初中数学全全等三角形截长补短知识点及练习题及答案

初中数学全全等三角形截长补短知识点及练习题及答案
一、全等三角形截长补短
1．（1）问题背景：如图1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC ＝90°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝60°，请探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系是什么？
小明探究此问题的方法是：延长FD 到点G ，使DG ＝BE ，连结AG ．先证明
△ABE ≌△ADG ，得AE ＝AG ；再由条件可得∠EAF ＝∠GAF ，证明△AEF ≌△AGF ，进而可得线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系是 ．
（2）拓展应用：
如图2，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝12
∠BAD ．问（1）中的线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
2．如图，在ABC 中，AC BC =，AD 平分CAB ∠．
（1）如图1，若90ACB =︒，求证：AB AC CD =+；
（2）如图2，若AB AC BD =+，求ACB ∠的度数；
（3）如图3，若100ACB ∠=︒，求证：AB AD CD =+．
3．已知：线段AB 及过点A 的直线l ，如果线段AC 与线段AB 关于直线l 对称，连接BC 交直线l 于点D ，以AC 为边作等边△ACE ，使得点E 在AC 的下方，作射线BE 交直线l 于点F ，连接CF ．
（1）根据题意将图1补全；
（2）如图1，如果∠BAD ＝α（30°＜α＜60°）．
①∠BAE=_______，∠ABE=_______（用含有α代数式表示）；
②用等式表示线段FA ，FE 与FC 的数量关系，并证明．
（3）如图2，如果60°＜α＜90°，直接写出线段FA ，FE 与FC 的数量关系，不证明．
4．阅读题：如图1，OM 平分AOB ∠，以O 为圆心任意长为半径画弧，交射线OA ，OB 于C ，D 两点，在射线OM 上任取一点E （点O 除外），连接CE ，DE ，可证OCE ODE △△≌，请你参考这个作全等的方法，解答下列问题：
（1）如图2，在ABC 中，2A B ∠=∠，CD 平分ACB ∠交AB 于点D ，试判断BC 与AC 、AD 之间的数量关系；
（2）如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，10BC CD ==，20AB =，8AD =，求ABC 的面积．
5．通过类比联想、引申拓展典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．
（解决问题）
如图，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，连接EF ，则EF BE DF =+，试说明理由．
证明：延长CD 到G ，使DG BE =，
在ABE △与ADG 中，
90AB AD B ADG BE DG =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
∴ABE ADG ≌理由：（SAS ）
进而证出：AFE △≌___________，理由：（__________）
进而得EF BE DF =+．
（变式探究）
如图，四边形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=︒点E 、F 分别在边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒．若B 、D ∠都不是直角，则当B 与D ∠满足等量关系________________时，仍有EF BE DF =+．请证明你的猜想．
（拓展延伸）
如图，若AB AD =，90≠︒∠BAD ，45EAF ∠≠︒，但12
EAF BAD ∠=∠，90B D ∠=∠=︒，连接EF ，请直接写出EF 、BE 、DF 之间的数量关系．
6．问题提出，如图1所示，等边△ABC 内接于⊙O ，点P 是AB 上的任意一点，连结PA ，PB ，PC ．线段PA 、PB 、PC 满足怎样的数量关系?
（尝试解决）为了解决这个问题，小明给出这样种解题思路：发现存在条件CA=CB ，∠ACB=60°，从而将CP 绕点逆时针旋转60°交PB 延长线于点M ，从而证明
△PAC ≌△MBC ，请你完成余下思考，并直接写出答案：PA 、PB 、PC 的数量关系是 ； （自主探索）如图2所示，把原问题中的“等边△ABC”改成“正方形ABCD”，其余条件不变，
①PC 与PA ，PB 有怎样的数量关系?请说明理由：
②PC+PD 与PA ，PB 的数量关系是 ．（直接写出结果）
（灵活应用）把原问题中的“等边△ABC”改成“正五边形ABCDE”，其余条件不变，则PC+PD+PE 与PA+PB 的数量关系是 ．（直接写出结果）
7．如图1，在四边形ABCD 中，,,AB AD BC CD AB BC ⊥⊥=，2ABC EBF ∠=∠，它的两边分别交AD DC 、点,E F ．且AE CF ≠．
()1求证：.EF AE CF =+
()2如图2，当MBN ∠的两边分别交,AD DC 的延长线于点,E F ，其余条件均不变时，()1中的结论是否成立？如果成立，请证明．如果不成立，线段,,AE CF EF 又有怎样的数量关系？并证明你的结论．
8．如图，在正方形ABCD 中，点F 是CD 的中点，点E 是BC 边上的一点，且AF 平分DAE ∠，求证：AE EC CD =+．
9．已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝108°，BD 平分∠ABC ，求证：BC ＝AC +CD ．
10．如图1，在ABC ∆中，ACB ∠是直角，60B ∠=︒，AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠的平分线，AD 、CE 相交于点F ．
（1）求出AFC ∠的度数；
（2）判断FE 与FD 之间的数量关系并说明理由．（提示：在AC 上截取CG CD =，连接FG ．）
（3）如图2，在△ABC ∆中，如果ACB ∠不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段AE 、CD 与AC 之间的数量关系并说明理由．
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一、全等三角形截长补短
1．（1）EF ＝BE +DF ；（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；证明见解析．
【分析】
（1）延长FD 到点G ．使DG=BE ．连结AG ，即可证明△ABE ≌△ADG ，可得AE=AG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得EF=FG ，即可解题；
（2）延长FD 到点G ．使DG=BE ．连结AG ，即可证明△ABE ≌△ADG ，可得AE=AG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得EF=FG ，即可解题．
【详解】
（1）EF ＝BE +DF ，
理由如下：
在△ABE 和△ADG 中，
90DG BE B ADG AB AD ︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩
，
∴△ABE ≌△ADG （SAS ），
∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，
∵∠EAF ＝12
∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ，
∴∠EAF ＝∠GAF ，
在△AEF 和△GAF 中，
AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△AEF ≌△AGF （SAS ），
∴EF ＝FG ，
∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，
∴EF ＝BE +DF ；
故答案为：EF ＝BE +DF ．
（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；
理由：延长FD 到点G ．使DG ＝BE ．连结AG ，如图2，
∵∠B +∠ADC ＝180°，∠ADC +∠ADG ＝180°，
∴∠B ＝∠ADG ，
在△ABE 和△ADG 中，
DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABE ≌△ADG （SAS ），
∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，
∵∠EAF ＝12
∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ，
∴∠EAF ＝∠GAF ，
在△AEF 和△GAF 中，
AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△AEF ≌△AGF （SAS ），
∴EF ＝FG ，
∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，
∴EF ＝BE +DF ．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
2．（1）见详解；（2）108°；（3）见详解
【分析】
（1）如图1，过D 作DM ⊥AB 于M ，由 CA ＝CB ，90ACB =︒，得ABC 是等腰直角三角形，根据角平分线的性质得到CD ＝MD ，∠ABC ＝45°，根据全等三角形的性质得到AC ＝AM ，于是得到结论；
（2）如图2，设∠ACB ＝α，则∠CAB ＝∠CBA ＝90°−12
α，在AB 上截取AK ＝AC ，连结DK ，根据角平分线的定义得到∠CAD ＝∠KAD ，根据全等三角形的性质得到∠ACD ＝∠AKD
＝α，根据三角形的内角和即可得到结论；
（3）如图3，在AB 上截取AH ＝AD ，连接DH ，根据等腰三角形的性质得到∠CAB ＝∠CBA ＝40°，根据角平分线的定义得到∠HAD ＝∠CAD ＝20°，求得∠ADH ＝∠AHD ＝80°，在AB 上截取AK ＝AC ，连接DK ，根据全等三角形的性质得到∠ACB ＝∠AKD ＝100°，CD ＝DK ，根据等腰三角形的性质得到DH ＝BH ，于是得到结论．
【详解】
（1）如图1，过D 作DM ⊥AB 于M ，
∴在ABC 中，AC BC =，
∴∠ABC ＝45°，
∵∠ACB ＝90°，AD 是角平分线，
∴CD ＝MD ，
∴∠BDM ＝∠ABC ＝45°，
∴BM ＝DM ，
∴BM ＝CD ，
在RT △ADC 和RT △ADM 中，
CD MD AD AD ⎧⎨⎩
＝＝， ∴RT △ADC ≌RT △ADM （HL ），
∴AC ＝AM ，
∴AB ＝AM ＋BM ＝AC ＋CD ，
即AB ＝AC ＋CD ；
（2）设∠ACB ＝α，则∠CAB ＝∠CBA ＝90°−12
α， 在AB 上截取AK ＝AC ，连结DK ，如图2，
∵AB ＝AC ＋BD ，AB=AK+BK
∴BK ＝BD ，
∵AD 是角平分线，
∴∠CAD ＝∠KAD ，
在△CAD 和△KAD 中，
AC AK CAD KAD AD AD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ ∴△CAD ≌△KAD （SAS ），
∴∠ACD ＝∠AKD ＝α，
∴∠BKD ＝180°−α，
∵BK ＝BD ，
∴∠BDK ＝180°−α，
∴在△BDK 中，180°−α＋180°−α＋90°−12
α＝180°， ∴α＝108°，
∴∠ACB ＝108°；
（3）如图3，在AB 上截取AH ＝AD ，连接DH ，
∵∠ACB ＝100°，AC ＝BC ，
∴∠CAB ＝∠CBA ＝40°，
∵AD 是角平分线，
∴∠HAD ＝∠CAD ＝20°，
∴∠ADH ＝∠AHD ＝80°，
在AB 上截取AK ＝AC ，连接DK ，
由（1）得，△CAD ≌△KAD ，
∴∠ACB ＝∠AKD ＝100°，CD ＝DK ，
∴∠DKH ＝80°＝∠DHK ，
∴DK ＝DH ＝CD ，
∵∠CBA ＝40°，
∴∠BDH ＝∠DHK -∠CBA =40°，
∴DH ＝BH ，
∴BH ＝CD ，
∵AB ＝AH ＋BH ，
∴AB ＝AD ＋CD ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的内角和，正确的作出辅助线是解题的关键．
3．（1）作图见解析；（2）①260α-︒，120α︒-；②FA=FC +FE ，证明见解析；（3）AF=FC-EF ．
【分析】
（1）先根据轴对称的性质作出线段AC ，再分别以A 、C 为圆心，AC 长为半径画弧，两弧交于点E ，可得等边△ACE ，最后根据题意画出图形即可；
（2）①根据轴对称的性质可得∠BAC=2∠BAD=2α，根据等边三角形的性质可知∠EAC=60°，根据角的和差关系即可表示出∠BAE ；根据轴对称的性质和等边三角形的性质可得AB=AE ，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可表示出∠ABE ；
②在FA 上截取FG=EF ，连接EG ，利用三角形内角和定理可得∠AFB=60°，即可证明△EFG 是等边三角形，根据角的和差故选可得∠AEG=∠CEF ，利用SAS 可证明△AEG ≌△CEF ，即可得出AG=CF ，根据线段的和差关系即可得结论；
（3）由60°＜α＜90°可知点E 在直线l 右侧，根据题意画出图形，在FA 上截取FG=EF ，根据轴对称的性质可得AF ⊥BC ，BF=CF ，根据（2）中结论可得∠FBC=∠FCB=30°，利用三角形外角性质可得∠GFE=60°，可证明三角形EFG 是等边三角形，利用SAS 可证明△AEF ≌△CEG ，可得FA=CG ，根据线段的和差关系即可得答案．
【详解】
（1）补全图形如下：
（2）①260α-︒，120.α︒-
①∵AB 、AC 关于直线l 对称，
∴∠BAD=∠CAD ，AB=AC ，
∵△ACE 是等边三角形，
∴∠EAC=60°，AE=AC=EC ，
∵∠BAD=α，
∴∠BAC=BAD+∠CAD=2∠BAD=2α，
∴∠BAE=∠BAC-∠EAC=2α-60°．
∵AB=AC，AC=AE，
∴AB=AE，
∴∠ABE=1
2
（180°-∠BAE）=120°-α．
故答案为：2α-60°，120°-α
②数量关系是FA =FC +FE，证明如下：
在FA上截取FG=EF，连接EG，
由①得，∠ABE=120°-α，∠BAD=α，
∴∠AFB=180°-∠ABE-∠BAD=60°，
∴△EFG为等边三角形，
∴EG=FE=FG，∠GEF=60°，
∵△AEC是等边三角形，
∴∠AEC=60°，AE=CE，
∴∠AEC=∠GEF=60°，
∴∠AEC-∠GEC=∠GEF-∠GEC，即∠AEG=∠CEF，
在△AEG和△CEF中，
EG EF
AEG CEF AE CE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△AEG≌△CEF，
∴AG=FC
∴FA=AG+FG=FC+FE，
（3）AF=FC-EF．
∵60°＜α＜90°，
∴如图所示，点E在直线l右侧，
在FA上截取FG=EF，连接EG，
∵AB、AC关于直线l对称，点F在直线l上，∴AF⊥BC，BF=CF，
∴∠ABC=∠ACB=90°-α，
由（2）可知∠ABE=120°-α，
∴∠FBC=∠FCB=120°-α-（90°-α）=30°，
∴∠EFG=∠FBC+∠FCB=60°，
∴△EFG是等边三角形，
∴∠FEG=60°，
∵∠AEC=60°，
∴∠AEF+∠AEG=∠CEG+∠AEG=60°，
∴∠AEF=∠CEG，
在△AEF和△CEG中，
EF EG
AEF CEG AE CE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△AEF≌△CEG，
∴AF=CG，
∴AF=FC-EF．
【点睛】
本题考查轴对称的性质、等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，根据轴对称的性质正确得出对应边并熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
4．（1）BC=AC+AD；（2）△ABC 的面积为80．
【分析】
（1）在CB上截取CE=CA，则由题意可得AD=DE，∠CED=∠A，再结合∠A=2∠B可得
DE=BE，从而得到BC=AD+AC；
（2）在AB上截取AE=AD，连结CE，过C作CF⊥AB于F点，由题意可得EC=BC，从而得到EF的长度，再由勾股定理根据EC、EF的长度求得CF的长度，最后根据面积公式可以得到解答．
【详解】
解：（1）如图，在CB上截取CE=CA，则由题意得：△CAD≌△CED，
∴AD=DE，∠CED=∠A，
∵∠A=2∠B，∴∠CED=2∠B，
又∠CED=∠B+∠EDB，∴∠B+∠EDB=2∠B，
∴∠EDB=∠B，∴DE=BE，
∴BC=BE+CE=DE+CE=AD+AC；
（2）如图，在AB上截取AE=AD，连结CE，过C作CF⊥AB于F点，
∴由题意可得：△CDA ≌△CEA ，
∴EC=CD=BC=10，AE=AD=8，
∵CF ⊥AB ，
∴EF=FB=
208622AB AE --==， ∴22221068CF EC EF =
--=， ∴112088022
ABC S AB CF =⨯=⨯⨯=． 【点睛】
本题考查三角形全等的综合运用，熟练掌握三角形全等的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理是解题关键．
5．（1）AFE AFG △≌△，理由：SAS ；（2）180B D ∠+∠=︒，证明见解析；（3）BE+DF=EF ．
【分析】
（1）在前面已证的基础上，得出结论AE AG =，进而证明AFE AFG △≌△，从而得出结论；
（2）利用“解决问题”中的思路，同样去构造AFE AFG △≌△即可；
（3）利用前面两步的思路，证明全等得出结论即可．
【详解】
（1）ABE ADG ≌，,,AE AG BAE DAG BE DG ∴=∠=∠=，
则BAE FAD FAD ADG FAG ∠+∠=∠+∠=∠，
45EAF ∠=︒，45FAG ∴∠=︒，
在AFG 与AFE △中，
AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩
∠∠ AFE AFG ∴△≌△，理由：（SAS ）
EF FG FD DG FD BE ∴==+=+；
（2）满足180B D ∠+∠=︒即可，证明如下：
如图，延长FD 至G ，使BE DG =，
180B ADF ∠+∠=︒，180ADF ADG ∠+∠=︒，
B ADG ∴∠=∠，
在ABE △与ADG 中，
AB AD B ADG BE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()ABE ADG SAS ∴≌，
,,AE AG BAE DAG BE DG ∴=∠=∠=，
则BAE FAD FAD ADG FAG ∠+∠=∠+∠=∠，
45EAF ∠=︒，45FAG ∴∠=︒，
在AFG 与AFE △中，
AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩
∠∠ AFE AFG ∴△≌△，理由：（SAS ）
EF FG FD DG FD BE ∴==+=+；
（3）BE+DF=EF ．证明如下：
如图，延长FD 至G ，使BE DG =，
在ABE △与ADG 中，
90AB AD B ADG BE DG =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
()ABE ADG SAS ∴≌，
,AE AG BAE DAG ∴=∠=∠，
则BAE FAD FAD ADG FAG ∠+∠=∠+∠=∠，
12
EAF BAD ∠=∠，12FAG EAD FAE ∴∠=∠=∠， 在AFG 与AFE △中，
AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩
∠∠
AFE AFG ∴△≌△，理由：（SAS ）
EF FG FD DG FD BE ∴==+=+；
．
【点睛】
本题考查了截长补短的方法构造全等三角形，能够理解前面介绍的方法并继续探究是解决问题的关键．
6．【尝试解决】PA+PB=PC ；【自主探索】①2PC PA PB =；理由见解析；②21)()PC PD PA PB +=+；【灵活应用】
(52)()PC PD PE PA PB ++=+．
【分析】
尝试解决：利用旋转性质证明△PAC ≌△MBC ，得到PA=BM ，得到PM 等于PB 与PA 的和，再证明△PCM 是等边三角形，得到PM 等于PC ，即可得到结果；
自主探索：①在PC 上截取QC=PA ，证出△CBQ 全等于△ABP ，得到△PBQ 是等腰直角三角形，PQ 等于PB 2倍，即可得到结果；
②同①方法，即可得到PD 与PA 和PB 的关系，即可求出PC+PD 与PA 和PB 的关系； 灵活应用：类比（自主探索）中的方法证明PC 与PA 和PB 的关系，再用同样的方法证明PE 与PA 和PB 的关系，构造△CDM 全等于△CBP ，得到PD 与PC 的关系，进一步得到PD 与PA 和PB 的关系，最终求出PD+PE+PC 的和即可得到与PA 和PB 的关系．
【详解】
尝试解决：PA+PB=PC ；
证明：因为∠ACP+∠PCB=60°，∠MCB+∠PCB=60°，
∴∠ACP=∠MCB ，
又∵CP=CM ，AC=MC ，
∴△ACP ≌△BCM ，
所以PA=BM ，∠CBM=∠CAP ，
∵四边形APBC 内接于圆O ，
∴∠CAP+∠CBP=180°，
∴∠CBM+∠CBP=180° ，
∴P 、B 、M 三点共线，
∴△PCM 是等边三角形，
∴PM=PC ，
∴PC=PM=PB+BM=PB+PA ；
自主探索：①PC 与PA 、PB 的数量关系为2PC PA PB =+；理由：
截取CQ=PA ，，如图，∵四边形ABCD 是正方形，
∴BC=AB ，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，
∵PA=CQ ，∠BCQ=BAP ，BC=AB
∴△BCQ ≌△BAP ，
∴∠CBQ=∠ABP ，BQ=BP ， ∵∠CBQ+∠ABQ=90°，
∴90ABP ABQ ∠+∠=︒，
∴△PBQ 是等腰直角三角形，
∴2PB ，
∴2PC CQ PQ PA PB =+=+；
②21)()PC PD PA PB +=+
证明：在PD 上截取DH=PB ，
∵DH=PB ，∠ADH=∠ABP ，AD=AB
∴△ADH ≌△ABP
∴∠DAH=∠BAP ，AH=AP ，
∵∠DAH+∠HAP=90°， ∴∠BAP+∠HAP=90°，
∴△HAP 是等腰直角三角形，
∴2，
∴2PA ，
∴21)()PC PD PA PB +=+．
灵活应用：52)()PC PD PE PA PB ++=+．
证明：在PC 上截取FC=PA ，
∵五边形ABCDE 是正五边形，
∴BC=AB=CD=DE=AE ，∠ABC=∠EAB=108°，
∵PA=CF ，AB=BC ，∠FCB=∠BAP ，
∴△BAP ≌△BCF ，
∴BF=PB ，∠CBF=∠ABP ，
∵∠CBF+∠FBA=108°，
∴∠ABP+∠FBA=108°，
∴△FBP 是顶角为108°的等腰三角形，
∴15+PB ， ∴15+PB+PA ， 同理可证15+PA+PB ， 延长PD 至点M 使DM=PB ，
∵∠MDC+∠CDP=180°，∠CDP+∠PBC=180°，
∴∠CDM=∠CBP
又∵CD=BC ，
∴△CDM ≌△CBP
∴CM=CP ，∠MCD=∠BCP ，
又∵∠PCB+∠PCD=108°，
∴∠MCD+∠PCD=108°，
∴△MCP 是顶角108°的等腰三角形，
∴PM=152
+PC ， ∴15+PC-PB ， ∴PC+PD+PE 15+15+35+15+PB+PA ）
+152+PA=()()2525PA PB +++=()()25PA PB ++ 【点睛】 本题考查旋转性质、圆的有关性质、圆内接四边形、正五边形有关性质、三角形全等的相关性质和判定，综合性强，难度较大是一道好题，属中考压轴题型．
7．（1）证明见解析；（2）不成立，AE=CF+EF ，理由见详解
【分析】
（1）延长FC 到H ，使CH AE =，连接BH ，由题意易证BCH BAE ∆∆≌，则有HBF EBF ∠=∠，进而可证HBF EBF ∆∆≌，然后根据线段的等量关系可求解； （2）在AE 上截取AH=CF ，连接BH ，然后根据题意易证△ABH ≌△CBF ，则有BH=BF ，∠ABH=∠CBF ，进而可得△EBF ≌△EBH ，最后根据线段的等量关系可求解．
【详解】
()1证明：延长FC 到H ，使CH AE =，连接BH ，如图所示：
,AB AD BC CD ⊥⊥，
90A BCH ∴∠=∠=︒，
在BCH ∆和BAE ∆中
BC BA BCH A CH AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()BCH BAE SAS ∴∆∆≌，
,BH BE CBH ABE ∴=∠=∠，
2ABC EBF =∠∠，
ABE CBF EBF ∴∠+∠=∠，
HBC CBF EBF ∴∠+∠=∠，
HBF EBF ∴∠=∠
在HBF ∆和EBF ∆中
BH BE HBF EBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()HBF EBF SAS ∴∆∆≌
HF EF ∴=，
HF HC CF AE CF =+=+
EF AE CF ∴=+；
（2）不成立，AE=CF+EF ，理由如下：
在AE 上截取AH=CF ，连接BH ，如图所示：
,AB AD BC CD ⊥⊥，
90A BCF ∴∠=∠=︒，
∵AB=CB ，
∴△ABH ≌△CBF （SAS ），
∴BH=BF ，∠ABH=∠CBF ，
∵2ABC EBF ∠=∠，∠EBF=∠CBF+∠CBE ，∠ABC=∠CBE+∠EBH+∠ABH ，
∴∠EBF=∠EBH ，
∵EB=EB ，
∴△EBF ≌△EBH （SAS ），
∴CF=AH ，EF=EH ，
∵AE=AH+HE ，
∴AE=CF+EF ．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
8．见解析
【分析】
过F 作FH ⊥AE 于H ，得出FH=FD ，然后证明△FHE ≌△FCE ，再通过等价转换可证得
AE=EC+CD ．
【详解】
证明：过F 作FH ⊥AE 于H ，如图，
∵AF 平分∠DAE ，∠D=90°，FH ⊥AE ，
∴∠DAF=∠EAF ，FH=FD ，
又∵DF=FC=FH ，FE 为公共边，
∴△FHE ≌△FCE （HL ）．
∴HE=CE ．
∵AE=AH+HE ，AH=AD=CD ，HE=CE ，
∴AE=EC+CD ．
【点睛】
本题考查角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等，也考查了等量代换的思想，属于比较典型的题目．
9．见解析
【分析】
在线段BC 上截取BE ＝BA ，连接DE ．则只需证明CD ＝CE 即可．结合角度证明∠CDE ＝∠CED ．
【详解】
证明：在线段BC 上截取BE ＝BA ，连接DE ．
∵BD 平分∠ABC ，
∴∠ABD ＝∠EBD 12
=∠ABC ． 在△ABD 和△EBD 中，
BE BA ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，
∴△ABD≌△EBD．（SAS）
∴∠BED＝∠A＝108°，∠ADB＝∠EDB．
又∵AB＝AC，∠A＝108°，∠ACB＝∠ABC
1
2
=⨯（180°﹣108°）＝36°，
∴∠ABD＝∠EBD＝18°．
∴∠ADB＝∠EDB＝180°﹣18°﹣108°＝54°．
∴∠CDE＝180°﹣∠ADB﹣∠EDB
＝180°﹣54°﹣54°
＝72°．
∴∠DEC＝180°﹣∠DEB
＝180°﹣108°
＝72°．
∴∠CDE＝∠DEC．
∴CD＝CE．
∴BC＝BE＋EC＝AB＋CD．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，添加恰当辅助线是本题的关键．10．（1）∠AFC＝120°；（2）FE与FD之间的数量关系为：DF＝EF．理由见解析；（3）AC＝AE+CD．理由见解析．
【分析】
（1）根据三角形的内角和性质只要求出∠FAC，∠ACF即可解决问题;
（2）根据在图2的 AC上截取CG=CD，证得△CFG≌△CFD (SAS),得出DF= GF；再根据ASA 证明△AFG≌△AFE，得EF=FG，故得出EF=FD；
（3）根据(2) 的证明方法，在图3的AC上截取AG=AE，证得△EAF≌△GAF (SAS)得出
∠EFA=∠GFA；再根据ASA证明△FDC≌△FGC，得CD=CG即可解决问题．
【详解】
（1）解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠FAC＝15°，∠FCA＝45°，
∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠ACF）＝120°
（2）解：FE与FD之间的数量关系为：DF＝EF．
理由：如图2，在AC上截取CG＝CD，
∵CE 是∠BCA 的平分线，
∴∠DCF ＝∠GCF ，
在△CFG 和△CFD 中，
CG CD DCF GCF CF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△CFG ≌△CFD （SAS ），
∴DF ＝GF ．∠CFD ＝∠CFG
由（1）∠AFC ＝120°得，
∴∠CFD ＝∠CFG ＝∠AFE ＝60°，
∴∠AFG ＝60°，
又∵∠AFE ＝∠CFD ＝60°，
∴∠AFE ＝∠AFG ，
在△AFG 和△AFE 中，
AFE AFG AF AF
EAF GAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△AFG ≌△AFE （ASA ），
∴EF ＝GF ，
∴DF ＝EF ；
（3）结论：AC ＝AE+CD ．
理由：如图3，在AC 上截取AG ＝AE ，
同（2）可得，△EAF ≌△GAF （SAS ），
∴∠EFA ＝∠GFA ，AG ＝AE
∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°
∴∠AFC ＝180°﹣(∠FAC+∠FCA)＝180°-
12(∠BAC+∠BCA)=180°-12
×120°=120°， ∴∠EFA ＝∠GFA ＝180°﹣120°＝60°＝∠DFC ，
∴∠CFG ＝∠CFD ＝60°，
同（2）可得，△FDC ≌△FGC （ASA ），
∴CD＝CG，
∴AC＝AG+CG＝AE+CD．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质的运用，全等三角形的判定和性质是证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造全等三角形．。