2020年湖南省张家界市市第一中学高二数学文上学期期末试卷含解析

2020年湖南省张家界市市第一中学高二数学文上学期期末试
卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设点P(x，y)是曲线a|x|＋b|y|＝1(a＞0，b＞0)上任意一点，其坐标(x，y)满足
取值范围为
A．(0，2] B．[1，2] C．[1，＋
∞) D．[2，＋∞)
参考答案：
D
设，则满足的点P的轨迹是以
为焦点的椭圆，其方程为．
曲线为如下图所示的
菱形ABCD，．
由于，
所以，即．
所以．选D．
考点：1、曲线与方程；2、不等式．2. 已知定义在R上的函数满足:，,则方程在区间上的所有实根之和为 ( )
A． B．C．
D．
参考答案：
B
3. 将的展开式中x﹣4的系数记为a n，则等于（）A．B．C．2015 D．2016
参考答案：
B
【考点】二项式定理的应用；数列的求和．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理．
【分析】由条件利用二项式展开式的通项公式求得a n，再利用裂项法进行求和，可得要求式子的值．【解答】解：将的展开式中x﹣4的系数记为a n，∴a n==，
∴则=+++??+=2（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）
=2?=，
故选：B．
【点评】本题主要考查二项式展开式的通项公式，用裂项法进行求和，属于中档题．
4. 在数列中，，且（N），则为
A．B．C．D．
参考答案：
C
5. 若函数f（x）满足：x3f′（x）+3x2f（x）=e x，f（1）=e，其中f′（x）为f（x）的导函数，则（）
A．f（1）＜f（3）＜f（5） B．f（1）＜f（5）＜f（3） C．f（3）＜f（1）＜f（5） D．f（3）＜f（5）＜f（1）
参考答案：
D
【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．
【分析】首先由已知的等式构造′=0，由题意求出c，得到f（x）的解析式，从而得到答案．
【解答】解：由x3f′（x）+3x2f（x）=e x，得到'=0，
设x3f（x）﹣e x=c，
因为f（1）=e，
所以c=0，
∴x=0不满足题意，
x≠0时，f（x）=，f′（x）=，
所以f（3）＜f（5）＜f（1）．
故选：D．
6. 设函数的导数最大值为3，则的图像的一条对称轴的方程是
A． B． C． D．
参考答案：
A
略
7. 已知命题 p:；
q:；
r:∥平面，则直线；
s:同时抛掷两枚硬币，出现一正一反的概率为，则下列复合命题中正确的是( )
A.r或s
B.p且q
C.非r
D.q或s
参考答案：
A
略
8. 用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
…
①
②
③
按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为
A．B．C．D．参考答案：
C
略
9. 按流程图的程序计算，若开始输入的值为，则输出的的值是 ( )
A．B．C．D．
参考答案：
D
略
10. 已知向量
A．30° B．60° C．120° D．150°
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 任何一个三次函数都有对称中心.请你探究函数,猜想它的对称中心为_________.
参考答案：
略
12. 已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为、、c且，，，则
．
参考答案：
5
13.
由抛物线y＝x 2，直线x
＝
1，x ＝3和x 轴所围成的图形的面积是______．
参考答案：
【分析】
由题意，作出图形，确定定积分，即可求解所围成的图形的面积．
【详解】解析：如图所示，S ＝x 2dx＝1＝(33－13)＝.
【点睛】本题主要考查了定积分的应用，其中根据题设条件，作出图形，确定定积分求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及数形结合思想的应用，属于基础题．
14. （概率）抛掷一枚均匀的正方体骰子，点数为3的倍数的概率为 .
参考答案：1/3
略
15. 圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0关于直线l1：x－y＋4＝0与直线l2：x＋3y＝0都对称，则D＝
________，E＝________.
参考答案：
16. 已知向量，，，若，则实数的值为．
参考答案：
略
17. 已知双曲线（a＞0,b＞0）的渐近线方程为，则该双曲线的离心率是▲参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设函数
（Ⅰ）当时，求的单调区间；（Ⅱ）若当时，求的取值范围。

参考答案：
解：（Ⅰ）时，。

当时；当时，；当时，。

故在，单调增，在单调减。

（Ⅱ）（不能使用分离变量法）令，则。

若，则当时，，为增函数，则，从而当时.
若，则当时，，为减函数，则，从而当
时＜0，与题意不符（舍去）.
综上所述，得的取值范围为
略
19. 某投资公司对以下两个项目进行前期市场调研:项目A:通信设备.根据调研,投资到该项目上，所有
可能结果为:获利40%、损失20%、不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为；项目B:新能源汽车.根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为:获利30%、亏损10%，且这两种情况发生的概率分别为b、c.经测算，当投入A、B两个项目的资金相等时，它们所获得的平均收益(即数学期望)也相等.
(1)求a、b、c的值;
(2)若将100万元全部投到其中的一个项目，请你从投资回报稳定性考虑，为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.
参考答案：
(1) ，，；(2) 从风险控制角度，建议该投资公司选择项目.
【分析】
（1）根据概率和为1列方程求得a的值，再利用分布列和数学期望列方程组求得b、c的值；（2）计算均值与方差，比较即可得出结论．
【详解】（1）依题意，，，
设投入到项目的资金都为万元，变量和分别表示投资项目和所获得的利润，则
和的分布列分别为
由分布列得
，
，
因为所以，即，
又，解得，；，，
（2）当投入100万元资金时，由（1）知，所以，
，
，
因为，说明虽然项目和项目的平均收益相等，但项目更稳妥，
所以，从风险控制角度，建议该投资公司选择项目.
【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列与数学期望和方差的计算问题，是中档题．
20. 设不等式组所表示的平面区域为，记内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为
（1）求的值及的表达式；
（2）记，试比较的大小；若对于一切的正整数，总有成立，求实数的取值范围；
参考答案：
⑴…………………3 分
当时，取值为1，2，3，…，共有个格点…………………4分
当时，取值为1，2，3，…，共有个格点……………………5分
∴………………………6分
⑵……………7分
当时，……………………8分
当时，……………………9分
∴时，
时，
时，……………………12分
∴中的最大值为……………………13分
要使对于一切的正整数恒成立，只需∴……………
略
21. （本小题满分12分）已知函数，其中为实数.
(1) 若在处取得的极值为，求的值;
（2）若在区间上为减函数，且，求的取值范围.
参考答案：
解 (Ⅰ)由题设可知:
且
，
即，解得
（Ⅱ），
又在上为减函
数，
对恒成立，
即对恒成立.
且，
即，
的取值范围是
略
22. 如图，梯形ABCD的底边AB在y轴上，原点O为AB的中点，，，
M为CD的中点.
（1）求点M的轨迹方程；
（2）过M作AB的垂线，垂足为N，若存在正常数，使，且P点到A、B 的距离和为定值，求点P的轨迹E的方程；
（3）过的直线与轨迹E交于P、Q两点，求面积的最大值．
参考答案：
解：（Ⅰ）设点M的坐标为M(x, y)(x≠0)，则
又由AC⊥BD有，即，
∴x2+y2=1（x≠0）.
（Ⅱ）设P（x, y），则，代入M的轨迹方程有
即，∴P的轨迹为椭圆（除去长轴的两个端点）.
要P到A、B的距离之和为定值，则以A、B为焦点，故.
∴从而所求P的轨迹方程为9x2+y2=1(x≠0).
（Ⅲ）易知l的斜率存在，设方程为联立9x2+y2=1，有设P(x1, y1), Q(x2, y2)，则
令，则且
，
所以当，即也即时，面积取最大值，最大值为．略。