福建诗山县第二中学2018_2019学年高二数学上学期期中试题文201812110127

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东山二中2018—2019学年（上）高二期中考
文科数学试卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分)
1．已知不等式2
20ax bx ++>的解集是(1,2)- ，则a b -的值为( ) A ．1 B ．1- C ．0 D ．2-
2. 设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂,
以下命题成立的是（ ）
A ．若l β⊥，则αβ⊥
B ．若αβ⊥，则l m ⊥
C ．若//l β，则//αβ
D ．若//αβ，则//l m
3． 已知直线(31)(2)0()k x k y k k R -++-=∈，则当k 变化时，所有直线都通过
定点 ( )
A ．(0,0)
B ． 12(,)77
C ．21(,)77
D ．11
(,
)714
4. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A ．9盏
B ．5盏
C ．3盏
D ．1盏 5. 在ABC ∆中，若2sin sin B C =1cos A +,则ABC ∆是（ ）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形 C. 等边三角形 D ．等腰直角三角形 6.对具有线性相关关系的变量,x y 有一组观测数据(,)i i x y (1,2...8)i =,其回归直线方程是
1
ˆˆ3y
x a
=+且128......3x x x ++=, 128......5y y y ++=,则实数ˆa 是( ) A ．12 B ．14 C ．18 D ．116
7．某中学2015届有840名学生，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( ) A ．11
B ．12
C ．13
D ．14
8．某中学高三从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得 的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是85， 乙班学生成绩的中位数是83，则x y +的值为( ) A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
9. 给出如下四对事件
:
2
①某人射击1次,“射中7环”与“射中8环”;
②甲、乙两人各射击1次,“至少有1人射中目标”与“甲射中,但乙未射中目标”; ③从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,“至少一个黑球”与“都是红球”; ④从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,“没有黑球”与“恰有一个红球”. 其中属于互斥但不对立的事件的有( ) A ． 0对 B. 1对 C.2对 D.3对 10. 下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的,a b 分别为14，18，则输出的a 为（ ）
A.0
B.2
C.4
D.14
11. 函数2()22f x x mx =-+在(-∞,2]上是单调减函数的必要不充分条件是( )
A. 2m ≥
B. 3m ≥
C. 0m ≥
D. 6m =
12.已知函数2()f x x =,1
()()2
x
g x m =-，若对1[1,3
]x ∀∈-,2[0,2]x ∃∈,使得12()()f x g x ≥，则实数m 的取值范围是（ ）
111
1
....
444
4
A m
B m
C m
D m <≤>≥
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．若实数,x y 满足1xy =，则222x y +的最小值为________． 14.在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中， ,E F 分别是棱
1,B B AD 的中点,则异面直线BF 与1D E 所成角的余弦值为
________
15.有下列四个命题,其中真命题有 (只填序号).
①“若1xy =,则,x y 互为倒数”的逆命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题;
③“若1q ≤,则2
20x x q ++=有实根”的逆命题;
④“若a b >,则2
2
ac bc >”的逆否命题.
16.在平面直角坐标系xoy 中,设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2的点构成的区域, E 是到原点的距离大于1的点构成的区域,向D 中随机投一点,则落入E 中的概率为 . 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.如图，在ABC ∆中，P 是BC 边上的一点，60APC ∠=︒
，AB =4AP PB +=.
（1）求BP 的长；
3
0.01
频率组
距
（2）若AC =
，求cos ACP ∠的值.
18. 等比数列{}n a 的各项均为正数，且2
12326231,9a a a a a +==
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设31323log log ...log n n b a a a =+++，求数列1n b ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ； 19.某高级中学共有学生2000人，各年级男、女生人数如下表：
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19.
（1）如果用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在高三年级抽取多少人？
（2）已知245,245y m ≥≥，求高三年级女生比男生多的概率.
20．某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出40名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[)50,40，
[)60,50…[]100,90后画出如下部分频率分布直方图，观
察图形的信息，回答下列问题：
（1）求第四小组的频率，并补全频率分布直方图； （2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平
均分；
（3）从成绩是40～50分及90～100分的学生中选两人，记他们的成绩为x ，y ，求满足“10||>-y x ”的概率.
21.已知命题:p 2
1
,04
x R x x m ∀∈-++
≥; 命题:q 函数212
()log 22f x x mx =-+在[1,+∞)上单调递减.
(1)若p q ∧为真命题,求m 的取值范围;
4
(2)若p q ∨为真命题, p q ∧为假命题,求m 的取值范围.
22．(12分)已知圆C ：x 2
＋y 2
＋2x －4y ＋3＝0．
（1）若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程．
（2）从圆C 外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有||||PO PM =，求使得||PM 取得最小值的点P 的坐标．
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东山二中2018—2019学年（上）高二年期中考
文科数学答案
二、填空题（每小题5分，共20分） 13、、、 ①③ 16、116π-
三．解答题（共6小题，其中17
题10分，其余每小题均为12分，共70
分）
17.解：（1）由已知，得120APB ∠=︒………………………………………………1分 又AB =
4AP BP +=， 在ABP ∆中，由余弦定理， 得(()()2
2
2
424cos120BP BP BP BP =+--⨯⨯-︒，……………………4分
整理，得2
440BP BP -+=.解得2BP =.…………………………………………5分 （2）由（1）知，2AP =，
所以在ACP ∆中，由正弦定理.得
sin 60sin AC AP
ACP
=︒∠，…………………………6分
解得4
sin 25ACP ∠==.………………………………………………………7分
因为2<
AP AC <，从而ACP APC ∠<，即ACP ∠是锐角，……9分 所以3cos 5ACP ∠==.……………………………………………………10分
18. 等比数列{}n a 的各项均为正数，且2
12326231,9a a a a a +==
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设31323log log ...log n n b a a a =+++，求数列1n b ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ； 解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，由23269a a a = 有22349a a =
∴2
19q =
，由条件可知各项均为正数，故1
3
q = 由12231a a += 有1111
231,3a a q a +=∴=
故数列{}n a 的通项式
13
n n a =
（Ⅱ）31323(1)
log log ...log (12...)2
n n n n b a a a n +=+++=-+++=-
故
12112()(1)1
n b n n n n =-=--++ 则：111111111112...2(1)()...()22311n n T b b b n n n ⎡
⎤=
+++=--+-++-=-
⎢⎥++⎣
⎦ 数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为21n n
T n =-+
19.某高级中学共有学生2000人，各年级男、女生人数如下表：
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生
的概率是0.19. （1）如果用分
层抽样的方法在全
校抽取48名学生，问应在高三年级抽取多少人？
（2）已知245,245y m ≥≥，求高三年级女生比男生多的概率. 解：全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率2000
x
P =
0.192000
x
∴
= 380x ∴= (1) 高三年级学生数为：2000(373377380370)500-+++= 用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，则应在高三年级抽取48
500122000
⨯= （2）若245,245y m ≥≥，则男女生人数可能情况为：
2
2
基本事件总数有11个。

记A=“高三年级女生比男生多” 满足事件A 的基本事件有5个
5()11
P A ∴=
20．某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出40名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[)50,40，[)60,50…[]100,90后画出如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求第四小组的频率，并补全频率分布直方图；
（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；
（3）从成绩是40～50分及90～100分的学生中选两人，记他们的成绩为x ，y ，求满足“10||>-y x ”的概率.
解：（1）由频率分布直方图可知第1、2、3、5、6小组的频率分别为：0.1、0.15、0.15、0.25、0.05，所以第4小组的频率为：1-0.1-0.15-0.15-0.25-0.05=0.3．
∴在频率分布直方图中第4小组的对应的矩形的高为03.010
3
.0=，对应图形如图所示：
（2） 考试的及格率即60分及以上的频率 ∴及格率为0.15+0.3+0.25+0.05=0.75 又由频率分布直方图有平均分为：
719505.08525.0753.06515.05515.0451.0=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
（3）设“成绩满足10||>-y x ”为事件A
由频率分布直方图可求得成绩在40～50分及90～100分的学生人数分别为4人和2人，记在40～50分数段的4人的成绩分别为d c b a ,,,，90～100分数段的2人的成绩分别为f e ,，则从中选两人，其成绩组合),(y x 的所有情况有：
)
,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(f e f d e d f c e c d c f b e b d b c b f a e a d a c a b a ，共15种，且每种情况的出现均等可能。

若这2人成绩要满足“10||>-y x ”，则要求一人选自40～50分数段，另一个选自90～100分数段，有如下情况：
),(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(f d e d f c e c f b e b f a e a ，共8种，所以由古典概型概率公式有158)(=
A P ，即所取2人的成绩满足“10||>-y x ”的概率是15
8
．
0.01频率组距
21.已知命题:p 2
1
,04
x R x x m ∀∈-++
≥; 命题:q 函数212
()log 22f x x mx =-+在[1,+∞)上单调递减.
(1)若p q ∧为真命题,求m 的取值范围;
(2)若p q ∨为真命题, p q ∧为假命题,求m 的取值范围. 解:若p 为真, 2
1(1)4()04
m ∆=--+≤
0m ∴≥
若q 为真,函数212
()log 22f x x mx =-+ 在[1,+∞)上单调递减,
函数2()22g x x mx =-+ 在[1,+∞)上单调递增,
14
m
∴
≤ 4m ∴≤ (1) 若p q ∧为真命题,则,p q 均为真,所以m ∈[0,4]. (2) 若p q ∨为真命题, p q ∧为假命题,则,p q 一真一假,
p q 当真假时，0
4m m ≥⎧⎨
>⎩ 4m ∴> p q 当假真时，0
4
m m <⎧⎨
≤⎩ 0m ∴< 所以m 的取值范围为(-∞,0)∪(4,+∞). 22．(12分)已知圆C ：x 2
＋y 2
＋2x －4y ＋3＝0．
（1）若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程．
（2）从圆C 外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求使得|PM |取得最小值的点P 的坐标．
【解析】（1）将圆C 整理得(x ＋1)2
＋(y －2)2
＝2．
①当切线在两坐标轴上的截距为零时，设切线方程为y ＝kx ，
∴圆心到切线的距离为|－k －2|k 2
＋1＝2，即k 2－4k －2＝0，解得k ＝2±6． ∴y ＝(2±6)x ；
②当切线在两坐标轴上的截距不为零时，设切线方程为x ＋y －a ＝0， ∴圆心到切线的距离为|－1＋2－a |
2＝2，即|a －1|＝2，解得a ＝3或－1．
∴x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0．
综上所述，所求切线方程为y ＝(2±6)x 或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0． （2）∵|PO |＝|PM |，
∴x 2
1＋y 2
1＝(x 1＋1)2
＋(y 1－2)2
－2，即2x 1－4y 1＋3＝0，
即点P 在直线l ：2x －4y ＋3＝0上．
当|PM |取最小值时，即|OP |取得最小值，此时直线OP ⊥l ， ∴直线OP 的方程为：2x ＋y ＝0，
解得方程组⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x ＋y ＝0，
2x －4y ＋3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－3
10，y ＝3
5，
∴P 点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－310，35．。