高中数学 第二章 函数 2.2 函数的表示法(二)2.3 映射学案 北师大版必修1-北师大版高一必修

2．2 函数的表示法(二) 2．3 映射
学习目标 1.会用解析法及图像法表示分段函数.2.给出分段函数，能研究有关性质.3.了解映射的概念．
知识点一分段函数
思考设集合A＝R，B＝[0，＋∞)．对于A中任一元素x，规定：若x≥0，则对应B中的y ＝x；若x＜0，则对应B中的y＝－x.按函数定义，这一对是不是函数？
梳理(1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的____________的函数．
(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的________；各段函数的定义域的交集是________．
(3)作分段函数图像时，应在同一坐标系内分别作出每一段的图像．
知识点二映射
思考设A＝{三角形}，B＝R，对应关系f：每个三角形对应它的周长．这个对应是不是函数？它与函数有何共同点？
梳理映射的概念
两个非空集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有________的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B.
A中的元素x称为原像，B中的对应元素y称为x的像，记作f：x→y.
函数一定是映射，映射不一定是函数．
类型一建立分段函数模型
例1 如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 2 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图像．
反思与感悟当目标在不同区间有不同的解析表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图像也需要分段画．
跟踪训练1 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
(1)5公里以内(含5公里)，票价2元；
(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)．
如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图像．
类型二 研究分段函数的性质 命题角度1 给x 求y
例2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋1，x ≤－2，x 2
＋2x ，－2<x <2，
2x －1，x ≥2.
试求f (－5)，f (－3)，f (f (－5
2
))的值．
引申探究
例2中f (x )解析式不变，若x ≥－5，求f (x )的取值范围．
反思与感悟 分段函数求函数值的方法 (1)确定要求值的自变量属于哪一区间．
(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f (f (x 0))的形式时，应从内到外依次求值．
跟踪训练2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋4，x ≤0，x 2
－2x ，0<x ≤4，
－x ＋2，x >4.
(1)求f (f (f (5)))的值； (2)画出函数f (x )的图像．
命题角度2 给y 求x
例3 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x ，x ≤2，
x 2
＋2，x >2.
(1)若f (x 0)＝8，求x 0的值； (2)解不等式f (x )>8.
反思与感悟 已知函数值求x 取值的步骤 (1)先对x 的取值范围分类讨论． (2)然后代入到不同的解析式中． (3)通过解方程求出x 的解．
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．
(5)若解不等式，应把所求x 的范围与所讨论区间求交集，再把各区间内的符合要求的x 的值并起来．
跟踪训练3 已知f (x )＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
x 2
，－1≤x ≤1，1，x >1或x <－1.
(1)画出f (x )的图像；
(2)若f (x )≥1
4，求x 的取值范围；
(3)求f (x )的值域．
类型三 映射的概念
例4 以下给出的对应是不是从集合A 到集合B 的映射？
(1)集合A ＝{P |P 是数轴上的点}，集合B ＝R ，对应关系f ：数轴上的点与它所代表的实数对应；
(2)集合A ＝{P |P 是平面直角坐标系中的点}，集合B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，对应关系f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；
(3)集合A ＝{x |x 是三角形}，集合B ＝{x |x 是圆}，对应关系f ：每一个三角形都对应它的内切圆；
(4)集合A ＝{x |x 是新华中学的班级}，集合B ＝{x |x 是新华中学的学生}，对应关系f ：每一个班级都对应班里的学生．
反思与感悟映射是一种特殊的对应，它具有：(1)方向性：一般地从A到B的映射与从B 到A的映射是不同的．(2)唯一性：集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应，可以是：一对一，多对一，但不能一对多．
跟踪训练4 设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，则下述对应关系f中，不能构成从A到B的映射的是( )
A．f：x→y＝x2
B．f：x→y＝3x－2
C．f：x→y＝－x＋4
D．f：x→y＝4－x2
1．如图中所示的对应：
其中构成映射的个数为( )
A．3 B．4
C ．5
D ．6
2．f (x )的图像如图所示，其中0≤x ≤1时是一段顶点在坐标原点的抛物线，则f (x )的解析式是( )
A ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧ 2x 2
，0≤x ≤12，1<x <2
3，x >2 B ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧ 2x 2，0≤x <12，1<x <2
3，x ≥2
C ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧ 2x 2，0≤x ≤12，1<x ≤2
3，x >2 D ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧ 2x 2
，0≤x ≤12，1<x <2
3，x ≥2
3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋1，x >0，1，x ＝0，
－1，x <0，
则f (f (0))等于( )
A ．1
B ．0
C ．2
D ．－1
4．已知函数y ＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋1，x ≤0，
－2x ，x >0，
则使函数值为5的x 的值是( )
A ．－2或2
B ．2或－5
2
C ．－2
D ．2或－2或－5
2
5．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
1，x >0，0，x ＝0，
－1，x <0，g (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
1，x 为有理数，
0，x 为无理数，则f (g (π))的值为( )
A ．1
B ．0
C ．－1
D ．π
1．对分段函数的理解
(1)分段函数是一个函数而非几个函数．
分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集． (2)分段函数的图像应分段来作，特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况，以决定这些点的虚实情况． 2．函数与映射的关系
映射f ：A →B ，其中A 、B 是两个非空的集合；而函数y ＝f (x )，x ∈A ，A 为非空的数集，其值域也是数集．于是，函数是数集到数集的映射． 由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射．
答案精析
问题导学 知识点一
思考 是函数．因为从整体来看，A 中任一元素x ，在B 中都有唯一确定的y 与之对应． 梳理 (1)对应关系 (2)并集 空集 知识点二
思考 因为A 不是非空数集，故该对应不是函数．但满足“A 中任一元素，在B 中有唯一确定的元素与之对应”． 梳理 唯一 题型探究
例1 解 过点A ，D 分别作AG ⊥BC ，DH ⊥BC ，
垂足分别是G ，H .
因为四边形ABCD 是等腰梯形， 底角为45°，AB ＝2 2 cm ， 所以BG ＝AG ＝DH ＝HC ＝2 cm ， 又BC ＝7 cm ，所以AD ＝GH ＝3 cm. (1)当点F 在BG 上，即x ∈[0,2]时，
y ＝12
x 2；
(2)当点F 在GH 上，即x ∈(2,5]时，
y ＝12
×2×2＋2(x －2)＝2x －2；
(3)当点F 在HC 上，即x ∈(5,7]时，
y ＝S 五边形ABFED ＝S 梯形ABCD －S Rt△CEF
＝12(7＋3)×2－12(7－x )2 ＝－12
(x －7)2
＋10.
综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为
y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
12
x 2
，x ∈[0，2]，2x －2，x ∈
2，5]，
－12x －7
2
＋10，x ∈5，7].
图像如图所示：
跟踪训练1 解 设票价为y 元，里程为x 公里，定义域为(0,20]．
由题意得函数的解析式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
2，0<x ≤5，3，5<x ≤10，4，10<x ≤15，5，15<x ≤20.
函数图像如图所示：
例2 解 ∵－5∈(－∞，－2]， ∴f (－5)＝－5＋1＝－4. ∵－3∈(－2,2)，
∴f (－3)＝(－3)2
＋2(－3) ＝3－23，
∵－5
2
∈(－∞，－2]，
∴f (－52)＝－52＋1＝－3
2
∈(－2,2)，
∴f (f (－52))＝f (－32
) ＝(－32)2＋2(－32)＝－34
. 引申探究
解 当－5≤x ≤－2时，f (x )＝x ＋1∈[－4，－1]；当－2<x <2时，f (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2
－1∈[－1,8)；
当x ≥2时，f (x )＝2x －1∈[3，＋∞)；
∴x ≥－5时，f (x )∈[－4，－1]∪[－1,8)∪[3，＋∞)＝[－4，＋∞)．
跟踪训练2 解 (1)因为5>4，
所以f (5)＝－5＋2＝－3.
因为－3<0，
所以f (f (5))＝f (－3)＝－3＋4＝1.
因为0<1<4，
所以f (f (f (5)))＝f (1)＝12－2×1＝－1.
(2)f (x )的图像如下：
例3 解 (1)当x 0≤2时，由2x 0＝8，
得x 0＝4，不符合题意；
当x 0>2时，由x 2
0＋2＝8，得x 0＝6或 x 0＝－6(舍去)，故x 0＝ 6.
(2)f (x )>8等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤2，2x >8，
① 或⎩⎪⎨⎪⎧ x >2，x 2＋2>8，②
解①，x ∈∅，解②得x >6，综合①②，f (x )>8的解集为{x |x >6}．
跟踪训练3 解 (1)利用描点法，作出f (x )的图像，如图所示．
(2)由于f (±12)＝14，结合此函数图像可知，使f (x )≥14的x 的取值范围是(－∞，－12]∪[12
，＋∞)．
(3)由图像知，当－1≤x ≤1时，
f (x )＝x 2的值域为[0,1]，
当x >1或x <－1时，f (x )＝1.
所以f (x )的值域为[0,1]．
例4 解 (1)按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有唯一的实数与之对应，所以这个对应f ：A →B 是从集合A 到集合B 的一个映射．
(2)按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有唯一的一个实数对与之对应，所以这个对应f ：A →B 是从集合A 到集合B 的一个映射．
(3)由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f ：A →B 是从集合A 到集合B 的一个映射．
(4)新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f ：A →B 不是从集合A 到集合B 的一个映射．
跟踪训练4 D [对于D ，当x ＝2时，由对应关系y ＝4－x 2得y ＝0，在集合B 中没有元素与之对应，所以D 选项不能构成从A 到B 的映射．]
当堂训练
1．A 2.D 3.C 4.C 5.B。