(2021年整理)高中数学必修4知识总结(完整版)

（完整）高中数学必修4知识总结(完整版)
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高中数学必修四知识点总结
⎧⎪
⎨⎪⎩
正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角
2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z
3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z
4、已知α是第几象限角，确定
()*
n n
α
∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为n
α终边所落在的区域．
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l
r
α=． 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180
π
=
，180157.3π⎛⎫
=≈
⎪⎝⎭
． 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ,弧长为l ,周长为C ，面积为S ， 则l r α=,2C r l =+， 21
122
S lr r α==．
9、（一)设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么：（1）y 叫做α的正弦，记做sin α，即sin y α=；(2）x 叫做α的余弦，记做cos α,即cos x α=；（3）y x
叫做
α的正切，记做tan α,即tan (0)y
x x
α=
≠. （二
)设α是一个任意大小的角,α的终边上任意一点P 的坐标是
(),x y ,它与原点的距离是()
0r r =>，则sin y r
α=
，cos x r
α=
，()tan 0y
x x
α=≠．
10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正，第二象限正弦
为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系式:
()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；
()
sin 2tan cos α
αα
=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛
⎫== ⎪⎝⎭
．
13、三角函数的诱导公式:
()()1sin 2sin k παα+=,()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-,()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-,()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．
口诀:函数名称不变，符号看象限．
()5sin cos 2π
αα⎛⎫-=
⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．()6sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫
+=- ⎪⎝⎭
． 口诀：函数名改变，符号看象限． 14、图像变换的两种方式:
（一）函数sin y x =的图象上所有点向左（右)平移ϕ个单位长度,得到函数()sin y x ϕ=+的图象(ϕ〉0是左移；ϕ<0是右移）；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短)到原来的1
ω
倍（纵坐标不变)，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象;再将函数
()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的A 倍（横坐标不变）,得
到函数()sin y x ωϕ=A +的图象()0,0ωA >>．
(二）函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长(缩短）到原来的1ω
倍（纵坐标不变)，得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移
ϕ
ω
个单位长度（ϕ>0是左移;ϕ〈0是右移)；得到函数()sin y x ωϕ=+的图象;再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍(横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象()0,0ωA >>． 函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质： ①振幅A ； ②周期：2π
ω
T =
； ③频率:12f ω
π
=
=
T ； ④相位：x ωϕ+; ⑤初相：ϕ． 函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ;当2x x =时，取得最大值为max y ，则()max min 12y y A =-，()max min 12y y B =+,()21122
x x x x T =-<． 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
sin y x =
cos y x = tan y x =
图象
定义域 R R
,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭
值域
[]1,1-
[]1,1-
R
最值
当22
x k π
π=+
()
k ∈Z 时，max 1y =；当
22
x k π
π=-
()k ∈Z 时，min 1y =-．
当()2x k k π=∈Z 时，
max 1y =；当2x k ππ=+
()k ∈Z 时，min 1y =-．
既无最大值也无最小值
函 数
性
质
周期 2π 2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数 奇函数
单调性
在2,22
2k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣
⎦
()k ∈Z 上是增函数；在
32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣
⎦ ()k ∈Z 上是减函数．
在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+
()k ∈Z 上是减函数．
在,2
2k k ππππ⎛⎫
-+ ⎪⎝
⎭
()k ∈Z 上是增函数．
对称性
对称中心()(),0k k π∈Z 对称轴
()2
x k k π
π=+
∈Z
对称中心
(),02k k ππ⎛⎫+∈Z
⎪⎝
⎭ 对称轴()x k k π=∈Z
对称中心
(),02k k π⎛⎫
∈Z
⎪⎝⎭
无对称轴
16。

三角函数奇偶性规律总结（0,0
A ω≠≠）
函数sin()y A x ωφ=+为奇函数的条件为,k k Z φπ=∈
函数sin()y A x ωφ=+为偶函数的条件为,2k k Z π
φπ=+∈ 函数cos()y A x ωφ=+为奇函数的条件为,2
k k Z π
φπ=+
∈.
函数cos()y A x ωφ=+为偶函数的条件为,k k Z φπ=∈ 函数tan()y A x ωφ=+为奇函数的条件为,2
k k Z π
φπ=
∈它不可能是偶函数． 17．向量：既有大小,又有方向的量． 数量:只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量．
单位向量:长度等于1个单位的向量． 平行向量(共线向量）：方向相同或相反的非零向量．
规定：零向量与任一向量平行．
相等向量：长度相等且方向相同的向量． 相反向量:长度相等且方向相反的向量．
18、向量加法:⑴三角形法则的特点：首尾相连．⑵平行四边形法则的特点:共起点．
⑶三角形不等式：
a b a b a b -≤±≤+．
⑷运算性质：①交换律:a b b a +=+； ②结合律：()()a b c a b c ++=++； ③00a a a +=+=． ⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =,则()1212,a b x x y y +=++． 19、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点,方向减向量的终点指向被减向量终点．（见上
图）
⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =,则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ,()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． 20、向量数乘运算:
⑴实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a λ．
①a a λλ=；②当0λ>时,a λ的方向与a 的方向相同;当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反;当0λ=时,0a λ=．0a =0 ⑵运算律： ①()()a a λμλμ=； ②
()a a a λμλμ+=+； ③()a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则
()(),,a x y x y λλλλ==．
(4)0,a a
a a a a a
≠则
表示与同方向的单位向量，-表示与反方向的单位向量。

21向量共线条件：（1）向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=． (2）共线的坐标表示，设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，
b
a
C B
A
a b C C -=A -AB =B
向量a、()0
b b ≠共线．
22、平面向量基本定理：如果
1
e、
2
e是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一
平面内的任意向量a，有且只有一对实数
1
λ、
2
λ，使
1122
a e e
λλ
=+．（不共线的向量
1
e、2
e叫做这一平面内所有向量的一组基底）
小结论:（1）若
1
e、
2
e是同一平面内的两个不共线向量，
1212
,x=m y=n
xe ye me ne
+=+则，
（2）若
1
e、
2
e是同一平面内的两个不共线向量，
12
0,x=y=0
xe ye
+=则
23、分点坐标公式：设点P是线段
12
P P上的一点，1P、2P的坐标分别是()
11
,x y，()
22
,x y，
当
12
λ
P P=PP时，可推出点P的坐标是1212
,
11
x x y y
λλ
λλ
++
⎛⎫
⎪
++
⎝⎭
．（会写出向量坐标,会运算。

）
24、平面向量的数量积:
⑴定义：()
cos 0,0,0180
a b a b a b
θθ
⋅=≠≠≤≤．零向量与任一向量的数量积为0．cos
aθ:a在b 方向上的投影cos
bθ:b在a方向上的投影
注意：务必要算对两个非零向量的夹角：设两个非零向量a OA
=与b OB
=, 称AOBθ
∠=为向量a与b 的夹角(0180)
θ
≤≤,注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的。

⑵性质：设a和b都是非零向量，则①0
a b a b
⊥⇔⋅=．
②当a 与b同向时,a b a b
⋅=;当a与b反向时，a b a b
⋅=-；
2
2
a a a a
⋅==或a a a
=⋅．③a b a b
⋅≤．
⑶运算律：①a b b a
⋅=⋅；②()()()
a b a b a b
λλλ
⋅=⋅=⋅；③()
a b c a c b c
+⋅=⋅+⋅．
⑷坐标运算：设两个非零向量()
11
,
a x y
=，()
22
,
b x y
=，则
1212
a b x x y y
⋅=+．
（5)若()
,
a x y
=，则222
a x y
=+，或22
a x y
=+
（6）设()
11
,
a x y
=，()
22
,
b x y
=,则
1212
a b x x y y
⊥⇔+=．
(7）设a 、b 都是非零向量，()11,a x y =，()22,b x y =，θ是a 与b 的夹角， 则121
cos a b a b
x θ⋅=
=
+．
25、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+; ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ
αβαβ
--=+ 变形：（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；
⑹()tan tan tan 1tan tan αβ
αβαβ
++=
- 变形：（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-)．
26、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴sin22sin cos ααα=． 变形： 1
sin cos sin 22
ααα=
⑵2222cos 2cos sin 2cos 112sin (cos sin )(cos sin )ααααααααα=-=-=-=+- 变形得到降幂公式：
21cos 2cos 2αα+=
， 21cos 2sin 2αα-=． 21cos 2tan 1cos 2α
αα
-=+ ⑶22tan tan 21tan α
αα
=
-．
27、()sin cos αααϕA +B =+,其中tan ϕB =
A ．sin 21cos 2tan 1cos 2sin 2ααααα
-==+ [2010高考题解析，规范解题步骤]已知函数
()()211sin 2sin cos cos sin 0222f x x x πϕϕϕϕπ⎛⎫
=+-+ ⎪⎝⎭
＜＜,其图象过点(π6,12）．(Ⅰ）求ϕ的值；
(Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的1
2
,纵坐标不变，得到函数()y f x =的
图象，求函数()g x 在［0, π
4］上的最大值和最小值．
解:（Ⅰ）因为211()sin 2sin cos cos sin()222f x x x π
ϕϕϕ=+-+ (0)ϕπ<<
所以 11cos 21
()sin 2sin cos cos 222
x f x x ϕϕϕ+=+-
11
sin 2sin cos 2cos 221
(sin 2sin cos 2cos )21
cos(2)2
x x x x x ϕϕϕϕϕ=+=+=-
又 函数图像过点1
(,)62
π
所以 11cos(2)226π
ϕ=⨯-
即 cos()13π
ϕ-=
又 0ϕπ<< 所以 3
π
ϕ=
（Ⅱ) 由(Ⅰ）知 1()cos(2)23f x x π=-，将函数()y f x =的图像上各点的横坐标缩短到原来的1
2
，
纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，可知
1()(2)cos(4)23
g x f x x π
==-
因为 [0,]4x π
∈
所以 4[0,]x π∈ 因此 24[,]3
33
x π
ππ
-
∈-
故 1cos(4)123x π-≤-≤ 所以 ()y g x =在[0,]4π上的最大值和最小值分别为12和14
-
为什么要学习数学？
-—数学来源于生活,生活离不开数学。

数学对个人，社会，世界都会
产生影响！
数学与人类文明一样古老，有文明就一定有数学.数学在其发展的早期就与人类的生活及社会活动有着密切的关系，解决着各种各样的问题：食物、牲畜、工具以及其他生活用品的分配与交换，房屋、仓库的建造，丈量土地，兴修水利，编制历法等。

随着数学的发展和人类文明的进步，数学的应用逐渐扩展到更一般的技术和科学领域。

从古希腊开始,数学就与哲学建立了密切的联系。

近代以来，数学又进入了人文科学领域，并使人文科学的数学化成为一种强
大的趋势。

当今社会，数学的发展,计算机技术的广泛应用，可以说数学的足迹已经遍及人类知识体系的全部领域。

从卫星到核电站，高技术的高精度、高速度、高自动、高质量、高效率等特点，无不是通过数学模型和数学方法并借助计算机的控制来实现的。

产品、工程的设计与制造，产品的质量控制，经济和科技中的预测和管理,信息处理，资源开发和环境保护，经济决策等，无不需要数学的应用。

数学在现代社会中有许多出人意料的应用，在许多场合,它已经不再单纯是一种辅助性的工具，它已成为许多重大问题的关键性的思想与方法，由此产生的许多成果，又悄悄的遍布在我们身边，改变着我们的生活方式。

可以说数学对现代社会已产生了深远的影响，我们生活在数学的时代。

数学对社会发展的影响，一方面说明了数学在社会发展中的地位和作用，同时，也反映出在未来社会中，社会的主体-—人在数学方面所应具备的素养和素质。