周长最大是多少？
分析：等腰三角形的两条边的长度比是3:2，有一条边的长为12厘米，所
以另外一条边是8厘米或者18厘米.此时已经有两种情况需要讨论：
①12厘米，8厘米
②12厘米，18厘米
还需注意的是等腰三角形也要分情况讨论，哪段为腰，哪段为底边.
则∠C的度数为（ C ）
A.35°
B.45° C.55° D.60°
解：∵AB=AC，D为BC的中点， ∴∠B=∠C，AD⊥BC. ∵∠B=90°-∠BAD=55°, ∴∠C=55°.
新课讲解
练一练
2 如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且DA=DC，BD=BA,
则∠B的大小为（ B ）
拓展与延伸
（2）已知一个等腰三角形的一个内角是40°，它的另外两个内角是多少度？
解：①当已知角是等腰三角形的顶角时，另外两个内角是底角. 则两个底角的度数都是 （180°-40°）=70°, 所以另外两个内角的度数分别为70°，70°.
②当已知角是等腰三角形的底角时，另外两个内角一个是底角， 一个是顶角. 则底角的度数都是40°，顶角度数为（180°-40°-40°）=100°, 综上所述，另外两个内角为70°，70°或40°，100°.
A
BD
C
新课讲解
如图，在△ABC中，AB=AC，AD是底边BC的高，求证：∠BAD=∠CAD ，BD=CD.
证明：∵AD是底边BC的高， ∴∠ADB=∠ADC=90°. 在Rt△ABD和Rt△ACD中， AB=AC，
AD=AD， ∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）. ∴BD=CD，∠BAD=∠CAD .
你能不能证明①②③的结论？
新课讲解
如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，求证：AD⊥BC，∠ADB=∠ADC .
证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD. 在△ABD和△ACD中， AB=AC，
∠BAD=∠CAD， AD=AD， ∴△ABD≌△ACD（SAS）. ∴∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC. ∵ ∠ADB+∠ADC=180°， ∴∠ADB=∠ADC=90°，即AD⊥BC.
在同一个三角形中不能使用.
新课讲解
（1）“等边对等角”是证明三角形中两个角相等的常用方法， 这种方法比利用三角形全等证明两个角相等更方便. （2）在等腰三角形中，依据三角形内角和等于180°，可以由顶角求 底角，也可以由底角求顶角，且注意：如果已知条件中未说明是顶角 还是底角时，要考虑所有可能的情况并分类讨论.
13.3 等腰三角形 13.3.1等腰三角形 课时一 等腰三角形的性质
目 录
CONTENTS
1 学习目标 3 新课讲解 5 当堂小练 7 布置作业
2 新课导入 4 课堂小结 6 拓展与延伸
学习目标
1.了解等腰三角形的性质，体会等腰三角形“三线合一”的意义.（重 点） 2.探索并掌握等腰三角形的性质，并用以解决实际问题.（难点）
当堂小练
如图，AB//CD，AD=CD，∠1=65°，则∠2的度数为（ A ）
A.50°
B.60°
C.65°
D.70°
解：∵AB//CD，∠1=65°, ∴∠ACD=∠1=65°. ∵AD=CD， ∴∠DCA=∠DAC=65°. ∴∠2的度数为：180°- 65°-65°=50°.
当堂小练
如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数.
解：∵∠BAD=26°，AB=AD， ∴∠B=∠ADB= 12（180°-26°）=77°. ∵AD=CD，
∴∠C=∠DAC.
∵∠ADB=77°，∠ADB=∠C+∠DAC，
∴∠C的度数为 1∠ADB=38.5°. 2
A
BB
D
C
当堂小练
如图，在△ABC中，AB＝AC，E在CA的延长线上，∠AEF＝∠AFE， 求证：EF⊥ BC.
A
BD
C
新课讲解
（1）“三线合一”的性质应用非常广泛，可以用来证明角相等、线段相 等或线段垂直. （2）等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边上的高或底边上 的中线）所在的直线.
应用“三线合一”的前提条件是等腰三角形，且必须是底边上的中线、 底边上的高和顶角的平分线才能互相重合.
新课讲解
新课导入
情境导入
如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把 它展开，得到的△ABC有什么特点.
B
A
D
C
剪刀剪过的两条边是相等的，即△ABC中AB=AC，所以△ABC是等腰三角形.
新课导入
思 考 把剪出的等腰三角形ABC沿着折痕对折，找出其中重合的线段和角. 由得出的重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗？试试说出 你的猜想.
B
A
D
C
在一张白纸上任意画一个等腰三角形，把它剪 下来，请试试折叠，此时猜想仍然成立吗？
新课讲解
知识点 等腰三角形的性质
等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写 成“等边对等角”）.
A
几何语言：如图，在△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
B
C
应用“等边对等角”的前提条件是在同一个三角形中，不
新课讲解
知识点 等腰三角形的性质
等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上
的中线、底边上的高互相重合（简写成“三线合一”）.
A
几何语言：如图，在△ABC中，
①∵AB=AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，BD=CD.
②∵AB=AC，AD⊥BC， ③∵AB=AC，BD=CD，
∴AD平分∠BAC ，BD=CD. ∴AD平分∠BAC，AD⊥BC. B D C
证明：作AD⊥BC，垂足为D. ∵AB=AC，∴∠BAC=2∠CAD. ∵∠AEF=∠AFE， ∴∠BAC=∠AEF+∠AFE=2∠AEF. ∴∠CAD=∠AEF，∴AD∥EF. ∵AD⊥BC，∴EF⊥BC.
拓展与延伸
已知一个等腰三角形的一个内角是130°，它的另外两个内角是多少度？
解：因为等腰三角形的两个底角相等， 所以这个已知的角只能是顶角， 则两个底角的度数都是（180°-130°）=25°, 所以另外两个内角的度数分别为25°，25°.
A.40° B.36° 解： ∵AB=AC， ∴∠C=∠B.
C.80°
D.25°
∵BD=2∠B.
设∠C=∠B=x，则∠BAD=∠BDA=2x.
∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°,∴x=36°.
∴∠B=36°.
课堂小结
等 腰 三 角 形
有两边相等的三角形 等边对等角 三线合一
等腰三角形的其他性质：
（1）等腰三角形两腰上的中线相等，两腰上的高相等，两底角的平分线 也相等. （2）等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高. （3）等腰三角形底边上的高（或底边上的中线或顶角平分线）上任意一 点到两腰的距离相等.
新课讲解
典例分析
例 1 如图，△ABC是等腰三角形（AB=AC，∠BAC=90°），AD是底边BC
重合的线段：AB和AC，BD和CD； 重合的角：∠BAD=∠CAD，
∠B=∠C， ∠ADB=∠ADC.
B
A
D
C
新课导入
猜 想 等腰三角形的两个底角相等，折痕AD为∠BAC的角平分线，为底边BC 的中线，为底边BC的高.
重合的线段：AB和AC，BD和CD； 重合的角：∠BAD=∠CAD，
∠B=∠C， ∠ADB=∠ADC.
上的高，请写出∠B，∠C，∠BAD，∠DAC的度数，并说明BD=CD.
解： ∵AB=AC，∠BAC=90° ,
A
∴∠B=∠C=45°.
∵AB=AC，AD是底边BC上的高， ∴AD是∠BAC的平分线，则∠BAD=∠DAC=45B°.
┐
C
∴AD是底边BC上的中线，则BD=CD.
新课讲解
练一练
1 如图，在△ABC中，已知AB=AC，D为BC的中点，∠BAD=35°，
拓展与延伸
（3）已知一个等腰三角形的两条边的长度比是3:2，且有一条边的长为12厘 米，这个等腰三角形的周长最大是多少？
解：因为等腰三角形一条边长为12厘米，并且两条边的长度比为3:2， 所以和它不相等的另外一条边的长为8厘米或18厘米. ①当腰长为8厘米，底边长为12厘米时，周长为8+8+12=28（厘米）； ②当腰长为12厘米，底边长为8厘米时，周长为8+12+12=32（厘米）； ③当腰长为12厘米，底边长为18厘米时，周长为18+12+12=42（厘米）； ④当腰长为18厘米，底边长为12厘米时，周长为18+18+12=48（厘米）. 因为28<32<42<48，所以这个等腰三角形的周长最大为48厘米.
拓展与延伸
（3）已知一个等腰三角形的两条边的长度比是3:2，且有一条边的长为12厘 米，这个等腰三角形的周长最大是多少？
分析：等腰三角形的两条边的长度比是3:2，有一条边的长为12厘米，所
以另外一条边是8厘米或者18厘米.此时已经有两种情况需要讨论：
①12厘米，8厘米
②12厘米，18厘米
还需注意的是等腰三角形也要分情况讨论，哪段为腰，哪段为底边.
则∠C的度数为（ C ）
A.35°
B.45° C.55° D.60°
解：∵AB=AC，D为BC的中点， ∴∠B=∠C，AD⊥BC. ∵∠B=90°-∠BAD=55°, ∴∠C=55°.
新课讲解
练一练
2 如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且DA=DC，BD=BA,
则∠B的大小为（ B ）
拓展与延伸
（2）已知一个等腰三角形的一个内角是40°，它的另外两个内角是多少度？
解：①当已知角是等腰三角形的顶角时，另外两个内角是底角. 则两个底角的度数都是 （180°-40°）=70°, 所以另外两个内角的度数分别为70°，70°.
②当已知角是等腰三角形的底角时，另外两个内角一个是底角， 一个是顶角. 则底角的度数都是40°，顶角度数为（180°-40°-40°）=100°, 综上所述，另外两个内角为70°，70°或40°，100°.
A
BD
C
新课讲解
如图，在△ABC中，AB=AC，AD是底边BC的高，求证：∠BAD=∠CAD ，BD=CD.
证明：∵AD是底边BC的高， ∴∠ADB=∠ADC=90°. 在Rt△ABD和Rt△ACD中， AB=AC，
AD=AD， ∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）. ∴BD=CD，∠BAD=∠CAD .
你能不能证明①②③的结论？
新课讲解
如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，求证：AD⊥BC，∠ADB=∠ADC .
证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD. 在△ABD和△ACD中， AB=AC，
∠BAD=∠CAD， AD=AD， ∴△ABD≌△ACD（SAS）. ∴∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC. ∵ ∠ADB+∠ADC=180°， ∴∠ADB=∠ADC=90°，即AD⊥BC.
在同一个三角形中不能使用.
新课讲解
（1）“等边对等角”是证明三角形中两个角相等的常用方法， 这种方法比利用三角形全等证明两个角相等更方便. （2）在等腰三角形中，依据三角形内角和等于180°，可以由顶角求 底角，也可以由底角求顶角，且注意：如果已知条件中未说明是顶角 还是底角时，要考虑所有可能的情况并分类讨论.