河北省邯郸市2013届高三数学上学期期中考试数学试题 理 新人教A版

河北省邯郸一中2012-2013学年第一学期高三年级期中考试试卷
科目：数学理
一、选择题：（每小题只有一个正确，每小题5分，共60分） 1．已知集合},1|{2
R x x y y M ∈-==，，则=N M
A ．),1[+∞-
B C
D ．φ
2”是“对任意的正数,x 均有 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点),2(0y M . 若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=
A ．4 D 4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2415a a a ++的值是一个确定的常数，则数列{}n S 中一定为常数的是 A ．7S
B ．8S
C ．13S
D ．14S
5．过点(0,3)-的直线l 与抛物线2
4y x =只有一个公共点，则直线l 的方程为 A.0390x x y =++=或 B. 3390y x y =-++=或
C. 03x y ==-或
D. 03390x y x y ==-++=或或
6．已知点P 为ABC ∆所在平面上的一点，且AP x AB y AC =⋅+⋅，其中x y 、为实数，若点P 落在ABC ∆的内部或边界上，则2
2
x y +的最大值是
A ．
1
2
B ．2
C ．1 D.2
7．若函数()sin (0)f x x ωω=>在区间[
,]32
ππ
上单调递减，则ω取值范围是
A ．203ω≤≤
B ．302ω≤≤
C ．233ω≤≤
D ．3
32
ω≤≤
22
8.111,2524
.121.1436.1.21
x y P A B C D -=双曲线上的点到一个焦点的距离为则它到另一个焦点的距离为
或 或 9．已知对任意m R ∈，直线0x y m ++=都不是3
()3()f x x ax a R =-∈的切线，则a 的取值范围是 A
10中，12,F F 分别是其左右焦点，若椭圆离心率的取值范围是
A
B
11．已知x y R ∈、
A
B
C
D
12的最大值为a ，最小值为b ，则b a +的值是
二、填空题：（每小题5分，共20分）
13．若关于x 的不等式2
(1)m x x x ->-的解集为{|12}x x <<，则实数m 的值为 ． 14．若
tanα＝
15．已知(,)M x y 是区域10
20410x y x ay x y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪++≥⎩
内任一点， (1,2)A -，若z OA OM =⋅的最大值
为5，则a = 16，下列结论正确的是 。

①()f x 在(,)-∞+∞上不是单调函数
②(0,1),()m f x m ∃∈=使得方程有两个不等的实数解； ③(1,),()()k x f x kx ∃∈+∞=-使得函数g 在R 上有三个零点；
④121212,,,()().x x R x x f x f x ∀∈≠≠若则
三、解答题：（共70分）
17．（本小题满分10分）已知函数2()log (|1||2|f x x x m =++--）． （Ⅰ）当7=m 时，求函数)(x f 的定义域；
（Ⅱ）若关于x 的不等式2)(≥x f 的解集是R ，求m 的取值范围．
18．（本小题12分）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是各项为正数的等比数列，且111a b ==，
3521a b +=，5313a b +=.
（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 通项公式； ，求数列{}n c 的前n 项和n S . 19．（本小题12分）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，
且
（Ⅰ）求角A 的大小； ，BC 边上的中线AM 的长为，求ABC ∆的面积．
20．（本小题满分12
分）已知直线:40l x +=，一个圆的圆心E 在x 轴正半轴 上，且该圆与直线l 和直线2x =-轴均相切. （Ⅰ）求圆E 的方程；
（Ⅱ）设(1,1)P ,过P 作圆E 的两条互相垂直的弦AB CD 、，求AC 中点M 的轨迹方程。

21．（本小题满分12分）已知椭圆M a ＞b ＞0
圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6＋ （Ⅰ）求椭圆M 的方程；
（Ⅱ）设直线l ：x ky m =+与椭圆M 交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点C ，求m 的值．
22. （本小题满分12分）已知函数1()(2)(1)2ln ,()x
f x a x x
g x xe -=---=，(,a R ∈e
为自然对数的底数)
（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若函数()f x a 的最小值；
（III ）若对任意给定的x e 0(0,]∈，在e (0,]上总存在两个不同的(1,2)i x i =，使得
0()()i f x g x =成立，求a 的取值范围.。

答 案
BABCD CDACB DB 13.2 14．1
2
-
15.1 16.③④
17.（1
⎩⎨⎧>-++≥7212x x x ，或⎩⎨⎧>+-+<≤72121x x x ，或⎩⎨
⎧>+---<7
211
x x x 解得函数)(x f 的定义域为),4()3,(+∞⋃--∞；……………………．5分 （2）不等式2)(≥x f
即
R x ∈ 时，恒有
R ，
m m ,34≤+∴的取值范围是]1-,(-∞ (10)
41532
121
218.(1){},{}(0),12212 ,1321,2.6214131
(2)(21)(),
2
111
135()(21)()222
111
22315()7()(21)(22n n n n n n n n n n n n a d b q q d q d a b a n b q d q a c n b S n S n --->⎧++==⎧⎪⇒==∴=-∴=⎨⎨=++=⎪⎩⎩
==-=+⋅+⋅++-⇒=+⋅+⋅+⋅++-设的公差为的公比为则
分
21),
21
6(23)().
122
n n n S n --∴=-+⋅分
19.解：
分
，因为0A π<<则分 （Ⅱ）由（1，所以AC BC =，
设AC x =，则
在AMC ∆中由余弦定理得2222cos ,AC MC AC MC C AM +-⋅=……….8分
cos120(7)=解得2,x =故分
20.解：（1）设圆心(,0)c a ，0a >，半径为r ，则20422
a r
a a r r +=⎧=⎧⎪
⇒⎨⎨+==⎩⎪⎩，
所求圆的方程为.2
2
4x y +=
（2）设(,)M x y ，由222||||||||||
OM MC OC MC MP ⎧+=⎨=⎩得222
||||||OM MP OC +=
即2
2
2
2
(1)(1)4x y x y ++-+-=，整理得2
2
10x y x y
+---=即为所求轨迹方程。

21.解：（Ⅰ）由题意，可得
………1分
所以，3a =， 222
1b a c =-=
所以，椭圆M
的方程为………4分 消去x 得222
(9)290k y kmy m +++-=. ……5分
设),(11y x A ，),(22y x B
，有分
因为以AB 为直径的圆过椭圆右顶点(3,0)C ，所以 0CA CB ⋅=. …7分 由 11(3,)CA x y =-，22(3,)CB x y =-,得 1212(3)(3)0x x y y --+=.……8分 将1122,x ky m x ky m =+=+代入上式，
得 22
1212(1)(3)()(3)0k y y k m y y m ++-++-=, ………………………10分
将 ① 代入上式，解得2分 22.解：（Ⅰ）当1a =时，
由()0,2;f x x '>> ()0,0 2.f x x '<<<
故()f x 的单调减区间为(0,2],单调增区间为[2,).+∞ ………………………………3分
（Ⅱ）因为()0f x <在
7分
（III ）111()(1),x
x x g x e
xe x e ---'=-=-当(0,1)x ∈时，()0,g x '>函数()g x 单调递增；
当(]1,x e ∈时，()0,g x '<函数()g x 单调递减， 10,e
-⋅>g(0)=0,g(1)=1,g(e)=e e
所以，函数(](]()0,0,1.g x e 在上的值域为当2a =时，不合题意； 当2a ≠时，0,x f →∴对任意给定的0(0,]e ∈x ，在区间(0,]e 上总存在两个不同的(1,2),i x i = 使得0()()i f x g x =成立，
当且仅当a 满足下列条件0, 1.
②③
令()0h a '=，得0a =
当(,0)a ∈-∞时， ()0,h a '>函数()h a 单调递增；
对任意给定的0(0,],x e ∈在(0,]e 上总存在两个不同的(1,2)i x i =，使0()()i f x g x =成立．………………………………12分。