湖北省黄梅一中高二数学下学期综合适应训练试题(十)

（注意：请将答案填在答题卡上）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．复数1i
z i
=+的共轭复数在复平面上对应的点位于
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．设全集==A R U ,(2)
{|21},{|ln(1)}x x x B x y x -<==-，
则右图中阴影部分表示的集合为 ( )
A ．{|1}x x ≥
B ．{|12}x x ≤<
C ．{|01}x x <≤
D ．{|1}x x ≤ 3. “3
2
b a >是“6
4
b a >”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．阅读右面的程序框图，则输出的S 等于 ( )
A ．40
B ．20
C ．32
D ．38
5. 等差数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，20111-=a ，
22007
20092007
2009=-S S ，则2011S 的值为（ ） A ．2010- B ．2010 C ．2011- D ．2011 6．若实数x ,y 满足条件 ，目标函数z =x +y ,则
第5题图
x +2y -5≤0 2x +y -4≤0
x ≥0 y ≥1
A. z max =0
B. z max =
5
2
C. z min =
52
D. z max =3
7．已知点M 在曲线22430x y x +++=上，点N 在不等式组
⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥+≤-0344302y y x x 所表示的平面区域内，那么MN 的最小值是( ) A ．1
B ．2
C ．385
D ．
1385
- 8． 若一个螺栓的底面是正六边形，它的主视图和俯视图如图所示，则它的体积是第
3
3π33
9．点P 是双曲线222222
1222x y a b
C :-=1(a>0,b>0)与圆C :x +y =a +b 的一个交点,且2∠PF 1F 2=∠PF 2F 1，
其中F 1、F 2分别为双曲线C 1的左右焦点，则双曲线C 1的离心率为
A 31
B ．
31
2
C ．
51
2
D ．51
10．已知平面向量(,1),(,1)a m b m ==，(,0)c n =，(1,)d n =，满足⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅1
λ
的解)
,(n m 仅有一组，则实数λ的值为 ( ) A ．4 B ．41 C ．1 D ．1
2
15. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+-=,
0),1ln(,0,21)(2x x x x x x f 若函数kx x f y -=)(有三个零点，则k 的取值范围为 .
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤） 16. （本小题满分12分）已知函数)3
sin(2sin 2)(π
-+=x x x f .
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a,b ，c ．已知b a A f 3,3)(==，证明:B C 3=． 17．（本小题满分12分）某工厂有甲、乙两个车间，每个车间各有编号为1、2、3、4、5 1号 2号 3号 4号 5号 甲车间 4 5 7 9 10 乙车间
5
6
7
8
9
（Ⅰ）分别求出甲、乙两个车间技工在该天内所加工的合格零件的平均数及方差，并由此比较两个车间技工的技术水平；
（Ⅱ）质检部门从甲、乙两个车间中各随机抽取1名技工，对其加工的零件进行检测，若两人完成合格零件个数之和不小于12个，则称该工厂“质量合格”，求该工厂“质量合格”的概率．
18. 在各项均为正数的数列{}n a 中,已知点()*1,()n n a a n N +∈在函数2y x =的图像上,且
24164
a a ⋅=
. (Ⅰ)求证:数列{}n a 是等比数列,并求出其通项； (Ⅱ)若数列{}n b 的前n 项和为n S ,且n n b na =,求n S ．
20．（本小题满分13分）已知椭圆2212:1,105x y E += 22
222:1(0)x y E a b a b
+=>>.1E 与2
E 有相同的离心率,过点(3,0)
F -的直线l 与1E ,2E 依次交于A,C,D,B 四点(如图).当直线l 过2E 的上顶点时, 直线l 的倾斜角为6
π
. (1) 求椭圆2E 的方程; (2) 求证:AC DB =; (3) 若1AC =,求直线l 的方程.
21．（本小题满分14分）
已知函数)(ln )1()(R a x a x
a
x x f ∈+--
=． （Ⅰ）当10≤<a 时，求函数)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）是否存在实数a ，使x x f )(恒成立，若存在，求出实数a 的取值范围；若不存
在，说明理由．
参考答案与评分标准
一、1—5 DB B DC 6—10 DACAB
二、11． π6
5
；12．63 ；13．5(7)
()3-∞-+∞，，14．41 ； 15．⎪⎭
⎫ ⎝⎛1,21．
17．解：(Ⅰ)依题意有：
7)109754(51=++++=甲x ，1
(56789)75x =++++=乙 ……………2分
2.5526])710()79()77()75()74[(51222222
==-+-+-+-+-=甲s …………3分
2
])79()78()77()76()75[(51222222
=-+-+-+-+-=乙s
…………4分 因为乙甲x x =，2
2乙甲s s >，所以乙车间技工的技术水平比甲车间好. ……6分
(Ⅱ)记该工厂 “质量合格”为事件A ，则从甲、乙两车间中各抽取1名技工完成合格零件个数的基本事件为：（4，5），（4，6），（4，7），（4，8），（4，9），（5，5），（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（7，5），（7，6），（7，7），（7，8），（7，9）（9，5），（9，6），（9， 7），（9，8），（9，9），（10，5），（10，6），（10，7），（10，8），（10，9）共25种…………8分 事件A 包含的基本事件为：（4，8），（4，9），（5，7），（5，8），（5，9），（7，5），（7，6），（7，7），（7，8），（7，9），（9，5），（9，6），（9，7），（9，8），（9，9），（10，5），（10，6），（10，7），（10，8），（10，9）共20种 ………………………………10分， 所以204
()255P A =
=
答：即该工厂“质量合格”的概率为4
5
…………………………………………12分
18. 【解】(Ⅰ)因为点*
1
(,)()
n n
a a n
+
∈N在函数1
2
y x
=的图像上,
所以
1
2
n n
a a
+
=,…………………………1分
且0
n
a>,所以1
1
2
n
n
a
a
+=,
故数列{}n a是公比1
2
q=的等比数列.……………………3分
因为
24
1
64
a a=,所以3
11
1
64
a q a q
⋅=,
即24
1
11
()
264
a=,则
1
1
2
a=,……………………………4分所以
1
2
n n
a=…………………………………6分
19．（1）∵,,
PC AB PC BC AB BC B
⊥⊥=
∴PC ABC
⊥平面，又∵PC PAC
⊂平面
∴PAC ABC
⊥
平面平面
（2）在平面ABC内，过C作CD CB
⊥，建立空间直角
坐标系C xyz
-（如图）
由题意有31,0
2
A
⎫
-⎪⎪
⎝⎭
，设()()
00
0,0,0
P z z>，
则()()
000
31
0,1,,,,,0,0,
2
M z AM z CP z
⎛⎫
=-=
⎪
⎪
⎝⎭
由直线AM 与直线PC 所成的解为0
60，得
0cos60AM CP AM CP ⋅=⋅⋅
，即2
200032
z z z π
=
+⋅，解得0
1z =
∴()310,0,1,,,02CM CA ⎛⎫
==- ⎪ ⎪⎝⎭
，设平面MAC 的一个法向量为{}111,,n x y z =，
则11110
31
022
y z y z +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，取11x =，得{}
1,3,3n =- 平面ABC 的法向量取为()0,0,1m = 设m 与n 所成的角为θ，则3
cos 7
m n m n
θ⋅-=
=
⋅ 显然，二面角M AC B --的平面角为锐角，故二面角M AC B --的余弦值为
7
21 20．【解】(1)31,2,1c b a b a ==∴==,因此椭圆2E 的方程为222:14x E y +=. (2)当直线l 垂直x 轴时,易求得7117(3,(3,),(3,),(3,22A C D B -----
因此
AC DB =,
当直线l 不垂直x 轴时,设:(3)l y k x =-
由2
2(3)
14
y k x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩2222(14)831240k x k x k ⇒+++-= ①,
由22
(3)2110
5y k x x y ⎧=⎪⎨+=⎪
⎩2222(14)8312100k x k x k ⇒+++-= ②,
设11223344(,)(,)(,)(,)B C D A x y x y x y x y 、、、,则34x x 、是方程①的解, 12x x 、是
方程②的解.
2
1234
3k
x x x x
-
+=+=,∴线段AB,CD的中点重合
,AC DB
∴=
(3).由(2)知,2
AB CD
=+,当直线l垂直x轴时,不合要求;
当直线l不垂直x轴时,设:(3)
l y k x
=-,由(2)知,
2
1234
83k
x x x x
-
+=+=,
22
1234
22
1210124
,
1414
k k
x x x x
k k
--
==
++
,
[]222
222
1212222
8348164(1)
(1)()4(1)()
141414
k k k
CD k x x x x k
k k k
⎡⎤
--+ =++-=+-=
⎢⎥
+++
⎣⎦
[]22
222
343422
834840
(1)()4(1)()
1414
k k
AB k x x x x k
k k
⎡⎤
--
=++-=+-
⎢⎥
++
⎣⎦
22
8(1)(145)
k k
++
=
22
2
2
8(1)(145)
4(1)
2
14
k k
k
k
++
+
∴+=
+
,化简可得:4222
821(41)(21)0
k k k k
--=+-=
2
2
k
∴=± ,2
:(3)
l y x
∴=±+
（Ⅱ）()
f x x
≤恒成立可转化为()1ln0
a a x x
++≥恒成立，
令()()1ln
x a a x x
ϕ=++，则只需()0
x
ϕ≥在()
0,
x∈+∞恒成立即可，………6分()()()
'11ln
x a x
ϕ=++
当10
a+>时，在
1
0,
x
e
⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
时，()
'0
x
ϕ<，在1,
x
e
⎛⎫
∈+∞
⎪
⎝⎭
时，()
'0
x
ϕ>
()x ϕ的最小值为1e ϕ⎛⎫
⎪⎝⎭，由10e ϕ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
得1
1a e ≥
-， 故当1
1
a e ≥
-时()f x x ≤恒成立， ……………………………………9分 当10a +=时，()1x ϕ=-，()0x ϕ≥在()0,x ∈+∞不能恒成立，……………11分 当10a +<时，取,1=x 有,1)1(-<=a ϕ ()0x ϕ≥在()0,x ∈+∞不能恒成立，…13分 综上所述当1
1
a e ≥-时，使()f x x ≤恒成立. ………………………14分。