2023年新高考数学一轮复习5-4 三角恒等变换(真题测试)解析版

专题5.4 三角恒等变换（真题测试）
一、单选题
1．（2018·全国·高考真题（文））函数()2tan 1tan x
f x x
=+的最小正周期为（ ）
A ．
4
π B ．
2
π C ．π
D ．2π
【答案】C 【解析】 【详解】 分析:将函数()2f 1tanx
tan x
x =
+进行化简即可
详解：由已知得()2
21f sin2,1221()sinx
tanx cosx sinxcosx x x k k Z sinx tan x c x osx
ππ⎛⎫====≠+∈ ⎪+⎝⎭
+ ()f x 的最小正周期2T π2
π
=
= 故选C.
2.（2021·全国·高考真题（文））函数()sin cos 33
x x
f x =+的最小正周期和最大值分别是（ ） A ．3π
B ．3π和2
C ．6π
D ．6π和2
【答案】C 【解析】 【分析】
利用辅助角公式化简()f x ，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值. 【详解】
由题，()sin cos 3s 33334x x x x f x x π=+=⎛+⎫
⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2
6
13
T ，
故选：C ．
3．（2020·全国·高考真题（文））已知πsin sin =31θθ⎛
⎫
++ ⎪⎝
⎭
，则πsin =6θ⎛
⎫
+ ⎪⎝
⎭
（ ）
A ．1
2
B C ．23
D 【答案】B 【解析】
将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值. 【详解】
由题意可得：1sin sin 12θθθ+=，
则：3sin 12θθ+=1cos 2θθ+=
从而有：sin cos
cos sin
6
6
π
π
θθ+=
，
即sin 6πθ⎛
⎫+=
⎪⎝
⎭ 故选：B.
4．（2019·全国·高考真题（文））已知α ∈（0，π
2
），2sin2α=cos2α+1，则sinα=（ ）
A ．15
B
C D 【答案】B 【解析】 【分析】
利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案． 【详解】
2sin 2cos21α=α+，2
4sin cos 2cos .0,,cos 02π⎛⎫∴α⋅α=αα∈∴α> ⎪⎝⎭．
sin 0,2sin cos α>∴α=α，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5∴α=α=
，又sin 0α>，sin α∴=故选B ．
5．（2018·全国·高考真题（文））已知函数()22
2cos sin 2f x x x =-+，则（ ）
A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3
B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4
C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3
D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 【答案】B 【解析】
首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为()35
cos222
f x x =+，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项. 【详解】
根据题意有()1cos2x 35
cos212cos2222
f x x x -=+-
+=+， 所以函数()f x 的最小正周期为22
T π
π==， 且最大值为()max 35
422
f x =
+=，故选B. 6．（2018·全国·高考真题（文））已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点
()1A a ，，()2B b ，，且2cos23
α=，则a b -=（ ）
A ．15
B C D ．1
【答案】B 【解析】 【分析】
首先根据两点都在角的终边上，得到2b a =，利用2
cos23
α=，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得
215a =
，从而得到a =，再结合2b a =，从而得到2a b a a -=-=，从而确定选项. 【详解】
由,,O A B 三点共线，从而得到2b a =， 因为2
2
2cos22cos 1213αα⎛⎫=-=⋅-=，
解得2
15a =
，即a =，
所以2a b a a -=-=
B. 7．（2023·湖北·高三阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，角θ的大小如图所示，则29sin sin2θθ+=（ ）
A ．1
B ．23
C ．
4813 D ．52
【答案】C 【解析】 【分析】
根据已知求出2tan 3θ=，化简22
2
9tan 2tan 9sin sin2tan 1
θθθθθ++=+即得解. 【详解】
解：由题图知1tan tan 541tan πθθθ+⎛
⎫+=
= ⎪-⎝
⎭，则2tan 3θ=， 所以222
2229sin 2sin cos 9tan 2tan 48
9sin sin2sin cos tan 113
θθθθθθθθθθ+++===
++． 故选：C ．
8．（2021·浙江·高考真题）已知,,αβγ是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα三个值中，大于1
2的个数的最大值是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
【答案】C 【解析】 【分析】
利用基本不等式或排序不等式得3
sin cos sin cos sin cos 2
αββγγα++≤，从而可判断三个代数式不可能均大于1
2，再结合特例可得三式中大于1
2的个数的最大值. 【详解】法1：由基本不等式有22sin cos sin cos 2
αβ
αβ+≤，
同理22sin cos sin cos 2βγβγ+≤，22sin cos sin cos 2
γα
γα+≤，
故3
sin cos sin cos sin cos 2
αββγγα++≤
， 故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于1
2. 取6
π
α=
，3
π
β=
，4
πγ=
，
则1111sin cos ,sin cos ,sin cos 4222
αββγγα=
<=>=>， 故三式中大于1
2的个数的最大值为2， 故选：C.
法2：不妨设αβγ<<，则cos cos cos ,sin sin sin αβγαβγ>><<， 由排列不等式可得：
sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos αββγγααγββγα++≤++，
而()13
sin cos sin cos sin cos sin sin 222
αγββγαγαβ++=++≤，
故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于1
2. 取6
π
α=
，3
π
β=
，4
πγ=
，
则1111
sin cos ,sin cos ,sin cos 4222
αββγγα=
<=>=>， 故三式中大于1
2的个数的最大值为2， 故选：C. 二、多选题
9．（2022·广东湛江·二模）已知π是函数()2sin cos 066y x x ππωωω⎛
⎫⎛⎫=++≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭的一个周期，则ω的取值可能
为（ ） A ．﹣2 B ．1
C ．1
2
D ．3
【答案】ABD 【解析】 【分析】
根据三角恒等变换公式进行化简，根据周期函数定义求出ω的表达式即可求解．【详解】 依题意得，
2sin cos sin 2663y x x x πππωωω⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭由周期函数定义得：
()()f x f x π+=，即：()sin 2sin 233x x ππωπω⎡⎤⎛
⎫++=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭
即：sin 22sin 233x x ππωωπω⎛⎫⎛
⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
22223
3
x x k k Z π
π
ωωπωπ∴++
=+
+∈，解得：k k Z ω=∈，
又0ω≠ 1ω∴=或32ω=-，
故选：ABD ．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知()4
cos cos 25
αβα+==-，其中,αβ为锐角，则以下命题正确的是（ ）
A ．3
sin 25
α=
B ．()cos αβ-=
C ．cos cos αβ=
D ．1
tan tan 3
αβ=
【答案】AB 【解析】 【分析】
利用凑角的方式2()αβααβ-=-+，将角看成整体，但要注意角的范围， 根据同角三角函数的关系，两角和差的余弦公式及解方程即可求解. 【详解】
因为4cos 25α=-，π
0,02π2αα<<∴<<，
所以3sin 25
α==，故A 正确；
因为()cos αβ+=ππ0,0,0π22αβαβ<<<<∴<+<，
所以()sin αβ+=
所以cos()cos[2()]cos2cos()sin 2sin()αβααβααβααβ-=-+=+++⎛⎛⎫=-⨯+=
⎪ ⎝⎭⎝⎭4355，故B 正确；
cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+=
，
cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-=②，
由+①②
得，2cos co s αβ=
，解得cos cos αβ=C 不正确； 由①-②
得，2sin sin αβ=
，解得sin sin αβ；
sin sin tan tan 3cos c os αβ
αβαβ===，故D 不正确.
故选：AB.
11．（2022·全国·模拟预测）已知函数()sin cos2f x x x =+，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 的图象不关于原点对称 B ．函数()f x 在[],0π-上的值域为92,8⎡
⎤-⎢⎥⎣
⎦
C ．函数()f x 在32,2ππ⎡
⎤--⎢⎥⎣
⎦上单调递减
D ．函数()f x 在[],ππ-上有3个零点 【答案】AD 【解析】 【分析】
根据奇函数的定义、余弦的二倍角公式，利用换元法、二次函数的性质、零点的定义逐一判断即可. 【详解】
()f x 的定义域为R ．因为()()()sin cos 2sin cos2f x x x x x -=-+-=-+，所以()()f x f x -≠-，则函数()f x 的图象不关于原点对称，故A 正确．
()2sin cos22sin sin 1f x x x x x =+=-++，故当[],0x π∈-，即[]sin 1,0x ∈-时，令sin x t =，[]1,0t ∈-，
则问题转化为函数221y t t =-++在[]1,0-上的值域，且221y t t =-++图象的对称轴方程为1
4
t =
， 故函数221y t t =-++在[]1,0-上单调递增，最大值为1，最小值为－2，故B 错误．当32,2x ππ⎡
⎤∈--⎢⎥⎣
⎦，sin y x =在32,2ππ⎡
⎤--⎢⎥⎣
⎦上单调递增，即[]sin 0,1∈x ，[]0,1t ∈时，
函数221y t t =-++在10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增，在1,14⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递减，根据复合函数单调性，故C 错误．
令()sin cos20f x x x =+=，即22sin sin 10x x -++=，解得sin 1x =或1
sin 2
x =-，
当[],x ππ∈-时，2
x π=
或6
x π
=-
或6
5x π
=-
，故函数()f x 在[],ππ-上有3个零点，故D 正确．
故选：AD ．
12．（2021·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，
()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则（ ） A ．12OP OP = B ．12AP AP = C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅ D ．123
OA OP OP OP ⋅=⋅ 【答案】AC 【解析】 【分析】
A 、
B 写出1OP ，2OP 、1AP ，2AP 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；
C 、
D 根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误. 【详解】
A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=-，所以1||cos 1OP ==，2||(cos 1OP
==，故12||||OP OP =，正确；
B ：1(cos 1,sin )AP αα=-，2(cos 1
,sin )AP ββ=--，所以
1||(cos 2|sin
|2
AP α
=
==，同理
2||(cos 2|sin
|2
AP β
=，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；
C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，
12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+，正确；
D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+
()()()cos βαβcos α2β=++=+，故一般来说123OA OP OP OP ⋅≠⋅故错误；故选：AC
三、填空题
13．（2020·全国·高考真题（文））若2sin 3
x =-，则cos2x =__________．
【答案】1
9
【解析】
【分析】
直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可. 【详解】
22281
cos 212sin 12()1399x x =-=-⨯-=-=.
故答案为：1
9
.
14．（2022·北京·高考真题）若函数()sin f x A x x =的一个零点为3
π
，则A =________；12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭
________．
【答案】 1 【解析】 【分析】
先代入零点，求得A 的值，再将函数化简为π()2sin()3f x x =-，代入自变量π
12
x =，计算即可.
【详解】
∵π()03f A ==，∴1A =
∴π
()sin 2sin()3
f x x x x ==-
ππππ
()2sin()2sin 121234
f =-=-=1， 15．（2019·全国·高考真题（文））函数3π
()sin(2)3cos 2
f x x x =+-的最小值为___________． 【答案】4-. 【解析】 【分析】
本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于cos x 的二次函数，从而得解. 【详解】 23()sin(2)3cos cos 23cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x π=+
-=--=--+23172(cos )48
x =-++， 1cos 1x -≤≤，∴当cos 1x =时，min ()4f x =-，
故函数()f x 的最小值为4-．
16．（2022·浙江·高考真题）若3sin sin 2
παβαβ-=+=
，则sin α=__________，cos 2β=_________．
【答案】 45
【解析】 【分析】
先通过诱导公式变形，得到α的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出α，接下来再求β． 【详解】
2
π
αβ+=
，∴sin cos βα=，即3sin cos αα-
αα⎫=⎪⎪⎭
sin θ=cos θ=
()αθ-=22
k k Z π
αθπ-=
+∈，，即22
k π
αθπ=+
+，
∴sin sin 2cos 2k παθπθ⎛⎫
=++==
⎪⎝⎭
， 则22
4cos 22cos 12sin 15
ββα=-=-=
．
；45． 四、解答题
17．（2017·北京·高考真题（文））已知函数())2sin cos 3
f x x -x x π
-.
（I ）求f (x )的最小正周期； （II ）求证：当[,]44x ππ
∈-时，()1
2
f x ≥-． 【答案】（1）22
T π
π==（2）见解析【解析】 【详解】
试题分析：（Ⅰ）首先根据两角差的余弦公式化简，再根据辅助角公式化简为()sin 23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，最后根
据公式2T πω=求周期；（Ⅱ）先求23
x π
+的范围再求函数的最小值.
试题解析:（Ⅰ）()31sin2sin2sin2sin 2223f x x x x x x x π⎛
⎫=
+-==+ ⎪⎝⎭. 所以()f x 的最小正周期22
T π
π==. （Ⅱ）因为4
4
x π
π
-
≤≤
，
所以52636
x π
π
π-≤+≤. 所以1sin 2sin 362x ππ⎛⎫⎛⎫+≥-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 所以当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
时，()12f x ≥-.
18．（2018·北京·高考真题（文））已知函数()2sin cos f x x x x =.
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）若()f x 在区间,3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32，求m 的最小值. 【答案】（Ⅰ）π ；（Ⅱ）π3
. 【解析】
【分析】
（I ）将()f x 化简整理成()sin()f x A x ωϕ=+的形式，利用公式2||T πω=
可求最小正周期；（II ）根据[,]3x m π∈-，可求26x π
-的范围，结合函数图象的性质，可得参数m 的取值范围.
【详解】
（Ⅰ）()1cos211π1cos2sin 222262x f x x x x x -⎛⎫==-+=-+ ⎪⎝
⎭， 所以()f x 的最小正周期为2ππ2T =
=. （Ⅱ）由（Ⅰ）知()π1sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.因为π,3x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以π5ππ2,2666x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦. 要使得()f x 在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32， 即πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1. 所以ππ262m -≥，即π3
m ≥. 所以m 的最小值为π3
.
19．（2018·江苏·高考真题）已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=（1）求cos2α的值；（2）求tan()αβ-的值． 【答案】（1）725
-
；（2）211- 【解析】
【详解】
分析：先根据同角三角函数关系得2cos α，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得tan2α，再利用两角差的正切公式得结果.
详解：解：（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3
αα=． 因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=
， 因此，27cos22cos 125
αα=-=-． （2）因为,αβ为锐角，所以()0,παβ+∈．
又因为()cos αβ+=()sin αβ+==， 因此()tan 2αβ+=-．
因为4tan 3α=，所以22tan 24tan21tan 7
ααα==--， 因此，()()()
()tan2tan 2tan tan 21+tan2tan 11
ααβαβααβααβ-+⎡⎤-=-+==-⎣⎦+．
20．（2022·全国·模拟预测）在①()cos 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；②tan 7sin αα=；③sin 2α=中任选一个，补充在下面横线上，并解答问题．
已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，()3cos 5αβ+=-，______，求cos β．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】
【分析】
若选条件①，利用诱导公式和同角三角函数关系可求得sin ,cos αα；若选条件②，切化弦后可求得cos α，由同角三角函数关系可得sin α；若选条件③，由二倍角公式可求得cos α，根据同角三角函数关系可得sin α；利用同角三角函数求得()sin αβ+后，根据()cos cos βαβα=+-⎡⎤⎣⎦，利用两角和差余弦公式求解即可.
【详解】
若选条件①，由()cos 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
得：sin αα=，
又22sin cos 1αα+=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin α∴=1cos 7α=；
若选条件②，由tan 7sin αα=得：sin 7sin cos ααα
=， 0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 0α∴>
，1cos 7α∴
=，sin α=
=； 若选条件③，由sin 2α
=21cos 12sin 7αα=-=， 0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭，sin 0α∴
>，sin α∴== 0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,αβπ
∴+∈，()4sin 5
αβ∴+==， ()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα∴=+-=+++⎡
⎤⎣
⎦314575=-⨯+= 21．（2023·全国·高三专题练习）已知1tan 2α=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，π,π2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求 (1)求sin α的值；
(2)求()()
()2212sin πcos 2π5πsin sin 2αααα+---⎛⎫--- ⎪⎝⎭
的值； (3)若()sin αβ+=
cos
β的值. 【答案】
(2)3-
【解析】 【分析】
小问1：由三角函数基本关系式即可求值，这里要注意角的范围； 小问2：先由诱导公式对原式进行化简，然后利用齐次式对式子进行求值即可；
小问3：确定角的范围以后，用已知角来拼凑出所求的角，再利用三角函数恒等变换求值即可.
(1)
22sin 1tan cos 2sin cos 1ααααα⎧==⎪⎨
⎪+=⎩
，解得cos sin αα⎧=⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
或cos sin αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
又0,2πα⎛⎫∈
⎪⎝⎭
，cos sin αα⎧=⎪⎪
∴⎨⎪=⎪⎩
，即sin α. (2)
()()()2
222212sin cos 212sin cos (sin cos )5sin cos (sin cos )(sin cos )sin sin 2παπαααααπαααααααα+---++==-+-⎛⎫--- ⎪⎝⎭
sin cos tan 1sin cos tan 1αααααα++==-- ， 又1tan 2α=，∴ 原式
=1
123112+
=-- (3)
π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，π,π2β⎛⎫∈
⎪⎝⎭
，π3π+
22αβ⎛⎫
∴∈ ⎪⎝⎭，， 又()sin 0αβ+=>，π+,π2αβ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭， 则()
cos
αβ
+= cos cos[()]cos()cos sin()sin βαβααβααβα∴=+-=+++== 22．（2023·全国·高三专题练习）（1）已知tan 2θ=-，求sin (1sin 2)sin cos θθθθ
++的值； （2）已知1tan()2αβ-=，1tan 7β=-，且α，(0,)βπ∈，求2αβ-．【答案】（1）25；（2）34
π- 【解析】
【分析】
（1）先借助平方关系、商数关系及倍角公式化为齐次分式，再切化弦代入tan 2θ=-即可求解； （2）先借助正切的和角公式求出tan α，再求出tan 2()αβ-，结合角的范围即可求解. 【详解】 （1）222222sin (1sin 2)sin 1sin 2sin sin cos 2sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθθθθ
++++=⋅=⋅+++++ 22222222sin sin cos 2sin cos tan tan 12tan cos cos sin cos sin cos tan 1tan 1cos cos θθθθθθθθθθθθθθθθθθ
++++=⋅=⋅++++2414221415
-+-=⨯=-++； （2）由1tan 7
β=-可知(,)2πβπ∈，又11tan()tan 127tan tan()111tan()tan 3127
αββααββαββ--+=-+===--+⨯，π(0,)2α∈， 则(),0αβπ-∈-，又1tan()2αβ-=，则,2παβπ⎛⎫-∈-- ⎪⎝
⎭，则()()()1tan 11tan 23tan()tan 11
12ta n 3
n ta 12αβααβαβααβα-+--+==--⨯+==-，
又()2,0αβαβαπ-=-+∈-，则324παβ-=-.。