2021湖北省仙桃市、潜江市、天门市、江汉油田中考数学命题趋势研究和考点模拟练习

2021年湖北省仙桃市、潜江市、天门市、江汉油田
中考数学命题趋势研究和考点模拟练习
中考数学备考,除了进行基础知识的系统复习外，还要进行专题复习，专题的练习题很多，本人认为：题海战术不可取，所以有针对性的进行专题练习，是中考备考中很重要的技巧和方法。

笔者根据多年的备考经历，总结了一个十分有效的方法,就是对本地前两年中考数学题的考题和考点进行研究和分析，从而探究本地下一年的中考数学命题趋势，让学生有针对性的进行专题复习，提高中考数学成绩。

本系列讲座将对湖北三市一田2019年、2020年中考数学考题和考点进行归类分析，找出共23条相同考题和考点，希望对2021年湖北省三市一田的中考数学备考复习的教师和学生一点参考。

形如：
一、相同考题考点分类研究列举
实数的有关定义和概念
（2019年中考题含解答和点评）
（2020年中考题含解答和点评）
二、相同考题考点列表分析研究及2021年命题趋势
三、相同考点模拟练习
一、相同考题考点分类研究列举
1、实数定义和概念
（2019年中考题）
1．（3分）下列各数中，是无理数的是（）
A．3.1415 B．C．D．
【解答】解：＝2是有理数，是无理数，
故选：D．
【点评】本题考查无理数的定义；能够准确辨识无理数是解题的关键．
（2020年中考题）
1．（3分）下列各数中，比﹣2小的数是（）
A．0 B．﹣3 C．﹣1 D．|﹣0.6|
【解答】解：∵|﹣0.6|＝0.6，
∴﹣3＜﹣2＜﹣1＜0＜|﹣0.6|．
故选：B．
【点评】本题考查了实数的大小比较和绝对值。

2、几何体的三视图和展开图
（2019年中考题）
2．（3分）如图所示的正六棱柱的主视图是（）
A．B．C．D．
【解答】解：正六棱柱的主视图如图所示：
故选：B．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
（2020年中考题）
2．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（）
A．B．C．D．
【解答】解：俯视图就是从上面看到的图形，因此选项C的图形符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
3、科学记数法
（2019年中考题）
3．（3分）据海关统计，今年第一季度我国外贸进出口总额是70100亿元人民币，比去年同期增长了3.7%，数70100亿用科学记数法表示为（）
A．7.01×104B．7.01×1011 C．7.01×1012 D．7.01×1013
【解答】解：70100亿＝7.01×1012．故选：C．
【点评】本能运用了科学记数法的定义这一知识点，掌握好n与数位之间的关系是解题的关键．（2020年中考题）
3．（3分）我国自主研发的“北斗系统”现已广泛应用于国防、生产和生活等各个领域，多项技术处于国际领先地位，其星载原子钟的精度，已经提升到了每3000000年误差1秒．数3000000用科学记数法表示为（）
A．0.3×106B．3×107C．3×106D．30×105
【解答】解：3000000＝3×106，
故选：C．
【点评】本能运用了科学记数法的定义这一知识点，掌握好n与数位之间的关系是解题的关键
4、相交线有关性质
（2019年中考题）
5．（3分）如图，CD∥AB，点O在AB上，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°，则∠AOF的度数是（）
A．20°B．25°C．30°D．35°
【解答】解：∵CD∥AB，
∴∠AOD+∠D＝180°，∴∠AOD＝70°，∴∠DOB＝110°，
∵OE平分∠BOD，∴∠DOE＝55°，
∵OF⊥OE，∴∠FOE＝90°，∴∠DOF＝90°﹣55°＝35°，∴∠AOF＝70°﹣35°＝35°，
故选：D．
【点评】此题主要考查平行线、角平分线、垂直、补角的性质，关键是根据平行线的性质解答．（2020年中考题）
4．（3分）将一副三角尺按如图摆放，点E在AC上，点D在BC的延长线上，EF∥BC，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝45°，∠F＝60°，则∠CED的度数是（）
A．15°B．20°C．25°D．30°
【解答】解：∵∠B＝90°，∠A＝45°，
∴∠ACB＝45°．
∵∠EDF＝90°，∠F＝60°，
∴∠DEF＝30°．
∵EF∥BC，
∴∠EDC＝∠DEF＝30°，
∴∠CED＝∠ACB﹣∠EDC＝45°﹣30°＝15°．
故选：A．
【点评】此题主要考查平行线、三角形内角和及推论等性质，关键是根据平行线的性质解答．
5、统计的有关概念
（2019年中考题）
4．（3分）下列说法正确的是（）
A．了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查
B．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为S甲2＝3，S乙2＝4，说明乙的跳远成绩比甲稳定
C．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5
D．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生
【解答】解：A．了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合抽样调查，A错误；
B．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为S甲2＝3，S乙2＝4，说明甲的跳远成绩比乙稳定，B错误；
C．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5，正确；
D．可能性是1%的事件在一次试验中可能会发生，D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了统计初步中的有关概念：全面调查、方差、中位数、概率等的应用，正确理解概念是解题的关键．
（2020年中考题）
5．（3分）下列说法正确的是（）
A．为了解人造卫星的设备零件的质量情况，选择抽样调查
B．方差是刻画数据波动程度的量
C．购买一张体育彩票必中奖，是不可能事件
D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为1
【解答】解：为了解人造卫星的设备零件的质量情况，应选择全面调查，即普查，不宜选择抽样调查，因此选项A不符合题意；
方差是刻画数据波动程度的量，反映数据的离散程度，因此选项B符合题意；
购买一张体育彩票中奖，是可能的，只是可能性较小，是可能事件，因此选项C不符合题意；
掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为1
2
，因此选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了统计初步中的有关概念：抽样调查、方差、概率等的应用，正确理解概念是解题的关键．
6、不等式组的解集有关知识
（2019年中考题）
6．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）
A．B．C． D．
【解答】解：解不等式x﹣1＞0得x＞1，解不等式5﹣2x≥1得x≤2，
则不等式组的解集为1＜x≤2，故选：C．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；
同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（2020年中考题）
17、（2）解不等式组{3x+2＞x−2
x−3
3
≤7−5
3
x
，并把它的解集在数轴上表示出来．
【解答】解：
（2）{3x+2＞x−2①x−3
3
≤7−5
3
x②
，
∵解不等式①得：x＞﹣2，
解不等式②得：x≤4，
∴不等式组的解集是：﹣2＜x≤4，在数轴上表示为：
．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7、实数的运算、整式的运算法则
（2019年中考题）
17．（6分）（1）计算：（﹣2）2﹣|﹣3|+×+（﹣6）0；
【解答】解：原式＝4﹣3+4+1＝6；
【点评】本题主要考查零指数幂；绝对值。

二次根式的混合运算
（2020年中考题）
6．（3分）下列运算正确的是（）
）﹣1＝﹣2 C．a+2a2＝3a3D．（﹣a2）3＝﹣a6 A．√4=±2 B．（1
2
【解答】解：A．因为√4=2，所以A选项错误；
B．因为（1
）﹣1＝2，所以B选项错误；
2
C．因为a与2a2不是同类项，不能合并，所以C选项错误；
D．因为（﹣a2）3＝﹣a6，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次根式、负整数指数幂、整式的加减和幂的运算。

8、一元二次方程根的判别式及韦达定理
（2019年中考题）
7．（3分）若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（）A．12 B．10 C．4 D．﹣4
【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，
∴α+β＝2，αβ＝﹣4，∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝4+8＝12；故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系；熟练掌握韦达定理，灵活运用完全平方公式是解题的关键．
（2020年中考题）
9．（3分）关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，且α2+β2＝12，那么m的值为（）A．﹣1 B．﹣4 C．﹣4或1 D．﹣1或4
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有两个实数根，
∴△＝[2（m﹣1）]2﹣4×1×（m2﹣m）＝﹣4m+4≥0，
解得：m≤1．
∵关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，
∴α+β＝﹣2（m﹣1），α•β＝m2﹣m，
∴α2+β2＝（α+β）2﹣2α•β＝[﹣2（m﹣1）]2﹣2（m2﹣m）＝12，即m2﹣3m﹣4＝0，
解得：m＝﹣1或m＝4（舍去）．
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系；熟练掌握韦达定理，灵活运用完全平方公式是解题的关键．
9、扇形、弧长等有关计算
（2019年中考题）
12．（3分）75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在圆的半径是 6 cm．
【解答】解：由题意得：圆的半径R＝180×2.5π÷（75π）＝6cm．故本题答案为：6．
【点评】本题考查了弧长公式．
（2020年中考题）
8．（3分）一个圆锥的底面半径是4cm，其侧面展开图的圆心角是120°，则圆锥的母线长是（）A．8cm B．12cm C．16cm D．24cm
【解答】解：圆锥的底面周长为2π×4＝8πcm，即为展开图扇形的弧长，
=8π，
由弧长公式得，120×π×R
180
解得，R＝12，即圆锥的母线长为12cm．故选：B．
【点评】本题考查了弧长公式．
10、反比例函数和一次函数的基本性质
（2019年中考题）
9．（3分）反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（）
A．图象经过点（1，﹣3）B．图象位于第二、四象限
C．图象关于直线y＝x对称D．y随x的增大而增大
【解答】解：由点（1，﹣3）的坐标满足反比例函数y＝﹣，故A是正确的；
由k＝﹣3＜0，双曲线位于二、四象限，故B也是正确的；
由反比例函数的对称性，可知反比例函数y＝﹣关于y＝x对称是正确的，故C也是正确的，
由反比例函数的性质，k＜0，在每个象限内，y随x的增大而增大，不在同一象限，不具有此性质，故D是不正确的，
故选：D．
【点评】考查反比例函数的性质，当k＜0时，在每个象限内y随x的增大而增大的性质、反比例函数的图象是轴对称图象，y＝x和y＝﹣x是它的对称轴，同时也是中心对称图形；熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数图象和性质是解答此题的基础；多方面、多角度考查反比例函数的图象和性质．
（2020年中考题）
7．（3分）对于一次函数y＝x+2，下列说法不正确的是（）
A．图象经过点（1，3）B．图象与x轴交于点（﹣2，0）
C．图象不经过第四象限D．当x＞2时，y＜4
【解答】解：∵一次函数y＝x+2，∴当x＝1时，y＝3，
∴图象经过点（1，3），故选项A正确；
令y＝0，解得x＝﹣2，∴图象与x轴交于点（﹣2，0），故选项B正确；
∵k＝1＞0，b＝2＞0，∴不经过第四象限，故选项C正确；
∵k＝1＞0，∴函数值y随x的增大而增大，
当x＝2时，y＝4，∴当x＞2时，y＞4，故选项D不正确，
故选：D．
【点评】考查一次函数的基本性质。

11、方程简单应用题
（2019年中考题）
8．（3分）把一根9m 长的钢管截成1m 长和2m 长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中1m 长的钢管有a 根，则a 的值可能有（ ） A ．3种
B ．4种
C ．5种
D ．9种
【解答】解：设2m 的钢管b 根，根据题意得：a+2b ＝9， ∵a 、b 均为整数，∴
，
，
，
．故选：B ．
【点评】本题运用了二元一次方程的整数解的知识点，运算准确是解此题的关键． （2020年中考题）
12．（3分）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队14场比赛得到23分，则该队胜了 9 场．
【解答】解：设该队胜了x 场，负了y 场，依题意有 {x +y =142x +y =23
，解得{x =9
y =5．
故该队胜了9场．故答案为：9．
【点评】本题运用了二元一次方程的知识点，列出方程是解此题的关键．
12、特殊三角形、四边形有关性质
（2019年中考题）
21．（8分）如图，E ，F 分别是正方形ABCD 的边CB ，DC 延长线上的点，且BE ＝CF ，过点E 作EG ∥BF ，交正方形外角的平分线CG 于点G ，连接GF ．求证： （1）AE ⊥BF ；
（2）四边形BEGF 是平行四边形．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，∴∠ABE ＝∠BCF ＝90°，
在△ABE 和△BCF 中，，
∴△ABE ≌△BCF （SAS ），∴AE ＝BF ，∠BAE ＝∠CBF ，
∵EG ∥BF ，∴∠CBF ＝∠CEG ，∵∠BAE+∠BEA ＝90°，∴∠CEG+∠BEA ＝90°，∴AE ⊥EG ，∴AE ⊥BF ； （2）延长AB 至点P ，使BP ＝BE ，连接EP ，如图所示： 则AP ＝CE ，∠EBP ＝90°，∴∠P ＝45°，
∵CG 为正方形ABCD 外角的平分线，∴∠ECG ＝45°，∴∠P ＝∠ECG ， 由（1）得∠BAE ＝∠CEG ， 在△APE 和△ECG 中，
，∴△APE ≌△ECG （ASA ），∴AE ＝EG ，
∵AE ＝BF ，∴EG ＝BF ，
∵EG ∥BF ，∴四边形BEGF 是平行四边形．
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、平行线的性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
（2020年中考题）
10．（3分）如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE交于点F，连接AF．下列结论：①BD＝CE；②BF⊥CF；③AF平分∠CAD；④∠AFE＝45°．其中正确结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：如图，作AM⊥BD于M，AN⊥EC于N．
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴EC＝BD，∠BDA＝∠AEC，故①正确
∵∠DOF＝∠AOE，
∠DFO＝∠EAO＝90°，∴BD⊥EC，故②正确，
∵△BAD≌△CAE，AM⊥BD，AN⊥EC，∴AM＝AN，∴FA平分∠EFB，∴∠AFE＝45°，故④正确，
若③成立，则∠AEF＝∠ABD＝∠ADB，推出AB＝AD，显然与条件矛盾，故③错误，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
13.解直角三角形应用题
（2019年中考题）
15．（3分）如图，为测量旗杆AB的高度，在教学楼一楼点C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在四楼点D 处测得旗杆顶部的仰角为30°，点C与点B在同一水平线上．已知CD＝9.6m，则旗杆AB的高度为14.4 m．
【解答】解：作DE⊥AB于E，如图所示：
则∠AED＝90°，四边形BCDE是矩形，∴BE＝CD＝9.6m，∠CDE＝∠DEA＝90°，
∴∠ADC＝90°+30°＝120°，
∵∠ACB＝60°，∴∠ACD＝30°，∴∠CAD＝30°＝∠ACD，∴AD＝CD＝9.6m，
在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴AE＝AD＝4.8m，∴AB＝AE+BE＝4.8m+9.6m＝14.4m；
故答案为：14.4．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定；正确作出辅助线是解题的关键．
（2020年中考题）
13．（3分）如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离AD为20√2海里．
【解答】解：如图，过点A作AC⊥BD于点C，
根据题意可知：
∠BAC＝∠ABC＝45°，∠ADC＝30°，AB＝20，
=10√2，
在Rt△ABC中，AC＝BC＝AB•sin45°＝20×√2
2
在Rt△ACD中，∠ADC＝30°，∴AD＝2AC＝20√2（海里）．
答：此时轮船与小岛的距离AD为20√2海里．故答案为：20√2．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方位角问题、等腰三角形的判定；正确作出辅助线是解题的关键．
14、概率
（2019年中考题）
14．（3分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，其上分别标有数字1，2，4，8．随机摸取一个小球后不放回，再随机摸取一个小球，则两次取出的小球上数字之积等于8的概率是．
【解答】解：列表如下
1 2 4 8
1 2 4 8
2 2 8 16
4 4 8 32
8 8 16 32
由表知，共有12种等可能结果，其中两次取出的小球上数字之积等于8的有4种结果，
所以两次取出的小球上数字之积等于8的概率为＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图的知识，解题的关键是能够用列表或列树状图将所有等可能的结果列举出来，难度不大．
（2020年中考题）
14．（3分）有3张看上去无差别的卡片，上面分别写着2，3，4．随机抽取1张后，放回并混在一起，再
．
随机抽取1张，则两次取出的数字之和是奇数的概率为4
9
【解答】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次取出的数字之和是奇数的有4种结果，
，
∴两次取出的数字之和是奇数的概率为4
9
．
故答案为：4
9
【点评】本题考查了列表法与树状图的知识，解题的关键是能够用列表或列树状图将所有等可能的结果列举出来，难度不大．
15、规律探究
（2019年中考题）
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，…都是菱形，点A1，A2，A3，…
都在x轴上，点C1，C2，C3，…都在直线y＝x+上，且∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°，
OA1＝1，则点C6的坐标是（95，32）．
【解答】解：由y＝x+，知直线与坐标轴交于点（0，）和点（-1，0）所以直线与X轴所交的锐角为30°
又∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝ (60)
且四边形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，…都是菱形，∴A1C2＝2，A2C3＝4，A3C4＝8，…A5C6=32 C6的纵坐标为：sin60°•A5C6＝16，代入y＝x+求得横坐标为47，C6（47，16）故
答案为（47，16）．
【点评】本题是对点的坐标变化规律的考查，主要利用了菱形的性质，解直角三角形，根据已知点的变化规律求出菱形的边长，得出系列C点的坐标，找出规律是解题的关键．
（2020年中考题）
16．（3分）如图，已知直线a：y＝x，直线b：y=−1
2
x和点P（1，0），过点P作y轴的平行线交直线a于点P1，过点P1作x轴的平行线交直线b于点P2，过点P2作y轴的平行线交直线a于点P3，过点P3作x轴的平行线交直线b于点P4，…，按此作法进行下去，则点P2020的横坐标为．
【解答】解：∵点P（1，0），P1在直线y＝x上，∴P1（1，1），
∵P1P2∥x轴，∴P2的纵坐标＝P1的纵坐标＝1，
∵P2在直线y=−1
2x上，∴1=−1
2
x，∴x＝﹣2，
∴P2（﹣2，1），即P2的横坐标为﹣2＝﹣21，
同理，P3的横坐标为﹣2＝﹣21，P4的横坐标为4＝22，P5＝22，P6＝﹣23，P7＝﹣23，P8＝24…，
∴P4n＝21
2
n，∴P2020的横坐标为21
2
×2020=21010，
故答案为：21010．
【点评】本题是对点的坐标变化规律的考查，主要利用了直线y＝x，y=−1
2
x性质，得出系列点的坐标，找出规律是解题的关键．
16、分式的运算与分式方程
（2019年中考题）
17.（6.00分）（2）解分式方程：＝．
【解答】两边都乘以（x+1）（x﹣1），得：2（x+1）＝5，解得：x＝，检验：当x＝时，（x+1）（x﹣1）＝≠0，∴原分式方程的解为x＝．
【点评】本题主要考查分式方程的步骤．
（2020年中考题）
17．（12分）（1）先化简，再求值：a 2−4a+4
a2−2a
÷a2−4
2a
，其中a＝﹣1．
【解答】解：（1）原式=(a−2)2
a(a−2)•2a
(a+2)(a−2)
=2
a+2
，当a＝﹣1时，原式=2
−1+2
=2；
【点评】本题主要考查分式化简求值．通分和约分是解题的关键。

17、作图题
（2019年中考题）
18．（6分）请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
（1）如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，画出四边形ABCD的对称轴m；
（2）如图②，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠D，画出BC边的垂直平分线n．
（2）延长BA，CD交于一点，连接AC，BC交于一点，连接两点获得垂直平分线n．
【解答】解：（1）如图①，直线m即为所求
（2）如图②，直线n即为所求
【点评】本题考查了轴对称作图，根据全等关系可以确定点与点的对称关系，从而确定对称轴所在，即可画出直线．
（2020年中考题）
18．（6分）在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
（1）如图1，在BC上找出一点M，使点M是BC的中点；
（2）如图2，在BD上找出一点N，使点N是BD的一个三等分点．
【解答】解：（1）如图1，M点就是所求作的点：
（2）如图2，点N就是所求作的点：
【点评】本题考查了平行四边形中两等分和三等分点作图，根据平行四边形的性质可以确定所求的点。

18、统计初步
（2019年中考题）
19．（7分）为了解某地七年级学生身高情况，随机抽取部分学生，测得他们的身高（单位：cm），并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列问题．
（1）填空：样本容量为100 ，a＝30 ；
（2）把频数分布直方图补充完整；
（3）若从该地随机抽取1名学生，估计这名学生身高低于160cm的概率．
【解答】解：（1）15÷＝100，
所以样本容量为100；
B组的人数为100﹣15﹣35﹣15﹣5＝30，
所以a%＝×100%＝30%，则a＝30；
故答案为100，30；
（2）补全频数分布直方图为：
（3）样本中身高低于160cm的人数为15+30＝45，
样本中身高低于160cm的频率为＝0.45，
所以估计从该地随机抽取1名学生，估计这名学生身高低于160cm的概率为0.45．
【点评】本题考查了直方图、扇形统计图、利用频率估计概率、用样本估计总体。

用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．也考查了统计中的有关概念．
（2020年中考题）
19．（7分）5月20日九年级复学啦!为了解学生的体温情况，班主任张老师根据全班学生某天上午的《体温监测记载表》，绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图．
学生体温频数分布表
组别温度（℃）频数（人数）
甲36.3 6
乙36.4 a
丙36.5 20
丁36.6 4 请根据以上信息，解答下列问题：
（1）频数分布表中a＝10 ，该班学生体温的众数是36.5 ，中位数是36.5 ；
（2）扇形统计图中m＝15 ，丁组对应的扇形的圆心角是36 度；
（3）求该班学生的平均体温（结果保留小数点后一位）．
【解答】解：（1）20÷50%＝40（人），a＝40×25%＝10；
36.5出现了20次，次数最多，所以众数是36.5；
40个数据按从小到大的顺序排列，其中第20、21个数据都是36.5，所以中位数是（36.5+36.5）÷2＝36.5．
故答案为：10，36.5，36.5；
×100%＝15%，m＝15；
（2）m%=6
40
=36°．
360°×4
40
故答案为：15，36；
=36.455≈36.5（℃）．（3）该班学生的平均体温为：36.3×6+36.4×10+36.5×20+36.6×4
40
【点评】本题考查了频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体。

也考查了统计中的有关概念．
19、一次、二次函数基础题（应用题）
（2019年中考题）
13．（3分）矩形的周长等于40，则此矩形面积的最大值是100 ．
【解答】解：设矩形的宽为x，则长为（20﹣x），
S＝x（20﹣x）＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣10）2+100，
当x＝10时，S最大值为100．
故答案为100．
【点评】本题考查了二次函数的最值，能够根据题意准确列出关系式，熟练运用配方法是解题的关键．20．（8分）某农贸公司销售一批玉米种子，若一次购买不超过5千克，则种子价格为20元/千克，若一次购买超过5千克，则超过5千克部分的种子价格打8折．设一次购买量为x千克，付款金额为y元．（1）求y关于x的函数解析式；
（2）某农户一次购买玉米种子30千克，需付款多少元？
【解答】解：（1）根据题意，得
①当0≤x≤5时，y＝20x；
②当x＞5，y＝20×0.8（x﹣5）+20×5＝16x+20；
（2）把x＝30代入y＝16x+20，
∴y＝16×30+20＝500；
∴一次购买玉米种子30千克，需付款500元；
【点评】本题考查一次函数的应用；能够根据题意准确列出关系式，利用代入法求函数值是解题的关键．（2020年中考题）
15．（3分）某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为70 元．
【解答】解：设每顶头盔的售价为x元，获得的利润为w元，
w＝（x﹣50）[200+（80﹣x）×20]＝﹣20（x﹣70）2+8000，
∴当x＝70时，w取得最大值，此时w＝8000，
故答案为：70．
【点评】本题考查二次函数的应用；能够根据题意准确列出关系式，熟练运用配方法是解题的关键．20．（8分）把抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2．（1）直接写出抛物线C2的函数关系式；
（2）动点P（a，﹣6）能否在抛物线C2上？请说明理由；
（3）若点A（m，y1），B（n，y2）都在抛物线C2上，且m＜n＜0，比较y1，y2的大小，并说明理由．【解答】解：（1）∵y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，
∴把抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2：y＝（x+1﹣4）2+2﹣5，即y＝（x﹣3）2﹣3，
∴抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣3）2﹣3．
（2）动点P（a，﹣6）不在抛物线C2上，理由如下：
∵抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣3）2﹣3，
∴函数的最小值为﹣3，
∵﹣6＜﹣3，
∵动点P（a，﹣6）不在抛物线C2上；
（3）∵抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣3）2﹣3，
∴抛物线的开口向上，对称轴为x＝3，
∴当x＜3时，y随x的增大而减小，
∵点A（m，y1），B（n，y2）都在抛物线C2上，且m＜n＜0＜3，
∴y1＞y2．
【点评】
本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”以及熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
20、反比例函数综合题
（2019年中考题）
（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 的顶点坐标分别为O （0，0），A （12，0），B （8，6），C （0，6）．动点P 从点O 出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA 向终点A 运动；动点Q 从点B 同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC 向终点C 运动．设运动的时间为t 秒，
PQ2＝y ．
（1）直接写出y 关于t 的函数解析式及t 的取值范围： ； （2）当PQ ＝3
时，求t 的值；
（3）连接OB 交PQ 于点D ，若双曲线y ＝（k ≠0）经过点D ，问k 的值是否变化？若不变化，请求
出k 的值；若变化，请说明理由．
【解答】解：（1）过点P 作PE ⊥BC 于点E ，如图1所示．
当运动时间为t 秒时（0≤t ≤4）时，点P 的坐标为（3t ，0），点Q 的坐标为（8﹣2t ，6）， ∴PE ＝6，EQ ＝|8﹣2t ﹣3t|＝|8﹣5t|，
∴PQ2＝PE2+EQ2＝62+|8﹣5t|2＝25t2﹣80t+100， ∴y ＝25t2﹣80t+100（0≤t ≤4）． 故答案为：y ＝25t2﹣80t+100（0≤t ≤4）． （2）当PQ ＝3
时，25t2﹣80t+100＝（3
）2，
整理，得：5t2﹣16t+11＝0，解得：t1＝1，t2＝
．
（3）连接OB ，交PQ 于点D ，过点D 作DF ⊥OA 于点F ，如图2所示． ∵OC ＝6，BC ＝8，∴OB ＝
1022=+BC OC
∵BQ ∥OP ，∴△BDQ ∽△ODP ，∴
3
2
32===t t OP BQ OD BD ∴OD ＝6． ∵CB ∥OA ，∴∠DOF ＝∠OBC ．∠BCO ＝∠OFD=
90,∴ΔBCO ∽ΔOFD
∴5
24,1068,=
∴=∴=OF OF OB OD BC OF 同理可求：,518=DF ∴点D 的坐标为（518,524）， ∴经过点D 的双曲线y ＝
x
k
（k ≠0）的k 值为：5432518524=⨯ 【点评】反比例函数综合题，本题考查了勾股定理、解直角三角形、解一元二次方程、相似三角形的判定与性质、平行线的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用勾股定理，找出y 关于t 的函数解析式；（2）利用相似三角形的性质及解直角三角形，找出点D 的坐标．
（2020年中考题）
22．（9分）如图，直线AB与反比例函数y=k
x
（x＞0）的图象交于A，B两点，已知点A的坐标为（6，1），△AOB的面积为8．
（1）填空：反比例函数的关系式为；
（2）求直线AB的函数关系式；
（3）动点P在y轴上运动，当线段PA与PB之差最大时，求点P的坐标．
【解答】解：（1）解：（1）将点A坐标（6，1）代入反比例函数解析式y=k
x
，
得k＝1×6＝6，则y=6
x
，
故答案为：y=6
x
；
【解答】（2）过点A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥y轴于D，延长CA，DB交于点E，则四边形ODEC 是矩形，
设B（m，n），∴mn＝6，∴BE＝DE﹣BD＝6﹣m，AE＝CE﹣AC＝n﹣1，
∴S△ABE=1
2AE⋅BE=1
2
(n−1)(6−m)，
∵A、B两点均在反比例函数y=k
x （x＞0）的图象上，∴S△BOD＝S△AOC=1
2
×6×1=3，
∴S△AOB＝S矩形ODEC﹣S△AOC﹣S△BOD﹣S△ABE＝6n﹣3﹣3−1
2(n−1)(6−m)=3n−1
2
m，
∵△AOB的面积为8，∴3n−1
2
m＝8，∴m＝6n﹣16，
∵mn＝6，∴3n2﹣8n﹣3＝0，解得：n＝3或−1
3
（舍），∴m＝2，∴B（2，3），
设直线AB的解析式为：y＝kx+b，则{6k+b=1
2k+b=3，解得：{
k=−1
2
b=4
，∴直线AB的解析式为：y=−1
2
x+4；
【解答】（3）如图，根据“三角形两这边之差小于第三边可知：
当点P为直线AB与y轴的交点时，PA﹣PB有最大值是AB，
把x＝0代入y=−1
2
x+4中，得：y＝4，
∴P（0，4）．
【点评】
反比例函数综合题，本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，准确分析题意是解题的关键．
21、圆与直线形综合知识
（2019年中考题）
10．（3分）如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E，连接BD．下列结论：①CD是⊙O的切线；②CO⊥DB；③△EDA∽△EBD；④ED•BC＝BO•BE．其中正确结论的个数有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【解答】解：连结DO．
【解答】解：连结DO．
∵AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，∴∠CBO＝90°，
∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD．
又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB．
在△COD和△COB中，，∴△COD≌△COB（SAS），∴∠CDO＝∠CBO＝90°．
又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线；故①正确，
∵△COD≌△COB，∴CD＝CB，
∵OD＝OB，∴CO垂直平分DB，即CO⊥DB，故②正确；
∵AB为⊙O的直径，DC为⊙O的切线，∴∠EDO＝∠ADB＝90°，
∴∠EDA+∠ADO＝∠BDO+∠ADO＝90°，∴∠ADE＝∠BDO，
∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠EDA＝∠DBE，
∵∠E＝∠E，∴△EDA∽△EBD，故③正确；
∵∠EDO＝∠EBC＝90°，∠E＝∠E，∴△EOD∽△ECB，∴，
∵OD＝OB，∴ED•BC＝BO•BE，故④正确；故选：A．
【点评】本题主要考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用是解答此题的关键．
（2020年中考题）
21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D的直线EF交AC于点F，交AB的延长线于点E，且∠BAC＝2∠BDE．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）当CF＝2，BE＝3时，求AF的长．
【解答】解：（1）连接OD，AD，
∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，∴∠BAC＝2∠BAD，
∵∠BAC＝2∠BDE，∴∠BDE＝∠BAD，
∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ADO，
∵∠ADO+∠ODB＝90°，∴∠BDE+∠ODB＝90°，∴∠ODE＝90°，即DF⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，∴DF是⊙O的切线．
（2）∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，
∵BO＝AO，∴OD∥AC，∴△EOD∽△EAF，∴OD
AF =EO
EA
，
设OD＝x，
∵CF＝2，BE＝3，∴OA＝OB＝x，AF＝AC﹣CF＝2x﹣2，∴EO＝x+3，EA＝2x+3，∴x
2x−2=x+3
2x+3
，
解得x＝6，经检验，x＝6是分式方程的解，∴AF＝2x﹣2＝10．
【点评】本题主要考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质，注意掌握辅助线的作法是解答此题的关键．
22、几何图组题
（2019年中考题）
23．（10分）已知△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC．
（1）如图①，当∠BAC＝120°时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式：；
（2）如图②，当∠BAC＝90°时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（3）如图③，若BC＝5，BD＝4，求的值．
【解答】解：（1）如图①
在AD上截取AE＝AB，连接BE，
∵∠BAC＝120°，∠BAC的平分线交⊙O于点D，
∴∠DBC＝∠DAC＝60°，∠DCB＝∠BAD＝60°，
∴△ABE和△BCD都是等边三角形，∴∠DBE＝∠ABC，AB＝BE，BC＝BD，
∴△BED≌△BAC（SAS），∴DE＝AC，∴AD＝AE+DE＝AB+AC；
故答案为：AB+AC＝AD．
（2）AB+AC＝AD．理由如下：
如图②，
延长AB至点M，使BM＝AC，连接DM，
∵四边形ABDC内接于⊙O，∴∠MBD＝∠ACD，
∵∠BAD＝∠CAD＝45°，∴BD＝CD，∴△MBD≌△ACD（SAS），
∴MD＝AD，∠M＝∠CAD＝45°，∴MD⊥AD．∴AM＝，即AB+BM＝，∴AB+AC＝；。