(人教版)2019高考总复习文数课件：第3节 几何概型

5 答案：16
解析：如图所示，设 AD，BC，PC，PD 的中点分别为 E，F， 2 G，H，当点 O 在几何体 CDEFGH 内部或表面上时，VOPAB≥ ， 3 在几何体 CDEFGH 中， 连接 GD， GE， 则 VCDEFGH＝VGCDEF＋VGDEH 5 6 5 5 8 ＝6，又 VPABCD＝ ，则所求概率为 ＝ 3 8 16． 3
图形，以便求解．
[刷好题] 某校早上8 ：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上 7：30～7：50 之间
到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早 5 分钟
到校的概率为________(用数字作答)．
9 答案：32
解析：设小张与小王的到校时间分别为 7：00 后第 x 分钟，第 y 分钟．根据题意可画出图形，如图所示，则总 事件所占的面积为(50－30)2＝400.小张比小王至少早 5 分 钟到校表示的事件 A ＝ {(x ， y)|y － x≥5,30≤x≤50,30≤ y≤50}，如图中阴影部分所示， 1 225 阴影部分所占的面积为2×15×15＝ 2 ， 所以小张比小王至少早 5 分钟到校的概 225 2 9 率为 P(A)＝400＝32．
4 ． ( 教材习题改编 ) 在四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小 球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是 ( A )
3 1 1 1 解析：由几何概型知识可求得四个选项的概率分别为8，4，3，3，A 中奖机会最 大．
02
课堂· 考点突破
与长度
[明技法]
该区域中的每一点被取到的机会相等．(
)
) )
(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形或空间几何体．( (3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( 数都有限．( )
(4)几何概型与古典概型中的基本事件发生的可能性都是相等的，其基本事件个 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×
第 十 章 概 率
第三节
几何概型
考点 几何 概型 命题 分析
高考试题 2017·全国卷Ⅰ·T4·5分 2016·全国卷Ⅱ·T8·5分
考查内容
核心素养
属于面积之比的几何概型
属于长度之比的几何概型
数学运算
数学运算
几何概型的考查主要是几何概型概念的理解以及如何把一个实际问题转 化为几何概型，几何概型所涉及的几何度量一般是长度、面积、体积、 角度等，难度不大，一般出现在选择题中.
3．几何概型的概率公式 构成事件A的区域长度面积或体积 P(A)＝ ． 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积 4．随机模拟方法 (1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件 的概率的近似值的方法就是模拟方法． (2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是： ①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义； ②统计代表某意义的随机数的个数 M 和总的随机数个数 N； M ③计算频率 fn(A)＝ N 作为所求概率的近似值．
03
课后· 高效演练
课时作业提升(五十七)
阶段复习检测(九)
看
观
谢
谢
概率第十章第三节几何概型考点高考试题考查内容核心素养几何概型2017全国卷t45分属于面积之比的几何概型数学运算2016全国卷t85分属于长度之比的几何概型数学运算命题分析几何概型的考查主要是几何概型概念的理解以及如何把一个实际问题转化为几何概型几何概型所涉及的几何度量一般是长度面积体积角度等难度不大一般出现在选择题中
3
与面积有关的几何概型
[析考情]
在高考中与面积有关的几何概型是高考常考考点，常以选择题、填空题形式出
现，难度属于中等，分值5分．
[ 提能力] 命题点 1：与平面图形面积有关的几何概型 【典例 1】 已知菱形 ABCD 的边长为 4，∠ABC＝150° ，若在菱形内任取一点， 则该点到菱形的四个顶点的距离大于 1 的概率为( D ) π A．4 π C．8 π B．1－4 π D．1－8
1 A．4 1 C．2
π B．8 π D．4
解析：不妨设正方形 ABCD 的边长为 2，则正方形内切圆的半径为 1，可得 S 正方
形
＝4． 1 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得 S 黑＝S 白＝2S 圆
π S黑 2 π π ＝2，所以由几何概型知所求概率 P＝ ＝ ＝ .故选 B． S正方形 2×2 8
提醒：
辨明两个易误点 (1) 几何概型中，线段的端点，图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结 果． (2)易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是基本事件的发生是等可能的，不 同之处是几何概型中基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限 的．
1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)几何概型中，每一个基本事件都是从某个特定的几何区域内随机地取一点，
角度
有关的几何概型
1．与长度有关的几何概型 如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，可直接用概率的计算公 式求解． 2．与角度有关的几何概型
当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量
来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．
[ 提能力] 【典例】 (1)(2016· 全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现， 红灯持续时间为 40 秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待 15 秒才出 现绿灯的概率为( B ) 7 A．10 3 C．8 5 B．8 3 D．10
2．在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 O 为底面 ABCD 的中点，在正 方体 ABCD A1B1C1D1 内随机取一点 P，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为( B ) π A．12 π C．6 π B．1－12 π D．1－6
解析： 点 P 到点 O 的距离大于 1 的点位于以 O 为球心， 以 1 为半径的半球外． 记 1 4π 3 2 －2× 3 ×1 π “点 P 到点 O 的距离大于 1”为事件 M，则 P(M)＝ ＝1－12． 23
5 答案：9
2．如图所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝，在∠BAC内作
射线AM交BC于点M，则BM＜1的概率为________．
2 答案：5
解析：因为∠B＝60° ，∠C＝45° ，所以∠BAC＝75° ． 在 Rt△ABD 中，AD＝ 3，∠B＝60° ， AD 所以 BD＝tan 60° ＝1，∠BAD＝30° ， 记事件 N 为“在∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M， 使 BM＜1”， 则可得∠BAM ＜∠BAD 时事件 N 发生． 30° 2 由几何概型的概率公式得 P(N)＝75° ＝5．
1 答案：6
[ 刷好题] 1．(2017· 江苏卷)记函数 f(x)＝ 6＋x－x2的定义域为 D.在区间[ －4,5] 上随机取一 个数 x，则 x∈D 的概率是________．
解析：由 6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，∴D＝[ －2,3] ． 如图，区间[ －4,5] 的长度为 9，定义域 D 的长度为 5， 5 ∴P＝9．
π 答案：24
1 解析：作出不等式组与不等式表示的可行域如图所示，平面区域 N 的面积为2 π 2 π 1 π 2 ×3×(6＋2)＝12，区域 M 在区域 N 内的面积为4π( 2) ＝2，故所求概率 P＝12＝24．
[悟技法] 求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的区域以求面积，必要 时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面
[刷好题]
1．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是AB的中点，一只蝴蝶在几
何体ADF-BCE内自由飞翔，则它飞入几何体F-AMCD内的概率为( D )
3 A．4 1 C．3
2 B．3 1 D．2
1 1 3 1 3 解析：因为 ＝ ×S 四边形 AMCD×DF＝ a ，VADFBCE＝ a ， 3 4 2 1 3 4a 1 所以它飞入几何体 FAMCD 内的概率为1 ＝2． 3 a 2
与体积有关的几何概型
[明技法]
与体积有关的几何概型的求法
对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积 (总空间)以及事件 的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件求解．
[ 提能力] 【典例】 已知在四棱锥 PABCD 中，PA⊥底面 ABCD，底面 ABCD 是正方形， 2 PA＝AB＝2，在该四棱锥内部或表面任取一点 O，则三棱锥 O PAB 的体积不小于3的 概率为________．
1 解析： 由题设菱形 ABCD 的边长为 4， ∠ABC＝150° ， 知菱形的面积 S 菱形 ABCD＝2×2 1 ×AB×BC×sin 150° ＝4×4×2＝8， 设事件 M 为“该点到菱形的四个顶点的距离大于 1”，则事件 M 对应的区域是 菱形内部且在以顶点为圆心，半径为 1 的圆外的部分，如图所示，根据几何概型的概 8－π π 率计算公式得 P(M)＝ 8 ＝1－8．
栏
目 导 航
02
01
课前· 回顾教材
课堂· 考点突破
03
课后· 高效演练
01
课前· 回顾教材
1．几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 (面积或体积)成比例，则 称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． 2．几何概型的两个基本特点 有无限多个 ； (1)无限性：在一次试验中可能出现的结果______________ 等可能性 ． (2)等可能性：每个试验结果的发生具有____________
2．(教材习题改编)在线段[0,3] 上任投一点，则此点坐标小于 1 的概率为( B ) 1 A．2 1 C．4 1 B．3 D．1
1 解析：为几何概型，属于长度之比，长度为 3，本事件对应长度为 1，概率为3．
3．(2017· 全国卷Ⅰ)如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方 形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称． 在正方形内随机取 一点，则此点取自黑色部分的概率是( B )
命题点 2：与线性规划知识交汇命题的几何概型 【典例 2】 (2018· 郑州模拟)若不等式 x2＋y2≤2 所表示的平面区域为 M，不等式 x－y≥0， 组x＋y≥0， y≥2x－6 表示的平面区域为 N，现随机向区域 N 内抛一粒豆子，则豆子落在区
域 M 内的概率为________．
40－15 5 解析：至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为 40 ＝8，故选 B．
(2)如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，
任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________．
解析：如题图，因为射线 OA 在坐标系内是等可能分布的，所以 OA 落在∠yOT 60° 1 内的概率为360° ＝6．