八年级初二数学下学期平行四边形单元测试综合卷检测

八年级初二数学下学期平行四边形单元测试综合卷检测
一、选择题
1．在边长为2的正方形ABCD 中，P 为AB 上的一动点，E 为AD 中点，PE 交CD 延长线于Q ，过E 作EF PQ ⊥交BC 的延长线于F ，则下列结论：①APE DQE ∆≅∆；②PQ EF =；③当P 为AB 中点时，2CF =
；④若H 为QC 的中点，当P 从A 移动到B 时，线段EH 扫过的面积为12
，其中正确的是（ ）
A ．①②
B ．①②④
C ．②③④
D ．①②③
2．如图,矩形ABCD 中,AB=5,AD=4,M 是边CD 上一点,将△ADM 沿直线AM 对折,得△ANM ,连BN ,若DM=1,则△ABN 的面积是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．已知在直角梯形ABCD 中， AD ∥BC ，∠BCD ＝90°, BC ＝CD ＝2AD , E 、F 分别是BC 、CD 边的中点，连结BF 、DE 交于点P ，连结CP 并延长交AB 于点Q ，连结AF ，则下列结论不正确的是（ ）
A ．CP 平分∠BCD
B ．四边形 ABED 为平行四边形
C ．CQ 将直角梯形 ABC
D 分为面积相等的两部分
D ．△ABF 为等腰三角形 4．如图，在菱形ABCD 中，AB =5cm ，∠ADC =120°，点
E 、
F 同时由A 、C 两点出发，分别沿AB ．CB 方向向点B 匀速移动(到点B 为止)，点E 的速度为1c m/s ，点F 的速度为2c m/s ，经过t 秒△DEF 为等边三角形，则t 的值为( )
A ．34
B ．43
C ．32
D ．53
5．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠C =90°，AB =8，AD =CD =5，点M 为BC 上异于B 、C 的一定点，点N 为AB 上的一动点，E 、F 分别为DM 、MN 的中点，当N 从A 到B 的运动过程中，线段EF 扫过图形的面积为 ( )
A ．4
B ．4.5
C ．5
D ．6
6．如图，在矩形ABCD 中，把矩形ABCD 绕点C 旋转，得到矩形FECG ，且点E 落在AD 上，连接BE ，BG ，BG 交CE 于点H ，连接FH ，若FH 平分EFG ，则下列结论：
①AE CH EH +=；
②2DEC ABE ∠=∠；
③BH HG =；
④2CH AB =，其中正确的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
7．如图，点E 是正方形ABCD 外一点，连接AE 、BE 和DE ，过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ．若AE ＝AP ＝1，PB ＝3．下列结论：①△APD ≌△AEB ；②EB ⊥ED ；③点B 到直线AE 的距离为7；④S 正方形ABCD ＝8+14．则正确结论的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8．已知，如图，在菱形ABCD 中．（1）分别以C ，D 为圆心，大于12
CD 长为半径作弧，两弧分别交于点E ，F ；（2）作直线EF ，且直线EF 恰好经过点A ，且与边CD 交于点M ；（3）连接BM ．根据以上作图过程及所作图形，判断下列结论中错误．．
的是（ ）
A ．∠ABC =60°
B ．如果AB =2，那么BM =4
C ．BC =2CM
D ．2ABM ADM S S =△△
9．如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC ＝185
．其中正确结论的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．如图，一个四边形花坛ABCD ，被两条线段MN , EF 分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，若MN ∥AB ∥DC ，EF ∥DA ∥CB ，则有（ ）
A ．S 1= S 4
B ．S 1 + S 4 = S 2 + S 3
C ．S 1 + S 3 = S 2 + S 4
D ．S 1·S 4 = S 2·S 3
二、填空题
11．如图，在正方形ABCD 中，点,E F 将对角线AC 三等分，且6AC =．点P 在正方形的边上，则满足5PE PF +=的点P 的个数是________个．
12．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AB ＝OB ，点E ，F 分别是OA ，OD 的中点，连接EF ，EM ⊥BC 于点M ，EM 交BD 于点N ，若∠CEF ＝45°，FN ＝5，则线段BC 的长为_____．
13．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，P 为边BC 上一动点（P 不与B 、C 重合），PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的取值范围是__．
14．如图，四边形纸片ABCD 中，AB BC =, 90ABC ADC ∠=∠=︒．若该纸片的面积为10 cm 2，则对角线BD =______cm ．
15．菱形OBCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B （23，0），∠DOB ＝60°，点P 是对角线OC 上一个动点，E （0，－1），则EP 十BP 的最小值为__________．
16．如图，菱形ABCD 的边长是4，60ABC ∠=︒，点E ，F 分别是AB ，BC 边上的动点（不与点A ，B ，C 重合），且BE BF =，若//EG BC ，//FG AB ，EG 与FG 相交于点G ，当ADG 为等腰三角形时，BE 的长为________．
17．如图，长方形ABCD 中AB ＝2，BC ＝4，正方形AEFG 的边长为1．正方形AEFG 绕点A 旋转的过程中，线段CF 的长的最小值为_____．
18．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E ，F 分别是BC ，AC 的中点，以AC 为斜边作Rt △ADC ，若∠CAD ＝∠BAC ＝45°，则下列结论：①CD ∥EF ；②EF ＝DF ；③DE 平分∠CDF ；④∠DEC ＝30°；⑤AB ＝2CD ；其中正确的是_____（填序号）
19．在菱形ABCD 中，M 是AD 的中点，AB ＝4，N 是对角线AC 上一动点，△DMN 的周长最小是2+23，则BD 的长为___________．
20．如图，在平行四边形ABCD 中，5
3AB AD ==，，BAD ∠的平分线AE 交CD 于点E ，连接BE ，若BAD BEC ∠=∠，则平行四边形ABCD 的面积为__________．
三、解答题
21．在四边形ABCD 中，90A B C D ∠∠∠∠====，10AB CD ==，
8BC AD ==．
()1P 为边BC 上一点，将ABP 沿直线AP 翻折至AEP 的位置(点B 落在点E 处) ①如图1，当点E 落在CD 边上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的图形(不写作法，保留作图痕迹，用2B 铅笔加粗加黑).并直接写出此时DE =______； ②如图2，若点P 为BC 边的中点，连接CE ，则CE 与AP 有何位置关系？请说明理由； ()2点Q 为射线DC 上的一个动点，将ADQ 沿AQ 翻折，点D 恰好落在直线BQ 上的点
'D 处，则DQ =______；
22．综合与实践．
问题情境： 如图①，在纸片ABCD □中，5AD =，15ABCD S =，过点A 作AE BC ⊥，垂足为点E ，沿AE 剪下ABE △，将它平移至DCE '的位置，拼成四边形AEE D '． 独立思考：（1）试探究四边形AEE D '的形状．
深入探究：（2）如图②，在（1）中的四边形纸片AEE D '中，在EE '．上取一点F ，使4EF =，剪下AEF ，将它平移至DE F ''的位置，拼成四边形AFF D '，试探究四边形AFF D '的形状；
拓展延伸：（3）在（2）的条件下，求出四边形AFF D '的两条对角线长；
（4）若四边形ABCD 为正方形，请仿照上述操作，进行一次平移，在图③中画出图形，标明字母，你能发现什么结论，直接写出你的结论．
23．在等边三角形ABC 中，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B ，C 重合），以AD 为边在AD 的上方作菱形ADEF ，且∠DAF=60°，连接CF ．
（1）（观察猜想）如图（1），当点D 在线段CB 上时，
①BCF ∠= ；
②,,BC CD CF 之间数量关系为 ．
（2）（数学思考）：如图（2），当点D 在线段CB 的延长线上时，（1）中两个结论是否仍然成立？请说明理由．
（3）（拓展应用）：如图（3），当点D 在线段BC 的延长线上时，若6AB =，13
CD BC =，请直接写出CF 的长及菱形ADEF 的面积．
．
24．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC BD 、交于点O ，分别过点C D 、作//,//CF BD DF AC ，连接BF 交AC 于点E ．
(1)求证: FCE BOE ≌；
(2)当ADC ∠等于多少度时，四边形OCFD 为菱形?请说明理由．
25．（1）如图①，在正方形ABCD 中，AEF ∆的顶点E ，F 分别在BC ，CD 边上，高AG 与正方形的边长相等，求EAF ∠的度数；
（2）如图②，在Rt ABD ∆中，90,BAD AD AB ︒∠==，点M ，N 是BD 边上的任意两
点，且45MAN ︒∠=，将ABM ∆绕点A 逆时针旋转90度至ADH ∆位置，连接NH ，试判断MN ，ND ，DH 之间的数量关系，并说明理由；
（3）在图①中，连接BD 分别交AE ，AF 于点M ，N ，若正方形ABCD 的边长为12，GF=6，BM= 32EG ，MN 的长．
26．我们知道平行四边形有很多性质，现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论.
（发现与证明．．
）ABCD 中，AB BC ≠，将ABC ∆沿AC 翻折至'AB C ∆，连结'B D . 结论1：'AB C ∆与ABCD 重叠部分的图形是等腰三角形；
结论2：'B D AC .
试证明以上结论.
（应用与探究）
在ABCD 中，已知2BC =，45B ∠=，将ABC ∆沿AC 翻折至'AB C ∆，连结'B D .若以A 、C 、D 、'B 为顶点的四边形是正方形，求AC 的长.（要求画出图形）
27．在正方形ABCD 中，点E 是CD 边上任意一点，连接,AE 过点B 作BF AE ⊥于F ，交AD 于H .
()1如图1，过点D 作DG AE ⊥于G .求证:BF DG FG -=；
()2如图2，点E 为CD 的中点，连接DF ，试判断,,DF FH EF 存在什么数量关系并说明理由；
()3如图3，1AB =，连接EH ，点Р为EH 的中点，在点E 从点D 运动到点C 的过程中，点Р随之运动，请直接写出点Р运动的路径长.
28．已知在平行四边形ABCD 中，AB BC ≠，将ABC 沿直线AC 翻折，点B 落在点
尽处，AD 与CE 相交于点O ，联结DE ．
（1）如图1，求证：//AC DE ；
（2）如图2，如果90B ∠=︒，3AB =，6=BC ，求OAC 的面积；
（3）如果30B ∠=︒，23AB =，当AED 是直角三角形时，求BC 的长．
29．已知：如图，在ABC 中，直线PQ 垂直平分AC ，与边AB 交于点E ，连接CE ，过点C 作//CF BA 交PQ 于点F ，连接AF ．
(1)求证：四边形AECF 是菱形；
(2)若8AC =，AE=5，则求菱形AECF 的面积．
30．如图①，在ABC 中，AB AC =，过AB 上一点D 作//DE AC 交BC 于点E ，以E 为顶点，ED 为一边，作DEF A ∠=∠，另一边EF 交AC 于点F ．
（1）求证：四边形ADEF 为平行四边形；
（2）当点D 为AB 中点时，ADEF 的形状为 ；
（3）延长图①中的DE 到点,G 使,EG DE =连接,,,AE AG FG 得到图②，若,AD AG =判断四边形AEGF 的形状，并说明理由．
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
利用正方形的性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识依次判断即可；
【详解】
解：①∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=BC=CD=AD ，∠A=∠B=90°，
∵∠A=∠EDQ ，∠AEP=∠QED ，AE=ED ，
∴△AEP ≌△DEQ ，故①正确，
②作PG ⊥CD 于G ，EM ⊥BC 于M ，
∴∠PGQ=∠EMF=90°，
∵EF ⊥PQ ，
∴∠PEF=90°，
∴∠PEN+∠NEF=90°，
∵∠NPE+∠NEP=90°，
∴∠NPE=∠NEF ，
∵PG=EM ，
∴△EFM ≌△PQG ，
∴EF=PQ ，故②正确，
③连接QF ．则QF=PF ，PB 2+BF 2=QC 2+CF 2，设CF=x ，
则（2+x ）2+12=32+x 2，
∴x=1，故③错误，
④当P 在A 点时，Q 与D 重合，QC 的中点H 在DC 的中点S 处，当P 运动到B 时，QC 的
中点H与D重合，
故EH扫过的面积为△ESD的面积=1
2
，故④正确，
则正确的是①②④，故选B．
【点睛】
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，难度较大．
2．D
解析：D
【解析】
【分析】
延长MN交AB延长线于点Q，由矩形的性质得出∠DMA=∠MAQ，由折叠性质得出
∠DMA=∠AMQ，AN=AD=4，MN=MD=1，得出∠MAQ=∠AMQ，证出MQ=AQ，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，证出∠ANQ=90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得出方程，解方程求出NQ=7.5，AQ=8.5，即可求出△ABN的面积．
【详解】
解：延长MN交AB延长线于点Q，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，
∴∠DMA=∠MAQ，
由折叠性质得：△ANM≌△ADM，
∴∠DMA=∠AMQ，AN=AD=4，MN=MD=1，
∴∠MAQ=∠AMQ，
∴MQ=AQ，
设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，
∵∠ANM=90°，
∴∠ANQ=90°，
在Rt△ANQ中，由勾股定理得：AQ2=AN2+NQ2，
∴（x+1）2=42+x2，
解得：x=7.5，
∴NQ=7.5，AQ=8.5，
∵AB=5，AQ=8.5，
∴S△NAB=S△NAQ=×AN•NQ=××4×7.5=；
故选：D．
【点睛】
本题考查折叠的性质勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的性质是解题的关键．
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
A.根据边角边”证明△BCF≌△DCE，然后利用“角边角”证明△BEP≌△DFP，再利用“边角边”证明△BCP≌△DCP全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BCP=∠DCP；
B.根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ABED为平行四边形；
C.连接QD，利用“边角边”证明△BCQ和△DCQ全等，根据全等三角形的面积相等判断出S△BCQ=S△DCQ，判断出CQ将直角梯形ABCD分成的两部分面积不相等．
D.根据平行四边形的对边相等可得AB=DE，再求出AB=BF，从而得到△ABF为等腰三角形；
【详解】
解：∵BC=CD，E、F分别是BC、CD边的中点，
∴BE=CE=CF=DF，
在△BCF和△DCE中，
，
∴△BCF≌△DCE（SAS），
∴DE=BF，∠CBF=∠CDE，∠BFC=∠DEC，
∴180°-∠BFC=180°-∠DEC，
即∠BEP=∠DFP，
在△BEP和△DFP中，
，
∴△BEP≌△DFP（ASA），
∴BP=DP，
在△BCP和△DCP中，
，
∴△BCP≌△DCP（SAS），
∴∠BCP=∠DCP，
∴CP平分∠BCD，故A选项结论正确；
∵BC=2AD，E是BC的中点，
∴BE=AD，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABED为平行四边形，故B选项结论正确；
∴AB=DE，
又∵DE=BF（已证），
∴AE=BF，
∴△ABF为等腰三角形，故D选项结论正确；
连接QD，
在△BCQ和△DCQ中，
，
∴△BCQ≌△DCQ（SAS），
∴S△BCQ=S△DCQ，
∴CQ将直角梯形ABCD分成的两部分面积不相等，故C选项结论不正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查了直角梯形，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟记各图形的判定方法和性质并准确识图是解题的关键，难点在于多次证明三角形全等．
4．D
解析：D
【分析】
由题意知道AE=t，CF=2t，连接BD，证明△DEB≌△DFC，得到EB=FC=2t，进而
AB=AE+EB=3t=5，进而求出t的值.
【详解】
解：连接DB，如下图所示，
∵四边形ABCD 为菱形，且∠ADC=120°，
∴∠CDB=60°
∴△CDB 为等边三角形，∴DB=DC
又∵△DEF 为等边三角形，∴∠EDF=60°，DE=DF
∴∠CDB=∠EDF
∴∠CDB-∠BDF=∠EDF-∠BDF
∴∠CDF=∠BDE
在△EDB 和△FDC 中：
=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
DE DF EDB FDC DB DC ，∴△EDB ≌△FDC(SAS)
∴FC=BE=2t
∴AB=AE+EB=t+2t=3t=5
∴t=53
. 故答案为：D.
【点睛】
本题考查了三角形全等、菱形的性质等相关知识，关键是能想到连接BD 后证明三角形全等，本题是动点问题，将线段长用t 的代数式表示，化动为静.
5．A
解析：A
【分析】
取MB 的中点P ，连接FP ，EP ，DN ，由中位线的性质，可得当N 从A 到B 的运动过程中，点F 在FP 所在的直线上运动，即：线段EF 扫过图形为∆EFP ，求出当点N 与点A 重合时，FP 的值，以及FP 上的高，进而即可求解．
【详解】
取MB 的中点P ，连接FP ，EP ，DN ，
∵FP 是∆MNB 的中位线，EF 是∆DMN 的中位线，
∴FP ∥BN ，FP=12BN ，EF ∥DN ，EF=12
DN ， ∴当N 从A 到B 的运动过程中，点F 在FP 所在的直线上运动，即：线段EF 扫过图形为∆EFP ．
∴当点N 与点A 重合时，FP=
12BN =12BA =4， 过点D 作DQ ⊥AB 于点Q ，
∵AB ∥CD ，∠C =90°，AB =8，AD =CD =5，
∴AQ=8-5=3，
∴DQ=2222534AD AQ -=-=，
∴当点N 与点Q 重合时，EF=11222
DN DQ ==，EF ∥DQ ，即：EF ⊥AB ，即：EF ⊥FP ， ∴∆EFP 中，FP 上的高=2， ∴当N 从A 到B 的运动过程中，线段EF 扫过图形的面积=
12×4×2=4． 故选A ．
【点睛】
本题主要考查中位线的性质定理，勾股定理以及三角形的面积公式，添加合适的辅助线，构造三角形以及三角形的中位线，是解题的关键．
6．C
解析：C
【分析】
如图，作BM ⊥EC 于M ．证明△BEA ≌△BEM （AAS ），△BMH ≌△GCH （AAS ），利用全等三角形的性质即可一一判断．
【详解】
解：如图，作BM ⊥EC 于M ．
∴∠CBE=∠CEB，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠AEB=∠MEB，
∵∠A=∠BME=90°，BE=BE，
∴△BEA≌△BEM（AAS），
∴AE=EM，AB=BM．
∵∠BMH=∠GCH=90°，∠BHM=∠GHC，BM=AB=CG，
∴△BMH≌△GCH（AAS），
∴MH=CH，BH=HG，
∴EH=EM+MH=AE+CH，故①③正确，
∵∠AEB+∠ABE=90°，
∴2∠AEB+2∠ABE=180°，
∵∠DEC+∠AEC=180°，∠AEC=2∠AEB，
∴∠DEC+2∠AEB=180°，
∴∠DEC=2∠ABE，故②正确，
∵FH平分∠EFG，
∴∠EFH=45°，
∵∠FEH=90°，
∴AB=EF=EH，
∵EH＞HM=CH，
∴CH＜AB，故④错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查性质的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
7．C
解析：C
【分析】
①易知AE＝AP，AB＝AD，所以只需证明∠EAB＝∠PAD即可用SAS说明△APD≌△AEB；
②易知∠AEB＝∠APD＝135°，则∠BEP＝∠AEB﹣∠AEP＝135°﹣45°＝90°，所以EB⊥ED；
③在Rt△BEP中利用勾股定理求出BE，根据垂线段最短可知B到直线AE的距离
；则③错误；
④要求正方形的面积，则需知道正方形一条边的平方值即可，所以在△AEB中，∠AEB＝
135°，AE＝1，BE A作AH⊥BE交BE延长线于H点，在Rt△AHB中利用勾股定理AB2＝BH2+AH2即可．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°．
∴∠DAP+∠BAP＝90°．
又∠EAP+∠BAP＝90°，
∴∠EAP＝∠DAP．
又AE＝AP，
∴△APD≌△AEB（SAS）．
所以①正确；
∵AE＝AP，∠EAP＝90°，
∴∠APE＝∠AEP＝45°，
∴∠APD＝180°﹣45°＝135°．
∵△APD≌△AEB，
∴∠AEB＝∠APD＝135°，
∴∠BEP＝135°﹣45°＝90°，
即EB⊥ED，②正确；
在等腰Rt△AEP中，利用勾股定理可得EP＝222
AE AP
+=，
在Rt△BEP中，利用勾股定理可得BE＝227
BP EP
-=．
∵B点到直线AE的距离小于BE，所以点B到直线AE的距离为7是错误的，所以③错误；
在△AEB中，∠AEB＝135°，AE＝1，BE＝7，
如图所示，过点A作AH⊥BE交BE延长线于H点．
在等腰Rt△AHE中，可得AH＝HE
22
所以BH＝
2
7
2
+．
在Rt△AHB中利用勾股定理可得AB2＝BH2+AH2，
即AB22
7
+）2+
2
）2＝14，
所以S正方形ABCD＝8+14．
所以④正确．
所以只有①和②、④的结论正确．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解决复杂几何图形时要会分离图形，分离出对解决问题有价值的图形单独解决．
8．B
解析：B
【分析】
连接AC，根据线段重直平分线的性质及菱形的性质即可判断A选项正确；根据线段垂直平分线的性质及菱形的性质求出∠BAM=90°，利用三角函数求出AM，即可利用勾股定理求出BM，由此判断B选项；根据线段垂直平分的性质和菱形的性质可得BC=2CM，由此判断C选项；利用同底等高的性质证明△ABM的面积=△ABC的面积=△ACD的面积，再利用线段垂直平分线的性质即可判断D选项．
【详解】
如图，连接AC，
由题意知：EF垂直平分CD，
∴AC=CD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=BC=CD，
∴AC=AD=CD=AB=BC，
∴△ABC和△ACD都是等边三角形，
∴∠BAC=∠CAD=∠ABC=60°，故A正确；
∵AM垂直平分CD，
∴∠CAM=∠DAM=30°，
∴∠BAM=90°，
∴S△ABM=S△ABC=S△ABD=2S△ADM，故D项正确；
∵AB=2，
∴AC=CD=2，
∴AM=AC·cos30°=2×
3
2
3，
∴B 项错误；
由AM 垂直平分CD 可得CM=
12
CD ， 又∵BC=CD ， ∴CM=
12
BC ，即BC=2CM ，故C 项正确； 故选：B ．
【点睛】 本题考查线段垂直平分线的作图，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定及性质，菱形的性质，三角函数，勾股定理，是一道综合题，掌握知识点是解题关键．
9．D
解析：D
【分析】
由正方形和折叠的性质得出AF ＝AB ，∠B ＝∠AFG ＝90°，由HL 即可证明
Rt △ABG ≌Rt △AFG ，得出①正确；
设BG ＝x ，则CG ＝BC−BG ＝6−x ，GE ＝GF ＋EF ＝BG ＋DE ＝x ＋2，由勾股定理求出x ＝3，得出②正确；
由等腰三角形的性质和外角关系得出∠AGB ＝∠FCG ，证出平行线，得出③正确； 根据三角形的特点及面积公式求出△FGC 的面积＝
185
，得出④正确． 【详解】
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB ＝AD ＝DC ＝6，∠B ＝D ＝90°，
∵CD ＝3DE ，
∴DE ＝2，
∵△ADE 沿AE 折叠得到△AFE ，
∴DE ＝EF ＝2，AD ＝AF ，∠D ＝∠AFE ＝∠AFG ＝90°，
∴AF ＝AB ，
∵在Rt △ABG 和Rt △AFG 中， AG AG AB AF =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △ABG ≌Rt △AFG （HL ），
∴①正确；
∵Rt △ABG ≌Rt △AFG ，
∴BG ＝FG ，∠AGB ＝∠AGF ，
设BG ＝x ，则CG ＝BC−BG ＝6−x ，GE ＝GF ＋EF ＝BG ＋DE ＝x ＋2，
在Rt △ECG 中，由勾股定理得：CG 2＋CE 2＝EG 2，
∵CG ＝6−x ，CE ＝4，EG ＝x ＋2
∴（6−x）2＋42＝（x＋2）2
解得：x＝3，
∴BG＝GF＝CG＝3，
∴②正确；
∵CG＝GF，
∴∠CFG＝∠FCG，
∵∠BGF＝∠CFG＋∠FCG，
又∵∠BGF＝∠AGB＋∠AGF，
∴∠CFG＋∠FCG＝∠AGB＋∠AGF，
∵∠AGB＝∠AGF，∠CFG＝∠FCG，
∴∠AGB＝∠FCG，
∴AG∥CF，
∴③正确；
∵△CFG和△CEG中，分别把FG和GE看作底边，则这两个三角形的高相同．
∴
3
5
CFG
CEG
S FG
S GE
==，
∵S△GCE＝1
2
×3×4＝6，
∴S△CFG＝3
5
×6＝
18
5
，
∴④正确；
正确的结论有4个，
故选：D．
【点睛】
本题考查了正方形性质、折叠性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、平行线的判定等知识点的运用；主要考查学生综合运用性质进行推理论证与计算的能力，有一定难度．
10．D
解析：D
【分析】
由于在四边形中，MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，因此MN、EF把一个平行四边形分割成四个小平行四边形．可设MN到DC的距离为h1，MN到AB的距离为h2，根据AB=CD，DE=AF，EC=FB及平行四边形的面积公式即可得出答案．
【详解】
解：∵MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，
∴四边形ABCD，四边形ADEF，四边形BCEF，红、紫、黄、白四边形都为平行四边形，∴AB=CD，DE=AF，EC=BF．
设MN到DC的距离为h1，MN到AB的距离为h2，
则S1=DE•h1，S2=AF•h2，S3=EC•h1，S4=FB•h2，
因为DE，h1，FB，h2的关系不确定，所以S1与S4的关系无法确定，故A错误；
S1+S4=DE•h1+FB•h2=AF•h1+FB•h2，S2+S3=AF•h2+EC•h1=AF•h2+FB•h1，故B错误；
S1+S3=CD•h1，S2+S4=AB•h2，又AB=CD，而h1不一定与h2相等，故C错误；
S1·S4=DE•h1•FB•h2=AF•h1•FB•h2，S2·S3=AF•h2•EC•h1=AF•h2•FB•h1，所以
S1·S4=S2·S3，
故D正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定与性质，注意掌握平行四边形的面积等于平行四边形的边长与该边上的高的积．即S=a•h．其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边与其对边的距离，即对应的高．
二、填空题
11．8个
【分析】
作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，交BC于点H，可得点H到点E和点F的距离之和最小，可求最小值，即可求解．
【详解】
如图，作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，交BC于点H，
∵点E，F将对角线AC三等分，且AC＝6，
∴EC＝4，FC＝2＝AE，
∵点M与点F关于BC对称，
∴CF＝CM＝2，∠ACB＝∠BCM＝45°，
∴∠ACM＝90°，
∴EM
则在线段BC存在点H到点E和点F的距离之和最小为5，
在点H右侧，当点P与点C重合时，则PE＋PF＝4＋2＝6，
∴点P在CH上时，PE＋PF≤6，
在点H左侧，当点P与点B重合时，
∵FN⊥BC，∠ABC＝90°，
∴FN∥AB，
∴△CFN∽△CAB，
∴FN CN CF1
===
AB CB CA3
，
∵AB＝BC＝
2
AC＝
∴FN＝1
3
AB＝2，
CN＝1
3
BC＝2，
∴BN＝BC－CN＝22，
BF＝22
FN+BN=2+8=10，
∵AB＝BC，CF＝AE，∠BAE＝∠BCF，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴BE＝BF＝10，
∴PE＋PF＝210，
∴点P在BH上时，25＜PE＋PF＜210，
∴在线段BC上点H的左右两边各有一个点P使PE＋PF＝5，
同理在线段AB，AD，CD上都存在两个点使PE＋PF＝5．
即共有8个点P满足PE＋PF＝5，
故答案为8．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，最短路径问题，在BC上找到点H，使点H到点E和点F的距离之和最小是本题的关键．
12．5
【分析】
设EF＝x，根据三角形的中位线定理表示AD＝2x，AD∥EF，可得∠CAD＝∠CEF＝45°，证
明△EMC是等腰直角三角形，则∠CEM＝45°，证明△ENF≌△MNB，则EN＝MN＝1
2 x，
BN＝FN＝5，最后利用勾股定理计算x的值，可得BC的长．【详解】
解：设EF＝x，
∵点E、点F分别是OA、OD的中点，
∴EF是△OAD的中位线，
∴AD＝2x，AD∥EF，
∴∠CAD＝∠CEF＝45°，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，AD ＝BC ＝2x ，
∴∠ACB ＝∠CAD ＝45°，
∵EM ⊥BC ，
∴∠EMC ＝90°，
∴△EMC 是等腰直角三角形，
∴∠CEM ＝45°，
连接BE ，
∵AB ＝OB ，AE ＝OE
∴BE ⊥AO
∴∠BEM ＝45°，
∴BM ＝EM ＝MC ＝x ，
∴BM ＝FE ，
易得△ENF ≌△MNB ，
∴EN ＝MN ＝12
x ，BN ＝FN ＝5， Rt △BNM 中，由勾股定理得：BN2＝BM2+MN2， 即2221
5()2x x =+
解得，x ＝5
∴BC ＝2x ＝5 故答案为：5
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；解决问题的关键是设未知数，利用方程思想解决问题．
13．
3013
≤AM<6 【分析】 由勾股定理得BC=13从而得到点A 到BC 的距离, M 为EF 中点，所以AM=
12
EF ，继而求得AM 的范围．
【详解】
因为∠BAC=90°，AB=5，AC=12，
所以由勾股定理得BC=13，
则点A到BC的距离为
AC512 BC13 AB⨯⨯
==
60
13
，
所以AM的最小值为
60
13
÷2=
30
13
，
因为M为EF中点，所以AM=
1
2
EF，
当E越接近A，F越接近C时，EF越大，
所以EF＜AC，则AM＜6，
所以
30
13
≤AM＜6，
故答案为
30
13
≤AM＜6.
14．25
【分析】
作BE⊥AD于E，BF⊥CD于F，则四边形BEDF是矩形，证明△ABE≌△CBF（AAS），得出BE=BF，△ABE的面积=△CBF的面积，则四边形BEDF是正方形，四边形ABCD的面积=正方形BEDF的面积，求出BE=10，即可求得BD的长．
【详解】
解：作BE⊥AD交DA延长线于E，BF⊥CD于F，如图所示：
则∠BEA=∠BFC=90°，
∵∠ADC=90°，
∴四边形BEDF是矩形，
∴∠EBF=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠EBF=∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠CBF，
在△ABE和△CBF中，
BEA BFC
ABE CBF
AB CB
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ABE≌△CBF（AAS），
∴BE=BF，△ABE的面积=△CBF的面积，
∴四边形BEDF是正方形，四边形ABCD的面积=正方形BEDF的面积，
∴BE=DE ，BE 2=10 cm 2，
∴(cm)，
∴．
故答案为：
【点睛】
本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
15【分析】
先根据菱形的性质可得OC 垂直平分BD ，从而可得=DP BP ，再根据两点之间线段最短可得EP BP +的最小值为DE ，然后利用等边三角形的判定与性质求出点D 的坐标，最后利用两点之间的距离公式即可得．
【详解】
如图，连接BP 、DP 、EP 、DE 、BD ，过点D 作DA OB ⊥于点A ， (23,0)B ，
OB ∴=
四边形ABCD 是菱形，
OC ∴垂直平分BD ，OB OD ==
点P 是对角线OC 上的点，
DP BP ∴=，
EP BP EP DP ∴+=+，
由两点之间线段最短可知，EP DP +的最小值为DE ，即EP BP +的最小值为DE ， ,60OB OD DOB =∠=︒，
BOD ∴是等边三角形， DA OB ⊥，
1
2
OA OB ∴==3AD ===，
D ∴，
又(0,1)E -，
DE ∴==
即EP BP +
【点睛】
本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、两点之间的距离公式等知识点，根据两点之间线段最短得出EP BP
+的最小值为DE是解题关键．
16．8
3
或
4
43
3
-
【分析】
连接AC交BD于O，由菱形的性质可得AB=BC=4，∠ABD=30°，AC⊥BD，BO=DO，
AO=CO，可证四边形BEGF是菱形，可得∠ABG=30°，可得点B，点G，点D三点共线，由直角三角形性质可求BD=43，AC=4，分两种情况讨论，利用等腰三角形的性质可求解．【详解】
如图，连接AC交BD于O，
∵菱形ABCD的边长是4，∠ABC=60°，
∴AB=BC=4，∠ABD=30°，AC⊥BD，BO=DO，AO=CO，
∵EG∥BC，FG∥AB，
∴四边形BEGF是平行四边形，
又∵BE=BF，
∴四边形BEGF是菱形，
∴∠ABG=30°，
∴点B，点G，点D三点共线，
∵AC⊥BD，∠ABD=30°，
∴AO=1
2
AB=2，2222
4223
AB AO
--=
∴BD=3AC=4，
同理可求3BE，即
3
，
若AD=DG'=4时，
∴BG'=BD-DG'=4，
∴BE'4==； 若AG''=G''D 时，过点G''作G''H ⊥AD 于H ，
∴AH=HD=2，
∵∠ADB=30°，G''H ⊥AD ，
∴DG''=2HG''，
∵222HD HG''DG''+=，
解得：HG''=，DG''=2HG''=
∴BG''=BD-DG''=-
= ∴BE''=83
，
综上所述：BE 为
83或4- 【点睛】
本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
17．
【分析】
连接AF ，CF ，AC ，利用勾股定理求出AC 、AF ，再根据三角形的三边关系得到当点A ，
F ，C 在同一直线上时，CF 的长最小，最小值为.
【详解】
解：如图，连接AF ，CF ，AC ，
∵长方形ABCD 中AB ＝2，BC ＝4，正方形AEFG 的边长为1，
∴AC ＝AF ，
∵AF +CF ≥AC ，
∴CF ≥AC ﹣AF ，
∴当点A ，F ，C 在同一直线上时，CF 的长最小，最小值为，
故答案为：．
【点睛】
此题考查矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角形的三边关系. 18．①②③⑤
【分析】
根据三角形中位线定理得到EF＝1
2
AB，EF∥AB，根据直角三角形的性质得到DF＝
1
2
AC，
根据三角形内角和定理、勾股定理计算即可判断．【详解】
∵E，F分别是BC，AC的中点，
∴EF＝1
2
AB，EF∥AB，
∵∠ADC＝90°，∠CAD＝45°，
∴∠ACD＝45°，
∴∠BAC＝∠ACD，
∴AB∥CD，
∴EF∥CD，故①正确；
∵∠ADC＝90°，F是AC的中点，
∴DF＝CF=1
2 AC，
∵AB=AC，EF＝1
2 AB，
∴EF＝DF，故②正确；
∵∠CAD=∠ACD=45°，点F是AC中点，
∴△ACD是等腰直角三角形，DF⊥AC，∠FDC=45°，∴∠DFC=90°，
∵EF//AB，
∴∠EFC=∠BAC=45°，∠FEC=∠B=67.5°，
∴∠EFD=∠EFC+∠DFC=135°，
∴∠FED＝∠FDE＝22.5°，
∵∠FDC＝45°，
∴∠CDE=∠FDC-∠FDE=22.5°，
∴∠FDE=∠CDE ，
∴DE 平分∠FDC ，故③正确；
∵AB ＝AC ，∠CAB ＝45°，
∴∠B ＝∠ACB ＝67.5°，
∴∠DEC ＝∠FEC ﹣∠FED ＝45°，故④错误；
∵△ACD 是等腰直角三角形，
∴AC 2=2CD 2，
∴AC=2CD ， ∵AB=AC ，
∴AB ＝2CD ，故⑤正确； 故答案为：①②③⑤．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行线的性质，勾股定理等知识．掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
19．4
【分析】
根据题意，当B 、N 、M 三点在同一条直线时，△DMN 的周长最小为：BM+DM=2+23，
由DM=
122
AD =，则BM=23，利用勾股定理的逆定理，得到∠AMB=90°，则得到△ABD 为等边三角形，即可得到BD 的长度.
【详解】
解：如图：连接BD ，BM ，则AC 垂直平分BD ，则BN=DN ，
当B 、N 、M 三点在同一条直线时，△DMN 的周长最小为：BM+DM=2+3 ∵AD=AB=4，M 是AD 的中点，
∴AM=DM=122
AD =， ∴BM=3
∵2222223)16AM BM AB +=+==，
∴△ABM 是直角三角形，即∠AMB=90°；
∵BM 是△ABD 的中线，
∴△ABD 是等边三角形，
∴BD=AB=AD=4.
故答案为：4.
【点睛】
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，以及三线合一定理.解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确得到△ABD 是等边三角形.
20．102
【分析】
根据平行四边形的性质、角平分线的性质证明AD=DE=3，再根据BAD BEC ∠=∠证明BC=BE ，由此根据三角形的三线合一及勾股定理求出BF ，即可求出平行四边形的面积.
【详解】
过点B 作BF CD ⊥于点F ，如图所示．
∵AE 是BAD ∠的平分线，
∴DAE BAE ∠=∠．
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴5
3CD AB BC AD BAD BCE AB CD ====∠=∠，，，∥， ∴BAE DEA ∠=∠，
∴DAE DEA ∠=∠，
∴3DE AD ==，
∴2CE CD DE =-=．
∵BAD BEC ∠=∠，
∴BCE BEC ∠=∠，
∴BC=BE, ∴112CF EF CE ==
=， ∴22223122BF BC CF =-=-=
∴平行四边形ABCD 的面积为225102BF CD ⋅==．
故答案为：2
【点睛】
此题考查平行四边形的性质：对边平行且相等，对角相等，等腰三角形的等角对等边的性质、三线合一的性质，勾股定理.
三、解答题
21．（1）①6；②结论：//P EC A ；（2）为4和16．
【分析】
()1①如图1中，以A 为圆心AB 为半径画弧交CD 于E ，作EAB ∠的平分线交BC 于点P ，点P 即为所求.理由勾股定理可得DE ．
②如图2中，结论：EC//PA.只要证明PA BE ⊥，EC BE ⊥即可解决问题． ()2分两种情形分别求解即可解决问题．
【详解】
解：()1①如图1中，以A 为圆心AB 为半径画弧交CD 于E ，作EAB ∠的平分线交BC 于点P ，点P 即为所求．
在Rt ADE 中，90D ∠=，10AE AB ==，8AD =， 22221086DE AE AD ∴=-=-=，
故答案为6．
②如图2中，结论：//P EC A ．
理由：由翻折不变性可知：AE AB =，PE PB =，
PA ∴垂直平分线段BE ，
即PA BE ⊥，
PB PC PE ==，
90BEC ∠∴=，
EC BE ∴⊥，
//EC PA ∴．
()2①如图31-中，当点Q 在线段CD 上时，设DQ QD'x ==．
在Rt AD'B 中，AD'AD 8==，AB 10=，AD'B 90∠=， 22BD'AB AD'6∴=-=， 在Rt BQC 中，
222CQ BC BQ +=， 222(10x)8(x 6)∴-+=+，
x 4∴=，
DQ 4∴=．
②如图32-中，当点Q 在线段DC 的延长线上时，
DQ //AB ，
DQA QAB ∠∠∴=，
DQA AQB ∠∠=，
QAB AQB ∠∠∴=，
AB BQ 10∴==，
在Rt BCQ 中，CQ BQ 6==，
DQ DC CQ 16∴=+=，
综上所述，满足条件的DQ 的值为4或16．
故答案为4和16．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
22．（1）矩形；（2）菱形；（3）4）见解析
【分析】
（1）由平移推出AD EE '=，即可证得四边形AEE D '是平行四边形，再根据
AE BC ⊥，得到90AEE '∠=︒即可得到结论；
（2）由平移推出AD FF '=，证得四边形AFF D '是平行四边形，根据AE EF ⊥得到90AEE '∠=︒，再根据勾股定理求出AF=5=AD ，即可证得四边形AFF D '是菱形；
（3）先利用勾股定理求出DF ==，再根据菱形的面积求出F A '；
（4）在BC 边上取点E ，连接AE ，平移△ABE 得到△DCF ，可得四边形AEFD 是平行四边形.
【详解】
(1)四边形AEE D '是矩形，
在ABCD □中，//AD BC ，AD BC =，
由平移可知：BE CE ''=，
∴BC EE '=，
∴AD EE '=，
∴四边形AEE D '是平行四边形，
∵AE BC ⊥，
∴90AEE '∠=︒，
∴四边形AEE D '是矩形；
(2)四边形AFF D '是菱形，
在矩形AEE D '中，//AD EE ' ，AD EE '=，
由平移可知：EF E F =''，
∴EE FF ''=，
∴AD FF '=，
∴四边形AFF D '是平行四边形，
∵AE EF ⊥，
∴90AEE '∠=︒，
在Rt AEF ，5AF =
==， ∴AF AD =，
∴四边形AFF D '是菱形；
(3)连接F A ',
在Rt DFE '△中，DF ==，
15ABCD AFF D S S '==平行四边形菱形，
∴·30F A FD '=，
∴F A '=。