高考物理万有引力定律的应用技巧 阅读训练策略及练习题(含答案)

高考物理万有引力定律的应用技巧 阅读训练策略及练习题(含答案)
一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用
1．人类第一次登上月球时，宇航员在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一个高度由静止同时释放，二者几乎同时落地．若羽毛和铁锤是从高度为h 处下落，经时间t 落到月球表面．已知引力常量为G ，月球的半径为R ． （1）求月球表面的自由落体加速度大小g 月；
（2）若不考虑月球自转的影响，求月球的质量M 和月球的“第一宇宙速度”大小v ．
【答案】（1）22h g t =月 （2）2
2
2hR M Gt
=；2hR
v t
= 【解析】 【分析】
（1）根据自由落体的位移时间规律可以直接求出月球表面的重力加速度；
（2）根据月球表面重力和万有引力相等，利用求出的重力加速度和月球半径可以求出月球的质量M ； 飞行器近月飞行时，飞行器所受月球万有引力提供月球的向心力，从而求出“第一宇宙速度”大小． 【详解】
（1）月球表面附近的物体做自由落体运动 h ＝1
2
g 月t 2 月球表面的自由落体加速度大小 g 月＝2
2h t （2）若不考虑月球自转的影响 G 2
Mm
R ＝mg 月 月球的质量 2
2
2hR M Gt
＝ 质量为m'的飞行器在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动m ′g 月＝m ′2
v R
月球的“第一宇宙速度”大小 2hR
v g R t
月＝＝ 【点睛】
结合自由落体运动规律求月球表面的重力加速度，根据万有引力与重力相等和万有引力提供圆周运动向心力求解中心天体质量和近月飞行的速度v ．
2．已知某半径与地球相等的星球的第一宇宙速度是地球的
1
2
倍．地球表面的重力加速度为g ．在这个星球上用细线把小球悬挂在墙壁上的钉子O 上，小球绕悬点O 在竖直平面内做圆周运动．小球质量为m ，绳长为L ，悬点距地面高度为H ．小球运动至最低点时，绳恰被拉断，小球着地时水平位移为S 求：
(1)星球表面的重力加速度？
(2)细线刚被拉断时，小球抛出的速度多大？ (3)细线所能承受的最大拉力？
【答案】(1)01=4g g 星 (2)0
024
g s
v H L
=
-201[1]42()s T mg H L L =+
- 【解析】 【分析】 【详解】
（1）由万有引力等于向心力可知2
2Mm v G m R R =
2Mm
G
mg R
= 可得2
v g R
=
则014
g g 星＝
（2）由平抛运动的规律：21
2
H L g t -=
星 0s v t =
解得0
024g s v H L
=
- （3）由牛顿定律，在最低点时：2
v T mg m L
-星＝
解得：2
01142()s T mg H L L ⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦
【点睛】
本题考查了万有引力定律、圆周运动和平抛运动的综合，联系三个问题的物理量是重力加速度g 0；知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律和圆周运动向心力的来源是解决本题的关键．
3．木星的卫星之一叫艾奥，它上面的珞珈火山喷出的岩块初速度为v 0时，上升的最大高
度可达h ．已知艾奥的半径为R ，引力常量为G ，忽略艾奥的自转及岩块运动过程中受到稀薄气体的阻力，求：
（1）艾奥表面的重力加速度大小g 和艾奥的质量M ； （2）距艾奥表面高度为2R 处的重力加速度大小g ＇； （3）艾奥的第一宇宙速度v ．
【答案】（1）2202R v M hG =；（2）2018v g h
'=；（3）v v =【解析】 【分析】 【详解】
（1）岩块做竖直上抛运动有20
02v gh -=-，解得2
2v g h
=
忽略艾奥的自转有2GMm mg R =，解得22
2R v M hG
= （2）距艾奥表面高度为2R 处有2
(2)GMm m g R R '''=+，解得20'18v g h
=
（3）某卫星在艾奥表面绕其做圆周运动时2
v mg m R
=，解得v v =【点睛】
在万有引力这一块，涉及的公式和物理量非常多，掌握公式
222
224Mm v G m m r m r ma r r T
πω====在做题的时候，首先明确过程中的向心力，然后
弄清楚各个物理量表示的含义，最后选择合适的公式分析解题，另外这一块的计算量一是非常大的，所以需要细心计算
4．人类对未知事物的好奇和科学家们的不懈努力，使人类对宇宙的认识越来越丰富。

(1)开普勒坚信哥白尼的“日心说”，在研究了导师第谷在20余年中坚持对天体进行系统观测得到的大量精确资料后，提出了开普勒三定律，为人们解决行星运动问题提供了依据，也为牛顿发现万有引力定律提供了基础。

开普勒认为：所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。

行星轨道半长轴的三次方与其公转周期的二次方的比值是一个常量。

实际上行星的轨道与圆十分接近，在中学阶段的研究中我们按圆轨道处理。

请你以地球绕太阳公转为例，根据万有引力定律和牛顿运动定律推导出此常量的表达式。

(2)天文观测发现，在银河系中，由两颗相距较近、仅在彼此间引力作用下运行的恒星组成的双星系统很普遍。

已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一点做匀速圆周运动，周期为T ，两颗恒星之间的距离为d ，引力常量为G 。

求此双星系统的总质量。

(3)北京时间2019年4月10日21时，由全球200多位科学家合作得到的人类首张黑洞照片面世，引起众多天文爱好者的兴趣。

同学们在查阅相关资料后知道：①黑洞具有非常强的引力，即使以3×108m/s 的速度传播的
倍，这个关系对于其他天体也是正确的。

③地球质量m e =6.0×1024kg ，引力常量G = 6.67×10-11N• m 2/ kg 2。

请你根据以上信息，利用高中学过的知识，通过计算求出：假如地球变为黑洞，在质量不变的情况下，地球半径的最大值（结果保留一位有效数字）。

（注意：解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题时做必要的说明）
【答案】(1) 3224s Gm r T π= (2) 23
2
4d GT
π (3) 9×10-3m 【解析】 【详解】
⑴设太阳质量为m s ，地球质量为m e ，地球绕太阳公转的半径为r 太阳对地球的引力是地球做匀速圆周运动的向心力 根据万有引力定律和牛顿运动定律
2
224s e e m m G m r r T
π=
解得常量
322
4s
Gm r T π=
⑵设双星的质量分别为m 1、m 2，轨道半径分别为r 1、r 2 根据万有引力定律及牛顿运动定律
2
121122
4m m G m r d T π= 2
1222224m m G m r d T
π= 且有
12+r r d =
双星总质量
23
122
4=d m m m GT
π+=总 ⑶设地球质量为m e ，地球半径为R 。

质量为m 的物体在地球表面附近环绕地球飞行时，环绕速度为v 1
由万有引力定律和牛顿第二定律
212e m m v G m R R
=
解得
1v =
逃逸速度
22e
Gm v R
=
假如地球变为黑洞
v 2≥c
代入数据解得地球半径的最大值
R =9×10-3m
5．从在某星球表面一倾角为θ的山坡上以初速度v 0平抛一物体，经时间t 该物体落到山坡上．已知该星球的半径为R ，一切阻力不计，引力常量为G ，求： （1）该星球表面的重力加速度的大小g （2）该星球的质量M ．
【答案】(1) 02tan v t θ (2) 202tan v R Gt
θ
【解析】 【分析】
（1）物体做平抛运动，应用平抛运动规律可以求出重力加速度．（2）物体在小球的表面受到的万有引力等于物体的重力，由此即可求出． 【详解】
（1）物体做平抛运动，水平方向：0x v t =，竖直方向：2
12
y gt = 由几何关系可知：0
2y gt tan x v θ== 解得：0
2v g tan t
θ=
（2）星球表面的物体受到的重力等于万有引力，即：2
Mm
G
mg R = 可得：2202v R tan gR M G Gt
θ
==
【点睛】
本题是一道万有引力定律应用与运动学相结合的综合题，考查了求重力加速度、星球自转的周期，应用平抛运动规律与万有引力公式、牛顿第二定律可以解题；解题时要注意“黄金代换”的应用．
6．地球同步卫星，在通讯、导航等方面起到重要作用。

已知地球表面重力加速度为g ，地球半径为R ，地球自转周期为T ，引力常量为G ，求： （1）地球的质量M ；
（2）同步卫星距离地面的高度h 。

【答案】(1) (2)
【解析】 【详解】
（1）地球表面的物体受到的重力等于万有引力，即：mg=G
解得地球质量为：M=
；
（2）同步卫星绕地球做圆周运动的周期等于地球自转周期T ，同步卫星做圆周运动，万有
引力提供向心力，由牛顿第二定律得：
解得：；
【点睛】
本题考查了万有引力定律的应用，知道地球表面的物体受到的重力等于万有引力，知道同步卫星的周期等于地球自转周期、万有引力提供向心力是解题的前提，应用万有引力公式与牛顿第二定律可以解题．
7．我国科学家正在研究设计返回式月球软着陆器，计划在2030年前后实现航天员登月，对月球进行科学探测。

宇航员在月球上着陆后，自高h 处以初速度v 0水平抛出小球，测量出小球的水平射程为L (这时月球表面可以看成是平坦的)，已知月球半径为R ，万有引力常量为G 。

(1)试求月球表面处的重力加速度g . (2)试求月球的质量M
(3)字航员着陆后，发射了一颗绕月球表面做匀速圆周运动的卫星，周期为T ，试求月球的平均密度ρ.
【答案】（1）2022hv g L =（2）22
02
2hv R
M GL = （3）23GT πρ=
【解析】 【详解】
（1）根据题目可得小球做平抛运动, 水平位移: v 0t =L
竖直位移:h =
12
gt 2 联立可得:20
22hv g L
=
（2）根据万有引力黄金代换式2
mM
G
mg R ＝， 可得2220
2
2hv R gR M G GL
==
（3）根据万有引力公式2224mM G m R R T π＝；可得23
2
4R M GT
π=， 而星球密度M V ρ=,3
43
V R π= 联立可得2
3GT πρ=
8．“嫦娥一号”探月卫星在空中的运动可简化为如图5所示的过程，卫星由地面发射后，经过发射轨道进入停泊轨道，在停泊轨道经过调速后进入地月转移轨道，再次调速后进入工作轨道.已知卫星在停泊轨道和工作轨道运行的半径分别为R 和R 1，地球半径为r ，月球半径为r 1，地球表面重力加速度为g ，月球表面重力加速度为.求： (1)卫星在停泊轨道上运行的线速度大小； (2)卫星在工作轨道上运行的周期.
【答案】(1) (2)
【解析】
（1）卫星停泊轨道是绕地球运行时，根据万有引力提供向心力：
解得：卫星在停泊轨道上运行的线速度
；
物体在地球表面上，有，得到黄金代换，代入解得
； （2）卫星在工作轨道是绕月球运行，根据万有引力提供向心力有，
在月球表面上，有
，得
，
联立解得：卫星在工作轨道上运行的周期
．
9．侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运行,它的运行轨道距地面高为h ,要使卫星在一天的时间内将地面上赤道各处在日照条件下的情况全部都拍摄下来,卫星在通过赤道上空时,卫星上的摄影像机至少应拍地面上赤道圆周的弧长是多少?设地球半径为R ,地面处的重
力加速度为g ,地球自转的周期为T ．
【答案】2
3
4()h R l T
g
π+=
【解析】 【分析】 【详解】
设卫星周期为1T ,那么:
22
2
14()()Mm m R h G R h T π+=+, ① 又
2Mm
G
mg R
=, ② 由①②得
3
12()h R T R g
π+=
. 设卫星上的摄像机至少能拍摄地面上赤道圆周的弧长为l ,地球自转周期为T ,要使卫星在一天(地球自转周期)的时间内将赤道各处的情况全都拍摄下来,则
1
2T
l R T π⋅=. 所以
23
124()RT h R l T T
g
ππ+==
. 【点睛】
摄像机只要将地球的赤道拍摄全，便能将地面各处全部拍摄下来；根据万有引力提供向心力和万有引力等于重力求出卫星周期；由地球自转角速度求出卫星绕行地球一周的时间
内，地球转过的圆心角，再根据弧长与圆心角的关系求解．
10．我国预计于2022年建成自己的空间站。

假设未来我国空间站绕地球做匀速圆周运动时离地面的高度为同步卫星离地面高度的，已知同步卫星到地面的距离为地球半径的6倍，地球的半径为R ，地球表面的重力加速度为g 。

求： (1)空间站做匀速圆周运动的线速度大小；
(2)同步卫星做圆周运动和空间站做圆周运动的周期之比。

【答案】(1) (2)
【解析】 【详解】
(1)卫星在地球表面时，可知：
空间站做匀速圆周运动时：
其中
联立解得线速度为：
(2)设同步卫星做圆周运动和空间站做圆周运动的周期分别为T1和T2，
则由开普勒第三定律有：
其中：，
解得：
【点睛】
本题考查了万有引力的典型应用包括开普勒行星运动的三定律、黄金代换、环绕天体运动的参量。