一.遇角平分线常用辅助线

第一章 遇角平分线常用辅助线
【添法透析】
角相等时，添线段可构造线段相等、三角形全等或相似，常用有如下四大添法： 一．点在平分线，可作垂两边 二．角边相等，可造全等 三．平分加平行，可得等腰形 四．平分加垂线 ，补得等腰现
一．点在平分线，可作垂两边
角平分线性质定理：角平分线上点到角两边距离相等． 如图，若OP 是∠AOB 角平分线，PE ⊥OA ，可过P 点作PF ⊥OB ， 则可用结论有：（1）PF=PE ；
（2）证得△OPF ≌△OPE ； （3）证得OF=OE ．
例1．已知如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，CD=1.5，BD=2.5，求AC ． 邦德点拨：过点D 作DE ⊥AB ，则DE=CD ，AE=AC ， 再利用方程思想、勾股定理解AC ．
E
A
P O
B F B
E
D C
A
练习1：已知如图，P 为△ABC 两外角∠DBC 和∠ECB 平分线的交点，求证：AP 平分∠BAC ．
二．角边相等，可造全等
在角的两边取相等线段，可得全等三角形．
如图，若OP 为∠AOB 角平分线，可在OB 上取OF=OE ， 则可用结论有：（1）证得△OPF ≌△OPE ； （2）证得PF=PE ，OF=OE ；
（3）证得∠PFO=∠PEO ，∠OPF=∠OPE ．
例2．已知如图，AB//CD ，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB+CD ． 邦德点拨：在BC 上截取BF=BA ，问题转化为证CF=CD ．
练习2．已知如图，AD 是△ABC 的内角平分线，P 是AD 上异
A
B
C
E
D
P A
E P
F B O
A P D
C
B
E
D
A
F
C
B
于点A 的任意一点，，试比较PB-PC 与AC-AB 的大小，并说明理由．
三．平分加平行，可得等腰形
1．过角平分线上一点，作角的一边平行线，可构造得等腰三角形或相似； 如图，若OP 是∠AOB 平分线，过P 点作OB 平行线交OA 于E 点， 可用结论：证得△EOP 是等腰三角形．
如图，若AD 是∠BAC 平分线，过C 点作AB 平行线交直线AD 于E 点， 可用结论有：（1）证得△EOP 是等腰三角形； （2）证得△CDE ∽△ADB ；
（3）CD
BD
AC AB ．
2．过角的一边上一点，作角平分线的平行线，可构造得等腰三角形．
E
P
O
B
A A D
C
B
E
如图，若OP 为∠AOB 平分线，过直线OB 上一点E ，作OP 平行线交OA 于点F ， 则可用结论有：（1）证得△OEF 是等腰三角形；
（2）证得∠E=2
1
∠AOB ．
例3．已知如图，在△ABC 中（AB AC ），D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作DF//BA 交AE 于点F ，DF=AC ，求证：AE 平分∠BAC ． 邦德点拨：过C 点作AB 平行线交AE 延长线于点G ， 则∠G=∠BAE ，接下只需证∠G=∠CAE ．
练习3．已知如图，过△ABC 的边BC 的中点D 作∠BAC 的平分线AG 的平行线，交AB 、BC 及CA 的延长线于点E 、D 、F ．求证：BE=CF ．
四．平分加垂线 补得等腰现
A F
E
P
O
B
A E
F
B
C D
G
F
A E
B
C
G
D
从角的一边上一点作角平分线的垂线，与另一边相交，可得等腰三角形． 如图，若OP 是∠AOB 平分线，EP ⊥OP ，则可延长EP 交OB 于F 点， 可用结论有：（1）证得△OEF 是等腰三角形； （2）P 是EF 中点．
例4．如图，ΔABC 中，过点A 分别作∠ABC, ∠ACB 的外角的平分线的垂线AD 、AE ，D 、E 为垂足．求证： （1）ED//BC ； （2）ED=
2
1
（AB+AC+BC ）． 邦德点拨：延长AD 、AE 交直线BC 于F 、G ， 可证得△BAF 、△CAG 为等腰三角形．
练习4．已知如图，等腰Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD ，垂足为点E ，求证：BD=2CE ．
F E A B
O
P A
D E
C
B
A
E
D
F
G
C B
【homework 】
1．已知如图，在△ABC 中，BD 、CD 分别平分∠ABC 和∠ACB ，DE//AB ，FD//AC ．如果BC=6，求△DEF 周长．
2．已知如图，四边形ABCD 中，∠B+∠D=180°，BC=CD ．求证：AC 平分∠BAD ．
3．已知如图，∠BAD=∠CAD ，AB>AC ，CD ⊥AD 于点D ，H 是BC 中点，求证：DH=2
1
(AB-AC)．
B
A
D
C
A
B
H
D
C
A
D F
E
C B
4．如图，ABC ∆中，AM 平分A ∠，BD 垂直于AM ，交AM 延长线于点D ，DE∥CA 交AB 于E ．求证：AE=BE ．
5．已知CE 、AD 是△ABC 的角平分线，∠B=60°，求证：AC=AE+CD ．
A
E
C
M B
D
A
E
B
D C。