2021年安徽省六安市育才中学高三数学文联考试卷含解析

2021年安徽省六安市育才中学高三数学文联考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知时，复数在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
参考答案：
D
2. 已知锐角是的一个内角,是三角形中各角的对应边,若,则下列各式正确的是( )
A. B. C. D.
参考答案：
C
略
3. 某几何体的正视图和侧视图如图①所示，它的俯视图的直观图是，如图②所示，其中
，则该几何体的表面积为()
A．B．C．D．
参考答案：
C
4. 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，且，f（x）=log2（﹣3x+1），则f （2013）=（）
A．4 B．2 C．﹣2 D．log27
参考答案：
C 【考点】函数的值；奇偶性与单调性的综合．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】先根据函数的周期性和奇偶性将f（2013）转化成f（4×503+1）=f（1）=﹣f（﹣1），然后代入已知解析式，从而可求出所求．
【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，
∴f（2013）=f（4×503+1）=f（1）=﹣f（﹣1），
∵﹣1∈（﹣，0），且，f（x）=log2（﹣3x+1），
∴f（﹣1）=log2[﹣3×（﹣1）+1]=2，
∴f（2013）=﹣f（﹣1）=﹣2．
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数的周期性，奇偶性及已知解析式求函数值，同时考查了转化的思想，属于基础题．
5. 设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝
( )
A．3 B D．1 C．－1 D．－3
参考答案：
6. 是 ( )
A． B． C． D ．
参考答案：
A
7. 下列四个图各反映了两个变量的某种关系，其中可以看作具有较强线性相关关系的是（）
A．①③B．①④C．②③D．①②
参考答案：
B
【考点】变量间的相关关系．
【分析】观察两个变量的散点图，若样本点成带状分布，则两个变量具有线性相关关系，若带状越细说明相关关系越强，得到两个变量具有线性相关关系的图是①和④．
【解答】解：∵两个变量的散点图，
若样本点成带状分布，则两个变量具有线性相关关系，
∴两个变量具有线性相关关系的图是①和④．
故选B．
8. 设函数，若时，有，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
9. 若函数y=f(x)的图像关于点(,)对称.则f(-3)+f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)的
值
（）A．2 B．3 C．－2 D．－4
参考答案：
D
10. 下列命题中，真命题是（）
A．存在x∈R，使得e x≤0
B．“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件
C．x+≥2对任意正实数x恒成立
D．“p或q是假命题”“￢p为真命题”的必要不充分条件参考答案：
C
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】由指数函数的性质判断A；由充分必要条件的判定方法判断B，D；利用基本不等式求最值判断C．
【解答】解：对于A，由指数函数的性质得e x＞0，故A错误；
对于B，若x＞1，不一定有x＞2，反之，若x＞2，必有x＞1，
∴“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，故B错误；
对于C，由基本不等式可得，若x＞0，则x+≥2，故C正确；
对于D，若p或q是假命题，则p，q均为假命题，则￢p为真命题，
反之，￢p为真命题，则p为假命题，p或q不一定是假命题，
∴“p或q是假命题”是“￢p为真命题”的充分不必要条件，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了充分必要条件的判定方法，考查了复合命题的真假判断，是基础题．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共
有种．（用数字填写答案）
参考答案：
16
解答：
恰有位女生，有种；
恰有位女生，有种，∴不同的选法共有种.
12. 方程的根称为函数的零点，定义在上的函数，其导函数的图像如图所示，且，则函数的零点个数是
.
参考答案： 3 略
13. 若幂函数f （x ）过点（2，8），则满足不等式f （2﹣a ）＞f （1﹣a ）的实数a 的取值范围是 ．
参考答案：
【考点】函数单调性的性质；幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【分析】2α=8?α=3，则f （x ）=x 3．通过f （2﹣a ）＞f （a ﹣1），利用函数f （x ）的单调性可得a 范围；
【解答】解：∵2α
=8?α=3，则f （x ）=x 3
，
由f （2﹣a ）＞f （a ﹣1），?2﹣a ＞a ﹣1?a ＜；
则满足不等式f （2﹣a ）＞f （1﹣a ）的实数a 的取值范围是．
故答案为：
．
14. 已知矩形的顶点都在半径为4的球
的球面上，且,则棱锥
的体积为。

参考答案：
15.
在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，过双曲线（）的右顶点P 作射线与
双曲线C 的两条渐近线分别交于第一象限的点M 和第二象限的点N ，且，
的面
积为
，则a =________．
参考答案：
由等轴双曲线可设，
，
，，
由
，得
，整理得
，
解得
，
，，解得
，即
．
16. 如图，已知中，
，延长AC 到D,连接BD,
若
且AB=CD=1，则AC=
参考答案：
略
17. 若对满足条件的任意，恒成立，则实数
的取值范围是 ▲ . 参考答案：
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分14分） 已知
是定义在
上的函数, 其
三点, 若点
的坐标为
,且
在
和
上有相同的单调性, 在和
上有相反的单调性.
（1）求 的取值范围；
（2）在函数的图象上是否存在一点, 使得
在点
的切线斜率为
?求出
点的坐标；若不存在,说明理由；
（3）求的取值范围。

参考答案：
解：（1）
由题意得：在和上有相反的单调性
当时，的另一个根为
在和上有相反的单调性
由题意得：
的三个不同根为
得
二个不同根为
综上得：…………5分
（2）假设在函数的图象上存在一点, 使得在点的切线斜率为
则有解（*）
令
得：与（*）矛盾
在函数的图象上不存在一点, 使得
在点的切线斜率为…………10分
（3）由（1）得：…………14分
略
19. （本小题满分12分）如图, 在三棱锥中,底面,且,点是的中点, 交于点.
（1）求证：平面；
（2）当时, 求三棱锥的体积.
参考答案：
（1）详见解析（2）
试题解析：（1）底面,面,又因为是的中点, 面由已知平面.
(2)平面,平面,而,又
又平面而
.
考点：线面垂直判定与性质定理，三棱锥体积
【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.
(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.
(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.
(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
20. 己知函数在处的切线斜率为
(1)求实数的值及函数的单调区间；
(2) 证明：
参考答案：
（1）由已知：，∴由题知，解得a=1．
于是，
当x∈(0，1)时，，f (x)为增函数，
当x∈(1，+∞)时，， f (x)为减函数，
即f (x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，+∞)．
（2）要证明(n∈N*，n≥2)．
只须证，
只须证．由（Ⅰ）当时，，f (x)为减函数，
f (x)=lnx-x+1≤0，即lnx≤x-1，∴ 当n≥2时，，
，
<
，
∴ ．
21. （本小题满分12分）已知定义域为R的函数是奇函数．
（I）求a的值；（Ⅱ）判断的单调性并证明；
（III）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．参考答案：
法二、由（1）知
22. 已知圆的一条直径是椭圆的长轴，过椭圆C2上一点的动直线l与圆C1相交于点A，B，弦AB的最小值为. （1）求圆C1及椭圆C2的方程；
（2）已知点P是椭圆C2上的任意一点，点M是x轴上的一定点，直线m的方程为，若点P 到定直线m的距离与到定点M的距离之比为2，求定点M的坐标.
参考答案：
解：（1）当时，最小，因为，所以，
因为圆的一条直径是椭圆的长轴，所以
又点在椭圆上，所以，
所以圆的方程为，椭圆的方程为
（2）依题意设，则点到直线的距离，
点到点的距离为，故有，
即得：，
又点在椭圆上，则，因此有，
即对恒成立，
所以，即定点的坐标为，即为椭圆的右焦点.。