高考数学一轮复习 第十二章 概率与统计 12.1 概率课时练 理-人教版高三全册数学试题

2017高考数学一轮复习 第十二章 概率与统计 12.1 概率课时练
理
时间：50分钟
基础组
1.[2016·枣强中学预测]4X 卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4X 卡片中随机抽取2X ，则取出的2X 卡片上的数字之和为偶数的概率为( )
A.12
B.13
C.23
D.34 答案 B
解析 因为从4X 卡片中任取出2X 共有6种情况，其中2X 卡片上数字之和为偶数的共有2种情况，所以2X 数字之和为偶数的概率为13
.
2．[2016·冀州中学一轮检测]将一颗骰子抛掷两次，所得向上点数分别为m ，n ，则函数y ＝23
mx 3
－nx ＋1在[1，＋∞)上为增函数的概率是( )
A.12
B.56
C.34
D.23 答案 B
解析 ∵y ＝23mx 3－nx ＋1，∴y ′＝2mx 2
－n .
令y ′＝0得x ＝± n 2m
， ∴x 1＝
n
2m
，x 2＝－ n
2m
是函数的两个极值点， ∴函数在⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
n 2m ，＋∞上是增函数，则 n
2m
≤1， 即n ≤2m .
通过建立关于m ，n 的坐标系可得出满足n ≤2m 的有30个，
由古典概型公式可得函数y ＝23mx 3－nx ＋1在[1，＋∞)上为增函数的概率是P ＝3036＝5
6.
故选B.
3. [2016·武邑中学一轮检测]设A 为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A 连接，则弦长超过半径2倍的概率是( )
A.34
B.1
2
35
答案 B
解析 作等腰直角三角形AOC 和AMC ，B 为圆上任一点，则当点B 在MmC ︵
上运动时，弦长|AB |>2R ，
∴P ＝MmC ︵
圆的周长＝12
.故选B.
4．[2016·武邑中学月考]ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点．在长方形
ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )
A.π4B ．1－π4 C.
π8 D ．1－π8
答案 B
解析 如图，根据几何概型概率公式得所求概率为P ＝阴影部分面积
S 长方形ABCD ＝2－12π·122＝1
－π
4
.故选B. 5．[2016·某某中学热身]如图所示方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1,2,3,4中的任何一个，允许重复．则填入A 方格的数字大于B 方格的数字的概率为( )
A
B
24C.34 D.38 答案 D
解析 只考虑A ，B 两个方格的排法．不考虑大小，A ，B 两个方格有4×4＝16(种)排法．要使填入A 方格的数字大于B 方格的数字，则从1,2,3,4中选2个数字，大的放入A 格，小的放入B 格，有(4,3)，(4,2)，(4,1)，(3,2)，(3,1)，(2,1)，共6种，故填入A 方格的数字大于B 方格的数字的概率为
616＝3
8
，选D. 6．[2016·冀州中学期末]设p 在[0,5]上随机地取值，则方程x 2
＋px ＋p 4＋12
＝0有实数
根的概率为________．
答案 35
解析 一元二次方程有实数根即Δ＝p 2
－4⎝ ⎛⎭
⎪⎫p 4＋12＝(p ＋1)(p －2)≥0，解得p ≤－1或
p ≥2，故所求概率为
5－25＝3
5
. 7．[2016·某某中学预测]从分别写有0,1,2,3,4的五X 卡片中取出一X 卡片，记下数字后放回，再从中取出一X 卡片．则两次取出的卡片上的数字之和恰好等于4的概率是________．
答案 1
5
解析 从0,1,2,3,4五X 卡片中取出两X 卡片的结果有25种，数字之和恰好等于4的结果有(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，所以数字和恰好等于4的概率是P ＝1
5
.
8．[2016·枣强中学热身]现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，则甲被选中的概率为________．
答案 23
解析 从甲、乙、丙3人中随机选派2人，共有甲乙、甲丙、乙丙三种选法，其中甲被选中有甲乙、甲丙两种选法，所以甲被选中的概率为2
3
.
9．[2016·某某中学猜题]某商场有奖销售中，购满100元商品得1X 奖券，多购多得.1000X 奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1X 奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ，B ，C .求：
(1)P (A )，P (B )，P (C )； (2)1X 奖券的中奖概率；
(3)1X 奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
解 (1)P (A )＝11000，P (B )＝101000＝1100，P (C )＝501000＝1
20
.
(2)因为事件A ，B ，C 两两互斥，所以P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝11000＋1100＋
1
20＝611000
. 故1X 奖券的中奖概率为
611000
. (3)P (A ∪B )＝1－P (A ＋B )＝1－⎝
⎛⎭⎪
⎫11000＋1100＝9891000
.
故1X 奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为989
1000
.
10．[2016·某某中学一轮检测]某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．
(1)确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率) 解 (1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，所以x ＝15，y ＝20.
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为
1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10
100
＝1.9(分钟)．
(2)记A 表示事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A 1，A 2，A 3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为 1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”．将频率视为概率得P (A 1)＝15100＝3
20，P (A 2)
＝30100＝310，P (A 3)＝25100＝14
. 因为A ＝A 1∪A 2∪A 3，且A 1，A 2，A 3是互斥事件，所以P (A )＝P (A 1∪A 2∪A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝320＋310＋14＝710
.
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为7
10
.
11．[2016·冀州中学模拟]某学校为了增强学生对数学史的了解，提高学生学习数学的
积极性，举行了一次数学史知识竞赛，其中一道题是连线题，要求将4名数学家与他们所著的4本著作一对一连线，规定：每连对一条得5分，连错一条得－2分．某参赛者随机用4条线把数学家与著作一对一全部连接起来．
(1)求该参赛者恰好连对一条的概率； (2)求该参赛者得分不低于6分的概率．
解 4名数学家和他们所著的4本书一对一连线，所有的连线情况有C 14C 13C 1
2＝24(种)，其中恰好连对1条的情况有C 14C 1
2＝8(种)，恰好连对2条的情况有C 2
4＝6(种)．全部连对的情况有1种．
(1)恰好连对1条的概率为824＝1
3
.
(2)得分不低于6分，说明参赛者连对2条或全部连对，所以概率为6＋124＝7
24.
12.[2016·某某二中周测]设有关于x 的一元二次方程x 2
＋2ax ＋b 2
＝0.
(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；
(2)若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
解 设事件A 为“方程x 2
＋2ax ＋b 2
＝0有实根”．
当a ≥0，b ≥0时，方程x 2
＋2ax ＋b 2
＝0有实根的充要条件为a ≥b .
(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．
其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．
事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为P (A )＝912＝3
4
.
(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}， 构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，如图． 所以所求的概率为P (A )＝3×2－12×2
2
3×2＝2
3
.
能力组
13.[2016·枣强中学仿真]现有四所大学进行自主招生，同时向一所高中的已获省级竞
赛一等奖的甲、乙、丙、丁四位学生发录取通知书，若这四名学生都愿意进入这四所大学的任意一所就读，则仅有两名学生被录取到同一所大学的概率为( )
A.12
B.916
C.
1116 D.724
答案 B
解析 所求概率P ＝C 2
4·A 3
444＝916
.
14．[2016·某某二中月考]在半径为1的圆内任取一点，以该点为中点作弦，则所作弦的长度超过3的概率是( )
A.15
B.1
4 C.13 D.12 答案 B
解析 如图，C 是弦AB 的中点，在直角三角形AOC 中，AC ＝12AB ＝3
2，OA ＝1，所以OC
＝1
2
， 所以符合条件的点必须在半径为1
2
的圆内．
则所作弦的长度超过3的概率是P ＝
S 小圆
S 大圆＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫122π
π＝14
. 15．[2016·武邑中学热身]某次知识竞赛规则如下：主办方预设3个问题，选手能正确回答出这3个问题，即可晋级下一轮．假设某选手回答正确的个数为0,1,2的概率分别是0.1,0.2,0.3.则该选手晋级下一轮的概率为________．
答案 0.4
解析 记“答对0个问题”为事件A ，“答对1个问题”为事件B ，“答对2个问题”
为事件C ，这3个事件彼此互斥，“答对3个问题(即晋级下一轮)”为事件D ，则“不能晋
级下一轮”为事件D 的对立事件D －
，
显然P (D －
)＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，故P (D )＝1－P (D －
)＝1－0.6＝0.4.
16.[2016·某某二中期中]已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )．
(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率；
(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a ·b <0的概率．
解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36(个)；
由a ·b ＝－1，有－2x ＋y ＝－1，
所以满足a ·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个；故满足a ·b ＝－1的概率为336＝112
.
(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，
y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}；
满足a ·b <0的基本事件的结果为
A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且－2x ＋y <0}；
画出图形如图，
正方形的面积为S 正＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25－1
2×2×4＝21，故满足a ·b <0
的概率为21
25.。